BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS.
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS
ATAS ALJABAR MAX-PLUS
oleh
PUNDRA ANDRIYANTO
M0109057
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
commit
to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTO
1. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah: 6).
2. Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai
pengetahuan tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan
hati, semuanya itu akan diminta pertanggungan jawabnya (Q.S. AlIsraa’:36).
3. Sesungguhnya setiap perbuatan bergantung pada niatnya. Sesungguhnya
setiap orang (akan dibalas) berdasarkan apa yang dia niatkan.
Barangsiapa hijrahnya karena (ingin mendapat keridhaan) Allah dan
Rasul-Nya, maka hijrahnya kepada (keridhaan) Allah dan Rasul-Nya. Dan
barangsiapa hijrahnya karena dunia yang dikehendakinya atau karena
wanita yang ingin dinikahinya, maka hijrahnya kepada apa yang dia tuju
(niatkan) (H.R.Bukhari-Muslim).
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Tulisan ini kupersembahkan untuk
Ibu, Bapak, Saudaraku, serta untuk teman-temanku,
terimakasih atas bantuan yang telah diberikan.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Pundra Andriyanto, 2013. BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU
MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Aljabar Max-Plus merupakan suatu himpunan
dilengkapi dengan dua operasi
dan
. Himpunan matriks berukuran
Aljabar Max-Plus dinotasikan sebagai ̅
̅ yang
atas
. Penelitian ini bertujuan untuk
mengkaji ulang nilai eigen dan vektor eigen serta basis ruang vektor eigen dalam
Aljabar Max-Plus. Misalkan
strongly connected. Jika matriks
tunggal, tetapi jika matriks
̅
, matriks
disebut tak terreduksi jika
tak terreduksi maka
terreduksi maka
mempunyai nilai eigen
mempunyai nilai eigen sebanyak
. Untuk menentukan nilai eigen matriks terreduksi, matriks itu
perlu diubah ke dalam bentuk Frobenius Normal Form (FNF) sehingga elemenelemen pada diagonal utamanya merupakan submatriks persegi yang tak
terreduksi. Selanjutnya menentukan vektor eigen dan himpunan peta matriks
untuk nilai eigen yang bersesuaian.
Kata kunci: tak terreduksi, nilai eigen, vektor eigen, Frobenius Normal
Form (FNF), himpunan peta.
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Pundra Andriyanto, 2013. BASES OF EIGENVECTOR SPACE FOR
MATRICES OVER MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and
Natural Sciences, Sebelas Maret University.
̅ equipped with two operation
Max-Plus Algebra is a set
and
. The set of matrix
over Max-Plus Algebra denoted as ̅
. The aim
of this research is to study eigenvalue, eigenvector and bases of eigenvector space
in Max-Plus Algebra. Let
strongly connected. If matrix
if matrix
is reducible then
̅
, matrix
is called irreducible if
is irreducible then
has
has a
has a unique eigenvalue, but
eigenvalues. To determine
eigenvalue of reducible matrix, this matrix must be changed to Frobenius Normal
Form (FNF) so that these elements in the principal diagonal are irreducible square
submatrix. Furthermore eigenvector and image set of matrix
are determined by
theirs eigenvalues.
Key words: irreducible, eigenvalue, eigenvector, Frobenius Normal Form
(FNF), image set.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Puji syukur kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan
hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penyusunan skripsi ini, khususnya kepada
1. bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai dosen pembimbing I dan ibu Dra. Etik
Zukhronah, M.Si. sebagai dosen pembimbing II atas kesediaan dan
kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis,
2. teman-temanku baik ditingkat jurusan, fakultas maupun universitas,
3. semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat
penulis sebut satu per satu.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Surakarta, Januari 2014
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
I
JUDUL ........................................................................................................
i
PENGESAHAN ..........................................................................................
ii
MOTO .........................................................................................................
iii
PERSEMBAHAN .......................................................................................
iv
ABSTRAK ..................................................................................................
v
ABSTRACT ..................................................................................................
vi
KATA PENGANTAR .................................................................................
vii
DAFTAR ISI ...............................................................................................
viii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................
x
DAFTAR TABEL .......................................................................................
xi
DAFTAR NOTASI .....................................................................................
xii
PENDAHULUAN .......................................................................................
1
1.1. Latar Belakang Masalah .................................................................
1
1.2. Perumusan Masalah ........................................................................
2
1.3. Batasan Masalah .............................................................................. 3
1.4. Tujuan .............................................................................................. 3
1.5. Manfaat ............................................................................................ 3
II
LANDASAN TEORI ...................................................................................
4
2.1. Tinjauan Pustaka .............................................................................
4
3.1.1. Nilai Eigen dalam Aljabar Biasa .........................................
4
3.1.2. Aljabar Max-Plus ................................................................. 4
3.1.3. Digraf ................................................................................... 5
3.2. Kerangka Pemikiran .......................................................................
9
III METODE PENELITIAN ............................................................................
10
IV PEMBAHASAN .........................................................................................
11
4.1. Nilai Eigen Utama ..........................................................................
11
4.2. Menentukan Semua Nilai Eigen ...................................................... 23
4.3. Menentukan Semua Vektor Eigen ..................................................
commit
to user
4.4. Himpunan Peta Suatu
Matriks
........................................................
viii
28
30
perpustakaan.uns.ac.id
V
digilib.uns.ac.id
PENUTUP ...................................................................................................
37
5.1. Kesimpulan .....................................................................................
37
5.2. Saran ................................................................................................ 37
DAFTAR PUSTAKA
38
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
1
Contoh digraf ..............................................................................................
6
2
Digraf dengan path, cycle dan cycle elementer .........................................
7
3
Digraf untuk Contoh 4.1.1 ..........................................................................
16
4
Digraf untuk Contoh 4.1.2 ..........................................................................
17
5
Digraf untuk Contoh 4.1.3 ..........................................................................
22
6
Condensation digraph untuk matriks
26
7
Condensation digraph ................................................................................. 28
8
Condensation digraph untuk matriks pada Contoh 4.4.1 ...........................
......................................................
commit to user
x
36
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
1
Cycle elementer dari Gambar 4.1 .............................................................
16
2
Cycle elementer dari Gambar 4.2 .............................................................
17
3
Cycle elementer dari Gambar 4.3 .............................................................
22
commit to user
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI
:
̅
himpunan bilangan real
:
:
operasi maksimum
:
operasi penjumlahan
:
:
0
̅
:
himpunan matriks aljabar max-plus berukuran
:
himpunan bilangan asli
̅
:
vektor yang semua elemennya
:
matriks yang semua elemennya
:
invers dari
:
himpunan peta dari
:
invers dari matriks
:
matriks permutasi
:
himpunan node
:
himpunan arc
:
entri matriks
:
digraf
:
weight digraph
:
path
:
bobot path dari node ke node
:
cycle
(
:
dapat dicapai dari
:
associated weighted digraph dari
:
matriks metrik dari
:
panjang dari cycle
:
bobot dari cycle
:
bobot rata-rata
cycle to pada
commit
user
pada
xii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
: nilai eigen matriks
:
matriks pangkat aljabar max-plus
:
himpunan vektor eigen dari
:
himpunan semua nilai eigen dari
:
himpunan semua vektor eigen dari
yang bersesuaian dengan
yang bersesuaian
dengan
:
himpunan vektor eigen berhingga dari
yang bersesuaian
dengan
:
himpunan semua vektor eigen berhingga dari
yang
bersesuaian dengan
|
|
:
himpunan eigen nodes atau critical nodes
:
critical digraph dari
:
ekuivalen dengan
:
himpunan kosong
:
kelas ekuivalensi dari
:
himpunan critical nodes yang non ekuivalen dari
:
principal submatriks dari
:
subvektor dari vektor
:
induced subdigraph dari
:
submatriks persegi yang tak terreduksi dari
:
node untuk matriks
:
condensation digraph dari matriks
:
submatriks lain dari
:
kardinalitas dari himpunan semua nilai eigen matriks
:
himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks
yang FNF
yang FNF dengan nilai eigen
:
himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks
dengan nilai eigen
:
:
ekuivalen
akhir pembuktian
commit to user
xiii
digilib.uns.ac.id
BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS
ATAS ALJABAR MAX-PLUS
oleh
PUNDRA ANDRIYANTO
M0109057
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2014
commit
to user
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTO
1. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah: 6).
2. Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai
pengetahuan tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan
hati, semuanya itu akan diminta pertanggungan jawabnya (Q.S. AlIsraa’:36).
3. Sesungguhnya setiap perbuatan bergantung pada niatnya. Sesungguhnya
setiap orang (akan dibalas) berdasarkan apa yang dia niatkan.
Barangsiapa hijrahnya karena (ingin mendapat keridhaan) Allah dan
Rasul-Nya, maka hijrahnya kepada (keridhaan) Allah dan Rasul-Nya. Dan
barangsiapa hijrahnya karena dunia yang dikehendakinya atau karena
wanita yang ingin dinikahinya, maka hijrahnya kepada apa yang dia tuju
(niatkan) (H.R.Bukhari-Muslim).
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Tulisan ini kupersembahkan untuk
Ibu, Bapak, Saudaraku, serta untuk teman-temanku,
terimakasih atas bantuan yang telah diberikan.
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Pundra Andriyanto, 2013. BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU
MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Aljabar Max-Plus merupakan suatu himpunan
dilengkapi dengan dua operasi
dan
. Himpunan matriks berukuran
Aljabar Max-Plus dinotasikan sebagai ̅
̅ yang
atas
. Penelitian ini bertujuan untuk
mengkaji ulang nilai eigen dan vektor eigen serta basis ruang vektor eigen dalam
Aljabar Max-Plus. Misalkan
strongly connected. Jika matriks
tunggal, tetapi jika matriks
̅
, matriks
disebut tak terreduksi jika
tak terreduksi maka
terreduksi maka
mempunyai nilai eigen
mempunyai nilai eigen sebanyak
. Untuk menentukan nilai eigen matriks terreduksi, matriks itu
perlu diubah ke dalam bentuk Frobenius Normal Form (FNF) sehingga elemenelemen pada diagonal utamanya merupakan submatriks persegi yang tak
terreduksi. Selanjutnya menentukan vektor eigen dan himpunan peta matriks
untuk nilai eigen yang bersesuaian.
Kata kunci: tak terreduksi, nilai eigen, vektor eigen, Frobenius Normal
Form (FNF), himpunan peta.
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Pundra Andriyanto, 2013. BASES OF EIGENVECTOR SPACE FOR
MATRICES OVER MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and
Natural Sciences, Sebelas Maret University.
̅ equipped with two operation
Max-Plus Algebra is a set
and
. The set of matrix
over Max-Plus Algebra denoted as ̅
. The aim
of this research is to study eigenvalue, eigenvector and bases of eigenvector space
in Max-Plus Algebra. Let
strongly connected. If matrix
if matrix
is reducible then
̅
, matrix
is called irreducible if
is irreducible then
has
has a
has a unique eigenvalue, but
eigenvalues. To determine
eigenvalue of reducible matrix, this matrix must be changed to Frobenius Normal
Form (FNF) so that these elements in the principal diagonal are irreducible square
submatrix. Furthermore eigenvector and image set of matrix
are determined by
theirs eigenvalues.
Key words: irreducible, eigenvalue, eigenvector, Frobenius Normal Form
(FNF), image set.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim,
Puji syukur kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan
hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penyusunan skripsi ini, khususnya kepada
1. bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai dosen pembimbing I dan ibu Dra. Etik
Zukhronah, M.Si. sebagai dosen pembimbing II atas kesediaan dan
kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis,
2. teman-temanku baik ditingkat jurusan, fakultas maupun universitas,
3. semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat
penulis sebut satu per satu.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.
Surakarta, Januari 2014
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
I
JUDUL ........................................................................................................
i
PENGESAHAN ..........................................................................................
ii
MOTO .........................................................................................................
iii
PERSEMBAHAN .......................................................................................
iv
ABSTRAK ..................................................................................................
v
ABSTRACT ..................................................................................................
vi
KATA PENGANTAR .................................................................................
vii
DAFTAR ISI ...............................................................................................
viii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................
x
DAFTAR TABEL .......................................................................................
xi
DAFTAR NOTASI .....................................................................................
xii
PENDAHULUAN .......................................................................................
1
1.1. Latar Belakang Masalah .................................................................
1
1.2. Perumusan Masalah ........................................................................
2
1.3. Batasan Masalah .............................................................................. 3
1.4. Tujuan .............................................................................................. 3
1.5. Manfaat ............................................................................................ 3
II
LANDASAN TEORI ...................................................................................
4
2.1. Tinjauan Pustaka .............................................................................
4
3.1.1. Nilai Eigen dalam Aljabar Biasa .........................................
4
3.1.2. Aljabar Max-Plus ................................................................. 4
3.1.3. Digraf ................................................................................... 5
3.2. Kerangka Pemikiran .......................................................................
9
III METODE PENELITIAN ............................................................................
10
IV PEMBAHASAN .........................................................................................
11
4.1. Nilai Eigen Utama ..........................................................................
11
4.2. Menentukan Semua Nilai Eigen ...................................................... 23
4.3. Menentukan Semua Vektor Eigen ..................................................
commit
to user
4.4. Himpunan Peta Suatu
Matriks
........................................................
viii
28
30
perpustakaan.uns.ac.id
V
digilib.uns.ac.id
PENUTUP ...................................................................................................
37
5.1. Kesimpulan .....................................................................................
37
5.2. Saran ................................................................................................ 37
DAFTAR PUSTAKA
38
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR GAMBAR
1
Contoh digraf ..............................................................................................
6
2
Digraf dengan path, cycle dan cycle elementer .........................................
7
3
Digraf untuk Contoh 4.1.1 ..........................................................................
16
4
Digraf untuk Contoh 4.1.2 ..........................................................................
17
5
Digraf untuk Contoh 4.1.3 ..........................................................................
22
6
Condensation digraph untuk matriks
26
7
Condensation digraph ................................................................................. 28
8
Condensation digraph untuk matriks pada Contoh 4.4.1 ...........................
......................................................
commit to user
x
36
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
1
Cycle elementer dari Gambar 4.1 .............................................................
16
2
Cycle elementer dari Gambar 4.2 .............................................................
17
3
Cycle elementer dari Gambar 4.3 .............................................................
22
commit to user
xi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI
:
̅
himpunan bilangan real
:
:
operasi maksimum
:
operasi penjumlahan
:
:
0
̅
:
himpunan matriks aljabar max-plus berukuran
:
himpunan bilangan asli
̅
:
vektor yang semua elemennya
:
matriks yang semua elemennya
:
invers dari
:
himpunan peta dari
:
invers dari matriks
:
matriks permutasi
:
himpunan node
:
himpunan arc
:
entri matriks
:
digraf
:
weight digraph
:
path
:
bobot path dari node ke node
:
cycle
(
:
dapat dicapai dari
:
associated weighted digraph dari
:
matriks metrik dari
:
panjang dari cycle
:
bobot dari cycle
:
bobot rata-rata
cycle to pada
commit
user
pada
xii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
: nilai eigen matriks
:
matriks pangkat aljabar max-plus
:
himpunan vektor eigen dari
:
himpunan semua nilai eigen dari
:
himpunan semua vektor eigen dari
yang bersesuaian dengan
yang bersesuaian
dengan
:
himpunan vektor eigen berhingga dari
yang bersesuaian
dengan
:
himpunan semua vektor eigen berhingga dari
yang
bersesuaian dengan
|
|
:
himpunan eigen nodes atau critical nodes
:
critical digraph dari
:
ekuivalen dengan
:
himpunan kosong
:
kelas ekuivalensi dari
:
himpunan critical nodes yang non ekuivalen dari
:
principal submatriks dari
:
subvektor dari vektor
:
induced subdigraph dari
:
submatriks persegi yang tak terreduksi dari
:
node untuk matriks
:
condensation digraph dari matriks
:
submatriks lain dari
:
kardinalitas dari himpunan semua nilai eigen matriks
:
himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks
yang FNF
yang FNF dengan nilai eigen
:
himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks
dengan nilai eigen
:
:
ekuivalen
akhir pembuktian
commit to user
xiii