Masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum matriks atas aljabar maks-plus AWAL
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG
DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
oleh
DIAN RIZKI NURAINI
M0111021
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
commit to user
2016
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Dian Rizki Nuraini. 2016. MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR
EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Aljabar maks-plus adalah semiring R dengan R = R∪{−∞} yang dilengkapi
operasi ⊕ = maks dan operasi ⊗ = +. Masalah nilai eigen dituliskan sebagai
A ⊗ x = λ ⊗ x dengan λ merupakan nilai eigen dan x(k) merupakan vektor eigen
dari matriks A. Masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum dituliskan
sebagai A ⊗ x = λB ⊗ x dengan A, B matriks nonnegatif. Selain itu, masalah
nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum pada aljabar maks-plus dapat pula
dituliskan dalam bentuk A ⊗ x = λ ⊗ B ⊗ x.
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen
dari masalah nilai eigen yang diperumum untuk matriks atas aljabar maks-plus.
Hasil penelitian ini adalah nilai eigen dan vektor eigen dari masalah nilai eigen
yang diperumum untuk matriks tak tereduksi dan matriks tereduksi pada aljabar
maks-plus.
Kata kunci: Aljabar maks-plus, nilai eigen, vektor eigen, masalah nilai eigen
dan vektor eigen yang diperumum
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Dian Rizki Nuraini. 2016. GENERALIZED EIGEN VALUE AND EIGEN
VECTOR PROBLEM MATRIX ON MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Max-plus algebra is the semiring R where R = R ∪ {−∞} is equipped with
operations ⊕ = max and ⊗ = plus. Eigenvalue problem A ⊗ x = λ ⊗ x where
λ is called eigenvalue and x(k) is called eigenvector of matrices A. Generalized
eigenvalue problem and eigenvector A ⊗ x = λB ⊗ x where A and B are nonnegative matrices. In addition, generalized eigenvalue and eigenvector problem in
max-plus algebra can also written in the form of A ⊗ x = λ ⊗ B ⊗ x.
The aims of this research are to obtain eigenvalue and eigenvector from
generalized eigenvalue problem matrix on max-plus algebra. The results of this
research are eigenvalue and eigenvector from generalized eigenvalue problem for
irreducible matrix and reducible matrix in max-plus algebra.
Key words: max-plus algebra, eigenvalue, eigenvector, generalized eigenvalue
and eigenvector problem
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTTO
Orang-orang yang sukses telah belajar membuat diri mereka melakukan hal
yang harus dikerjakan ketika hal itu memang harus dikerjakan, entah mereka
menyukainya atau tidak. (Aldus Huxley)
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Saya persembahkan karya ini untuk
kedua orang tua saya,
adik saya, Devi Adillah Nuraini dan Dedy Achmad Alfarizi,
serta teman-teman saya, Laela Nur Aeni dan Durri Indy Mahbubah.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan
skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada
1. Bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberi
bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi.
2. Bapak Drs. Santoso Budi Wiyono, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah
memberi bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi.
3. Seluruh pihak yang telah memberikan semangat, motivasi dan kerja samanya.
Penulis berharap semoga laporan ini bermanfaat.
Surakarta, Februari 2016
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ABSTRACT
I
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Struktur Aljabar Biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.3
Matriks atas Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.4
Graf dalam Aljabar Maks-Plus
. . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.5
Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Kerangka Pemikiran . . .commit
. . . .to. user
. . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
III METODE PENELITIAN
15
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
IV PEMBAHASAN
4.1
16
Masalah Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang Diperumum . . . . .
16
4.1.1
Kasus Matriks 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2
Eksistensi Nilai Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
Ketunggalan Nilai Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
V PENUTUP
35
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
DAFTAR PUSTAKA
36
commit to user
ix
digilib.uns.ac.id
MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG
DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
oleh
DIAN RIZKI NURAINI
M0111021
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
commit to user
2016
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK
Dian Rizki Nuraini. 2016. MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR
EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Aljabar maks-plus adalah semiring R dengan R = R∪{−∞} yang dilengkapi
operasi ⊕ = maks dan operasi ⊗ = +. Masalah nilai eigen dituliskan sebagai
A ⊗ x = λ ⊗ x dengan λ merupakan nilai eigen dan x(k) merupakan vektor eigen
dari matriks A. Masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum dituliskan
sebagai A ⊗ x = λB ⊗ x dengan A, B matriks nonnegatif. Selain itu, masalah
nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum pada aljabar maks-plus dapat pula
dituliskan dalam bentuk A ⊗ x = λ ⊗ B ⊗ x.
Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan nilai eigen dan vektor eigen
dari masalah nilai eigen yang diperumum untuk matriks atas aljabar maks-plus.
Hasil penelitian ini adalah nilai eigen dan vektor eigen dari masalah nilai eigen
yang diperumum untuk matriks tak tereduksi dan matriks tereduksi pada aljabar
maks-plus.
Kata kunci: Aljabar maks-plus, nilai eigen, vektor eigen, masalah nilai eigen
dan vektor eigen yang diperumum
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT
Dian Rizki Nuraini. 2016. GENERALIZED EIGEN VALUE AND EIGEN
VECTOR PROBLEM MATRIX ON MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Max-plus algebra is the semiring R where R = R ∪ {−∞} is equipped with
operations ⊕ = max and ⊗ = plus. Eigenvalue problem A ⊗ x = λ ⊗ x where
λ is called eigenvalue and x(k) is called eigenvector of matrices A. Generalized
eigenvalue problem and eigenvector A ⊗ x = λB ⊗ x where A and B are nonnegative matrices. In addition, generalized eigenvalue and eigenvector problem in
max-plus algebra can also written in the form of A ⊗ x = λ ⊗ B ⊗ x.
The aims of this research are to obtain eigenvalue and eigenvector from
generalized eigenvalue problem matrix on max-plus algebra. The results of this
research are eigenvalue and eigenvector from generalized eigenvalue problem for
irreducible matrix and reducible matrix in max-plus algebra.
Key words: max-plus algebra, eigenvalue, eigenvector, generalized eigenvalue
and eigenvector problem
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
MOTTO
Orang-orang yang sukses telah belajar membuat diri mereka melakukan hal
yang harus dikerjakan ketika hal itu memang harus dikerjakan, entah mereka
menyukainya atau tidak. (Aldus Huxley)
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Saya persembahkan karya ini untuk
kedua orang tua saya,
adik saya, Devi Adillah Nuraini dan Dedy Achmad Alfarizi,
serta teman-teman saya, Laela Nur Aeni dan Durri Indy Mahbubah.
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan
skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada
1. Bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberi
bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi.
2. Bapak Drs. Santoso Budi Wiyono, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah
memberi bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi.
3. Seluruh pihak yang telah memberikan semangat, motivasi dan kerja samanya.
Penulis berharap semoga laporan ini bermanfaat.
Surakarta, Februari 2016
Penulis
commit to user
vii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
MOTTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ABSTRACT
I
II LANDASAN TEORI
4
2.1
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.1
Struktur Aljabar Biasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2.2
Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2.3
Matriks atas Aljabar Maks-Plus . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.4
Graf dalam Aljabar Maks-Plus
. . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.5
Nilai Eigen dan Vektor Eigen . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Kerangka Pemikiran . . .commit
. . . .to. user
. . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
III METODE PENELITIAN
15
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
IV PEMBAHASAN
4.1
16
Masalah Nilai Eigen dan Vektor Eigen yang Diperumum . . . . .
16
4.1.1
Kasus Matriks 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2
Eksistensi Nilai Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.3
Ketunggalan Nilai Eigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
V PENUTUP
35
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
DAFTAR PUSTAKA
36
commit to user
ix