Handouts_Matematika II – Diferensial, Integral, Persamaan Diferensial

===

Matematika Rasional, Fungsi Implisit Matematika Matematika Matematika II II II II

• Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi,

Logaritmik, Eksponensial Integral: • Integral Tak-Tentu • Integral Tentu Persamaan Diferensial • Persamaan Diferensial Orde-1 • Persamaan Diferensial Orde-2

Pengertian-Pengertian

y 2 Turunan Kita telah melihat bahwa Turunan Fungsi Turunan Turunan Fungsi Fungsi Fungsi----Fungsi Fungsi Fungsi Fungsi

1 ∆x kemiringan garis lurus adalah ∆y

Bagaimanakah dengan garis lengkung?

Garis Lengkung

yy = f(x)

P 2 Garis lurus dengan kemiringan ∆ y/ ∆ x

P 1 ∆y memotong garis lengkung di dua titik ∆x

(x 2 ,y 2 )

Jarak kedua titik potong semakin kecil

(x 1 ,y 1 )

x jika ∆ x di perkecil menjadi ∆ x *

yy = f(x) Pada kondisi ∆ x mendekati nol, Pada suatu garis lengkung y = f (x ),

P 2 ∗ kita peroleh kita dapat memperoleh turunannya di berbagai

P 1 ∆y* lim ∆ y = lim

titik pada garis lengkung tersebut

∆x* ∆ x → 0 ∆ x

f ′( x ) di titik ( x 1 , y 1 ) adalah turunan y di titik ( x 1 , y 1 ), Ini merupakan fungsi turunan dari

f ′( x ) di titik ( x 2 , y 2 ) adalah turunan y di titik ( x 2 , y 2 )

f (x ) di titik P

Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P

Mononom

Jika pada suatu titik

x 1 di mana ∆ lim

benar ada

maka dikatakan bahwa fungsi f ( x )

Contoh:

= ∆ x = 0 Jika dalam suatu domain suatu fungsi ( ) dapat di-diferensiasi

“dapat didiferensiasi di titik tersebut”

y ′ 0 = lim f ( x + ∆ x ) − f ( x )

di semua x dalam dalam domain tersebut kita katakan bahwa fungsi f ( x ) dapat di-diferensiasi dalam domain.

kita baca “turunan fungsi y terhadap x ” y 10 8 Fungsi ramp Penurunan ini dapat dilakukan jika y

memang merupakan fungsi x .

Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.

2 f 1 ′ ( x ) = 2 Fungsi tetapan

y 2 = f 2 ( x ) = 2 x 2 Secara umum, turunan fungsi mononom

∆ x → 0 Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononom

y = mx n berbentuk garis lurus *) pangkat 1 (kurva garis lurus)

Jika n = 1 maka kurva fungsi

dan turunannya berupa nilai konstan,

Contoh:

y 3 = f 3 ( x ) = 2 x 3 Jika n > 1, maka turunan fungsi

y = mx n akan merupakan

2 ( x + ∆ x ) 3 − 2 x 3 fungsi x ,

y ′ = f ′ (x )

f 3 ′ ( x ) = ∆ lim x → 0 ∆ x Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi

= lim 2 ( x 3 + 3 2 x ∆ x + 3 x ∆ x 3 + ∆ x 3 ) − 2 x 3 ∆ turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi x → 0 ∆ x

y ′′ = f ′′ (x )

turunan dari

y ′ = f ′ (x )

y ′′ = f ′′ (x ) Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononom

= lim 2 × 3 x 2 + 2 × 3 x ∆ x 2 + 2 ∆ x 2 = 6 x 2

∆ x → 0 y ′′′ = f ′′′ (x ) turunan dari

bilangan tak bulat akan *) Untuk n berupa

pangkat 2 (kurva parabola)

dibahas kemudian 10

y ′ = f ′ ( x ) = dy dx disebut turunan pertama, Kurva fungsi mononom y = f ( x ) = mx n yang memiliki beberapa turunan

2 y ′′ = f ′′ ( x = y akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya. )

d dx 2 turunan kedua,

Contoh:

Fungsi y = x dan turunan-turunannya

y ′′′ = f ′′′ ( x ) =

3 turunan ke-tiga, dst. y ′ = 4x 3 y ′′ = 12x dx 2 y ′′′ = 24 x y ′ ′′′ = 24

y ′′ = 2 12 x Contoh: y 4 = f 4 ( x ) = 2 x 3

y = x 4 y ′ = 4x 3

y 100

y ′′ = 12x 2 y ′′′ = 24 x

0 y ′ ′′′ = 24 y 4 ′′′ = 12

y 4 ′′ = 6 ( 2 ) x ( 2 − 1 ) = 12 x ;

y ′ = 4x

3 -3

Polinom

Contoh:

Contoh:

f 1 ′ ( x ) = lim { 4 ( x + ∆ x ) + 2 }{ − 4 x + 2 ∆ } x → x ∆ x = 4

10 f 2 ( x ) ==== 4 ( x −−−− 2 )

5 f 2 ′′′′ ( x ) ==== 4

4 f 1 ' ( x ) = 4 Turunan fungsi ini

2 turunan sama dengan f ( x )=4 x

2 karena turunan dari

tetapan 2 adalah 0.

Secara Umum: Jika F ( x )= f ( x )+ K maka F ʹ( x )= f ′ ( x )

Fungsi Yang Merupakan

Contoh:

y ′ 3 = lim { 4 ( x + ∆ x ) + 2 ( x + ∆ x ) − 5 − 4 x }{ 2 + 2 x − ∆ 5 x → 0 ∆ x }

Perkalian Dua Fungsi

Jika y = vw

maka ( y + ∆ y ) = ( v + ∆ v )( w + ∆ w )

Contoh:

y 4 = f 4 ( x ) = 5 x + 4 x + 2 x − 5 = ( vw + v ∆ w + w ∆ v + ∆ w ∆ v )

y 4 ′ = lim { 5 ( x + ∆ x ) 3 + 4 ( x + ∆ x ) 2 + 2 ( x + ∆ x ) − 5 − 5 x 3 + 4 x 2 + 2 x − ∆ 5 x → 0 ∆ x }{ }

∆ y = ( y + ∆ y ) − y = ( wv + v ∆ w + w ∆ v + ∆ w ∆ v ) − vw = 5 × 3 x 2 + 4 × 2 x + 2 = 15 x 2 + 8 x + 2 ∆ x

Secara Umum:

Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom

dy = d ( vw )

dx = v dx + w dx

dw

dv

dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu

dx

memang memiliki turunan.

Turunan y = 6x 5 adalah y ′ = 30x 4 Fungsi Yang Merupakan Pangkat

Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi

dari suatu Fungsi

d ( 2 x = 3 × 3 x 2 ) dx

= 2 x 3 × 6 x + 3 x 2 × 6 x 2 = 12 x 4 + 18 x 4 = 30 x 4 Contoh:

Jika y = uvw dx + ( v v ) dx + ( v v ) dx

6 Contoh: dv y = 6x 5 = v 5 dx

= 6 v 5 dv dx =

Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi

Contoh ini menunjukkan bahwa 6 dv

(3x 2 × x )( 4 x ) = 6 x 4 + 12 x 4 + 12 x 4 = 30 x 4 Secara Umum:

dv n

dx = nv

dx

Fungsi Rasional

Contoh:

y = ( x + 1 ) ( x − 1 ) Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian

Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi dua fungsi dan pangkat suatu fungsi

dx − v dw  Jadi: 

Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

x 3 dy

dx = 6 q x dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0

x 3 ( 2 x ) − ( x 2 − 3 )( 3 x 2 )

Bilangan tidak bulat n = p

(v adalah fungsi yang dy

Jika y ≠ 0, kita dapatkan

dy

) = pv p = 1 dv

bisa diturunkan) dx = 2 x +

p / q q − () 1 v = v p − ( p / q ) sehingga

Contoh: p y =

= qv p − ( p / q ) dx = q v ( p − 1 ) − p + ( p / q ) dv x 2 − 1

2 ; dengan x ≠ 1 (agar penyebut tidak nol)

Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat, ( x 2 − 1 ) 2 ( x 2 − 1 ) 2 hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

Fungsi Parametrik dan Kaidah Rantai

Fungsi Implisit

Apabila kita mempunyai persamaan x = f ( t )

Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan

dan

namun sebagian yang lain tidak.

demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan

fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di persamaan yang berbentuk y = F (x )

atas.

Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam

Kaidah rantai

bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi Jika y = F (x ) dapat diturunkan terhadap x dan

implisit . Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat x = f (t ) dapat diturunkan terhadap t,

didiferensiasi terhadap x.

maka y = F () f ( t ) = g ( t ) dapat diturunkan terhadap t menjadi dy = dy dx

dt dx dt

Contoh:

x 2 + xy + y 2 = 8 Contoh:

x 4 + 4 xy 3 − 3 y 4 = 4

Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri,

persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua maka operasi yang sama harus dilakukan pula di

ruas, dan kita akan memperoleh

ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita

3 dy 4 3 x + 4 x + y 3 d ( 4 x )

akan peroleh

( x + 2 y ) dy dx = − 2 x − y Untuk ( xy 2 − y 3 ) ≠ 0 kita dapat memperoleh turunan Jika

0 kita peroleh turunan

Turunan Fungsi Trigonometri

Jika y = sin x maka

Jika

y = cos x

maka

dy = d sin x = sin( x + ∆ x ) − sin x

dy = d cos x = cos( x + ∆ x ) − cos x

Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos ∆ x = 1 dan sin ∆ x = ∆ x . Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos ∆ x = 1 dan sin ∆ x = ∆ x . Oleh karena itu

Oleh karena itu

d cos x

= − sin x

d sin x

dx = cos x

dx

Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari. Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah

Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2 × 10 -6 farad

d cot x

d  cos x  − sin 2 x − cos x (cos x ) − 1 2 merupakan fungsi sinus v C = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada dx

kapasitor ini adalah

i C = C dv C = 2 × 10 6 d d sec x = d  1 

× dt ( 200 sin 400 t ) = 0 , 160 cos 400 t ampere dx

dx  cos x  =

0 − ( − sin x )

sin x

sec tan

dt

cos 2 cos 2

d csc x = d  

1   = 0 − (cos x ) = − cos x = − csc x cot x

i C 100

dx dx  sin x  sin 2 x

sin 2 x

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t

[detik]

Contoh:

Turunan Fungsi Trigonometri Inversi

Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus i L = − 0,2cos400t ampere.

y = sin x

dx = cos ydy

Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalah

x sin y

v L = L di L dt = 2 , 5 × d dt ( − 0 , 2 cos 400 t ) = 2 , 5 × 0 , 2 × sin 400 t × 400 = 200 sin 400 t

0 y = cos − 1 x

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t [detik]

1x 2

− 1 dx

1 0 − (cos x )

− 1 sin y

sin 2 y dy

1x + 2 dy

Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi

1 Jika v = f(x), maka dw

Jika w = f(x), maka

d (sin − 1 w )

1 − w 2 d dx (sin v ) dx

dx

= d (sin v ) dv dv dx = cos v dv dx

d (cos − 1 w )

1 dw

d (cos v )

dx = d (cos v ) dv dv dx = − sin v dv

d (tan − 1 w )

1 dw

d (tan v )

d (cot − 1 w ) = −

1 dw

d (cot v )

d (sec − 1 w )

1 dw

d (sec v ) = d  

d (csc v ) = d  1 

dv

d (csc

1 dw

dx dx   sin v   = − csc v cot v dx

dx

w w 2 − 1 dx

Turunan Fungsi Logaritmik Turunan Fungsi Eksponensial

Fungsi logaritmik f ( x ) = ln x didefinisikan melalui suatu integral

ln y = x ln e = x

6 Tentang integral akan ∫ 1 t dipelajari lebih lanjut

f ( x ) = ln x = x 1 dt ( x > 0 )

penurunan secara implisit di kedua sisi

3 ln x = ∫ 1 dt luas bidang yang dibatasi

dx

oleh kurva (1/t) dan

dy = y = e x

1 sumbu-t, dalam selang

atau

antara t = 1 dan t = x .

dx

Jadi turunan dari e x adalah e x itu sendiri

dst. ln(x+ ∆ x) − lnx

1/x x +∆x 1/(x+∆x)

y ′′ = e x

y ′ ′′ = e x

dx v ∆ x ∆ x  ∫

d ln x = ln( x + ∆ x ) − ln( x ) = 1   x + ∆ x 1 

t dt  

Jika v = v (x )

Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx × 1/x). Namun jika Δx

y = e tan − 1 x

dy = e tan − 1 tan − x

1 x d 1 tan = x e

d ln x

dx = x

makin mendekati (Δx makin kecil, luas bidang tersebut akan × 1/x); dan jika Δx

dx

dx

mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx × 1/x).

Diferensial Penjelasan secara grafis dx dan dy

Jika dx berubah, maka dy Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi

Ini adalah fungsi (peubah tak bebas)

dy berubah sedemikian rupa

sehingga dy/dx sama dy = lim ∆ y

dengan kemiringan garis dx

dx

Ini adalah

peubah bebas

singgung pada kurva

adalah besar perubahan nilai y Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian

sepanjang garis singgung di rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx ≠

dy

adalah laju perubahan y

dy = (tan θ ) dx

titik P pada kurva, jika nilai x terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan

0, sama dengan turunan fungsi y

dx

tan

terhadap perubahan x.

berubah sebesar dx y merupakan fungsi dari x: y = F (x )

Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:

negatif jika “mengarah ke kiri”.

Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif 1). dx , yang disebut sebagai diferensial x , adalah bilangan nyata dan

jika “mengarah ke bawah”.

merupakan peubah bebas lain selain x ;

2). dy , yang disebut sebagai diferensial y , adalah fungsi dari x dan dx

dy P yang dinyatakan dengan dy = F ' ( x ) dx

Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.

Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian Turunan Fungsi

Diferensial

dikalikan dengan dx.

c = konstan dc = 0 ; c = konstan 2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan dcv

Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan dx

2 dx

d   v   = wdv − vdw

w 2 formula dalam tabel di atas

dy = d ( x 3 ) + d ( − 3 x 2 ) + d ( 5 x ) + d ( − 6 ) = 3 x 2 dx − 6 xdx + 5 dx dx n

dv n = nv n − 1 dv

dv n = nv n − 1 dv

1 = ( 3 x 2 − 6 x + 5 ) dcx dx = cnx n − 1 dx

dx

d ( cx

) = cnx − dx

1. Integral Tak Tentu

Pengertian-Pengertian

Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan

Integral

dy

dx = f (x )

Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini

disebut

persamaan diferensial.

Contoh persamaan diferensial

Tinjau persamaan diferensial dy dx = f (x )

dF ( x )

dx = f ( x )

Suatu fungsi y = F (x ) dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat

dapat dituliskan

= f ( x ) Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum

Karena d [ F ( x ) + K ] = dF ( x ) + dK = dF ( x ) + 0 maka

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + K

dx dx dx

dx

fungsi y = F ( x ) + K juga merupakan solusi Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri

ditambah suatu nilai tetapan . Integral semacam ini disebut integral tak

tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

Carilah solusi persamaan

Contoh:

Cari solusi persamaan diferensial

ubah ke dalam bentuk diferensial kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung dy = 5 x 4 dx

dy = x 2 y dx

y − 1 / 2 dy = x 2 dx

peubah berbeda

d () 2 y 1 / 2 = y − 1 / 2 dy

Kita tahu bahwa d ( x 5 ) = 5 x 4 dx

d   1 3  2 3 x    = x dx

oleh karena itu

d () 2 y 1 / 2 = d   1 3 x 3  

y = 5 x 4 dx = d ( x 5 ) = x 5 + K

Jika kedua ruas diintegrasi

Penggunaan Integral Tak Tentu

Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini

Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.

bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak

1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K. tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang

dimiliki oleh K.

∫ dy = y + K

2 i = 10x 2 +K 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan i y = 10x 100

∫ ady = a ∫ dy

50 50 K 3 K K 2

1 3 x 5 (n + 1).

3. Jika bilangan n ≠−

1, maka integral dari y n dy diperoleh dengan

menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan

10 x ∫ 3

3 dx = 10 x 2 + K n

kurva y = 10x 2 kurva

adalah kurva bernilai banyak dy

adalah kurva bernilai tunggal

jika n ≠ − + 1

Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan

Luas Sebagai Suatu Integral

menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva y = f (x )

Contoh:

Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai

sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.

kecepatan percepatan waktu

2 y = f(x) =2

Posisi benda pada waktu t = 0 adalah

s 0 ; tentukanlah posisi = 3

benda pada t = 4. Kecepatan adalah laju perubahan jarak,

∆ A px = 2 ∆ x atau

∆ A px

Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,

= f ( x ) = 2 A px = ∫ dA px = ∫ 2 dx = 2 x + K

∫ dx

s = . atdt = 3 t + K = 1 , 5 t 2 + K

2 Kondisi awal (kondisi batas) adalah A px =0 Kondisi awal: pada untuk x = p t = 0, s 0 =3 3 = 0 + K K = 3 s = 1 , 5 t + 3

0 = 2 p + K atau

sehingga pada t = 4 posisi benda adalah

2. Integral Tentu

Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep y

f (x)

f (x+ ∆ x ) dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.

y = f(x)

y = f(x)

Bidang dibagi dalam segmen-segmen Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas

∆ A px bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan ∆ Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

A px = f(x) ∆ x atau

∆ A px = f(x+ ∆ x ) ∆ x

y ∆ = f(x)

A px = f ( x ) ∆ x ≤ f ( x 0 ) ∆ x ≤ f ( x + ∆ x ) ∆ x

y = f(x)

terletak antara x dan x+ 0 adalah suatu nilai x yang ∆ x

xqx Jika ∆ x → 0: ∆ x lim → 0 ∆ x = dx

∆ A px dA px

px n = ∫ px = ∫ = +

Luas tiap segmen dihitung

A pq = F ( q ) − F ( p ) = F ( x ) ] p q sebagai f (x k ) ×∆ x k

Luas tiap segmen dihitung

sebagai f (x k + ∆ x ) ×∆ x k sebagai f (x k + ∆ x ) ×∆ x k

y = f(x)

y = f(x)

0 p x 2 x k x k +1 x n q x

x k +1

Luas tiap segmen dihitung

x k +1

sebagai f(x k ) ×∆ x k

Luas tiap segmen dihitung

sebagai f(x k + ∆ x ) ×∆ x k

Luas bidang menjadi

Jika x 0k adalah nilai x di antara x k dan x k+ 1 maka

A pq = ∫ p f ( x ) dx

nn

A pq = ∫ p f ( x ) dx = F ( x ) ] p q = F ( q ) − F ( p )

Jika ∆ x k →

0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang sama

Nilai limit itu merupakan integral tentu

Luas Bidang

Definisi Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi

mengenai A px , formulasi

A px adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi

A = q ∫ p f ( x ) dx = F ( q ) − F () p )

dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian

Contoh:

Luas antara y = x 3 − 12 x

baik di atas maupun di bawah sumbu-x

dan sumbu-x dari x = − 3 sampai x = +3.

y = x 3 − 12 x

20 A a = ∫ 3 3 ( x − 12 ) dx = − x − 2 x 4 6 

A b = 3 ∫ 0 ( x 3 − 12 x ) dx = x − 6 x 2

-1 -10 0 1 2 3 4 4  3

= 20 , 25 − 54 − ( 0 ) = − 33 , 75 A pq = ∫ p f ( x ) dx = F ( q ) − F () p )

Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

Contoh:

Jika y 1 = 4 dan y 2 = − 2

berapakah luas bidang antara y dan y dari x 1 =p= − 2 sampai x = q = +3. 1 2 2 y

y 1 = f 1 ( x ) berada di atas

y 1 Rentang

A + pq 3 = ∫ − 2 ( { 4 − ( 2

− ) } dx = 6 x ] − + 2 3 = 18 − ( − 12 ) = 30

dibagi dalam n segmen

0 x x + ∆ x qx

Jika y 1 = x 2 dan y 2 = y 4 2 ∆ A px

A segmen = ∆ A px = { f 1 ( x ) − f 2 ( x ) } ∆ x

Contoh:

berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 dan y 2 .

jumlah semua segmen: ∑ A segmen = ∑ { f 1 ( x ) − f 2 ( x ) } ∆ x

Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada

perpotongan antara y 1 dan y 2 .

4 y 1 = y 2 → x → 2 ∞ q = 4 ⇒ x 1 = p = − 2 , x 2 = q = Dengan membuat n menuju tak 2

hingga sehingga ∆ x menuju nol kita A pq = lim ∑ A segmen = ∫ p { f 1 ( x ) − f 2 ( x ) } dx

sampai pada suatu limit

1 2 di atas

y 1 A pq = ∫ − 2 ( 4 − x ) dx =  4 x  − 3      - 2

Jika y 1 = − x 2 + 2 dan

Penerapan Integral

Contoh:

berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y 1 dan y 2 .

Contoh:

Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh

4 Batas integrasi adalah nilai x pada

piranti ini selama 8 jam ?

y perpotongan kedua kurva Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan

x 2 2 x atau

energi diberi simbol w, maka

− 2 = − 1 ; x 2 = q = − 1 − 1 + − 8 2 = 2 Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas dt -4

yang memberikan

bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan

y 1 di atas y 2 2 2  x 3 x 2   2 A satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam pq = ∫

∫ 0 ∫ 0 100 dt = 100 t 0 = 800 Watt.hou r [Wh]

3    − 3 + 2 − 2   = 4 , 5 = 0 , 8 kilo Watt hour [kWh]

Volume Sebagai Suatu Integral

Contoh:

Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap Berikut ini kita akan melihat penggunaan waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah

integral untuk menghitung volume.

muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t =

0 sampai t = 5 detik ?

Balok

A (x+ ∆ x ) adalah luas irisan di sebelah kanan Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan

maka volume irisan ∆ V adalah

i = dq sehingga

A ( x ) ∆ x ≤ ∆ V ≤ A ( x + ∆ x ) ∆ x dt

q = ∫ idt

Volume balok V adalah

Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah p = 5 = 5

luas rata-rata irisan antara q

A (x) dan A(x+ ∆ x ∫ ).

idt

0 ∫ 0 0 , 05 tdt = 2 t = 2 = 0 , 625 coulomb 0 Apabila ∆ x cukup tipis dan kita mengambil A (x) sebagai pengganti maka kita

memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu:

Jika q ∆ x menuju nol dan A(x)

V kontinyu antara p dan q maka : q = ∆ lim x → o ∑ A ( x ) ∆ x =

∫ p A ( x ) dx

Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x

Rotasi Bidang Sembarang

A (x) adalah luas lingkaran dengan

f (x)

A ( x jari-jari r(x); sedangkan r(x) ) = π () r ( x ) 2 = π ( f ( x ) ) 2

OQ x memiliki persamaan garis OP.

V = b π ( f ( x ) ) 2 dx

m : kemiringan garis OP

V = ∫ 0 A ( x ) dx h 2 = h 2 ∫ 2 0 π [] r ( x ) dx = ∫ 0 π m x dx

h : jarak O-Q.

Rotasi Gabungan Fungsi Linier

V kerucut = π

m 2 h 3 ( PQ/OQ) 2 h 3 h f 3 (x)

Fungsi f(x) kontinyu bagian demi

f 2 (x)

bagian. Pada gambar di samping ini

terdapat tiga rentang x dimana Jika garis OP memotong sumbu-y maka

3 3 3 f 1 (x)

fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai

diperoleh kerucut terpotong

jumlah volume dari tiga bagian.

1. Persamaan Diferensial Orde-1

Pengertian

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat

satu atau lebih turunan fungsi.

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan

Persamaan Diferensial

persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

67 adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Solusi Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang

Dapat Dipisahkan

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.

Pemisahan Peubah

Contoh:

y ke − x adalah solusi dari persamaan

0 diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk karena turunan y = ke − x

= Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh

Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda

− ke − x + ke − x = 0 Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi Persamaan terpenuhi.

umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang

∫ f ( y ) dy + ∫ g ( x ) dx ) mengandung n tetapan sembarang. K =

e Contoh: x

dy x − y

dx = e Persamaan ini dapat kita tuliskan

dy

dx = e y

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai persamaan dengan peubah terpisah

Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan

e y dy − e x dx = 0 dalam bentuk

dy = F   y  

Integrasi kedua ruas memberikan:

dy − e ∫ x dx = K

dx

Ini dapat dijadikan sebagai peubah sehingga

e y − e x = K atau

bebas baru

yang akan memberikan

y = vx dan

Contoh:

dx = xy Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

Pemisahan peubah:

x dv dx = F ( v ) − v

Integrasi kedua ruas:

∫ dx ydy − ∫

dx + atau: dv

Contoh:

( x 2 + y 2 ) dx + 2 xydy = 0 Kita harus mencari solusi persamaan

dx

+ 2 vdv 2 = 0

y 2 ini untuk mendapatkan

Usahakan menjadi homogen x 2 ( 1 + x 2 ) dx + 2 xydy = 0 v sebagai fungsi x.

1 + 3 v Suku ke-dua ini berbentuk 1/x

2 ) dx

− 2 y x dy

dan kita tahu bahwa

Kita coba hitung

dv = 1 1 + 3 v 2 ( 6 v )

d ln( 1 + 3 v 2 ) = d ln( 1 + 3 v 2 ) d ( 1 + 3 v 2 )

Peubah baru v = y/x

Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah y = vx

bentuk persamaan menjadi

dx dx x dv = − v − 1 + v 2 3 v 2 + = 1 − 1 + Integrasi ke-dua ruas: ln x 3 ln( 1 + 3 v 2 ) = K = 1 3 ln K dx ′ 2 v 2 v

x Peubah terpisah 3 = − ( 1 + 3 v 2 ) = K ′

atau

dx

x + 2 1 vdv + 3 v 2 = 0 x 3 ( 1 + 3 ( y / x ) 2 ) = K ′

Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.

Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol

Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang

dy

pendugaan

juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:

Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian ) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan

dx + Py = Q

a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal

rangkaian.

ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.

tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi

penggerak .

Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan

jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga,

a dy dt + by = f (t )

homogen

yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia

a merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama. dy dt + by = 0

Solusi Homogen

Hal ini dapat difahami karena jika f 1 (t) memenuhi persamaan

yang diberikan dan fungsi f 2 (t) memenuhi persamaan homogen,

Persamaan homogen

a dy dt + by = 0

maka y = (f 1 +f 2 ) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab

a dy + by = a d ( f 1 + f 2 dt ) dt + b ( f 1 + f 2 )

Jika y a adalah solusinya maka

dt + bf 1 + 0 Integrasi kedua ruas memberikan

dt

dt

ln y a = − Jadi y = (f b 1 +f 2 ) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan a a t + K kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah

ln y a + b t = K

dari solusi khusus dan solusi homogen.

sehingga

Inilah solusi homogen

Jika solusi khusus adalah y p , maka

Contoh:

Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

a dy p + by p = f (t )

dv

dt + 1000 v = 0

dt

Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk y p . Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V. Jika f ( t ) = 0 → y p = 0 Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi

Jika f ( t ) = A = konstan, → y p = konstan = K

khusus bernilai nol.

Jika f ( t ) = Ae α t = eksponensi al, → y p = eksponensi al = Ke α t

dv

v + 1000 dt = 0

Jika f ( t ) = A sin ω t , atau f ( t ) = A cos ω t → y p = K c cos ω t + K s sin ω t

ln v = − 1000 t + K

Dugaan bentuk-bentuk solusi y p yang tergantung dari f(t) ini

v = e − 1000 t + K = K a e − 1000 t

dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk seperti itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

12

Penerapan kondisi awal:

Jika dugaan solusi total adalah

This image cannot currently be display ed.

Solusi total:

v = 12 e − 1000t V

Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.

dt + 5 v = 100 cos 10 10 t dt + v = 12 Carilah solusi total. Dengan kondisi awal v(0 + ) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.

Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan

Contoh:

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien

dv

− 3 dv

menghasilkan persamaan

Solusi homogen:

dv a

dt + 5 v a = 0 dv a + 5 dt = 0

Solusi homogen:

v a = K a e − 1000 t

Solusi khusus: v p = A c cos 10 t + A s sin 10 t

− 10 A c sin 10 t + 10 A s cos 10 t + 5 A c cos 10 t + 5 A s sin 10 t = 100 cos 10 t Solusi khusus:

10 A s + 5 A c = 100 Solusi total (dugaan):

v p = 12 karena f(t) = 12

10 A s cos 10 t + 5 A c cos 10 t = 100 cos 10 t

v total = 12 + K a e − 1000 t

− 10 A c sin 10 t + 5 A s sin 10 t = 0 − 10 A c + 5 A s = 0

A = 8 A = 4 Penerapan kondisi awal:

0 = 12 + K a K a = − 12

Solusi total (dugaan): v = 4 cos 10 t + 8 sin 10 t + K a e − 5 t

sc

Solusi total: v total = 12 − 12 e V Penerapan kondisi awal: 0 = 4 + K a K a = − 4

− 1000t

Solusi total :

Persamaan Diferensial Orde-2

Matematika Matematika II Matematika Matematika II II II

Untuk sementara ini mengenai persamaan diferensial orde-2 silahkan dilihat Buku

Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2 Sudaryatno Sudirham