Uraian Materi Kegiatan Belajar 1 1.1 Pengertian Vektor
9. Vektor Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini ini diharapkan siswa dapat : 1. menggambarkan vektor sebagai segmen garis berarah bila diberikan komponen- komponennya, 2. menghitung modulus vektor bila diberikan suatu vektor, 3. menentukan vektor posisi suatu vektor, 4. menyatakan bahwa dua vektor sama dengan gambar, 5. menyatakan bahwa dua vektor sama dengan memperhatikan komponen-komponennya, 6. menentukan negatif dari suatu vektor, 7. menggunakan pengertian vektor nol dalam operasi vektor, 8. menyatakan vektor satuan yang searah denagn suatu vektor yang diberikan, 9. menentukan hasil kali suatu vektor dengan skalar,
10. menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor, 11. menentukan selisih dua vektor, 12. menentukan perkalian skalar dua vektor.
Kegiatan Belajar 1. Penegrtian vektor Tujuan Kegiatan Belajar 1
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. mendefinisikan tentang vektor, 2. menyatakan komponen-komponen vektor, 3. menentukan besar/ panjang vektor pada bangun datar, 4. menentukan vektor satuan dari suatu vektor pada bangun datar.
Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1
1.1 Pengertian V ektor
Lingkup V ektor Pada Bangun Datar
Vektor pada bangun datar (dimensi dua) ditandai dengan sumbu x dan sumbu y, yang saling berpotongan.
M odulus atau Besar V ektor
Jika titik A (x 1 , y 1 ) dan B (x 2 , y 2 ) maka komponen vektor AB =
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besar vektor ditunjukkan oleh panjang ruas garis, sedang arah ditunjukkan oleh arah anak panah. Gambar di samping menunjukkan vektor AB atau ditulis sebagai vektor a.
− −
1
2
1
2
y y x x .
Adapun modulus vektor AB adalah besar atau panjang vektor AB dan dapat ditentukan dengan rumus :
A B a
A B y
(x 1 ,y 1 ) (x 2 ,y 2 )
2
2
− −
- AB = ( x x ) ( y y )
2
1
2
1 Contoh :
Diketahui titik A (3 , -5) dan B (-2 , 7), tentukanlah :
a. komponan vektor AB
b. Modulus / besar vektor AB Penyelesaian :
2
3
5
− − −
a. komponen vektor AB =
=
7 ( 5 )
12
− −
2
2
5 )
12
→ −
- b. besar vektor AB AB = (
25 144 169
+
=
=
= 13
y Vektor Posisi
Vektor yang ditarik dari titik pangkal O ke titik P
y disebut vektor posisi titik P dan dituliskan OP .
Jika koordinat titik P (x , y) maka vektor posisinya x
adalah : OP =
y
x O (0 , 0) x
B Q Kesamaan Dua V ektor
Dua buah vektor dikatakan sama apabila AB PQ
= mempunyai besar dan arah yang sama.
A P Vektor Negatif
B Q
Vektor negatif dari AB adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor AB tetapi arahnya AB PQ
- A P
=
berlawanan dan ditulis - AB
V ektor Nol
Vektor nol adalah vektor yang besar / panjangnya nol dan arahnya tak tentu ( berupa
titik ). Di ruang dimensi dua vektor nol dilambangkan dengan O = .
V ektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang / besar 1 satuan. Vektor satuan dapat ditentukan dengan cara membagi vektor tersebut dengan besar / panjang vektor semula. a
Vektor satuan dari vektor a dirumuskan : e = a Contoh : Jika diketahui vektor a = (3 , 2 , 1). Hitunglah vektor satuan dari vektor a ! Penyelesaian :
2
2
3
2
1
14
2 Besar vektor a = a =
= + +
( 3 , 2 , 1 )
3
2
1 Maka vektor satuan dari a adalah : e = ( , , ) atau dapat dituli
=
14
14
14
14
3
14
2 dalam bentuk vektor kolom e = .
14
1
14
Lembar Kerja Siswa KB 1
1. Tuliskan komponan vektor dari titik yang ujungnya P (2 , 4) dan pangkalnya Q (-2 , 3) !
3
2. Tentukan besar vektor a jika a = !
4
1
3. Jika P = tentukan P !
5
1
4. Tentukan vektor satuan dari vektor c = !
3
2
5. Tentukan vektor satuan dari vektor d = !
2
6. Tentukan komponan vektor AB jika A (5 , -2) dan B (7 , 2) !
3
7. Tentukan vektor satuan dari vektor a = !
4
−
5
8. Jika diketahui d = tentukanlah :
12
−
a. modulus vektor d
b. vektor negatif d
c. vektor satuan d
9. Tentukanlah besar vektor-vektor berikut :
5
1
4
−
a. u =
b. v =
c. w =
3 1 −
3
6
10. Diketahui vektor p = dan q = 2p. Tentukan vektor satuan dari vektor r jika r = p – q
1
− Kegiatan Belajar 2. Jumlah dan selisih dua vektor Tujuan Kegiatan Belajar 2
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menentukan hasil kali vektor dengan skalar 2. menentukan hasil penjumlahan dua vektor pada bangun datar 3. menentukan selisih dua vektor pada bangun datar
Uraian Materi Kegiatan Belajar 2
2.1 Perkalian Vektor dengan Skalar Hasil kali vektor a dengan skalar k adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a
dan arahnya sama .
a k . a
1 1
Jika vektor a = maka : k . a =
a k . a
2
2
Contoh :
4
Diketahui vektor a = . Tentukanlah :
8
−
b a b a Contoh : Jika vektor c =
=
3 maka : c + d =
9
8 dan vektor d =
4
1
13
1
2
2
b b maka : a + b =
1
2
11
1
b a b a Contoh :
1
1
2
2
− −
b b maka : a - b =
1
2
9
a a dan vektor b =
1
2
Jadi : a – b = a + ( - b ) Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut : Secara analitis jika diketahui vektor a =
2.3 Selisih Dua Vektor Selisih dua vektor artinya menjumlahkan vektor pertama dengan negatif vektor kedua.
8
3
4
a a dan vektor b =
2
a b a b a + b a b a b a + b a b a
3 =
− − −
4 =
8
−
12 b. -2 . a = -2.
24
−
3 4 .
2 =
8 .(
− )
4 =
8
−
c. ½ . a Penyelesaian : a. 3 . a = 3.
b. -2 . a
a. 3 . a
) 8 .( 2 4 .
1
Jika vektor a =
b. aturan jajaran genjang Secara analisis penjumlahan dua vektor adalah :
a. aturan segitiga
2.2 Penjumlahan Dua Vektor Secara geometris penjumlahan dua vektor ada 2 aturan, yaitu :
2
4
−
=
2
−
1
2
) 8 .( 4 .
−
4 =
8
−
8 c. ½ . a = ½ .
16
- b b a - b
c c Tentukanlah c 1 dan c 2 jika a + b – 2c =
1
2
6 dan c =
2
−
12 , b =
4
8. Jika a =
8
d. p – ½ .q
b. 2.p – q
c. 3.p + 2.q
a. p + q
4 . Tentukanlah :
8
−
6 dan q =
2
−
7. Jika p =
10 !
b. CD + AB
24 , q =
1
2 1,5
u
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menghitung modulus vektor (besar vektor) pada bangun ruang 2. menentukan vektor posisi suatu vektor pada bangun ruang 3. menyatakan kesamaan dua vektor pada bangun ruang 4. menentukan negatif suatu vektor pada bangun ruang 5. menyatakan pengrtian vektor nol pada bangun ruang 6. menentukan vektor satuan pada bangun ruang
Tujuan Kegiatan Belajar 3
3 Kegiatan Belajar 3. V ektor di R3
7
−
y x . Tentukanlah nilai x dan y jika p – 3.q =
8
9. Jika a =
−
10.Diketahui p =
7 Tentukanlah : 2.a – 3.b dan a + 2.b – c
4
−
1 dan c =
3
− −
4 , b =
5
c. Apa kesimpulan Anda ?
a. AB + CD
4
−
2 dan v =
3
2. Jika diketahui u =
d. 2.u – v
b. -2.v
c. u + v
a. 3.u
1. Perhatikan gambar vektor di samping : Gambarlah vektor :
8 Lembar Kerja Siswa KB 2
3
9
4 tentukanlah : a. 2.u
5
5
−
−
− =
3 maka : c - d =
9
8 dan vektor d =
4
1
c. 3.u + 2.v
6. Gambarlah pada bidang koordinat kartesius vektor AB dengan A (1 , 2) dan B (4 , 5) serta vektor CD dengan C (3 , -2) dan D (-1 , 3), tentukanlah :
b. ¼ . m + ½ . n
10 tentukanlah secara aljabar vektor dari : a. ½ . m – ½ .n
6
−
8 dan n =
4
−
5. Jika vektor m =
3 . Tentukan x dan y jika c = a + b
5
b. -3.v
y x dan c =
2 , b =
4
−
4. Diketahui vektor a =
2 dan b = 2.a , tentukanlah vektor c = a + b
1
−
3. Diketahui vektor a =
d. 2.v - u
1 v
Materi Kegiatan Belajar 3
Vektor Pada Ruang ( Dimensi 3) Vektor di ruang 3 adalah vektor yang ditandai dengan 3 buah sumbu x , y , z yang saling tegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitungan.
Vektor p pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :
z
1. koordinat kartesius p = (x, y, z)
z
x
2. vektor kolom p = y atau
z
P (x , y , z)
3. kombinasi linear vektor satuan i, j, k yaitu :
p k
p = xi + yj + zk
1
y O
dengan i = ,j = 1 , dan k =
j y i
1
x x
Modulus Vektor Modulus vektor adalah besar atau panjang suatu vektor.
Jika suatu vektor AB dengan koordinat titik A (x 1 , y 1 ,z 1 ) dan B (x 2 , y 2 , z 2 ) maka modulus / besar / panjang vektor AB dapat dinyatakan sebagai jarak antara titik A dan B yaitu :
2
2
2 AB = ( x x ) ( y y ) ( z z ) − − −
+ +
2
1
2
1
2
1 Dan jika suatu vektor a disajikan dalam bentuk linear a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , maka modulus
2
2
2
vektor a adalah : a = a a a
+ +
1
2
3 Contoh :
Tentukan modulus / besar vektor berikut :
a. AB = dengan titik A (2 , 4 , 6) dan Q (3 , 7 , 9)
b. a = 2i + j + 3k
2
2
2
2
2
2 Penyelesaian :
a. AB = (
3 1 ) (
7 4 ) (
9 6 )
2
3
3
22
− − − = = + + + +
2
2
2
b. a =
2
1
3
14
= + + z
Vektor Posisi Vektor posisi titik P adalah vektor OP yaitu vektor yang berpangkal di titik O (0 , 0 , 0) dan berujung di titik P (x , y , z), bila ditulis
P (x , y , z)
x
OP = y .
O y
z
x Modulus / besar vektor posisi OP adalah :
2
2
- OP = x y z
- 2
Kesamaan Vektor
B Q
Dua vektor di ruang dimensi 3 dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang AB PQ
= sama.
A P
Vektor Negatif Vektor di ruang 3 yang besarnya sama dengan
B Q
vektor a tetapi arahnya berlawanan disebut vektor negatif a , yang dituliskan dengan : - a.
AB PQ
- a a
=
− 1 1
A P
Jika vektor a = a maka : - a = − a
2
2
a a
−
3
3
Vektor Nol Vektor nol adalah vektor yang besar/ panjangnya nol dan arahnya tak tentu (berupa titik).
Vektor nol dilambangkan dengan O (0 , 0 , 0) atau O =
Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai panjang 1 satuan. Vektor satuan dari vektor a = vektor a tersebut dibagi dengan besar vektor a sendiri, yang a dituliskan dengan : e = a Contoh :
2
Tentukan vektor satuan dari vektor a =
4
5
Penyelesaian :
2
5
2
2
2
4 a =
2
4 ( 5 ) = 25 =
5 Jadi vektor satuan vektor a : e =
5
5
5
Lembar Kerja Siswa KB 3
3
1. Jika diketahui vektor a =
2 Hitunglah vektor satuan dari a !
1
2. Diketahui titik P (2 , 2 , 2) dan titik Q (5 , 4 , 2). Tentukan modulus (besar) vektor PQ !
3. Diketahui vektor b = (1 , 3 , 5). Tentukan vektor satuan dari vektor b !
4. Tentukan modulus dari vektor-vektor berikut :
4
a. a =
5
− −
3
b. AB dengan titik A (-2 , 3 , -1) dan titik B (2 , 1 , -4)
5. Diketahui vektor PQ dengan titik P (2 , 5 , -4) dan Q (1 , 0 , -3). Tentukan :
( )
a. Koordinat titik R jika SR sama dengan vektor PQ jika titik S (2 , -2 , 4)
( ) b. Koordinat titik N jika MN merupakan negatif vektor PQ jika titik M (-1 , 3 , 2)
( )
6. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut :
a. u =
1
−
1
b. v =
1
1
c. KL dengan K (3 , -2 , 1) dan L (2 , -2 , 1)
d. MN dengan M (2 , 1 , 2) dan N (2 , 0 , 3)
7. Gambarlah vektor dengan titik P (2 , -3 , 1) dan Q (1 , 3 , -2)
a. Hitung modulus vektor PQ
b. Buat vektor negatif dari PQ , kemudian hitung modulusnya/ besarnya !
c. Apa yang dapat A nda simpulkan dari pekerjaan di atas ?
8. Jika titik P (1 , 1 , 1) dan titik Q (-1 , 4 , -6), tentukanlah :
a. vektor posisi titik P dan titik Q
c. negatif vektor PQ
b. komponen vektor PQ
d. vektor satuan PQ
9. Tentukan besar vektor berikut beserta vektor satuannya !
2
3
−
a. u =
4
b. w = -i + 5j + k
c. PQ =
1
5
10. Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut ! 2 −
1
a. c =
3
b. d =
4
−
5
2
− Kegiatan Belajar 4. Operasi vektor di R3 Tujuan Kegiatan Belajar 4
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini , siswa diharapkan dapat : 1. menentukan hasil kali vektor dengan skalar pada bangun ruang 2. menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor pada bangun ruang 3. menentukan selisih dua vektor pada bangun ruang 4. menentukan perkalian skalar dua vektor pada bangun ruang 5. menentukan sudut yang dibentuk oleh dua buah vektor 6. menentukan perkalian vektor daru dua vektor pada bangun ruang
Uraian M ateri Kegiatan Belajar 4
4.1 Perkalian Vektor dengan Skalar
a m . a
1 1
Hasil kali vektor a = a dengan suatu skalar m adalah : m . a = m . a
2
2
a m . a
3
3
Hasil kali vektor a = a 1 i + a 2 j + a 3 k dengan skalar m adalah : m . a = m.a 1 i + m.a 2 j + m.a 3 k Contoh :
5 3 x
5
15
Jika vektor h = , maka : 3 . h = =
2 3 x
2
6
4 3 x
4
12
Jika vektor u = 2i + j – 3k , maka : 4 . u = 4.2i + 4.j – 4.3k = 8i + 4j – 12k
-
- 3
+ −
− +
-
2
3
3
− − −
=
b b b
1
2
3
a a a
1
2
3
b b b maka : a - b =
1
2
3
a a a dan vektor b =
1
2
3
2
1
1
− − −
i + a 2 j + a 3 k dan vektor b = b 1 i + b 2 j + b 3 k ditulis dengan : a . b (dibaca “ a dot b” ).
4.3 Perkalian Skalar Dua Vektor Perkalian skalar dari dua vektor a = a 1
5 2. a - b = (8-3)i + (6-5)j + (9-2)k = 5i + j + 7k
5
3
8 =
3
6
1
7
4
b a b a b a
Penyelesaian : 1. a - b =
3 2. a = 8i + 6j + 9k dan b = 3i + 5j +2k
1
4
8 dan b =
6
7
Jika vektor a = a 1 i + a 2 j + a 3 k dan vektor b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , maka : a - b = (a 1 - b 1 )i + (a 2 - b 2 )j + (a 3 - b 3 )k Contoh : Hitunglah selisih dari dua vektor berikut : 1 . a =
4.3 Selisih Dua Vektor pada Ruang Jika dua vektor a =
b. a + b = (2+3)i +(1+5)j + (-4+1)k = 5i + 6j – 3k
2
3
b b b a + b =
1
2
3
a a a
1
2
3
1
b b b adalah vektor-vektor tidak nol, maka : a + b =
1
2
3
a a a dan vektor b =
1
2
3
4.2 Penjumlahan Vektor dalam ruang Jika dua vektor a =
2
1
1
b. a = 2i + j – 4k dan b = 3i + 5j + k Penyelesaian :
1
3
2 =
3 ) 1 (
4
5
) 2 (
− +
a. a + b =
1
b a b a b a
4
2
− −
2 dan b =
3
5
−
a. a =
Jika vektor a = a 1 i + a 2 j + a 3 k dan vektor b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , maka : a + b = (a 1 +b 1 )i + (a 2 +b 2 )j + (a 3 +b 3 )k Contoh : Hitunglah jumlah dari dua buah vektor berikut !
Jika sudut antara vektor a dan vektor b diketahui sama dengan α ( 0 ° ≤ α ≤ 180 ° ), maka : a . b = a . b . cos α Jika sudut antara vektor a dan vektor b tidak diketahui, maka : a . b = a 1 .b 1 + a 2 .b 2 + a 3 .b 3 Contoh : Diketahui vektor a = 2i + 3j + 6k dan b = i + 2j + 2k , maka perkalian skalar vektor a vektor b adalah : a . b = a 1 .b 1 + a 2 .b 2 + a 3 .b 3 a . b = 2.1 + 3.2 + 6.2 a . b = 2 + 6 + 12 = 20
Jika diketahui a = 6 dan b = 5 dan sudut antara vektor a dan vektor b adalah 60 maka
°
perkaliannya adalah : a . b = a . b . cos
α
a . b = 6 . 5 . cos 60
°
a . b = 30 . ½ = 15
4.4 Sudut Antara Dua Vektor Dari rumus perkalian skalar dua vektor a . b = a . b . cos maka besar sudut antara
α
vektor a dan vektor b dapat ditentukan, yaitu : a . b a . b a . b a . b
1
1
2
2
3
3
cos α = =
2
2
2
2
2
2
a . b a a a . b b b
1
2
3
1
2
3 Contoh :
1
1
Jika vektor a = dan vektor b = , maka sudut antara vektor a dan vektor b adalah …
1
Penyelesaian :
- a . b a . b a . b a . b
1
1
2
2
3
3
cos = =
α
2
2
2
2
2
2
a . b a a a . b b b
1
2
3
1
2
3 1 .
1 . 1 .
1
1
2
1
cos = = = x =
2
α
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1 .
1
1
1
cos =
2
α
2
1
= arc. cos
2
α
2
= 45
α °
4.5 Perkalian Vektor dari Dua Vektor Perkalian vektor dari dua vektor a dan b ditulis dengan a x b (dibaca a cross b) dirumuskan dengan : a x b = ( a . b .sin ) . s
α
dimana : = besar sudut antara vektor a dan vektor b ( 0 180 )
α ° ≤ α ≤ °
s = vektor satuan yang tegak lurus bidang
s b x a
- s a x b b
α b
α a a i + a j + a k i + b j + b k
Bila diketahui vektor a = a 1 2 3 dan vektor b = b 1 2 3 maka : i j k a x b = a a a
1
2
3
b b b
1
2
3 Untuk vektor satuan i , j , k berlaku : i x j = -j x i = k i x k = -k x i = -j j x k = -k x j = i i x i = j x j = k x k = 0
Contoh : Diketahui vektor a = 2i – j + 3k dan vektor b = 3i – 2j + k.
Tentukanlah :
a. a x b
b. b x a
c. a x b Penyelesaian : i j k a. a x b =
2
1
3
−
3
2
1
−
1
3
2
3
2
1
− −
− −
+
= . i . j . k
2
1
3
1 3 −
2 = (-1 – (-6)).i – (2 – 9).j + (-4 – (-3)).k = 5i + 7j - k i j k b. b x a = 3 −
2
1
2
1
3
−
2
1
3
1
3
2
− −
−
+
= . i . j . k
1
3
2
3
2
1
− −
= (-6 – (-1)).i – (9 – 2).j + (-3 – (-4)).k = -5i – 7j + k
2
2
2
c. a x b =
5 7 ( −
1 ) =
25
49
1 = 75 =
5
3 Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa : a x b ≠ b x a
Lembar Kerja Siswa KB 4
3
3
5
−
1. Diketahui vektor a = , b = dan c =
−
2 4 −
3
1
5
2
Tentukanlah :
a. a + b
b. 2a + 2c
c. 5a – 3c
2. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b = i + 3j – 2k Tentukanlah :
a. a + b
b. a – b
c. -3a + 2b
3. Diketahui vektor a = i – 2j + 3k dan b = 3i + j – 2k Tentukanlah :
a. a . b
b. besar sudut antara a dan b
4. Diketahui vektor a = 2i + 3j + 2k dan b = -i + 5j + k Tentukanlah :
a. a x b
b. a x b
5. Diketahui vektor a = 2i – 3j +pk dan b = 6i + 2j – 4k Bila a . b = 10 , maka nilai untuk p adalah ….
6. Hitunglah perkalian skalar dua vektor a = 2i + 3j + 5k dan b = 2i + j +3k !
7. Hitunglah a . b jika diketahui a = 3, b = 4 dan sudut antara a dan b adalah 60 !
°
8. Diketahui a = i + 2j + 3k dan b = k . Tentukanlah sudut antara a dan b !
9. Tentukan jumlah dan selisih dua vektor u = 5i + 2j + k dan v = i – j + 2k ! Jika p = 2i + 4j + 3k dan q = i + 5j – 2k maka tentukan p x q !
10. Jika a = i – 5j + 6k dan b = 5i – 3j + k , tentukan a x b !
Uj i Kompet ensi
5
2
1. Diketahui vektor A = dan B = , maka komponen vektor AB adalah …
5
1
−
3
3
3
7
7
− − a.
b.
c.
d.
e.
2
4
2
4
4
−
2. Diketahui vektor a = 5i – 3j + 2k, maka panjang vektor a adalah …
a. -
3 b.
8 c.
3 d.
38
e. -
38
√ √ √ √ √
3. Panjang vektor a = 3, panjang vektor b = 2 dan sudut antara vektor a dan b adalah 60 maka
°
besar a + b adalah … a.
10 b.
13
c. -
10 d.
13 e.
15
√ √ √ √ √
4. Jika A = (5 , -3 , 2) dan B = (1 , 5 , -2) maka komponen vektor AB adalah …
6
6
4
4
4
− −
a.
b.
c.
d.
e. 2 −
2
8 8 −
8
4
4
4
− −
2
1
−
5. Jika diketahui a = dan b = maka 2a + 3b adalah …
−
1
2
1
1
7
1
5
4
−
a.
4 b.
4 c.
2 d.
3 e.
1
3
3
3
1
3
6. Diketahui a = 2i – 3j + 4k dan b = i – 2j – 3k, maka a . b adalah …
a. 18
b. – 16
c. -18
d. - 12
e. 10
7. Apabila diketahui a = 2 dan b = 6 serta sudut antara a dan b adalah 60 maka a . b = …
°
a. 6
b. -6
c. 12
d. 14
e. 16
1
5
−
8. Diketahui vektor a = dan b = , maka a . b = …
3
3
2
1
a. - 6
b. 6
c. 8
d. 10
e. 12
9. Vektor a = 2i + 3j + 4k dan b = i – 2j + k, maka a x b = …
a. i – 11 j + 2k
b. 6i – 2j + 2k
c. 11i + 2j – 7k
d. 5i – 2j + 3k
e. 11i – 2j + 7k
10. Diketahui vektor a = dan b dengan a = 4 dan b = 2. Sudut antara kedu vektor adalah 90
°tentukanlah a + b !
a. 2
3
b. 4
3
c. 4
5
d. 2
5
e. 2
7
√ √ √ √ √
11. Diketahui a = 2i – 3j + pk dan b = 4i + 2j + 3k, apabila a . b = 8 maka nilai untuk p adalah …
a. 5
b. – 4
c. – 2
d. 2
e. 3
5
12. Diketahui a = maka bentuk kombinasi linear dari vektor a adalah …
−
2
3
a. 5i – 2j +3k
b. 2i - 5j + 2k
c. 3i – 2j + 5k
d. -2i + 5j + 3k
e. 2i + 3j + 5k
13. Diketahui vektor a =
5
−
1 , maka a + b = … a.
2
3
−
4 b.
5 dan b =
3
2
−
15. Diketahui a =
e. i + 3j + 5k
3
c. i + 7j + 12k
3
2
−
1 e.
3
2
4 d.
3
2
−
6 c.
5
5
−
d. 2i – 3j + 4k
b. i – 7j – 11k
5 dan c =
9
1 . Maka nilai dari 2a + b – c adalah a.
2
3
3
2
−
3 , b =
4
5
−
3 b.
a. i+ 7j + 11k
9
14. Diketahui vektor a = 3i – 2j + k dan b = i + 3j + 2k , maka a x b adalah …
1
5
3
−
3 e.
− −
3
3 d.
9
−
1 c.
5
4