Lks matematika kelas x

  Bentuk @zmi_math00

pangkat, akar

dan logaritma

LKS2

  

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

NAMA : KELAS :

  1. BENTUK PANGKAT

  1.1 PANGKAT BULAT POSITIF

  4

  1  

    

  5

   

  3

  2 Contoh 1 : Tentukan nilai dari dan

  4

  1  

    

  5

   

  3

  2 Jawab : = =.

  Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling sederhana dari

  3

  4 _{❑ ❑ ❑ ❑} 3 4 2 ×

  2 ¿ ( …) . (…) .( …)× (…) . (…) .( …). (… )

  a)

  2

  ¿ ( …) . (…) . (… ) . (…)  

  c)

  (

  ¿ …) . (…) .( …). (… )(… ). (…) . (…) ❑ _❑ ¿ ( …) ¿ ( …)

  5 pq ( …) . (…) .( …). (… ). (…)

  ¿  

  7 d)

  3 ( …) .(… ). (…) . (…) . (…) .( …). (… ) _{❑ ❑}

  ¿

  2 ¿ ( …) . (…)

  ( 3 …) . (…)

  b)

  4 ¿ ( …) . (…) .( …). (… ). (…)

  2  

  ❑ ❑ ❑ ❑ ¿ . _❑

   

  ( ) ( ) ( ) ( ) ❑ ❑ ❑ ❑

   

  3 (

  ¿ …) e) . . . _❑

  ( … )

  ¿ _❑

  ( )

  … Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan : a b R ,  m A  n  A

  Jika , dan maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb: m n n m n a  ....

    ( ab ) = .... a a .  ....

  1.

  3.

  4. n m a

   

  a   ....

   ...

  n

   

  b a

  2.

  5. Contoh 3 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen di atas, sederhanakan bentuk berikut :

  2

  7

  3

  a) = ... x y

  2 x x .

    d) = ...

  4

  2

  7

    2 p

  n

   

  2

   q 

  n e) = ....

  b) = ...

  2 5 x

    c) = ....

  3 4

  2

  2 xy . x y

    f) = ...

  LATIHAN SOAL

  1. Sederhanakan 3 3

  6

  4

  10 3 

  3 k

  ¿ ¿ ¿   p p x x :

  a)

  f) k) 2 3

  3

  5 2 2 5 p ¿ ¿

  ¿  

  4 a×2a 8 2 k : k

  b)

  g) l) 2 3

  2

  5

  3

  2

  4

  3 p q

  ¿ ¿ ¿  

  4 d x d d 2 :

  × 2 p p×6 p

  c)

  h) m)

  5 2 5 3

  4 p qr

  1  

    ¿

  ¿ ¿

  10

  

2

  3

   

  2 2

  12 a : 2 a . 3 a  

  2

  

 

  8 pq r

  d) i) n)

  2 3 3

  4

  2 x y

  2  

   

¿ 2 5 ¿ ¿

   

  5 4

  2 p   3  

  8 x y

  e) j) o)

  1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannya dari :

  3

  3

  2

  2

  3

  5

  2 2 a) = ……………..

  c) = ………………..

  5

  2

  3

  3

  5

  6

  3

  3

  b) = ……………… d) = ………………. Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa : a  R a ,  n R 

  Untuk setiap dan berlaku sifat-sifat : _ n a  ... a  ... dan Contoh 2: Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari : _{ }

  2

  3

  2

  5 a) = ...

  2 x y 

    c) = ...

  1 _

  1

  3

  2 b) = ...

  −

  2

  25 d) = ...

  LATIHAN SOAL

  1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari : _

  5

  2

  a ¿ ^

  4

  a) k

  ¿ − −

  6

  4

  2

  2

  5

  a b × a b ¿

  d)

  b) _

  2 7 − 4 − 6 −

  3

  3 k ¿ 4 m n 2m n ¿

  e)

  ×

  c)

  a) a b c

    

    

  3 x y x y

  5

  2 3

  16

  8

  ¿ o)

     ^

  2 p q r pq r

  p)

  2 3 5 3

  6

  5

  2 ¿ n)

  −

  4 )

  ( 2a

  3 ×

     ¿

  125

  −

  4

  a −

  × 4 c

  3 c

  5 b

  2 b

  c) a

  2 bc a ^

  3

  2

  2

  b)  

     ^

    

  2

  2

  f)

  3 . (125× 4 ) = ¿

  2

  3 . 8

  3 )

  2 b

  2

  2 t t ^

  :5 ⁻

  1

  1 25 ) ⁻

  (

  3 ×

  5

  h)

  ¿

  5

  = ¿

  7

  56

  g)

  ¿

  4 a a ^

  6

  2

  8

  2

  i)

  ( 3a

  = ¿

  ¿ m)

    

    

  2 q h ^{ }

  3

  2

  5

  l)

  4

  10

  3

  1 10.000 )

  (

  ¿ k)

  3 x ^

  4

  10 = ¿ j)

  6 ×10 :10 ⁻

  4 :10

2. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :

1.3 BENTUK AKAR dan EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN) Masalah 1

  a)

  2

  5

  , , , , ,

  dsb Contoh bukan bentuk akar :

  4 9 8 16

  3

  4

  , , ,

  dsb

  a adalah bilangan non negatif, jadi a 0

  Perhatikan ilustrasi berikut: Seperti kita ketahui jika

  8

  3

  3

  

  maka

  2

  8

  3

  

  Maka jika

  2

  2  ... maka 2 = ...

  Coba selesaikan bentuk eksponen di bawah ini:

  3

  7

  2

  = ¿

  3 = ¿

  b)

  2 ⁻

  3

  = ¿

  c) (

  1 2 )

  3 = ¿

  d)

  (− 2)

  3

  e)

  4

  2

  1

  3 = ¿

  f) kenapa

  √

  4=2

  dan √

  9=3 * Silahkan diskusikan dengan teman sekelompok, untuk dapat menjawab soal diatas.

  DEFINISI:

Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan

a/b, a dan b bilangan bulat dan b 0

  Contoh bentuk akar :

  2 3 5 2

• Catatan :

  4 2  .... maka 2 = ...

  4 3  .... maka 3 = ... m n / a  x

  Misal , jika kedua ruas dipangkatkan n, maka : n m n n / a  x

    n .... a  x a  ......

  Jadi : m n / 1/ n x  ....... x  ....... sehingga Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :

  1 2 / 3 5 / 3 2 /

  2

  6 2 x

  a) =

  b) =

  c) = Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :

  1

  3 a) = ...

  3

  2 x b) = .....

  3 4 /

  16 Contoh 3: Tentukan nilai dari

  3 4 / 3 4 /

  .......

   

  16

  = = .....

  = ......... LATIHAN SOAL

  1. Ubah menjadi bentuk akar 1 2 / 3 4 /

  3

  4

  ¿ ¿

  1  2 3 /

  a)

  c) x

  ¿

  3 _{ 1 3 / 4 9 /}

  e)

  5 ¿ x ¿

  b)

  d)

  2. Ubah ke bentuk pangkat

  3

  5

  2

  2

  2 5

  5 2 x

  a)

  c)

  7

  e)

  1

  3

  5

  3

  4

  2

  b)

  3

  d)

  3. Tentukan nilainya 3 5 /

  3 2 3 /

  32

  64

  c)

  27  

  a)

     

  64

  e) 3 8 / 2 3 /

  81

  8

  d)

  b)

  4. Sederhanakan dalam bentuk akar 3 4 / 1 8 /

  12 2 .

  2 2 2 18 .

  a)

  c) 2 3 .

  2 e)

  2

  6

   

  b)

  2

  d)

  2

    b b  4 ac

  x 

  2 a

  3. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari

  2.1 OPERASI BENTUK AKAR Operasi Pada Bentuk Akar ax a  a 1. ab  a b 2. a √ c±b √ c=(a±b) √ c 3. a a

  

  b b 4.

  Contoh 1: Sederhanakan :

  3

  20

  x a) = ...

  c) = ....

  3

  8

  75 b) = ....

  a d) = ....

  Contoh 2: Sederhanakan : 3 2 4 2  4 3 7 3 5 3  

  8 

  18 a) = ...

  b) = ...

  c) = .... Contoh 3 : Sederhanakan :

  2

  5 

  3 5 

  3

  6×

  3 √ √

  2 2 

  3

  a) = ...      b) = ....

  c) = .... LATIHAN SOAL

  1. Sederhanakan

  72

  1200 2 80 4×3 160

  √

  a)

  b) c)

  d)

  2

  5

  3

  3

  2

  8 x

  12

  50 48 2 16 3 18

  27    

  32 . 125

  √ √

  e)

  f) g)

  h)

  3. Sederhanakan

  8 3− √

  √ b−

  3. Pecahan Bentuk a

  =

  5 x ...

  8 3− √

  5 =

  Jawab :

  Diselesaikan dengan mengalikan b c b c

  3 5 

  8

  Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan

   

  Diselesaikan dengan mengalikan b c b c

  2. Pecahan Bentuk a b c 

  x ... = .....

  √ c

   

  =

  = ........ LATIHAN SOAL

  10

  b)

  3

  12

  a)

  1. Rasionalkan penyebutnya

  6 2  x ....

  Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan

  12 3

  =

  6 2 

  12 3

  Jawab :

  6 2 

  12 3

  2 3 3

  2 3 3

  a) (

  c) (

  3 )

  5−2 √

  3 √

  3 ) (

  5+2 √

  3 √

  3 )

  2

  √ 5+ √

  3 ) (

  √ 5− √

  b) (

  2−3 )

  ) ( √

  √ 2+3

  d)   x x y 

  2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.

  b)

  Jawab :

  = .....

  3 x ...

  2

  =

  3

  2

  a)

  2 3 3

  Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :

  b)

  3

  2

  a)

  Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :

  Diselesaikan dengan mengalikan b b

  1. Pecahan Bentuk a b

  5

  9 4 6 2 3

  8 2 3 

  c) j)

  7 3

  14

  7 10 

  13

  d) k)

  

  10 4 3 2 

  7 5 2

  l)

  e)

  9 8 3 5 

  7 11 

  7

  f) m)

  20 6 4 

  6 10 2 3 

  g) n)

  5 3 2 11 6 

  h)

  3 5 4 2 

  o)

  2 5 7 

  13

  i)

  3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA) Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah. f x ( ) p a  a

  1. Jika maka f(x) = p f x ( ) g c ( ) a a

  

  2. Jika maka f(x) = g(x) dimana p suatu konstanta Contoh 1: Tentukan HP dari :

  2 x+3 _{ } 2 x

  1 3 x

  2

  4 =

  8

  8

  16 

  a)

  b) 2 x 

  3 .... ....

  2 

  2

  ¿   ......... ....

  ............ ...

  2  2 ¿ ......... ....

  

......... ¿ .... ......... ¿ ....

x= ¿ .... x= ¿ ....

  HP:{............} HP:{ ....... } LATIHAN SOAL Tentukan HP dari : x 

  2 2 x 

  5

  1

  8 27 

  81

  4 x

  5 2 x 

  1 1)

  9  16 

  x 

  1 x 

  9 3  x

  27

  2 5 

  25

  5) 8) 2) x

  5 2 x 

  1

  1

  3 x 

  2

  8 

  1

  3)

  3 

  1  125

    x x

  9)

  25

  6)

  1  

  2 x 2 x

  3

  8

  8

  1   

  5   2x

  

  8

  2

  4)

  5 

  4

  32

  10)

  5

  7)

  3. LOGARITMA Aplikasi Logaritma di Laboratorium Kimia

  Pernahkah kalian membuat larutan di laboratorium kimia? Misalnya saja di laboratorium ada suatu larutan asam klorida dan natrium hidroksida dengan konsentrasi masing-masing 0,001 Molar, kita disuruh oleh guru untuk menentukan pH (derajat keasaman) suatu larutan tetapi tanpa menggunakan pH meter atau menggunakan indicator universal. Bagaimana caranya kalian menghitung pH larutan tersebut?

  Contoh 1

  Diketahui dalam suatu botol berisi larutan asam klorida dengan konsentrasi 0,001 Molar. Hitunglah berapa pH larutan tersebut. HCl 0,001 M HCl → H

• (aq) + Cl - (aq)
• ] = 1 . 0,001 M = 1 . 10
• 3
• ]
• 3
• (aq) + OH
• (aq)

  [H

  pH = - log [H

  = - log 1 . 10

  = 3 . log 10 = 3

  Contoh 2

  Diketahui dalam suatu botol berisi larutan natrium hidroksida dengan konsentrasi 0,001 Molar. Hitunglah berapa pH larutan tersebut. NaOH 0,001 M NaOH → Na

  [OH

• ] = 1 . 0,001 M = 1
• 3

  pOH = - log [OH

• ]
• 3

  = - log 1 . 10

  = 3 . log 10 = 3 pH = 14 – pOH pH = 14 – 3 pH = 11

PENGERTIAN LOGARITMA

  25

  5

  2

   ....

  2

  3

   .... 2  ....

  2

  5

  

  8

  2

  3

  

  Seperti telah kita ketahui bahwa : Jika maka 5 = … Jika maka Jika maka 2 = … Pada , bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?

  Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).

  2

  3

  3  log

  8 2 

8 Jadi jika maka dibaca “2 log 8” Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan.

  Secara umum dapat dinyatakan : x a  y a  , a 

  1 dan y 

  Jika maka x = …. syarat : Dimana: a : basis logaritma y : numerus x : hasil logaritma *Khusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak.

  10

  log

5 Jadi jika log 5 maksudnya .

  Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan : 4 n b

  3  81 2  128 a  c a.

  b.

  c.

  4

  3  81  Jawab : a. 4 = ….

  n

  2  128  b. n = ….

  b a c

    c. b = ….

  Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma : 3 p

  4  log 81 log q  r a.

  b. log 100 = 2 c.

  3 p

  b. log 100 = 2

  4  log

  81 log q  r Jawab : a.

  c.

  Contoh 3: Hitunglah :

  2 x = ….

  log

  64 

  a. = x … = 64

  5 …. = … log

  1 

  d. = x … = … x = ….

  …. = …

  1

  2

  log x = ….

  8 

  a. = x … = … ₁ …. = … ₂

  log

  4  x = ….

  e. = x … = …

  

  b. log 1000 = x … = … …. = … …. = … x = …. x = …. _{1 3}

  1 log

  3

  log

  27 

  

  81

  f. = x … = …

  c. = x … = … …. = … …. = … x = ….

LATIHAN SOAL

  1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari : a.

  4

  8

  1 log ^{2 1} 8 log ^{2 1}

  3

  1 log

  27

  2

  16 log

  2

  1 log

  1 log

  7

  2

  4

  4 log

  5

  1 log ^{4 1}  625 log

  16

  2

  

  9

  1 3 log

  1 log ^{2 1} 8 log

  1 log

  81

  b m n b a n a ^m

  log log log 

  a b b c c a

  1 log 

  log

  a b b a

  . log log log 

  c c b a b a

   log log

  b c b a c a

   log log

   log log log 

  

  log c b c b a a a

  

  b a b ^a

   log log log 

  c b bc a a a

  , 1 ,     a dan c b a

  3

  3

  9 log

  3

  2

  7

  b.

  d. log 0,1 e.

  4.

  7.

  3.

  6.

  2.

  5.

  Jika , maka : 1.

  h. i. j. k. l. m.

  g.

  f.

  c.

  25

  b.

  3. Tentukan nilainya dari : a.

  e.

  d.

  c.

  a. log 10.000 = 4 b.

  2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari :

  e.

  d.

  c.

  8.

  5

    1 log

  16

  2

  1 log

  16

  4

    

     

  4

  1

  2

  1

  

  2

  1

  2 /

  9

  3

   ^ 1 5 

  2

  3

  1

  9

  

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

  Bukti : a log b  m  b  ....

  Sifat 1 : Misal a log c  n  c  ....

  Maka bc = ….

  = …. a  log bc  .....

  = … + … _{m m} a mn a mn a n

  log b  x  b  ......  b  .....  nx  log b  nx  m log b 

  Sifat 2: Misal _m a n log b  ........  ......

  Sifat 3: a c c m c log b  m  b  .......  log b  log a  m log a  ......  m  ......

  Misal a  log  b ......

  Contoh 1: Sederhanakan : ₃

  2

  10

  2 log

  5 log 2 log

  4

  3

  c. = …..

  3 a. = ….

   log

  16

  2

  log

  3 ₅

  e. =

  2

  5

  3 log

  3

  log 3 . log 8 . log

  5

  25 b. = …..

  d. =

  8

  log 256 f. = ….

  Contoh 2: Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka tentukan log 24 Jawab : log 24 = ….

   b dan a 

  Contoh 3: Jika , maka tentukan Jawab : =

   9 log 2 log 8 log

  5

  2

  3 log

  5 .....

  9 log

  5

  9 log

  3

  4

  5 log 4 log

LATIHAN SOAL

  3. Jika , maka tentukan : a.

    5 log

  2 3 log 3 log 2 log  

  625 log

  

16

  15 log 2 log 6 log 5 log

  9

  3

  3

  3

    10 log 5 log 25 log

  2 log

  3

  3

  3

  

3

  2

  8

  2

  125

  4 log

  8

  25 log

  2

  500 log

  75 log

  8 log

  2

  5 log

  2

  3

  5 log 3 log

  5  n dan m 

  6 log

  16 log

  b.

  2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 5 = 0,6990, maka tentukan :

  b.

  

g.

  c.

  

h.

  d. i.

  e. j.

  a. log 20

  6

  b. log 500

  c. log 40 d.

  e.

  e.

  d.

  

c.

  f.

  6

  18 log 2 log 3 log 2  

  1. Sederhanakan a.

  3

  2

  4

  . 3 log 4 log

    . 8 log

  2

  2

  6

  10 log 4 log 50 log

  

2

  3

  15

  . 16 log 15 log

    . 9 log

  2