View of BEBERAPA SYARAT CUKUP UNTUK BILANGAN KROMATIK LOKASI HINGGA PADA GRAF TAK TERHUBUNG

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1

  30 April 2018 http://eksakta.ppj.unp.ac.id E-ISSN : 2549-7464 P-ISSN : 1411-3724

  

BEBERAPA SYARAT CUKUP UNTUK BILANGAN KROMATIK

LOKASI HINGGA PADA GRAF TAK TERHUBUNG

Des Welyyanti

  Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Andalas email :

  

DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/130

ABSTRACT

The locating-chromatic number of a graph is introduced by Chartrand et al. in 2002.

  

Firstly, Chatrand et al. determine the locating-chromatic number of path and double stars.

The locating-chromatic number is an interesting concept ini graph theory. In this paper, we

determine some condtions for disconnected graphs has a finite locating-chromatic number.

  Keywords : Bilangan Kromatik-Lokasi, Graf Tak Terhubung, Kode Warna.

  PENDAHULUAN

  Bilangan kromatik-lokasi suatu graf adalah salah satu konsep dalam teori graf yang sedang berkembang akhir-akhir ini. Konsep tersebut merupakan kasus khusus dari dimensi partisi dan pewarnaan suatu graf. Konsep pewarnan graf melahirkan konsep bilangan kromatik. Konsep bilangan kromatik sangat menarik untuk dikaji dan mempunyai aplikasi yang menarik dalam berbagai masalah.

  Bilangan kromatik, dinotasikan

  , adalah bilangan bulat terkecil k sehingga graf G sehingga graf G mempunyai pewarnaan titik sejati dengan k warna. Sedangkan, pewarnaan titik sejati dari graf G=(V,E) dengan k warna adalah suatu pemetaan sedemikian sehingga untuk setiap u dan v yang bertetangga di G.

  Penerapan bilangan kromatik untuk suatu graf sangat beragam. Diantaranya adalah masalah pengaturan jadwal, masalah penempatan bahan kimia dan penempatan barang dari beberapa objek yang berbeda. Hal tersebut dikemukan oleh G. Chartrand dan O.R Oellerman [12] pada tahun 1993.

  Bilangan kromatik-lokasi diperoleh dari penurunan bilangan kromatik. Namun demikian, karakteristik bilangan kromatik- lokasi sangat berbeda dengan bilangan kromatik itu sendiri. Sebagai contoh, bilangan kromatik lokasi graf pohon sebarang adalah 2. Namun bilangan kromatik-lokasi graf pohon sangat bervariasi. Dengan demikian, penentuan bilangan kromatik-lokasi sangat menarik untuk dikaji.

  Konsep bilangan kromatik-lokasi merupakan perpaduan antara pewarnaan dan dimensi partisi untuk suatu graf. Konsep dimensi partisi untuk suatu graf

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/130

  C i } untuk 1  i  k. Jika semua titik di G

  mempunyai bilangan kromatik-lokasi dengan batas atasnya (n-2). Lebih lanjut, Chartrand dkk [9] juga dapat membuktikan bahwa senantiasa terdapat pohon berorde n  5, dengan bilangan kromatik-lokasi k jika dan hanya jika k  {3, 4, ... , n-2, n}.

  (n-1), dan memperoleh semua graf yang

  Selanjutnya, Chartrand dkk. [10] juga telah memperoleh semua graf berode n yang mempunyai bilangan kromatik-lokasi

  n, untuk 3.

  Selanjutnya, Chartrand dkk. (2002) memperoleh bilangan kromatik-lokasi untuk graf lintasan, graf lingkaran dan bintang ganda [8]. Adapun hasil yang diperoleh antara lain: (i)  L (P n ) = 3 untuk n  3; (ii) atau 3 bila n ganjil atau n genap; (iii) bila 1  a  b dan b  2. Selain itu, mereka menunjukkan bahwa graf multipartit lengkap adalah satu-satunya graf orde n yang mempunyai bilangan-kromatik lokasi

  1 dan K 2 , yaitu dan .

  Karena setiap pewarnaan lokasi juga merupakan suatu pewarnaan sejati pada G, maka . Graf yang mempunyai bilangan kromatik-lokasi yang kurang dari 3 adalah graf lengkap dengan 1 titik dan 2 titik, dinotasikan K

  lokasi dari G, dan dinotasikan dengan .

  mempunyai pewarnaan-lokasi dengan k warna disebut sebagai bilangan kromatik-

  G. Nilai terkecil k sedemikian sehingga G

  mempunyai kode warna yang berbeda, maka c disebut pewarnaan-lokasi dari graf

  )= min{d(v,x) | x di

  http://www.eksakta.ppj.unp.ac.id pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk. [11] pada tahun 1998. Adapun definisi dimensi partisi yang dikemukakan Chartrand dkk. adalah sebagai berikut: Misalkan G=(V,E) suatu graf, dan

  )) dengan d(v, C i

  1 ), d(v,C 2 ), ..., d(v,C k

  dengan k warna. Misalkan adalah partisi dari himpunan titik V(G) yang induksi oleh pewarnaan c. Kode warna dari titik v adalah k-pasang terurut (d(v,C

  c suatu pewarnaan titik sejati pada graf G

  Chartrand dkk. memperkenalkan konsep bilangan kromatik-lokasi untuk pertama kali pada tahun 2002 [9]. Chartrand dkk. [9] mendefinisikan bilangan kromatik- lokasi sebagai berikut. Misalkan

  adalah nilai k terkecil sehingga G mempunyai partisi pembeda dengan k kelas partisi.

  partisi dari G, dinotasikan dengan pd(G),

  . Selanjutnya disebut partisi pembeda dari V(G) jika untuk setiap dua titik berbeda . Dimensi

  Misalkan adalah partisi dari V(G). Representasi v terhadap , dinotasikan dengan , adalah k- pasang terurut

  lintasan terpendek dari titik u ke v. Jarak d(v,S), adalah .

  G, dinotasikan d(u,v), adalah panjang

  . Jarak dari titik u ke v pada graf

  Artinya bahwa tidak terdapat graf pohon

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/130

  http://www.eksakta.ppj.unp.ac.id dengan orde n  5 dan mempunyai bilangan kromatik-lokasi n-1.

  Penelitian pada bilangan kromatik- lokasi masih terbatas pada kelas-kelas graf tertentu, Adapun hasil-hasil yang telah diperoleh adalah sebagai berikut: bilangan kromatik-lokasi untuk graf amalgamasi bintang [3] dan kembang api [2] ditentukan oleh Asmiati dkk. Pada tahun 2013, Des Welyyanti dkk. telah menentukan bilangan kromatik-lokasi untuk graf n-ary lengkap [5]. Selain itu pada tahun yang sama, D.K Syofyan dkk. juga dapat menentukan bilangan kromatik-lokasi untuk graf lobster seragam [4].

  Selanjutnya, penelitian bilangan kromatik-lokasi yang telah diperoleh adalah bilangan kromatik-lokasi untuk suatu graf yang diperoleh dari beberapa operasi graf, yaitu operasi korona [8], halin [13], product [14]dan subdivisi [15]. Selain itu, penelitian bilangan kromatik-lokasi juga dilakukan dengan mengkarakterisasi suatu graf dengan bilangan kromatik-lokasi tertentu. Diantaranya adalah mengkarakterisasi graf yang memuat cycle dengan bilangan kromatik-lokasi

  3 [1] dan

  mengkarakterisasi graf pohon dengan bilangan kromatik-lokasi 3 [7].

  Hingga saat ini, penelitian bilangan kromatik-lokasi masih terbatas pada kelas graf tak terhubung. Dengan demikian, pada makalah ini akan dibahas beberapa syarat kapan bilangan kromatik-lokasi masih bernilai hingga.

  HASIL – HASIL UTAMA

  Misalkan adalah graf tak terhubung, dengan G i adalah komponen-komponen dari H. Adapun definisi komponen sebagai berikut: subgraf

  G i

  , untuk , adalalah komponen dari H jika G i subgraf terhubung maksimal dari H.

  Untuk menentukan bilangan maka perlu diperumum konsep bilangan kromatik-lokasi untuk graf tak terhubung. Adapun definisi bilangan kromatik-lokasi untuk graf tak terhubung adalah sebagai berikut:

  Definisi

  2.1. Misalkan c adalah pewarnaan-k sejati pada H yang menginduksi partisi dari V(H). Kode warna dari titik adalah (d(v,C

  1 ), d(v,C 2 ), ..., d(v,C k )) dengan d(v, C i )= min{d(v,x) | x di C i } dan untuk 1  i  k . Pewarnaan c dikatakan pewarnaan lokasi-k bila semua kode warna dari semua titik di H berbeda. Bilangan kromatik-lokasi dari graf H, (H), adalah bilangan terkecil k sedemikian sehingga H mempunyai pewarnaan-k lokasi. Dalam hal tidak ada nilai k yang memenuhi maka .

  Bilangan kromatik-lokasi untuk graf tak terhubung dapat bernilai hingga atau tak hingga. Adapun contoh dari bilangan kromatik lokasi yang benilai hingga dan tak hingga dapat dilihat pada contoh dibawah ini. http://www.eksakta.ppj.unp.ac.id

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/130 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724

  warna ke 5, lihat Gambar 3. Tetapi, hal ini tidak mungkin karena akan terdapat dengan . Jadi, artinya bilangan kromatik- lokasi H tak hingga.

  Pada [6] telah batas atas dan batas

  Gambar 1: Graf tak Terhubung dengan

  bawah dari bilangan kromatik-lokasi untuk

  Bilangan Kromatik-Lokasi Hingga

  graf tak terhubung, seperti pada teorema di Gambar 1 merupakan graf tak bawah ini: terhubung, , dengan

  graf tak terhubung. Jika , maka

  komponen-komponennya adalah graf bintang dengan 4 titik, , sedemikian

  dengan

  hingga graf H mempunyai pewarnaan-4

  dan

  lokasi. Akibatnya, artinya bilangan kromatik-lokasi H hingga.

  Titik disebut titik

  dominan jika untuk

  dan 0 untuk yang lainnya. Teorema dibawah ini akan menunjukkan bilangan kromatik-lokasi untuk graf tak terhubung

  H, dimana setiap pewarnaan-lokasi dari G i Gambar 2: Graf tak Terhubung dengan

  yang merupakan komponen dari H,

  Bilangan Kromatik-Lokasi tak Hingga mempunyai satu titik dominan. _{2 1 1 1 2} Teorema 2.3. Misalkan G adalah graf _{1 3 lokasi, , dan . Jika 2 3 3 2 4 2 1 3} terhubung dengan bilangan kromatik-

_{4 satu titik dominan, maka .}

_{4 4 3 5} setiap pewarnaan-lokasi pada G memuat BUKTI.

  Misalkan G adalah komponen dari

  Gambar 3: Pewarnaan Titik yang bukan

  H. Dengan kontradiksi, asumsikan bahwa Pewarnaan-Lokasi pada Graf

  hingga. Tanpa mengurangi

  Terhubung

  keumuman, misalkan atau Gambar 2 merupakan graf tak

  , maka terdapat terhubung, , dengan dengan sedemikian komponen-komponennya adalah graf bintang dengan 4 titik, . Jika graf H hingga . Akibatnya, mempunyai pewarnaan-4 lokasi, maka yang terdapat

  2 titik, yang artinya terdapat G yang tidak memuat titik mempunyai kode warna yang sama atau dominan pada pewarnaan-lokasinya.

  Akibatnya, akan muncul Misalkan maka terdapat

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/130

  G i dan G j , untuk suatu dan

  Bilangan kromatik-lokasi untuk graf tak terhubung dapat bernilai hingga dan tak hingga. Adapun batas bawah dari bilangan kromatik-lokasi untuk graf tak terhubung adalah nilai maksimum dari bilangan kromatik-lokasi setiap komponennya. Sedangkan, batas atas dari bilangan kromatik-lokasi untuk graf tak terhubung adalah nilai minimum dari orde setiap komponennya.

  KESIMPULAN

  . Hal ini kontradiksi dengan penyataan Jadi haruslah . □

  dan Dengan kontradiksi, asumsikan maka diperoleh . Akibatnya, untuk setiap dimana . Jadi

  BUKTI. Misalkan H memuat K n = G j dan G i adalah suatu komponen di H untuk

  Teorema 2.5. Misalkan adalah graf tak terhubung. Jika dan H memuat K n = G j untuk suatu , maka .

  K n , haruslah lebih besar dari n. Seperti tertuang pada teorema dibawah ini.

  □ Syarat lain untuk bilangan kromatik lokasi yang bernilai hingga adalah bila graf tak terhubung H memuat graf lengkap, K n , sebagai salah satu komponen H maka orde setiap komponen di H selain graf lengkap,

  , dengan dan dimana .

  , jadi haruslah H tidak memuat

  http://www.eksakta.ppj.unp.ac.id dengan sedemikian hingga . Akibatnya, yang artinya terdapat G yang tidak memuat titik dominan pada pewarnaan-lokasinya. Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa setiap pewarnaan-lokasi pada G memuat satu titik dominan, jadi haruslah

  , maka untuk setiap titik . Akibatnya . Hal ini kontradiksi dengan pernyataan

  . Akibatnya . Untuk , akan diperoleh . Jika

  Karena , maka diperoleh atau . Untuk , akan diperoleh . Jika , maka untuk setiap titik

  dimana .

   dan

  dan G j adalah komponen sebarang dari H, untuk suatu dan dengan

  BUKTI. Dengan kontradisi, asumsikan G i

  Jika , maka H tidak memuat G i dan G j , untuk suatu dan , dengan dan dimana .

  Terorema

  . □ Teorema dibawah ini akan ditentukan syarat kapan bilangan kromatik- lokasi masih bernilai hingga. Pada teorema 2.4, jika graf tak terhubung H mempunyai 2 komponen dengan bilangan kromatik untuk setiap komponen tersebut adalah ordenya, maka bilangan kromatik dari graf tak terhubung H adalah tak hingga. Adapun teoremanya adalah sebagai berikut:

2.4. Misalkan adalah graf tak terhubung.

  http://www.eksakta.ppj.unp.ac.id

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/130 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724

  Beberapa syarat cukup untuk graf AKCE Int. J. Graph Comb. 10:3 tak terhubung yang masih bernilai hingga (2013),245-252. adalah sebagai berikut: D. Welyyanti, E.T. Baskoro, R.

  1. Misalkan G adalah graf terhubung Simanjuntak dan S. Uttunggadewa, dengan bilangan kromatik-lokasi, On locating-chromatic number of

  , , dan setiap complete n -ary Tree, AKCE Int. J. pewarnaan-lokasi pada G memuat satu Graph Comb. 10:3 (2013),309-315. titik dominan. Jika , maka D. Welyyanti, E.T. Baskoro, R. haruslah .

  Simanjuntak dan S. Uttunggadewa,

  2. Misalkan adalah graf tak The Locating-Chromatic Number of terhubung. Jika , maka H Disconnected Graphs, Far East J. tidak memuat G i dan G j , untuk suatu Math. Sci., 94:2(2014), 169-182. dan , dengan

  E.T Baskoro dan Asmiati, Characterizing dan all trees with locating-chromatic number 3, Electronic Journal of dimana .

  Graph Theory and Applications 1,

  3. Misalkan adalah graf tak 2(2013), 109-117. terhubung. Jika dan H

  E.T. Baskoro dan I.A. Purwasih, The memuat K n = G j untuk suatu locating-chromatic number of corona , maka . product of graph. Southeast Asian Journal of Sciences 1:1 (2011), 126-

  REFERENSI 136.

  Asmiati dan E.T. Baskoro, Characterizing G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. all graphs containing cycles with

  Slater dan P. Zhang, The locating- locating-chromatic number 3 . AIP chromatic number of a graph, Bull. Conf. Proc. 1450 (2012), 351-357.

  Inst. Combin. Appl. 36 (2002), 89- Asmiati, E.T. Baskoro, H. Assiyatun, D. 101. Suprijanto, R. Simanjuntak dan S.

  G. Chartrand, D. Erwin, M.A. Henning, P.J. Uttunggadewa, Locating-chromatic

  Slater dan P. Zhang, Graph of order n Number of Firecracker Graphs, Far with locating-chromatic number n -1 , East J. Math. Sci.63:1 (2012), 11-13.

  Discrete Math. 269 (2003) 65-79. Asmiati, H. Assiyatun dan E.T Baskoro,

  G. Chartrand, E. Salehi, P. Zhang, On the Locating-chromatic of amalgamation partition dimension of graph, Congr. of strars, ITB J.Sci. 43A:1 (2011), 1- Numer. 130 (1998), 157-168.

  8. G. Chartrand dan O.R. Oellermann, D.K. Syofyan, E.T. Baskoro dan H.

  Applied and algorithmic graph Assiyatun, On the locating-chromatic theory, McGraw-Hill, Inc., New number of homogeneous lobster, York, 1993. http://www.eksakta.ppj.unp.ac.id

  EKSAKTA Vol. 19 No. 1/30 April 2018 DOI : 10.24036/eksakta/vol19-iss01/130 E-ISSN : 2549-7464, P-ISSN : 1411-3724

  I. A. Purwasih dan E. T. Baskoro, The Proceeding ICMSA, ISBN: 978-979- Locating-Chromatic Number of 96152-7-5.

  Certain Halin Graphs, AIP Conf.

  I. A. Purwasih, E. T. Baskoro, H. Assiyatun Proc. 1450, (2012), 342-345. dan W. Djohan, The locating-

  I. A. Purwasih, M. Baca, dan E. T. Baskoro, chromatic number for a subdivision The locating chromatic number of of a wheel on one cycle edge, AKCE strong product of two paths, Int. J. Graphs Comb., 10, No. 3

  (2013), 327-33