Integral Tak Tentu Yehuda dan Nugroho

INTEGRAL TAK TENTU

TRIGONOMETRI

SUBTITUSI

Integral Tak Tentu
PARSIAL

DIFERENSIAL

NOTASI SIGMA

PENGERTIAN INTEGRAL

Integral adalah cara mencari suatu fungsi jika
turunannya di ketahui atau kebalikan dari
diferensial (turunan) yang disebut juga anti derivatif
atau anti diferensial.

Untuk menentukan integral tidak semudah

menentukan turunan. . Agar memperoleh gambaran
yang jelas perhatikan turunan beberapa fungsi berikut:

f(x)

f ’(x)

f(x)

f ’(x)

x

1

3x2

6x

½x2

x

3x2+3

6x

⅓x3

x2

3x2-5

6x

¼x4

x3

3x2-23

6x

Dengan memperhatikan hal di 1atas tampak
n 1 bahwa jika f ’(x) = xn
maka

f (x)  n 1 x

akan tetapi jika f ’(x) = 6x maka f(x) berasal dari berbagai macam
fungsi 3x2 + c dengan c suatu konstanta.

Dengan melihat beberapa contoh diatas dapat kita peroleh suatu
aturan :
Jika f ’(x) = x n maka
f(x) =

1
n 1

x

n 1

c

Rumus Integral Tak Tentu

Bila dx/dy merupakan notasi untuk turunan maka notasi untuk
integral adalah Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x
maka di tulis sebagai berikut:
f(x) dx. Dibaca Integral dari f(x) terhadap x.

Bila F(x) anti derivatif dari f(x) maka F(x) + c juga anti derivatif dari
f(x) ,dengan c adalah suatu konstanta.
Secara umum integral f(x) terhadap x dapat ditulis :
f(x) dx. = F(x) + c.
Jika f(x) = xn maka f(x) dx

x

n

1 n+1
= n1 x +

dx
c. untuk n ≠ 1 Inilah
Rumus INTEGRAL TAK TENTU

SIFAT INTEGRAL TAK TENTU
1.
2.
3.
4.
5.
6.

dx  x  c
af(x)dx a f(x) dx, a adalah constanta

a dx  ax  c
1
n 1
x
dx

x
 c, dengan n - 1

n 1
a
n
n 1
ax
dx

x
 c, dengan n - 1

n 1

a
e
dx

a
ln
x

c,
dengan
ln
x

logx
x
n

-Contoh Hitunglah :
1. x7dx
-Jawab:

1.
7

x dx  x
1
71

71

8

c

 x c
1
8

Integral tak tentu dengan
trigonometri

Rumus turunan Trigonometri
No.
1

F(x)
Sin x

F’(x)
Cos x

2

Cos x

-Sin2x

3

Tan x

Sec 2x

4

Cot x

-Cosec x

5

Sec x

Tan x sec x

6

Cosec x

-Cot x cosec x

Karena dari landasan awal integral merupakan
anti turunan (cara mencari suatu fungsi jika
turunannya di ketahui atau kebalikan dari
diferensial (turunan) yang disebut juga anti
derivatif atau anti diferensial. )maka dapat
ditentukan rumus integralnya adalah sebagai
berikut

Rumus Integral Trigonometri
1.
2.
3.
4.
5.
6.

 cos x dx
 sin x dx
 sec x dx
 cosec x dx
 tan x.sec x dx
 cot x.cosec x dx
2

2

 sin x  c
 - cos x  c
 tan x  c
 - cot x  c
 sec x  c
 - cosec x  c

Integral fungsi trigonometri juga
disertai dengan persamaan ax+b
1.
2.
3.
4.
5.
6.

1
cos(ax  b) dx a sin( ax  b)  c
1
sin(ax  b) dx - a cos( ax  b)  c
1
2
sec
(ax

b)
dx

tan(ax  b)  c

a
1
2
cosec (ax  b) dx  a cot (ax  b)  c
1
tan(ax  b).sec(ax  b) dx a sec(ax  b)  c
1
cot(ax

b).cosec(a
x

b)
dx


cosec(ax  b)  c

a

Tentu saja saat ada soal integral trigonometri tidak hanya sudut tunggal saja pasti
terkadanga ada yang menggunakan sudut rangkap. Cara kita mengatasinya
adalah dengan mengubaahnya ke persamaan sudut rangkap terlebih dahulu baru
di integralkan. Untuk mengingatkan saja berikut ada persamaan sudut rangkap .

Rumus sudut rangkap
1
1. Sin α Cos β   Sin  α  β   Sin  α  β 
2
1
2. Cos α Sinβ   Sin  α  β   Sin  α  β 
2
1
3. Cos α Cos β   Sin  α  β   Cos α  β 
2
1
4. Sin α Sin β -  Cos α  β   Cos α  β 
2

Integral subtitusi

Cara menentukan integral dengan
menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan
mengubah bentuk integral tersebut ke bentuk
lain dengan notasi lain yang lebih sederhana
sehingga mudah menyelesaikannya. Cara ini
digunakan jika bagian yang satu ada kaitan
turunan dari bagian yang lain.

a.

2x(4x

2

10

 1) dx

Langkah awal adalah 4 x 2diturunkan
dahulu menjadi 8x (ingat rumus
1
turunan )

Misal u 4x 2  1

du
8x
dx
Langkah selanjutnya dx disubtitusi dengan

du
dx
8x

Menjadi

2
10
10
2
x
(
4
x

1
)
dx

2
x
.
u
.



du
1
1 11
1
  u 10 du 
u  c  ( 4 x 2  1) 11  c
8x
4
4 .11
44

Integral parsial
Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y =
uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan
kedua ruas, maka akan didapat :

y ' dx  u ' v dx  uv ' dx



uv ' dx y  u ' v dx uv  u ' v dx

a.

6
2
x
(
5
x

1
)
dx


Penyelesaian :
a. Misal 2x = u maka 2 dx = du
6
Misal dv = 5x  1 dx

diintegralkan menjadi

1 1
1
 v  .  5 x 1 7  (5 x 1) 7
5 7
35

2 x(5 x  1)

6

dx = u dv



uv v du
1
1
(5 x  1) 7   (5 x  1) 7 .2 dx
35
35
2x
2 1 1
 (5 x  1) 7 
. . (5 x  1) 8  c
35
35 5 8
2x
1
 (5 x  1) 7 
(5 x  1) 8  c
35
700

6
2 x(5x  1) dx 2 x.

u

v

Persamaan Deferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan
variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya
terhadap variabel-variabel bebas.

Contoh :

Persamaan diferensial biasa
(ordinary differential equation)
adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan hanya satu variabel bebas. Jika
diambil y(x) sebagai suatu fungsi satu variabel,
dengan x dinamakan variabel bebas dan y
dinamakan variabel tak bebas, maka suatu
persamaan diferensial biasa (disingkat PDB)
dapat dinyatakan dalam bentuk:

Persamaan diferensial parsial
(disingkat PDP)
adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan dua atau lebih variabel bebas. Jadi
persamaan (1), (2), (3) adalah PDB sedangkan
(4) adalah PDP.

Orde dari suatu persamaan diferensial
ditentukan oleh turunan tertinggi dalam
persamaan tersebut

Adalah orde satu

adalah PDB orde dua

adalah PDB orde tiga

Solusi (Penyelesaian) PDB.

Nilai c tidak dapat ditentukan kecuali jika dalam
persamaan di atas diberi keterangan syarat
(sebuah nilai y untuk x tertentu).

NOTASI SIGMA

Notasi sigma yang dilambangkan dengan
”adalah sebuah huruf Yunani yang artinya
penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk
meringkas penulisan penjumlahan bentuk
panjang dari jumlah suku-suku yang
merupakan variabel berindeks atau suku-suku
suatu deret.
Jika diketahui suatu barisan tak berhingga a1,
a2, a3, . . ., an, maka jumlah dari n suku
pertama barisan tersebut dinyatakan dengan

TERIMA KASIH