ANALISIS VARIANSI ANALYSIS OF VARIANCE ( ANOVA )
ANALISIS VARIANSI/ ANALYSIS OF VARIANCE ( ANOVA )
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung
LT Sarvia
ANOVA • Dasar perhitungan ANOVA ditetapkan oleh Ronald A. Fisher.
• Distribusi teoritis yang digunakan adalah Distribusi F. • adalah suatu teknik untuk menguji kesamaan beberapa rata-
rata secara sekaligus. Uji yang dipergunakan dalam ANOVA adalah uji F karena dipakai untuk pengujian lebih dan 2 sampel.
• Makin menyebar suatu data makin besar nilai variansinya. • Makin tidak menyebar suatu data makin kecil nilai
variansinya • Pada data seragam atau data yang tidak menyebar, variansi adalah nol
LT Sarvia
• Jadi ANOVA merupakan suatu prosedur hipotesis yang membandingkan k populasi untuk menguji :
Kesamaan Variansi Ada / Tidak ada efek treatment Kesamaan rata-rata
• Analisis Variansi sering juga disebut Analisis Ragam
LT Sarvia
ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )
• Uji Anova ini didasarkan pada perbandingan antara variansi yang disebabkan oleh error
percobaan dan variansi yg disebabkan oleh error percobaan + perbedaan populasi, dengan menggunakan Distribusi F.
LT Sarvia
1. Populasi yang akan diuji berdistribusi normal
2. Varians/ragam dan populasi yang diuji sama
3. Sampel tidak berhubungan satu dengan yang lain
LT Sarvia
Tujuan Pengujian ANOVA :
• Untuk mengetahui apakah ada pengaruh dan berbagai kriteria yang diuji terhadap hasil
yang diinginkan. • Contoh : seorang manajer produksi menguji apakah ada pengaruh kebisingan yang
ditimbulkan oleh mesin-mesin produksi di pabrik pada hasil perakitan sebuah komponen yang cukup kecil dan sebuah sirkuit yang memerlukan konsentrasi yang tinggi dari seorang operator rakit.
LT Sarvia
• Cara pengujian dalam ANOVA dapat diklasifikasikan menjadi 3 jenis, yaitu :
1. Klasifikasi 1 Arah
2. Klasifikasi 2 Arah
3. Klasifikasi 2 Arah dengan Interaksi
4. Klasifikasi 3 Arah dengan Interaksi
LT Sarvia
KLASIFIKASI SATU ARAH:
• ANOVA klasifikasi 1 arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan 1 kriteria.
• Sampel dibagi menjadi beberapa kategori dan ulangan
kolom = kategori baris = ulangan/replika
LT Sarvia
Prosedur Pengujian ANOVA 1 Arah :
a. Struktur Hipotesis :
H 0 : m 1 = m 2 = ......... = m k
H 1 : sekurang-kurangnya terdapat dua nilai tengah tidak sama
b. Taraf nyata a
c. Statistik Uji : ANOVA 1 arah
LT Sarvia
Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH
• Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama :
n : jumlah data tiap kolom
k : jumlah kolom data
i.
2 SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total
JKK SSR i 1 T ..
- SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat
Regresi SSE = Sum of Square Error / Jumlah Kuadrat Galat
Sumber Variansi Squar
Kebebasan
Mean Square
e (v) ( MS ) Stat. Uji
Nilai Tengah
2 JKK
Kolom JKK
k-1
Galat atau Error JKG
k(n –1)
S 2 2 JKG
Total JKT
LT Sarvia
• Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom Berbeda :
kn
JKT SST X ij 2 - T ..
2 dimana :
n i : Jumlah data tiap kolom
k : Jumlah kolom data
JKK SSR i. - ..
N : Jumlah Total Sampel
JKG = SSE = JKT – JKK
Sumber Sum of
Mean Square
Stat. Uji
Variansi
e (v) ( MS )
Nilai Tengah
Galat atau Error JKG
N-k
Total JKT
LT Sarvia
Prosedur Pengujian ANOVA 1 Arah :
d. Wilayah Kritis : f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
Dimana :
a = ......... v1 = derajat kebebasan JKK atau SSR = k – 1 = ....... v2 = derajat kebebasan Galat atau Error = ........
f a = .........
Wilayah Kritis : f > f a
e. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis.
LT Sarvia
H 1 : T idak seluruh μ i sama
Semua mean bernilai sama Hipotesis nol adalah benar (Tak ada efek treatment)
LT Sarvia
Keputusan : TOLAK Ho
H A : T idak semua μ i sama Minimal ada 1 mean yg berbeda
Hipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)
or
Chap 11-14
LT Sarvia
1. Tiga buah
menghasilkan keluaran (output) perjamnya dengan berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut dan hasilnya sbb :
Sampel Output dari 3 buah
Apakah nilai tengah output Mesin perjam ketiga mesin itu
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3
sesungguhnya berbeda? Gunakan taraf nyata 5 %.
LT Sarvia
Jawab :
k= 3
Sampel Output dari 3 buah Mesin a. Struktur Hipotesis :
Mesin 1 Mesin 2
Mesin 3
1 H : sekurang-kurangnya terdapat
47 55 54 dua nilai tengah tidak sama
53 54 50 b. Taraf nyata :
a = 0,05
49 58 51 c. Statistik Uji : ANOVA 1 Arah
5 50 61 51 Utk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama :
JKT SST X 2 - T ..
JKT 47 2 2 55 2 ..... 49 2 - 780
JKT 40.784 - 40.560 JKT 224
LT Sarvia
JKK 40.690 - 40.650 JKK 40
JKG = SSE = JKT – JKK = 224 – 40= 184
Sumber Variansi Sum of
Derajat
Kebebasan
Mean Square
Stat. Uji
Nilai Tengah Kolom
Galat atau Error 184
LT Sarvia
d. Wilayah Kritis :
f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
Dimana : a = 0,05 v1 = k –1 = 3–1
f 0,05 (2,12) = 3,89
v2 = k ( n – 1 ) = 3 ( 5 – 1 ) = 12 1,304
e. Keputusan : Terima Ho
f. Kesimpulan : bahwa nilai tengah output ketiga mesin adalah sama pada taraf nyata 0,05.
LT Sarvia
2. Selama satu semester seorang siswa menerima nilai Quiz pada berbagai Mata Kuliah seperti tabel di bawah ini. Tentukan apakah terdapat
perbedaan antara
kemampuan
tersebut untuk Mata Kuliah yang berbeda pada taraf nyata 0,05
Ektek Matvek APK
LT Sarvia
Jawab :
Ektek Matvek APK Statistik
a. Struktur Hipotesis :
72 81 88 74 0 : H m Ektek = m Matvek = m APK = m Statistik
80 74 82 71 1 H : sekurang-kurangnya terdapat dua nilai tengah tidak sama
75 87 70 b. Taraf nyata :
a = 0,05
80 c. Statistik Uji : ANOVA 1 arah
Utk ukuran sampel (n) tiap kolom BERBEDA:
N = n 1 +n 2 +n 3 +n 4 = 4 + 3 + 5 + 4 = 16
JKT SST X 2 - ij T ..
JKT 72 2 80 2 ..... 70 2 - 1.261 16
JKT 99.947 - 99.382,565
LT Sarvia
Jawab :
JKK SSR i. - ..
JKK 99748,13 - 99.382,565 JKK 365,5675
JKG = SSE = JKT – JKK = 564,437 – 365,5675 = 198,8695
Sumber Variansi
Sum of
Derajat
( MS ) Stat. Uji (v)
Mean Square
Square
Kebebasan
Nilai Tengah Kolom 365,5675
Galat atau Error 198,8695
LT Sarvia
d. Wilayah Kritis :
f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
Dimana : a = 0,05 v1 = k –1 = 4–1
e. Keputusan : Tolak Ho
f. Kesimpulan : bahwa terdapat perbedaan nilai tengah kemampuan quiz untuk
keempat Mata Kuliah pada taraf nyata 0,05
LT Sarvia
• ANOVA klasifikasi 2 arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan 2 kriteria
( baris & kolom ). • Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok
kolom : kategori-1; baris : blok, kategori-2
• Setiap sel berisi satu data
LT Sarvia
Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :
a. Struktur Hipotesis :
H0’: a 1 = a 2 = ......... = a r = 0 ( pengaruh baris adalah nol )
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b 1 = b 2 = ......... = b c = 0 ( pengaruh kolom adalah nol )
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
b. Taraf nyata a
c. Statistik Uji : ANOVA
c 2 Dimana :
JKT SST X ij 2 - T ..
r = row = baris
i 1 j 1 r c c = column = kolom
LT Sarvia
Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :
T .j
JKK SSB - ..
Dimana :
r c r = row = baris
c = column = kolom
JKG = JKT – JKB – JKK ; atau : SSE = SST – SSA – SSB
Sumber Sum of
Derajat
Mean Square
Variansi Square Kebebasan ( v ) ( MS ) Statistik Uji
Nilai Tengah
2 SSA
Baris SSA
r –1
Nilai Tengah
SSB
c Kolom S –1 S 2 SSB f 2 2 2
Galat atau
Error SSE
(r –1)(c–1)
2 SSE
Total SST
LT Sarvia
Prosedur Pengujian ANOVA 2 Arah :
d. Wilayah Kritis :
f 1 > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho v 1 : derajat kebebasan Baris
3 v : derajat kebebasan Error f 2 > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
v 2 : derajat kebebasan Kolom
f a 3 v : derajat kebebasan Error
e.Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis ada 2 buah keputusan dan kesimpulan
LT Sarvia
3. Tiga buah mesin hendak dibandingkan mengenai keluaran / output perjamnya berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut yang berasal dari lima operator yang berbeda yang menghasilkan satu pengamatan sampel dari setiap mesin dan hasilnya sbb :
Output dari 3 buah Mesin Ujilah hipotesis pada taraf nyata Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 0,05 bahwa :
a. Tidak ada beda rata-rata
1 47 55 54 ouput perjam untuk kelima
2 53 54 50 operator tersebut
3 49 58 51 b. Tidak ada beda rata-rata ouput perjam untuk ketiga
4 50 61 51 jenis mesin tersebut
LT Sarvia
Jawab :
a. Struktur Hipotesis :
H0’: a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 =0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = operator
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b 1 = b 2 = b 3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol )
c = mesin
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol
b. Taraf nyata : α= 0,05
c. Statistik Uji : ANOVA
rc JKT SST X 2 ij 2 - T ..
i 1 j 1 rc
JKT 47 2 55 2 ..... 49 2 - 780
JKT 40.784 - 40.560 JKT 224
LT Sarvia
Output dari 3 buah Mesin r 2
Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti) JKB SSA i 1 - T ..
JKB 40.600,667 - 40.560 40,667
Total (Tj)
245 2 280 2 JKK 255 2 - 780 2 5 5 * 3 JKK 40.690 - 40.650 JKK 40
JKG = JKT – JKB – JKK = 224 – 40,667– 40 = 143,333
LT Sarvia
Jawab :
Sumber Variansi
Mean Square
Sum of
Derajat Kebebasan
Square (v) Statistik Uji ( MS )
Nilai Tengah Baris 40,667
Nilai Tengah Kolom
20 f 2 = 1,1163
Galat atau Error 143,333
d. Wilayah Kritis :
f 1 > f a ( v1 ; v3 ) Terima Ho
a = 0,05
v 1 : derajat kebebasan Kolom
f a,v1,v3 = 3,84
v 2 : derajat kebebasan Error
v 3 = 8 O,5674
Wilayah Kritis :
f 1 < 3,84
3,84 30 LT Sarvia 3,84 30 LT Sarvia
Wilayah Kritis :
f 2 < 4,46
f 2 > f a ( v2 ; v3 ) Terima Ho
a = 0,05 v 2 = 2
f a,v2,v23 = 4,46
e. Keputusan dan Kesimpulan ada 2 buah
1. Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata ouput perjam dari kelima operator pada taraf nyata 0,05.
2. Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata output perjam dari ketiga jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05
LT Sarvia
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
• Prosedur pengujian ANOVA dalam Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi :
a.Struktur Hipotesis :
H0’: a 1 = a 2 = ......... = a r ( pengaruh baris nol )
H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol
H0”: b 1 = b 2 = ......... = b c ( pengaruh kolom nol )
H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol H0’’’ : ( ab ) 11 =(
ab ) 12 = ......... = (
ab ) rc ( pengaruh interaksi nol )
H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab ) ij tidak sama dengan nol
b. Tentukan nilai a
LT Sarvia
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
c. Statistik Uji : ANOVA
r = row = baris
JKT SST ... X ijk -
i 1 j 1 k 1 r c n c = column = kolom
n = jumlah sampel/replikasi
2 T 2 ij T
.j.
i..
JK(BK) SS(AB) i 1 j 1
JKG = JKT – JKB – JKK – JK(BK) ; atau : SSE = SST – SSA – SSB – SS(AB)
LT Sarvia
Pembuktian Rumus
a b
T 2 ij ..
JK AB i 1 j 1 T 2 ( .... ) SSA SSB n
rcn
2 T ij ..
T 2 T 2 . j 2 .. i ... 2 2 SSB
JK ( AB )
j 1 T .... n rcn
i 1 j 1 T ....
i 1 T ....
SSA
Jadi
T i ... T . j ..
2 a b T ij .. 2 2
JK ( AB )
Rumus di buku T
i 1 j 1 2 ....
LT Sarvia
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
Sumber Sum of
Derajat
Mean Square
Variansi Square Kebebasan ( v ) ( MS ) Statistik Uji
S Nilai Tengah 2 SSA
Nilai Tengah
SSB c –1 2 S 2 f 2 S Kolom 2 2
SSB
Interaksi SS(AB)
(r –1)(c–1)
S 2 3 SS(AB) f 3 S 3 ( r - 1 ) ( c - 1 ) S 2 4
Galat atau Error SSE
(rc)(n –1)
S 2 4 SSE
Total SST
LT Sarvia
KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :
d. Wilayah Kritis :
f 1 > f a ( v1 ; v4 )
Tolak Ho v 1 = derajat kebebasan Baris v 2 = derajat kebebasan Error
f 2 > f a ( v2 ; v4 )
Tolak Ho v 1 = derajat kebebasan Kolom v 2 = derajat kebebasan Error
f 3 > f a ( v3 ; v4 )
Tolak Ho v 1 = derajat kebebasan Interaksi v 2 = derajat kebebasan Error
e. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis ada 3 buah!!!
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Baris
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Kolom
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Interaksi
LT Sarvia
4. Data dibawah ini menunjukkan output perjam dari 3 Mesin dan 5 Operator yang berbeda dengan 3 kali pengulangan untuk masing- masing percobaannya :
Output dari 3 buah Mesin Ujilah hipotesis pada taraf nyata
Operator
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 0,05 bahwa :
1 30 55 44 a. Tidak ada beda rata-rata
45 78 50 ouput perjam untuk kelima
53 54 50 operator tersebut
2 33 32 50 b. Tidak ada beda rata-rata
56 54 50 ouput perjam untuk ketiga
49 58 51 jenis mesin tersebut
70 34 65 c. Tidak ada interaksi antara
50 61 51 operator dengan jenis mesin
LT Sarvia
Jawab :
a. Struktur Hipotesis :
•H 0 ’ : a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = Operator
H 1 ’ : sekurang-kurangnya satu a i tidak sama dengan nol
•H 0 ” : b 1 = b 2 = b 3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol )
c = Mesin
H 1 ” : sekurang-kurangnya satu b j tidak sama dengan nol
ab ) 53 ( pengaruh interaksi nol )
H 1 ’’’ : sekurang-kurangnya satu (
ab ) ij tidak sama dengan nol
dimana : r= baris = 5 ; c= kolom= 3; n= jumlah sampel/replikasi = 3
b. Taraf nyata : a = 0,05
LT Sarvia
Output dari 3 buah Mesin Operator
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)
Total (Tj)
c JKT n SST X 2 - T ... 2
1 ijk
JKT 47 2 2 30 2 ..... 98 2 62 2 - 2. 288
JKT 127.144 - 116.332 LT Sarvia 10.812
Jawab :
C. Statistik Uji : ANOVA Output dari 3 buah Mesin
Operator
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)
Total (Tj)
T 2 i..
2 JKB SSA i 1 - T ... 458 432 481 384 533 - 2.288
SSB 1 - T ... 700 710 878 - 2.288
JKK 1.764.984
- 2.288 117.666 - 116.332 1.334
5 * 3 5 * 3 * 3 LT Sarvia 40
T 2 ij T 2 i..
T 2 .j.
JK(BK) SS(AB) i 1
- i 1 - j 1 T ...
2 Rumus di buku
r c n Walpole
T 2 ij
JK(BK) SS(AB) i 1 j 1 - 2 S SA - SSB T ...
Rumus yang lebih
r c n Sederhana
JK(BK) - 1367 - 1344 116.332
3 JK(BK) 121.918 - 1367 - 1334 116.332
JK(BK) 2.885 JKG = JKT – JKB – JKK – JK(BK) = 10.812 – 1.367 – 1.334 – 2885
LT Sarvia
Jawab :
c
T 2 ij
T .j.
i..
JK(BK) SS(AB) i 1 j 1 - i 1 - j 1 T ...
2 Rumus di buku
r c n Walpole
122 2 142 2 ..... 240 2 1.059.294 1.764.984 JK(BK) - - 116.332
JK(BK) 121.918 - 117.699 - 117.666 116.332
JK(BK) 2885
Idem hasilnya dengan rumus yg lebih sederhana
LT Sarvia
Sum of
Derajat Kebebasan Mean Square
Sumber Variansi
Statistik Uji
JK(BK) 2.885
Galat atau Error 5.226
LT Sarvia
d. Wilayah Kritis :
f 1 >f a ( v1 ; v4 ) Terima Ho
f 2 >f a ( v2 ; v4 ) Tolak Ho
v 1 : derajat kebebasan Baris
v 2 : derajat kebebasan Kolom
v 4 : derajat kebebasan Erro r
v 4 : derajat kebebasan Error
a = 0,05
a = 0,05
v 2 = 2 f a = 3,32 v 1 = 4 f a = 2,69
LT Sarvia LT Sarvia
Hipotesis ada 3 buah
f 3 >f a ( v3 ; v4 ) Terima Ho
• Terima Ho kesimpulan : bahwa
v 3 : derajat kebebasan Interaksi
tidak ada beda rata-rata ouput
v 4 : derajat kebebasan Error
perjam dari kelima operator pada
a = 0,05 taraf nyata 0,05. v 3 = 8 f
• Tolak Ho kesimpulan : bahwa
a ada beda rata-rata output perjam
v 4 = 30
dari ketiga jenis mesin tersebut, 2,07 pada taraf nyata 0,05
• Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada interaksi antara kelima
operator yang mengoperasikan
2,27 dengan ke-3 jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05
LT Sarvia
SOAL – SOAL
1. Disebuah Universitas di AS, Professor Pria dan Wanita
Jenis Kelamin
diambil secara bebas (tidak Wanita saling terikat) yang
Pria
memberikan hasil pendapatan
tahunan mereka berikut
(dalam jutaan rupiah) :
Apakah terdapat perbedaan rata-rata pendapatan yang signifikan antara pria dengan Wanita Professor? ( a = 0,05 )
LT Sarvia
2. Tabel di bawah ini menunjukkan hasil perhektar dari 4 jenis tanaman pertanian yang diberikan 3 jenis perlakuan penyubur tanah yang berbeda. Dengan menggunakan taraf nyata 0,01 :
a) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan penyubur tanah?
b) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan jenis tanaman pertanian?
Jenis I
Jenis II
Jenis III
Jenis IV
Penyubur A 4,5
Penyubur B 8,8
Penyubur C 5,9
LT Sarvia
SOAL – SOAL
3. Tabel berikut menunjukkan jarak (dalam mil) yang ditempuh oleh kendaraan yang serupa pada setiap galon dari lima merk bahan bakar yang berbeda. Tentukan apakah terdapat perbedaan antara merk bahan bakar pada taraf nyata 0,01.
Merk A
Merk B
Merk C
Merk D
Merk E
LT Sarvia
4. Sebuah pabrik ingin menentukan efektivitas dari 4 jenis mesin (A,B,C,D) dalam memproduksi sekrup. Untuk itu jumlah baut rusak yang diproduksi oleh mesin setiap mesin pada suatu hari-hari yang ditentukan, diamati untuk setiap shift kerja. Tiap hari terdapat 2 shift kerja. Hasilnya ditunjukkan pada tabel dibawah ini. Lakukan analisis varians untuk menentukan apakah terdapat perbedaan antar mesin dan antar shift pada taraf nyata 0,05
Mesin Shift Pertama
Shift kedua
Senin Selasa Rabu
Kamis Jumat
Kamis Jumat
A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8 B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8 C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6
D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10
LT Sarvia
LT Sarvia
ANALISIS VARIANSI/ ANALYSIS OF VARIANCE ( ANOVA )
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung
LT Sarvia
KLASIFIKASI 3 ARAH :
• ANOVA klasifikasi 3 arah merupakan ANOVA yang didasarkan pada pengamatan 3 kriteria.
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
a.Struktur Hipotesis :
1. H 0 :α 1 =α 2 =.....α i
H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 α i yang tidak sama dengan nol.
2. H 0 :β 1 =β 2 =......β j
H 1 : sekurangk- kurangnya ada 1 β j yang tidak sama dengan nol.
3. H 0 :γ 1 =γ 2 = ....... γ k H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 γ k yang tidak sama dengan nol.
4. H 0 : (αβ) 11 = (αβ) 12 = .... = (αβ) ij
H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 (αβ) ij yang tidak sama dengan nol.
5. H 0 : (αγ) 11 = (αγ) 12 = .... = (αγ) ik
H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 (αγ) ik yang tidak sama dengan nol.
6. H 0 : (βγ) 11 = (βγ) 12 = .... = (βγ) jk
H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 (βγ) jk yang tidak sama dengan nol.
7. H 0 : (αβγ) 111 = (αβγ) 112 = .... = (αβγ) ijk
H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 (αβγ) ijk yang tidak sama dengan nol
b. Tentukan nilai
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
c. Statistik Uji : ANOVA TriFaktor • Jumlah kuadrat dihitung dengan mengganti jumlah yang sesuai ke dalam
rumus perhitungan berikut :
JKT y ijkl
2 T ....
i 1 j 1 k 1 l 1 abcn
a 2 T i ...
JKA i 1 T 2 ....
j 1 2 T ....
1 JKC .... k T
abn
abcn
LT Sarvia
2 2 T ij ..
T i ... T . j .. 2
JK ( AB )
i 1 j 1 T ....
T 2 .. k . 2
T 2 i ...
JK ( AC ) i 1 k 1
k 1 T ....
b c 2 b c
T . jk . T 2 . j .. T 2 .. k .
j 1 k 1 j 1 k 2 1 T JK .... ( BC ) an
T 2 .. k .
.... j 1 k 1
JKG = SSE = JKT – JKA – JKB – JKC – JKAB – JKBC – JKAC - JKABC
LT Sarvia
Rumus Yang Sederhana
a b 2
T ij ..
JK ( AB )
i 1 j 1 T 2 ....
SSA SSB
cn
abcn
a c
2 JK ( AC ) i 1 k 1 T .... SSA SSC
bn
abcn
T 2 . jk . j 1 k 1 T 2 JK .... ( BC ) SSB SSC
b c
an
abcn
a b c 2
T ijk .
JK ( ABC )
SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC
i 1 j 1 k 1 T ....
abcn
LT Sarvia
2 T ij ..
SSB
JK AB i 1 j 1 T 2 ....
a b a b
j 1 2 .... T
i 1 j 1 T 2 ....
SSA
Jadi
a b 2 a b 2
i 1 j 1 T 2 ....
Rumus di buku
LT Sarvia
Pembuktian Rumus
2 T ijk .
JK ( ABC ) i 1 j 1 k 1 SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC T .... n
T 2 2 2 .. k .
JK ( ABC )
i 1 j 1 k 1 ....
a b a b
T 2 ij SSA .. T 2 i ... T 2 . j ..
i 1 j 1 T 2 ....
T 2 a i c . k . T 2 i ... T 2 .. k i . 1 k 1 i 1 k 1 T 2
a c SSAB
SSBC b c b
2 2 c 2 T . jk . T . j ..
j 1 k 1 j 1 T 2 ....
T .. k .
k 1 ....
abcn
Jadi
LT Sarvia LT Sarvia
2 a T b ijk .
T 2 ij T 2 . i ...
2 c jk T . j .. T 2 .. k .
2 1 1 j 1 k 1 T ....
Idem dengan rumus dibawah ini :
a b c
T 2 ijk .
JK ( ABC ) i 1 j 1 k 1 SSA SSB SSC SSAB SSAC SSBC T .... n
abcn
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
Cara perhitungan pengujian tiga arah dan lambangnya sebagai berikut
• T… = jumlah seluruh abcn pengamatan. • Ti…
= jumlah pengamatan taraf ke i faktor A • T.j..
= jumlah pengamatan taraf ke j faktor B • T..k.
= jumlah pengamatan taraf ke k faktor C • Tij..
= jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke j faktor B • Ti.k.
= jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke k faktor C • Tj.k.
= jumlah pengamatan taraf ke j faktor B dan taraf ke k faktor C • Tijk.
= jumlah pengamatan pada kombinasi perlakuan ke (ijk)
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
Tabel 1 Dua arah A-B
A Jumlah
1 T 1. T 12.. …
T 1b.. T 1...
2 T 21.. T 2. …
T 2b.. T 2...
a T a1.. T a2.. …
T ab.. T a...
Jumlah
T .1.. T .2.. …
T .b.. T ….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
Tabel 2 Dua arah A-C
Jumlah
1 T 1.1. T 1.2. …
T 1.c. T 1...
2 T 2.1. T 2.2. …
T 2.c. T 2...
a T a.1. T a.2. …
T a.c. T a...
Jumlah
T ..1. T ..2. …
T ..c. T ….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :
Tabel 3 Dua arah B-C
Jumlah
1 T .11. T. 12. …
T. 1c. T .1..
2 T. 21. T. 22. …
T. 2c. T .2..
b T. a1. T .b2. …
T. ac. T .b..
Jumlah
T ..1. T ..2. …
T ..c. T ….
k = 1,2,3, …, c
LT Sarvia
Tabel 5. Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi
Sumber Jumlah
Derajat
Rataan
variansi kuadrat kebebasan Kuadrat hitungan
Pengaruh utama
Interaksi dwifaktor
AB JK(AB)
(a-1) (b-1)
S 4 2 f 4 =S 4 2 /S 2
AC JK(AC)
(a-1) (c-1)
S 5 2 f 5 =S 5 2 /S 2
BC JK(BC)
(b-1) (c-1)
S 6 2 f 6 =S 6 2 /S 2
Interaksi trifaktor
ABC JK(ABC)
(a-1) (b-1)(c-1)
S 7 2 f 7 =S 7 2 /S 2
Galat JKG
abc(n-1)
Jumlah JKT
abcn-1 LT Sarvia
Contoh Soal
5. Dalam pembuatan sejenis barang ada tiga faktor yang perlu diperhatikan:
• A = pengaruh petugas (tiga orang) • B= katalis yang dipakai dalam percobaan (tiga
katalis) • C= Waktu pencucian barang sesudah proses pendinginan (15 menit dan 20 menit). • Tiga replikasi diambil pada tiap kombinasi
faktor. Diputuskan bahwa semua interaksi
antara faktor perlu diselidiki. Hasilnya adal ah
sbb :
LT Sarvia
Waktu Pencucian (C)
Petugas (A)
Katalis (B)
Katalis (B)
• Buatlah analisis variansi untuk menguji keberartian pengaruh
LT Sarvia
Jawab
Struktur Hipotesis 1. H 0 :α 1 =α 2 =α 3 H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 α i yang tidak sama dengan nol.
2. H 0 :β 1 =β 2 =β 3 H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 β j yang tidak sama dengan nol.
3. H 0 :γ 1 =γ 2 H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 γ k yang tidak sama dengan nol.
4. H 0 : (αβ) 11 = (αβ) 12 = .... = (αβ) 33
H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 (αβ) ij yang tidak sama dengan nol.
5. H 0 : (αγ) 11 = (αγ) 12 = .... = (αγ) 32
H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 (αγ) ik yang tidak sama dengan nol.
6. H 0 : (βγ) 11 = (βγ) 12 = .... = (βγ) 32
1 : sekurang- H kurangnya ada 1 (βγ) jk yang tidak sama dengan nol.
7. H 0 : (αβγ) 111 = (αβγ) 112 = .... = (αβγ) 332
H 1 : sekurang- kurangnya ada 1 (αβγ) ijk yang tidak sama dengan nol
LT Sarvia
Jawab :
• Buat tabel :
Pengaruh Petugas
Katalis (B)
LT Sarvia
Pengaruh Petugas
Waktu Pencucian (C)
Total (A) 15 menit 20 menit
Ana
Susi 97,7
Frans 110,9
Total 307,2
LT Sarvia
Jawab :
Waktu Pencucian (C) Katalis (B) Total
15 menit 20 menit
Total 307,2
LT Sarvia
Waktu Pencucian (C)
Pengaruh
15 menit
20 menit
Petugas (A)
Katalis (B)
Katalis (B)
Ana 32,8
Susi 34,7
Frans 42,2
LT Sarvia
Jawab :
• 2 Hitung
JKT y ijkl
2 T ....
i 1 j 1 k 1 l 1 abcn
JKT 10 . 7 10 . 8 ...... 12 . 2
T i ...
2 JKA i 1 T ....
LT Sarvia
Jawab :
JKC k 1 T 2 abn .... abcn
.. k .
JKC 307 . 2 2 299 . 2 2 606 . 4 2 3 * 3 * 3 54 1 . 18
2 2 T ij .. T i ... T . j ..
JK ( AB ) 1 j 1 i
1 j 1 T 2 ....
67 . 3 2 66 . 7 2 ......... 69 . 3 JK 2 ( AB ) 6823 . 63 6819 . 83 6809 . 65 4 . 78
a c 2 a 2 c 2 T i . k . T i ... T .. k . 2
JK ( AC ) i 1 k 1 i 1
k 1 T ....
98 . 6 2 97 . 7 2 ........ 103 . 4 JK 2 ( AC ) 6823 . 63 6810 . 93 6809 . 65 2 . 92
LT Sarvia
Jawab :
b c b c
T 2 . jk . T 2 . j .. T 2 .. k .
JK ( BC ) j 1 k 1 j 1
k 1 T ....
a b c 2 a b a c b c a b c T
2 T ij ..
2 T i . k .
j 1 k 1 i 1 1
T 2 .. k .
JK ( ABC ) i 1 j 1 k 1 i 1 j 1 i 1 k 1
k 1 T 2 ....
JK ( ABC ) 32 . 8 34 . 7 ......... 35 . 7 6838 . 59 6827 . 73 6824 . 65 6823 . 63 6819 . 93 6810 . 83 6809 . 65
3 JK ( ABC ) 4 . 89
JKG = SSE = JKT – JKA – JKB – JKC – JKAB – JKBC – JKAC - JKABC
JKG = 63.19 - 13.98 - 10.18 - 1.18 - 4.78 - 2.92 - 3.64 - 4.89 JKG = 21.62
LT Sarvia
Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi
Sumber
variansi kuadrat kebebasan Kuadrat hitungan
Pengaruh
utama A(Petugas)
B(Katalis)
C(Waktu cuci)
Interaksi dwifaktor
AB 4.78 4 1.2 2 AC 2.92 2 1.46 2.43 BC 3.64 2 1.82 3.03
Interksi trifaktor
63.19 LT Sarvia 53
Wilayah Kritis :f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho
Dimana : a = 0,05 v1 = 2
Interpolasi f a =3,278
v2 = 36
Wilayah Kritis : f > 3,278
Keputusan : Tolak Ho Kesimpulan :bahwa sekurang-kurangnya ada 1 aj yang
tidak sama dengan nol pada taraf nyata 0.05 atau Ada pengaruh petugas dalam pembuatan barang
pada taraf nyata 0.05
LT Sarvia
• Keputusan :
• Kesimpulan :
Pengaruh utama A : Tolak Ho
Ada pengaruh petugas dalam pembuatan
barang pada taraf nyata 0.05
Pengaruh utama B : Tolak Ho
Ada pengaruh katalis yang digunakan dalam
pembuatan barang pada taraf nyata 0.05
Pengaruh utama C : Terima Ho Tidak Ada perbedaan waktu mencuci barang
sesudah proses pada taraf nyata 0.05
Interaksi Dua Arah AB : Tidak ada
Interaksi Dua Arah AB : Terima
perbedaan interaksi petugas dengan katalis
Ho (2<2,651)
yang digunakan pada taraf nyata 0.05
Interaksi Dua Arah AC : Terima
Interaksi Dua Arah AC : Tidak ada
Ho (2,43<3,278)
perbedaan interaksi petugas dengan waktu
Interaksi Dua Arah BC : Terima
pencucian pada taraf nyata 0.05
Ho (3,03<3,278)
Interaksi Dua Arah BC : Tidak ada perbedaan
Interaksi Tiga Arah ABC : Terima
interaksi katalis dengan waktu pencucian
Ho ( 2,03<2,651)
pada taraf nyata 0.05 Interaksi Tiga Arah ABC : Tidak ada
perbedaan interaksi petugas, katalis dan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05
LT Sarvia
Teknik Mengingat
Gunakan irama
Grouping
Gunakan singkatan Mengingat
Visualisasi
LT Sarvia
kata kunci
* Menurut Patrick O’Brien dalam bukunya
“Making College Count”
LT Sarvia