FuTS3 Fluida dalam Gerak Benda Tegar

  Distribusi Tekanan pada Fluida Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics , 7th edition,

Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

  Tekanan pada Fluida

• Tekanan fluida ( fluid pressure ): tegangan normal (gaya normal per satuan luas) yang bekerja pada suatu elemen fluida.
• Gradien tekanan spasial (bukan tekanan) dapat menimbulkan gaya pada permukaan elemen fluida Resultan gaya permukaan yang bekerja pada elemen
• fluida diam ( fluid at rest ) hanya dipengaruhi oleh gradien tekanan karena tidak ada tegangan geser yang bekerja.

  

Tekanan pada Fluida Diam

z sin θ = δz/δs cos θ = δx/δs p _n θ

  δs

p

_x δz δW = ρg(½ δx δz δy) δx θ

  Pada arah x x

  Tebal elemen = δy Σ = 0

  F x p _z

  δ δ δ δ θ = 0 p y z − p y ssin x n

• Tidak ada perubahan tekanan

  p = p pada arah horizontal x n

  

Tekanan pada Fluida Diam

δx δz

  δs p _n

p

_x p _z δW = ρg(½ δx δz δy) θ x z θ

  Tebal elemen = δy

  sin θ = δz/δs cos θ = δx/δs Σ F _z = 0 p _z δ yδx − p _n δ yδscosθ −

  1

  2 ρgδ yδxδ z = 0 p _z = p _n

• Perubahan tekanan arah vertikal dipengaruhi rapat massa, gravitasi, perubahan z
• 1

  2 ρgδ z Pada arah z Tekanan pada Fluida Diam

  Untuk elemen yang sangat kecil, sehingga menjadi

• sebuah titik ( maka:

  δx, δy, δz ≈ 0) = p = p = p p

x z n

• Kesimpulan: Tekanan (magnitude) pada suatu titik dalam fluida diam adalah sama ke segala arah

  Gradien Tekanan pada Fluida z

  Diambil sembarang elemen

• fluida yang sangat kecil

   

  p = p(x, y, z,t) δz

  # & " % δ y

  δ y ∂p ∂p − p p +

  % ( δx δz $ ' δx δz ∂y

  ∂y $ ' # &

  2

  2

y

δx

  δy x

  Pada arah y

• # & # &

  δ y δ y ∂p ∂p ∂p

  δ F = p δ δ z δ δ z = δ δ δ z − − p + − _y % ( x % ( x x y ∂y ∂y ∂y

  2

  2 $ ' $ '

• Dengan cara yang sama, gaya pada arah x dan z adalah:

  δ x

  δ y

  δ x

  − ∂p ∂x

  δ z =

  δ y

  & ' (

  2

#

$

%

  δ x

  − p + ∂p ∂x

  δ z

  δ y

  & ' (

  2 # $ %

  − ∂p ∂x

  Gradien Tekanan pada Fluida

  δ z δ F _x = p

  δ y

  ∂z δ x

  δ x = − ∂p

  δ y

  & ' (

  2

#

$

%

  ∂z δ z

  δ x − p + ∂p

  δ y

  & ' (

  2 # $ %

  ∂z δ z

  δ F _z = p − ∂p

  δ z

• Gaya yang bekerja pada elemen fluida akibat tekanan adalah:

  δ z

  # $ % &

  ∂ ∂z ! k

  ∂ ∂y ! j +

  ! i +

  ! ∇ = ∂ ∂x

  = − ! ∇p

  ! f p

  δ y

  ' ( δ x

  # $ % &

  − ∂p ∂z ! k

  − ∂p ∂y

!

j

  ∂x ! i

  F = − ∂p

  δ !

  Gradien Tekanan pada Fluida

• Jika f adalah gaya per satuan volume, maka:

  ' ( ! ∇ = gradient operator

• Gaya-gaya yang bekerja pada fluida (per satuan volume)
• !
• !

  δ y

  δ z ! f = ρ

  δ y

  δ

x

  ρ a

  F = m ! a =

  δ !

  ! g

  =

ρ

  ! f g

  δ z

  δ x

  Keseimbangan Elemen Fluida

  = m ! g = ρ g

  F g

  δ !

  ! a

  = ρ

  ! f visc

  

= −

! ∇p + ρ ! g +

  f visc

  f g

  ! f p

  ! f =

  ! a Distribusi Tekanan Hidrostatis

  Pada fluida statis, percepatan dan tegangan geser

• sama dengan nol (a = 0, f = 0), sehingga:

  visc ! !

  

∇p = ρ g

• Arah gradien tekanan akan selalu tegak lurus permukaan bertekanan konstan. Arah gradien tekanan adalah searah gravitasi lokal
• ! !

  

g = −g k

  

Distribusi Tekanan Hidrostatis

• Komponen gradien tekanan :
• Gradien tekanan tidak terpengaruh

  x dan y, sehingga: ∂p ∂x

  = 0 ∂p ∂y = 0

  ∂p ∂z = − ρg = −γ p ₂ p ₁ z x y h = z ₂ – z ₁ z ₁ z ₂ Permukaan fluida

  (tekanan = p ) d p d z

  = −γ p ₂

  − p ₁ = − −γ dz _{z 1} ^{z 2}

  ∫ Fluida dalam Gerak Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics , 7th edition,

Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

  Benda Tegar

• Benda tegar ( rigid body ): suatu sistem partikel yang tidak mengalami deformasi, sehingga jarak antar partikel tidak berubah meskipun mendapat gaya luar (external force)
• Gerak benda tegar ( rigid body motion )

  Gerak translasi

• Gerak rotasi
>Kombinasi translasi dan ro

Fluida dalam Gerak Benda Tegar

  Fluida dalam gerak benda tegar: seluruh partikel

• fluida bergerak bersama-sama (percepatan sama) sehingga tidak ada gerakan relatif antar partikel. Fluida dalam keadaan ini dapat dianggap sebagai

   

• fluida statis (tidak mengalami tegangan dan regangan geser). Contoh:

   

• Zat cair yang diangkut kapal/truk tangki

   

• Zat cair dalam kontainer yang berputar cukup lama

   

   

• Keseimbangan gaya pada elemen fluida dalam gerak benda tegar (a ≠ 0, f

  visc

  = 0)

  Fluida dalam Translasi Benda Tegar a x a z a x a z p = p ₁ p ₂ p ₃ s

  θ θ

  Muka zat cair saat diam ! ∇p =

  ρ ( ! g −

  ! a

  ) ! g

  ! a

  − ! a

  ! g −

  ! a z,

  ! k x,

  ! i Fluida dalam Translasi Benda Tegar ! !

  Gradien tekanan bekerja pada arah

• ! ! !

  g − a  

  a ∇p = ρ ( g − )

  2 d p

  2 G = a + g+a = ρG _{x z}

  ( ) d s

  Garis tekanan-konstan (serta permukaan zat cair,

• jika ada) adalah tegak lurus arah gradien tekanan dengan kemiringan:

   

  a −1 x

  θ = tan g + a z Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan? Isobar p p ₁ p ₂ p ₃ p ₄ ∆p

  

Isobar

p p ₁ p ₂ p ₃ p ₄ p ₅ p ₆ ∆p

  Isobar p p ₁ p ₂ p ₃ p ₄ p ₅ p ₈ p ₆ p ₇ ∆p a

  = 0 a a

p

  A p

  B > p

  A p

  C < p

  A Ke mana arah percepatan tangki kiri dan kanan?

Isobar

p p ₁ p ₂ p ₃ p ₄ p ₅ p ₆ ∆p

  Isobar p p ₁ p ₂ p ₃ p ₄ p ₅ p ₆ Isobar p p ₁ p ₂ p ₃ p ₄ p ₅ p ₆ a

  = 0 a a

  Contoh Soal dan Penyelesaian z

  Kaleng cat diletakkan pada nampan dan diseret dengan

  3 cm

  2 _∆ z

  percepatan 7 m/s . Tinggi kaleng

  x

  10 cm, diameter 6 cm dan berisi

  θ

  cat sedalam 7 cm pada kondisi diam. Dengan asumsi bahwa cat

  s 7 cm a = _x

  dalam gerak benda tegar, ₂

  7 m/s

  (a) tentukan apakah cat akan

  A

  tumpah, (b) hitung tekanan pada titik A jika rapat massa cat

  3 1010 kg/m .

  3 cm 3 cm Contoh Soal dan Penyelesaian

• Penyelesaian (a): ditentukan kemiringan berdasarkan besar percepatan yang telah diketahui, lalu ditentukan tinggi kenaikan permukaan cat di tepi kaleng.
₂

  7.0 m/s _{−1 −1} a _x θ = tan = tan = 35.5° ₂ 9.81 m/s g + a _z + 0

  ∆ z = (3 cm)(tan 35.5°) = 2.14 cm < 3 cm

• Cat tidak tumpah dari kaleng. (Solusi ini mengabaikan goncangan pada saat awal bergerak)

  

Contoh Soal dan Penyelesaian

• Penyelesaian (b) Tekanan pada A saat diam: Tekanan pada A saat bergerak atau

  p _A (diam) = ρgh _rest = (1010 kg/m ³ )(9.81 m/s ² )(0.07 m) = 694 Pa p _A =

  ρG ∆ s = (1010 kg/m ³ )( (9.81) ²

+ (7.0)

² m/s ² )((0.07 + 0.0214)cos35.5°m) = 906 Pa p _A

  = ρ G(z _surf

  − z _A ) = (1010 kg/m ³ )(9.81 m/s ² )((0.0214 + 0.07) m) = 906 Pa Fluida dalam Rotasi Benda Tegar Ref: White, Frank M., 2011, Fluid Mechanics , 7th edition,

Chapter 2, The McGraw-Hill Book Co., New York

• Percepatan sentripetal ( a

  ≈ δV

  = a _c ∆V

  2 r

  V

  =

  V δ t

  = δ

  V a

  | V δt r

  Ingat kembali…

  | = |V f

  V = |V i

  V f

  V i

  θ

  V f

  V i

  c

)

m r m

  Segitiga sebangun Ingat kembali… V r

  = Ω

  Gaya sentripetal ( F )  

• c

  V F _{c c} = ma

Ω

  F

  2 c

  V = m r

  F c

  2 r

  = m Ω r m

  V Fluida dalam rotasi benda tegar

  Apa yang terjadi jika: 1.

   

  Piringan diputar 2.

   

  Kecepatan putar ditambah

  https://www.youtube.com/ watch?v=RdRnB3jz1Yw&t=9s Piringan Air Gaya-gaya yang bekerja

  2

  nz F nx

  F n

  F g

  Bagaimana gaya-gayanya? z,

  ! i _z r,

  ! i _r

  Ω F g

  = F nz

  = mg F nx

  = m Ω

  2 r

1 F

  

Distribusi Tekanan

p = p p = p ₁ p ₂ p ₃ sumbu rotasi muka air saat diam z,

  ! i _z r,

  ! i _r

  Ω ! g

  ! a

  = −r Ω

  2 ! i _r

  − ! a

  ! g −

  ! a

  ! ∇p = ρ

  ( ! g −

  ! a

  )

  Apa yang terjadi jika plat berisi fluida digeser, tetapi masih pada diameter piringan?

• Vektor posisi, kecepatan sudut dan percepatan:

  !

  2 ∂p ∂z

  Ω

  ρ r

  ) ∂p ∂r =

  2 ! i _r

  Ω

  ρ (−g ! i _z

  i _r =

  

!

i

z

  a) ∂p ∂z

  !

∇p = ρ (

! g −

  2 ! i _r

  ) = −r Ω

  ! r

  × ( ! Ω ×

  ! Ω

  ! i _z

  ! Ω = Ω

  = r " i _r

  ! r

  Distribusi Tekanan

• Keseimbangan gaya:
• r
• ∂p ∂r !

  = − ρ g

• Maka: dan
• p
• f (z)
• Dengan menganggap
• Sehingga

  2 Ω

  

2

−

  2 Ω

  2 ρ r

  1

  ρ g f (z) = − ρ gz + C p =

  ∂p ∂z = 0 + f '(z) = −

  2

  2 ρ r

  diintegralkan terhadap

  1

  Distribusi Tekanan p =

  konstan:

  r

  konstan

  z

  dengan menganggap

  r

  ρ gz + C

  Distribusi Tekanan

  Jika pada maka , sehingga:

  p = p (r, z) = (0, 0) C = p  

• 1
_{2 2} − p = p gz + r

  ρ ρ Ω

2 Untuk menggambar garis tekanan-konstan:

• 2

   

  2 p − p

  2 r

  Ω

  1 z =

• 2

  = a + br

  g g ρ Distribusi Tekanan h

• Pada silinder yang diputar pada sumbunya berlaku:

  2 = Ω

  2 4g muka air saat diam

  Ω ^h

  2 _h

  2 R R h

  Volume = π

  2 R ² h

2 R

  Contoh soal

  Kaleng dengan tinggi 10 cm dan diameter 6 cm berisi cat

  3

  (ρ= 1010 kg/m ) dengan kedalaman 7 cm pada keadaan diam. Kaleng kemudian diputar pada sumbunya hingga tercapai kondisi benda tegar. Tentukan: (a) kecepatan sudut yang akan menyebabkan cat

   

  mencapai bibir kaleng (b) tekanan di titik A yang terletak di sudut bawah kaleng

    Penyelesaian _{2 2} z

  Ω h R

  (a) = = 0.03 m 2 4g ₂

  3 cm Ω = 1308 Ω = 36.2 rad/s = 345 rpm r

  7 cm (b) A(r, z) = (3 cm,−4 cm)

  Ω

  1 _{2 2} − Ω p = p ρ gz + ρ r _A

  A

  2 _{2 2}

• 594 N/m = 0 + 396 N/m

  3 cm 3 cm = 990 Pa