KEMENTRIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN POLITEKNIK NEGERI BANJARMASIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA BANJARMASIN 2014

MODUL MATEMATIKA I

Hikmayanti Huwaida, S.Si NIP. 19700824 199802 2 001

KEMENTRIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

POLITEKNIK NEGERI BANJARMASIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA BANJARMASIN 2014

BAB I MATRIKS

1.1. Tujuan Instruksional Umum

Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks, menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.

1.2. Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan mahasiswa akan dapat:

1. Menyebutkan pengertian matriks dengan benar.

2. Menyelesaikan operasi penjumlahan pada matriks dengan benar.

3. Menyelesaikan operasi pengurangan pada matriks dengan benar.

4. Menyelesaikan operasi perkalian scalar dengan matriks dengan benar.

5. Menyelesaikan operasi perkalian matriks dengan matriks dengan benar.

6. Menjelaskan aturan ilmu hitung matriks dengan benar.

7. Menjelaskan jenis-jenis matriks dengan benar.

1.3. Pengertian Matriks.

Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks. Jika matrik mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n.

Matriks ditulis dalam bentuk () atau [] dan bentuk lain . Matriks

biasa ditulis dengan huruf besar, misalnya A,B dan seterusnya, dan elemen– elemennya dengan huruf kecil, misalnya a, b dan seterusnya.

Bentuk umum matriks:  a 11 a 12 ... a 1 n 

A = [] a ij

i = 1,2, … m j= 1, 2, …., n

a ij disebut elemen yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j.

1.4. Operasi Matriks.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks.

Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila

keduanya berorde sama. Jumlah atau selisih dua matriks A = [] a ij dan B = [] b ij keduanya berorde sama. Jumlah atau selisih dua matriks A = [] a ij dan B = [] b ij

merupakan jumlah atau selisih unsur–unsur A dan B.

A ± B = C dimana c ij = a ij ± b ij

Contoh:

Contoh: Tinjaulah matriks–matriks:

Maka,

Sedangkan A+C dan B+C tidak didefinisikan. Karena penjumlahan antar bilangan bersifat komutatif dan asosiatif, padahal matriks adalah kumpulan bilangan, maka untuk penjumlahan antar matriks berlaku pula kaidah kaidah komutatif dan kaidah asosiatif.

Kaidah komutatif

: A+B=B+A

Kaidah asosiatif :A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C.

2. Perkalian Matriks dengan skalar.

Hasil kali sebuah matriks A = [] ij a dengan suatu skalar atau bilangan

nyata λ

Adalah sebuah matriks baru B = [] b ij yang berorde sama dan unsur–unsur λ kali

unsur–unsur matriks semula ( b ij = λ a ij )

λ A = B dimana b ij = λ a ij

Contoh: Jika A adalah matriks,

Maka

( − 1 ). A = − .  − 1 0  =  1 0  

2A . = 2 .  − 1 0  =  − 2 0  dan

Jika B adalah sebarang matriks, maka-B akan menyatakan hasil kali (- 1).B. Jika

A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B didefinisikan sebagai jumlah A+ (- B) =A +(–1).B. Contoh: Tinjaulah matriks–matriks

A = − 1 2 − 2 5 3 dan

  0 1 − 2 0 2   Dari definisi di atas maka

Dan

Perhatikan bahwa A-B dapat diperoleh secara langsung dengan entri B dari entri

A yang bersangkutan.

3. Perkalian antar matriks.

Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua matriks A mxn dengan B nxp adalah sebuah matriks baru C mxp , yang unsure- Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua matriks A mxn dengan B nxp adalah sebuah matriks baru C mxp , yang unsure-

nxp X B =C mxp Contoh: Misalkan A adalah matriks 3 x 4, B adalah matriks 4 x 7, dan C adalah matriks 7x3. Maka AB didefinisikan sebagai matriks 3 x 7, CA didefinisikan sebagai matriks 7x4, BC didefinisikan sebagai matriks 4 x 3. Hasil kali AC, CB, dan BA semuanya tidak didefinisikan.

A mxn

Contoh: Misalkan A adalah matriks m x r yang umum dan B adalah matriks r x n yang umum, maka seperti yang disarankan, entri dalam baris i dan kolom j dari AB,

Perkalian matriks mempunyai penerapan penting terhadap system persamaan linier. Tinjaulah suatu system persamaan yang terdiri dari m persamaan linier dalam n bilangan tak deketahui.

a 11 x 1 + a 12 x 2 +  + a 1 n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 +  + a 2 n x n = b 2

a m 1 x 1 + a m 2 x 2 +  + a mn x n = b n a m 1 x 1 + a m 2 x 2 +  + a mn x n = b n

Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat dituliskan sebagai hasil kali yang memberikan

Jika kita matriks–matriks ini berturut-turut dengan A, X, dan B maka m persamaan asli dalam n bilangan tak diketahui telah digantikan oleh persamaan tunggal

AX = B Contoh:

 dan B 3 × 2 = 6 − 7

 c 11 c 12 

maka A 2 x 3 × B 3 × 2 = C 2 × 2 = 

  c 21 c 22 

c 11 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 = 2 . 3 + () − 3 . 6 + 5 . 2 = − 2

c 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 = 2 . 5 + ( )( ) − 3 . − 7 + 5 . 9 = 76

c 21 = a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 = 8 . 3 + 2 . 6 + 4 . 2 = 44

c 22 = a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 = 8 . 5 + 2 . () − 7 + 4 . 9 = 62

Jadi, AB = C = 

Penyelesaian langsung dapat dilakukan sebagai berikut:

 2 − 3 5  AB =

1.5. Aturan-Aturan Ilmu Hitung Matriks

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa kekecualian. Salah satu dari kekecualian yang terpenting terjadi pada perkalian matriks. Untuk bagian–bagian riil a dan b kita selalu mempunyai ab = ba yang sering disebut hukum komutatif untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks–matriks, maka AB dan BA tidak perlu sama. Kesamaan dapat gagal terpenuhi karena tiga hal. Hal itu dapat terjadi, misalnya AB didefinisikan sedangkan BA tidak didefinisikan. Ini adalah kasus kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4. Juga dapat terjadi AB dan BA kedua–duanya didefinisikan tetapi mempunyai ukuran yang berbeda- beda. Hal ini terjadi kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x2.. Akhirnya, seperti yang diperlihatkan oleh contoh berikutnya, maka mungkin

untuk memperoleh AB ≠ BA walaupun AB dan BA didefinisikan dan mempunyai ukuran yang sama.

Contoh: Tinjaulah matriks –matriks

Dengan mengalikannya maka akan memberikan  − 1 − 2 

Jadi, AB ≠ BA . Walaupun hukum komutatif untuk perkalian tidak berlaku dalam ilmu hitung matriks, namun banyak hukum–hukum ilmu hitung yang sudah biasa dikenal akan berlaku untuk matriks. Beberapa diantara hukum yang paling penting dan nama–namanya diikhtisarkan dalam teorema berikut,

Teorema Dengan mengganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka aturan- aturan ilmu hitung matrriks berikut akan sahih.

a. A+B = B + A (Hukum komutatif untuk penambahan)

b. A+ (B+C) = (A+B)+C (Hukum asosiatif untuk penambahan)

c. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

d. A(B+C)=AB+AC (Hukum distributif)

e. (B+C)A=BA+CA (Hukum distributif)

f. A(B-C)=AB-AC

g. (B-C)A=BA-CA

h. a(B+C)=aB+aC

i. a(B-C)=aB-aC j. (a+b)C=aC+bC i. a(B-C)=aB-aC j. (a+b)C=aC+bC

Walaupun operasi penambahan matriks dan operasi perkalian matriks didefinisikan untuk pasangan matriks, namun hukum hukum asosiatif (b) dan (c) memungkinkan kita untuk jumlah dan hasil kali tiga matriks seperti A+B+C dan ABC tanpa menyisipkan tanda kurung. Hal ini dibenarkan oleh kenyatan bahwa bagaimanapun, tersebut disisipkan, hukum asosiatif menjamin bahwa hasil akhir yang sama akan kita peroleh.

Contoh: Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah

  0 1   Kemudian

  4 3 AB  = 3 4 .

 = 20 13

Sehingga

Jadi, (AB)C=A(BC),

1.6. Jenis-Jenis Matriks.

1. Matriks Bujur Sangkar.

Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama disebut matriks bujur sangkar. Contoh:

Jumlah baris = 3, jumlah kolom = 3.

2. Matriks Diagonal.

Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama ≠ 0 dan selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal.

Contoh:

3. Matriks Satuan.

Suatu matriks diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama semuanya 1 disebut matriks satuan. Matriks satuan ini biasanya ditulis dengan notasi I. Matriks satuan yang berdimensi n x n ditulis dengan notasi I n .

atau  1 , i = j

I n = δ ij , δ ij =   0 , i ≠ j

Contoh: Matriks satuan 3 x 3:  1 0 0 

Jika A matriks bujursangkar bertipe n x n dan I matriks satuan bertipe n x n maka: IA=AI=A.

4. Matriks Nol.

Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol dan ditulis dengan notasi 0. Matriks nol tidak selalu berbentuk bujur sangkar. Contoh:

O = [ 0 0 0 ] , ber dim ensi . 1 x 3

O = 0 0 0 , ber dim ensi . 3 x 3

Pada matriks nol berlaku operasi berikut:

A + 0 = 0 + A = A. A-A = 0. A0 =0A= 0.

Dalam hal ini A dan 0 adalah matriks bujursangkar yang bertipe sama.Pada bilangan riil berlaku a.b = 0, artinya a=0, b = 0, akan tetapi pada matriks hal ini tidak berlaku. Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada contoh berikut:

AB =   x

 0 0  AB = 

Dari hasil di atas juga dapat dilihat bahwa hasil kalinya adalah matriks nol, tetapi

A dan B bukan matriks nol.

5. Matriks Transpose. Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A

dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose. Matriks transpose dinotasikan dengan A’ atau A T.

Jika ' A = a

ji maka . A = a ji

Jika A bertipe m x n maka A’ bertipe n x m. Sifat–sifat matriks transpose adalah sebagai berikut:

a. Jika A dan B bertipe sama, maka:

b. Pada matriks satuan I berlaku I’ = I.

c. Transpose suatu matriks A’ adalah matriks A atau (A’)’ = A. Contoh: Hitunglah (AB)’, jika:

AB ' =    2 2 

Contoh:

Buktikan () AB ' = B ' A ' , jika :

 2  Bukti :  3 

AB = [ 2 1 ] x 

AB = [] 8 () AB ' = [] 8

B ' A ' = [] 8

Maka terbukti bahwa (AB)’ = B’A’.

6. Matriks Simetris.

Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’. Dalam hal ini jelas bahwa matriks simetris adalah matriks bujur sangkar. Elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A = elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i dari matriks A’, atau a ij untuk semua i dan j.

Contoh: Matriks simetris berdimensi 3 x 3:

7. Matriks Simetris Miring.

Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan a ij =-a ij

, a ii = 0. Contoh: Matriks simetris miring berdimensi 3 x 3:

8. Matriks Invers.

Matriks Invers atau matrik balikan adalah adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika

A merupakan suatu matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan notasi A -1

Dan AA -1 = I.

Sifat–sifat invers matriks:

-1 a. - Jika A dan B matriks bujur sangkar yang bertipe sama, maka: (AB) =B A

1 . -1 b. -1 Invers dari invers matriks adalah matriks itu sendiri: (A ) =A.

c. -1 Invers matriks satuan adalah matriks satuan itu sendiri atau I = I.

d. -1 Invers matriks tranpose adalah matriks tranpose, atau: (A ‘) = (A )’.

Contoh:

Tentukanlah matriks invers dari A = 

Penyelesaian:

A = = 4 , bearti A non singular dan A ada.

Jadi − 1  0 . 75 − 1 A  = B =

Tentukan invers dari matriks A = 

Penyelesaian:

A = = 0 , berarti A singular dan A tidak ada.

8 4 -1

9. Matriks Skalar, Ortogonal, Singular, dan Non Singular.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau seragam ( λ ). Dalam hal λ =1, matriks yang bersangkutan sekaligus juga merupakan matriks satuan. Matriks skalar juga merupakan hasil kali sebuah skalar dengan matriks satuan, λ I = matriks skalar λ.

Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I. Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan. Sedangkan matriks Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I. Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan. Sedangkan matriks

1.7. Rangkuman

Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks . Jika matrik mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n.

Matriks ditulis dalam bentuk () atau [] dan bentuk lain . Matriks

biasa ditulis dengan huruf besar dan elemen–elemennya dengan huruf kecil. Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila keduanya berorde sama.

Hasil kali sebuah matriks A = [] ij a dengan suatu skalar atau bilangan nyata λ adalah sebuah matriks baru B = [] b ij yang berorde sama dan unsur–unsur

λ kali unsur–unsur matriks semula ( b ij = λ a ij ) .

Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama disebut matriks bujur sangkar Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama ≠ 0 dan

selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal Suatu matriks diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama semuanya 1 disebut matriks satuan.

Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol dan ditulis dengan notasi 0. Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose. Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’ Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan a ij =-

a ij , a ii = 0. Matriks Invers atau matriks balikan adalah adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau seragam ( λ ). Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I. Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan. Matriks nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol, matriks semacam ini mempunyai balikan.

1.8. Latihan

1. Diketahui matriks sebagai berikut:

Tentukanlah nilai dari:

a. 2A+2B

b. 5A-2B

f. A.F.E

2. Diketahui matriks sebagai berikut:  2 5 0 

Tentukanlah nilai dari:

a. 2A+5C

b. 5A-B

f. A.B.F

3. Tinjaulah Matriks–matriks

4. Dengan menggunakan matriks–matriks di latihan no.3 , hitunglah operasi- operasi yang berkaitan dengan (di mana mungkin)

a. 3C-D

b. (3E)D

c. (AB) C

d. A(BC)

e. 2 D+E

5. Apakah yang dimaksud dengan matriks bujur sangkar?

6. Apakah yang dimaksud dengan matriks diagonal?

7. Apakah yang dimaksud dengan matriks satuan ?

8. Apakah yang dimaksud dengan matriks transpose?

9. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris?

10. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris miring?

11. Apakah yang dimaksud dengan matriks invers?

12. Apakah yang dimaksud dengan matriks Skalar?

13. Apakah yang dimaksud dengan matriks Ortogonal ?

14. Apakah yang dimaksud dengan matriks Singular ?

15. Apakah yang dimaksud dengan matriks Non Singular?

1.9.Daftar Pustaka.

1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.

2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.

3. Dumairy.

Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta:BPFE.

1996.

BAB II DETERMINAN

2.1 Tujuan Instruksional Umum

Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks, menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.

2.2 Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan mahasiswa akan dapat:

1. Menyebutkan pengertian determinan dengan benar.

2. Menyebutkan sifat–sifat determinan dengan benar.

3. Menentukan determinan dengan metode Sarrus dengan benar.

4. Menentukan minor dan kofaktor suatu matriks dengan benar.

5. Menentukan matriks kofaktor dengan benar.

6. Menentukan determinan dengan metode ekspansi kofaktor dengan benar.

7. Menentukan determinan dengan metode reduksi baris dengan benar.

2.3 Pengertian Determinan.

Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis

tegak atau . Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau

D A . Determinan dengan matriks dalam tiga hal:

1. Determinan unsur–unsurnya diapit dengan sepasang garis tegak, sedangkan matriks diapit dengan tanda kurung.

2. Determinan senantiasa berbentuk bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom, m=n), sedangkan matriks tidak harus demikian.

3. Determinan mempunyai nilai numerik, tetapi tidak demikian halnya dengan matriks. Pencarian nilai numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan

cara mengalikan unsur–unsurnya secara diagonal.

 a 11 a 12 

Matriks A = 

 , det er min annya ; A =

Nilai numeriknya: A =

a 11 a 12

= a 11 a 22 − a 21 a 12

a 21 a 22

Contoh:  1 2 

maka

det A =

2 4 det B =

Untuk determinan berdimensi 3.  a 11 a 12 a 13 

A =  a 21 a 22 a  

23    a 31 a 32 a 33  

Metode yang digunakan oleh Sarrus untuk menentukan determinan matriks A adalah;

2.4 Sifat–sifat Determinan.

Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama. Contoh: 3 3 3

A = 3 3 3 = 27 + 27 + 27 − 27 − 27 − 27 = 0

2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sama.

Contoh: 2 4 1

A = 3 2 2 = 4 + 16 + 12 − 4 − 16 − 12 = 0

3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sebanding.

Contoh: 2 1 3

A = 2 5 2 = 60 + 8 + 12 − 60 − 8 − 12 = 0

4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol.

Contoh: 2 3 5

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan

determinan matriks ubahannya A’; A = A ' .

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris atau dua kolom bertukar letak.

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur diagonalnya.

Contoh: 2 0 0

A = 0 4 0 = 24

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan bilangan tersebut.

Contoh:

A = 4 2 1 = 12 + 8 + 40 − 8 − 10 − 48 = − 6 jika . baris .. kedua .. dikali . 3

A * = 12 6 3 = 36 + 24 + 120 − 24 − 30 − 144 = − 18 = 3 A

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih, determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan atau lebih.

10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A = 0 ,A

merupakan matriks singular dan A -1 tidak ada.

11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A ≠ 0 , A

merupakan matriks nonsingular dan A -1

ada.

12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.

2.5 Minor dan Kofaktor.

Laplace berhasil mengembangkan suatu cara penyelesaian yang berlaku umum untuk determinan berdimensi berapapun, yakni menggunakan minor dan

kofaktor

dari determinan yang bersangkutan.

Perhatikan kembali penyelesaian determinan berdimensi 3,

A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 31 a 22 a 13 − a 32 a 23 a 11 − a 33 a 21 a 12 Dengan mengatur letak suku-sukunya, penulisan ini bisa diubah menjadi:

A = ( a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 )( + a 12 a 23 a 31 − a 21 a 12 a 33 )( + a 13 a 32 a 21 − a 31 a 22 a 13 )

A = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) + a 12 ( a 23 a 31 − a 21 a 33 ) + a 13 ( a 32 a 21 − a 31 a 22 )

A = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 12 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 13 ( a 32 a 21 − a 31 a 22 )

Ternyata dengan menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi M ij.

M 11 adalah minor dari unsur a 11 , diperoleh dengan jalan menutup baris

ke -1 dan kolom ke-1 dari determinan A . M 12 adalah minor dari unsur a 12 , diperoleh dengan jalan menutup

baris ke -1 dan kolom ke-2 dari determinan A . M 13 adalah minor dari unsur a 13 , diperoleh dengan jalan menutup

baris ke -1 dan kolom ke-3 dari determinan A . Penulisan determinan dalam bentuk minor seperti di atas diubah ke dalam penulisan kofaktor. Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M 11 dilambangkan dengan A ij .

i + j Hubungan antara kofaktor dan minor: A

ij = () − 1 M ij

M ij adalah minor dari unsur a ij , diperoleh dengan jalan menutup baris ke -i dan kolom ke-j dari determinan A .

adalah kofaktor dari unsur a ij. Dengan demikian,

A ij

11 = () − 1 M 11 = () − 1 M 11 = + M 11

12 = () − 1 M 12 = () − 1 M 12 = − M 12

A 13 = () − 1 M 13 = () − 1 M 13 = + M 13

Kofaktor A ij praktis adalah sama dengan minor M ij itu sendiri, jika i + j menghasilkan bilangan genap, dan A ij negatif dari M ij apabila i + j menghasilkan bilangan ganjil. Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor untuk matriks berdimensi 3 adalah sebagai berikut;

Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor

A = a 11 M 11 − a 12 M 12 + a 13 M 13 = ∑ a ij M ij

dalam notasi kofaktor menjadi:

A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = ∑ a ij A ij A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = ∑ a ij A ij

A = ∑ a ij M ij untuk setiap baris; i = 1, 2, 3, …, n.

A = ∑ a ij M ij untuk setiap kolom; j = 1, 2, 3, …, n.

Definisi Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor a ij , maka matriks

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoint A dan dinyatakan dengan adj(A)

3. Diketahui matriks A sebagai berikut:  1 2 3 

Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya.

Penyelesaian: 5 6 2

M 11 =

= − 3 ⇒ A 11 = ()() − 1 − 3 = − 3

M 12 =

= − 6 ⇒ A 12 = ()() − 1 − 6 = 6

M 13 =

= − 3 ⇒ A 13 = ()() − 1 − 3 = − 3

M 21 =

= − 6 ⇒ A 21 = ()() − 1 − 6 = 6

M 22 =

= − 12 ⇒ A 22 = ()( − 1 − 12 ) = − 12

M 23 =

= − 6 ⇒ A 23 = ()() − 1 − 6 = 6

M 31 =

= − 3 ⇒ A 31 = ()() − 1 − 3 = − 3

M 32 =

= − 6 ⇒ A 32 = ()() − 1 − 6 = 6

M 33 =

= − 3 ⇒ A 33 = ()() − 1 − 3 = − 3

4 5 Maka matriks kofaktornya adalah  − 3 6 − 3 

Sedangkan matriks adjoinnya adalah  − 3 6 − 3 

Adj (A ) =  6 − 12 6  

4. Diketahui matriks B sebagai berikut:

Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya

Penyelesaiannya: − 4 3 2

M 11 =

= − 4 ⇒ A 11 = ()() − 1 − 4 = − 4

M 21 =

= − 2 ⇒ A 21 = ()() − 1 − 2 = 2

M 31 =

= 3 ⇒ A 31 = ()() − 1 3 = 3

M 12 =

= − 11 ⇒ A 12 = ()() − 1 − 11 = 11

M 22 =

= − 6 ⇒ A 22 = ()() − 1 − 6 = − 6

M 32 =

= 9 ⇒ A 32 = ()() − 1 9 = − 9

M 13 =

= 12 ⇒ A 13 = ()() − 1 12 = 12

M 23 =

= 7 ⇒ A 22 = () − 1 7 = − 7

M 33 =

= − 10 ⇒ A 32 = ()( − 1 − 10 ) = − 10

− 2 − 4 Maka matriks kofaktornya adalah

Sedangkan matriks adjoinnya adalah  − 4 2 3 

Adj (B ) =  11 − 6 − 9 

Cara penyelesaian determinan yang dikembangkan oleh Laplace dengan menggunakan minor dan kofaktor ini, dikenal dengan sebutan metode ekspansi

dengan kofaktor.

5. Diketahui matriks A sebagai berikut:  1 2 3 

Hitunglah determinan dari matriks A dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:

a. baris pertama

b. baris kedua

c. baris ketiga Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris pertama)

M 11 =

= − 3 ⇒ A 11 = ()() − 1 − 3 = − 3

M 12 =

= − 6 ⇒ A 12 = ()() − 1 − 6 = 6

M 13 =

= − 3 ⇒ A 13 = ()() − 1 − 3 = − 3

A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 = 1 ( − 3 ) + 2 ( 6 ) + 3 ( − 3 ) = 0

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris kedua)

M 21 =

= − 6 ⇒ A 21 = ()() − 1 − 6 = 6

M 22 =

= − 12 ⇒ A 22 = ()( − 1 − 12 ) = − 12

M 23 =

= − 6 ⇒ A 23 = ()() − 1 − 6 = 6

A = a 21 A 21 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = 4 ( 6 ) + 5 ( − 12 ) + 6 ( 6 ) = 0

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris ketiga) 1 2 3

M 31 =

= − 3 ⇒ A 31 = ()() − 1 − 3 = − 3

M 32 =

= − 6 ⇒ A 32 = ()() − 1 − 6 = 6

M 33 =

= − 3 ⇒ A 33 = ()() − 1 − 3 = − 3

A = a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 = 7 ( − 3 ) + 8 ( 6 ) + 9 ( − 3 ) = 0

6. Diketahui matriks B sebagai berikut:  3 1 0 

Hitunglah determinan dari matriks B dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:

a. kolom pertama

b. kolom kedua b. kolom kedua

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom pertama) 3 1 0

M 11 =

= − 4 ⇒ A 11 = ()() − 1 − 4 = − 4

M 21 =

= − 2 ⇒ A 21 = ()() − 1 − 2 = 2

M 31 =

= 3 ⇒ A 31 = ()() − 1 3 = 3

− 4 3 B = a 11 A 11 + a 21 A 21 + a 31 A 31 = 3 ( − 4 ) + ( − 2 )( 2 ) + 5 ( 3 ) = − 1

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom kedua)

M 12 =

= − 11 ⇒ A 12 = ()( − 1 − 11 ) = 11

M 22 =

= − 6 ⇒ A 22 = ()() − 1 − 6 = − 6

M 32 =

= 9 ⇒ A 32 = ()() − 1 9 = − 9

B = a 12 A 12 + a 22 A 22 + a 23 A 23 = 1 ( 11 ) + ( − 4 )( − 6 ) + 4 ( − 9 ) = − 1

7. Diketahui matriks C sebagai berikut:

Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor Penyelesaian: Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua,

6 14 3 6 Karena a 13 dan a 23 nilainya masing-masing adalah nol, maka minor yang dicari

hanya M 33 dan M 43 . Pada minor M 33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

3 + Sehingga diperoleh kofaktor 3 A

Pada minor M 33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga

4 4 4 M 43 = 1 1 − 1

4 + Sehingga diperoleh kofaktor 3 A

Maka determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah

C = ( − 3 ). 64 + 3 . 24 = − 120

8. Diketahui matriks D sebagai berikut:  2 5 4 1 

Hitunglah determinan dari matriks D dengan menggunakan ekspansi kofaktor

a. sepanjang kolom keempat.

b. Sepanjang baris pertama. Penyelesaian:

a. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom keempat,

Maka minor yang dicari adalah M 14, M 24, M 34, M 44

Pada minor M 14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

1 + Sehingga diperoleh kofaktor 4 A

Pada minor M 24 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

2 + Sehingga diperoleh kofaktor 4 A

Pada minor M 34, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

3 + Sehingga diperoleh kofaktor 4 A

Pada minor M 44 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

4 + Sehingga diperoleh kofaktor 4 A

D = 1 .( − 129 ) + 1 . 64 + 2 .( − 29 ) + 3 . 91 = 150

b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama,

Maka minor yang dicari adalah M 11, M 12, M 13, M 14

Pada minor M 11 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

1 + Sehingga diperoleh kofaktor 1 A

Pada minor M 12 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

1 + Sehingga diperoleh kofaktor 2 A

Pada minor M 13, diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

1 + Sehingga diperoleh kofaktor 3 A

Pada minor M 14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

1 + Sehingga diperoleh kofaktor 4 A

D = 2 . 69 + 5 . 45 + 4 .( − 21 ) + 1 .( − 129 ) = 138 + 225 − 84 − 129 = 150

2.8 Reduksi Baris.

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

Mula –mula kita meninjau dua golongan matriks yang determinannya dapat dihitung dengan mudah, tidak peduli berapapun besarnya ukuran matriks tersebut.

Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah (lower triangular)) jika semua entri di atas diagonal utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun yang merupakan segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).

Contoh: Sebuah matriks segitiga atas 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:

Maka nilai determinan det A = a . 11 a 22 . a 33 a 44

Sebuah matriks segitiga bawah 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:

Maka nilai determinan det A = a . 11 a 22 . a 33 a 44

Teorema Jika A adalah matriks segitiga ukuran n x n ,maka det(A) adalah hasil kali

entri –entri pada diagonal utama, yakni det A = a . 11 a 22 . a 33 a 44

Teorema Misalkan A adalah sebarang matriks n x n

1. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A) =k.det(A)

2. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = - det(A)

3. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A) =det(A)

Contoh: Tentukan determinan matriks–matriks berikut ini menggunakan reduksi baris:

Penyelesaian:

= 0 1 4 (baris 3 dikurang pada baris 1)

= 1 0 1 4 (baris ke - 3 dikurang

4 x baris ke - 1 )

0 0 - 2 = 4.1.(-2) = -8

Matriks A 1 di atas dapat pula diselesaikan dengan cara reduksi baris berikut ini:

= 4 . 0 1 4 (faktor bersama baris ke - 1 terlebih dahulu diambil)

= 4. 0 1 4 (baris ke - 3 dikurang baris ke - 1)

0 0 - 2 = 4.(1.1.(-2 )) = -8

= − 0 1 4 (tukarkan baris ke - 1 dg baris ke - 2 )

= − 0 1 4 (baris ke - 3 dikurang baris ke - 1 )

1 2 3 = − 2 − 3 2 (baris ke - 2 ditambah 2 kali baris ke - 1 , baris ke - 3 dikurang baris ke - 1)

Contoh; Hitunglah determinan A, dimana:

Penyelesaian:

0 0 0 = 0 (baris ke - 2 ditambah (-2)dikali baris ke - 1 )

1 1 4 8 = 0 ( kita tidak memerlukan reduksi selanjutny a karena sesuai sifat determinan )

Contoh; Setiap matriks berikut mempunyai dua baris yang sebanding, jadi berdasarkan sifat –sifat determinan maka matriks tersebut memiliki determinan sebesar nol.

9. Diketahui matriks C sebagai berikut:

Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan reduksi baris. Penyelesaian:

( tukarkan b 1 dg b 2 )

( tukarkan b 2 dg b 4 )

8 = 8 8 ( faktor bersama baris ke - 2 dikeluarka n )

2.9 Rangkuman.

Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak atau

. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau D A

Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.

2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sama.

3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sebanding.

4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol.

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan

determinan matriks ubahannya A’; A = A ' .

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris atau dua kolom bertukar letak.

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur diagonalnya.

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan bilangan tersebut.

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih, determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan atau lebih.

10. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A = 0

, A merupakan matriks singular dan A -1 tidak ada.

11. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A ≠ 0 ,

A -1 merupakan matriks nonsingular dan A

ada.

12. Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.

Menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi M ij.

Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M 11 dilambangkan

i + dengan A j

ij . Hubungan antara kofaktor dan minor: A ij = () − 1 M ij

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung.

13. Latihan.

1. Hitunglah determinan dari:

2. Hitunglah determinan matriks yang diberikan dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris.

a. 

3. A Misalkan  = − 2 7 1 

a. Carilah semua minor.

b. Carilah semua kofaktor.

4. Misalkan A = 

5. Hitunglah determinan dari matriks dalam latihan no. 3 (di atas) dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:

a. baris pertama

b. kolom pertama

c. baris kedua

d. kolom kedua

e. baris ketiga

f. kolom ketiga

6. Dalam soal di bawah ini hitunglah determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang sebuah baris atau kolom pilihan anda:

a. A  = 8 6 8 

b. 

2.8 Daftar Pustaka.

1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.

2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.

3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta:BPFE.