3. MEKANIKA BENDA LANGIT - 3. MEKANIKA BENDA LANGIT

3. MEKANIKA

BENDA LANGIT

3.1. ELIPS

  Sebelum belajar Mekanika Benda Langit lebih lanjut, terlebih dahulu perlu diketahui salah satu bentuk irisan kerucut yaitu tentang elips.

Gambar 3.1. Geometri Elips

  Dimana : a = setengah sumbu panjang elips (semi-major axis) b = setengah sumbu pendek elips (semi-minor axis) c = jarak fokus elips (focal length) f = titik fokus elips (foci) Perhatikan bahwa elips mempunyai 2 buah titik fokus.

  Hubungan-hubungan yang berlaku di antara besaran-besaran di atas adalah di mana : e = eksentrisitas elips. Eksentrisitas adalah ukuran kelengkungan sebuah elips. Nilainya ada di antara 0 dan 1 (0 < e < 1). Luas elips dapat dihitung dengan rumus L = πab Sedangkan keliling elips adalah K = ½ π (a + b) Lintasan benda-benda langit (dalam hal ini kita batasi saja dulu, lintasan planet-planet dalam tata surya kita), kebanyakan berbentuk elips, walaupun sebenarnya orbitnya hampir menyerupai lingkaran (dikarenakan oleh eksentrisitas yang cukup kecil, mendekati 0, hanya untuk planet-planet yang cukup dekat dengan matahari).

  Orbit Bumi mengelilingi matahari, misalkan, mempunyai eksentrisitas 0.0167. Sedangkan Komet Halley, mempunyai orbit yang sangat lonjong, eksentrisitasnya 0,967 (nyaris parabola). Karena itu, untuk orbit-orbit yang eksentrisitasnya sangat kecil, untuk mempermudah persoalan, biasanya akan diasumsikan orbit benda yang dimaksud berbentuk lingkaran (e = 0).

3.2. HUKUM KEPLER

  Hukum I Kepler

  

Dari sifat fsis elips kita mengetahui bahwa elips mempunyai dua titik

focus. Matahari kita berada disalah satu titik fokusnya, sesuai dengan

pernyataan kepler I:

Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di

mana matahari terletak pada salah satu fokusnya.

  Konsekuensinya, pada saat tertentu, planet akan mempunyai jarak yang terdekat dengan matahari yang kita sebut perihelion, dan juga ada saatnya planet berada pada jarak terjauhnya dari matahari yang kita sebut aphelion (gambar 2). Sesuai dengan aturan kekekalan momentum sudut (mvr = konstan), maka kecepatan planet mengorbit planet tidaklah sama pada setiap saat. Ketika planet ada di perihelion, maka kecepatannya akan maksimum (karena r-nya minimum) dan ketika planet ada di aphelion, maka kecepatannya akan minimum (karena r-nya maksimum).

  a+c a-c

  a- a+ da dp c c c a

Gambar 3.2. Lintasan Planet Mengelilingi Matahari

  Pada saat mencapai perihelion, jarak planet ke matahari kita sebut dp, dapat dihitung, dp = a – c = a – ea = a(1 – e) Pada saat mencapai aphelion, jarak planet ke matahari kita sebut da, dapat dihitung, da = a + c = a – ea = a(1 + e)

  Hukum II Kepler

  

Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet

adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama.

Gambar 3.3. Hubungan luas daerah

  Hukum Kepler yang kedua menjelaskan bahwa untuk selang waktu dengan periode yang sama, planet menyapu luas juring yang sama. Konsekuensinya, pada perihelion planet akan mempunyai kecepatan orbit yang paling besar dan pada aphelion planet akan mempunyai kecepatan orbit yang paling kecil. Hukum III Kepler

  

Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu

kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet

tersebut dari matahari.

  Jika T ^{1 dan T 2 menyatakan periode dua planet, dan r 1 dan r 2} menyatakan jarak rata-rata mereka dari matahari, maka _{2 3} T r _{1 1} =

  T r _{2 2} ( ) ( )

  CONTOH:

  1. Sebuah planet pada berada di aphelion berjarak 18 SA. Pada saat diperihelion berjarak 15 SA. Tentukan eksentrisitas planet tersebut?

  a. 0,12 b. 0,09

  c. 0,06

  d. 0,04

  e. 0,25

  2. Jarak Merkurius pada titik perihelionnya adalah 0,341 SA dari Matahari, dan setengah sumbu panjangnya adalah 0,387 SA. Luas daerah yang disapunya dalam satu periode adalah ₂

  a. 0,467 SA ₂

  b. 0,312 SA ₂

  c. 0,104 SA ₂

  d. 0,213 SA ₂

  e. 0,621 SA (OSK 2009)

  3. Periode orbit Merkurius adalah 88 hari. Jika jarak perihelion 0,30 SA, berapa eksentrisitasnya?

  a. 0,09

  b. 0,15

  c. 0,17

  d. 0,19

  e. 0,22

  4. Jika setengah sumbu panjang dan eksentrisitas planet Mars adalah a = 1,52 dan e = 0,09 sedangkan untuk Bumi a = 1 SA dan e = 0,017. Kecerlangan minimum Mars pada saat oposisi, terjadi ketika jaraknya dari Bumi pada saat itu; a. 0,67 SA

  b. 0,70 SA

  c. 0,72 SA

  d. 0,37 SA

  e. 0,50 SA (OSP 2008) PEMBAHASAN: 1. d a = 18 SA d p = 15 SA e = ……

  d a ( 1+e ) _a

  =

  d ( ) _{p a 1−e} ( 1+e )

  18 15 =

  ( 1−e ) ( )

  1+e 1,2=

  ( 1−e )

  1,2 – 1,2e = 1 + e 0,2 = 2,2e e = 0,09 (B) _p

  2. d = 0,341 SA a = 0,387 SA Luas elips =…. _e L = π.a.b Dari jarak perihelion, kita dapat menghitung eksentrisitas _p d = a(1 – e) e = 0,119 c = e.a = 0,046 _{2 2 2} a = b + c b = 0,384 SA Sehingga dapat dihitung Luas elips = 3,14 x 0,387 x 0,384 = ₂

  0,467 SA (A)

  3. P = 88 hari = 0,24 tahun _p d = 0,30 SA eksentrisitas =… Pertama-tama kita harus mencari setengah sumbu panjang, dengan menggunakan hukum Kepler III _2/3 a = 0,24 = 0,387 SA d p = a(1 – e) e = 0,22 (E)

  4. Kecerlangan minumum Mars pada saat oposisi terjadi pada saat Bumi berada paling dekat dari Matahari (Bumi di perihelion) dan Mars berada paling jauh dengan Matahari (Mars di aphelion) Diketahui: a M = 1,52 SA e M = 0,09 a B = 1 SA e B = 0,017 Sehingga pada saat Bumi berada di perihelion, jaraknya dari Matahari adalah: d a = a (1 - e) = 1 ( 1 - 0,017) = 0,983 SA Sedangkan pada saat Mars berada di aphelion, jaraknya dari Matahari adalah: d p = a (1 + e) = 1,52 ( 1 + 0,09) = 1,6568 SA Dengan demikian, jarak antara Mars dan Bumi pada saat kecerlangan maksimum Mars adalah 1,6568 AU – 0,983 AU = 0,6738 SA (A)

  LATIHAN:

  1. Jika setengah sumbu pendek sebuah asteroid adalah 9 SA dan eksentrisitasnya 0,15, hitung setengah sumbu panjang asteroid tersebut?

  a. 9,8 SA

  b. 9,6 SA

  c. 9,3 SA

  d. 9,1 SA

  e. 8,5 SA

  2. Planet X berada di aphelion pada jarak 24 AU. Jika eksentrisitasnya 0,18, berapa radius orbit planet tersebut?

  a. 17,21 SA

  b. 19,10 SA

  c. 20,34 SA

  d. 22,20 SA

  e. 26,30 SA ₁₀

  3. Jika jarak terdekat komet Halley ke Matahari adalah 8,9 x 10 meter, dan periodenya 76 tahun, maka eksentrisitasnya adalah a. 0,567

  b. 0,667

  c. 0,767

  d. 0,867

  e. 0,967 (OSK 2009)

  4. Jika setengah sumbu panjang dan eksentrisitas planet Mars adalah a = 1,52 dan e = 0,09 sedangkan untuk Bumi a = 1 SA dan e = 0,017. Kecerlangan maksimum Mars pada saat oposisi, terjadi ketika jaraknya dari Bumi pada saat itu; a. 0,37 SA

  b. 0,27 SA

  c. 0,32 SA

  d. 0,40 SA

  e. 0,50 SA (OSP 2008)

  5. Planet A dan B masing-masing berjarak rata-rata sebesar p dan q terhadap matahari. Planet A mengitari matahari dengan periode T.

  Jika p = 4q maka periode planet B mengitari matahari adalah…

  1 a.

  12 T

  1 b.

  10 T

  1 c.

  8 T

  1 d.

  6 T

  1 e.

  4 T

  6. Jika perbandingan jarak sebuah planet X ke matahari dangan jarak bumi kematahari adalah 9:1, maka periode planet mengitari matahari adalah….

  a. 3 tahun

  b. 6 tahun

  c. 9 tahun

  d. 18 tahun

  e. 27 tahun 7. Dua buah benda mengorbit benda ketiga sebagai benda sentral. Benda A mengorbit elips dengan setengah sumbu panjang 16 satuan dan setengah sumbu pendek 9 satuan, benda B mengorbit lingkaran dengan jari-jari 12 satuan. Keduanya bergerak dari titik awal yang sama. Setelah menyelesaikan satu putara, maka di titik awal itu

  a. Benda A dan benda B tiba bersamaan

  b. Benda A tiba lebih awal dari benda B

  c. Benda B tiba lebih awal dari benda A

  d. Benda A mendahului benda B

  e. Benda A berada dibelakang benda B (OSK 2009)

  8. Menurut Hukum II Kepler, komet (yang mempunyai orbit yang sangat lonjong) akan menghabiskan waktu terbanyak pada saat a. Dekat dengan Matahari

  b. Jauh dari Matahari

  c. Menambah laju rotasinya

  d. Dekat dengan planet-planet e. Mengurangi laju rotasinya (OSK 2007)

  9. Bila diketahui eksentrisitas orbit bumi mengelilingi Matahari adalah 0.017 maka perbandingan diameter sudut Matahari saat _{P A P A ,} Bumi di titik perihelion,  , dan saat Bumi di apgelion,  ,  / adalah a. 967/1000

  b. 17/1000

  c. 983/1000

  d. 34/1000

  e. 1.00 (OSP 2007)

  10. Jika pada titik X dalam orbitnya, sebuah planet memiliki kecepatan gerak (kecepatan orbit) paling besar dibandingkan kecepatan di titik lainnya, pernyataan yang TIDAK BENAR adalah:

  a. pada titik X tersebut, jarak planet ke Matahari mencapai maksimum b. titik X dan kedua titik fokus elips orbit planet akan terletak segaris c. titik X tersebut adalah titik perihelion

  d. garis singgung orbit planet pada titik X akan membentuk sudut 90° dengan garis hubung planet-Matahari

  e. titik X berada di sumbu panjang elips orbit planet (OSK 2005)

  KUNCI JAWABAN

  1. D

  6. E

  2. C

  7. B

  3. E

  8. B

  4. A

  9. A

  5. C

  10. A

3.3. HUKUM GRAVITASI NEWTON

  Newton mengajukan hukum gravitasi umum Newton, yang berbunyi : Gaya gravitasi antara dua benda merupakan gaya tarik-menarik yang besarnya berbanding lurus dengan massa masing-masing benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya.

  Ma Mb

  F

  d

Gambar 3.4. Tarik-menarik antara dua benda

  G M M _{a b} F= ₂ d

  Keterangan: M a = massa benda pertama (kg) M b = massa benda kedua (kg) d = jarak kedua benda (m)

• _-11
_{2 2} G = Konstanta gravitasi umum = 6,67 x 10 N m /kg

  Pertanyaan selanjutnya, mengapa dua benda yang tidak bersentuhan dapat saling menarik? Mengapa matahari dapat menarik Bumi, padahal keduanya tidak bersentuhan? Untuk menjelaskan masalah ini, kita perlu mengenal konsep kuat medan gravitasi. Setiap benda menghasilkan medan gravitasi pada ruang disekitarnya. Besarnya kuat medan gravitasi yang dihasilkan oleh benda bermassa M adalah

  M g r G ( ) = ₂ r

  Arah kuat medan gravitasi selalu menuju ke pusat benda seperti tampak pada gambar berikut

Gambar 3.5. Arah kuat medan gravitasi

  Gaya gravitasi muncul akibat interaksi antara medan gravitasi yang dihasilkan suatu massa dengan massa lain yang berada pada lokasi medan gravitasi itu. Dari hukum gravitasi Newton ini dapat kita gunakan untuk menentukan massa Bumi. Semua benda yang kita jatuhkan dekat ₂ permukaan bumi akan bergerak dengan percepatan g = 9,8 m/s . Jadi pada benda bekerja gaya F = -mg dengan F adalah gaya gravitasi antara benda dan bumi. Sehingga terdapat hubungan

  G M _⨁ g= ₂ R _{⊕ ❑} M _⨁

  adalah massa bumi dan R adalah jari-jari bumi. Dari pengukuran _⊕ jari-jari bumi yang dilakukan dengan metode triangulasi didapat bahwa Jari-jari ekuator a = 6378,2 km Jari-jari kutub b = 6356,8 km Bumi tidak berbentuk bola sempurna melainkan agak pipih di kutub. Kita dapat mendefnisikan jari-jari rata-rata bumi sebagai jari-jari sebuah bola yang volumenya sama dengan volume bumi sebenarnya. Dapat dihitung jari-jari rata-rata bumi adalah R B = 6371 km ₆

  = 6,37 x 10 m Dengan demikian dapat dihitung massa Bumi _{2 2 6 2}

  g . R 9,8 m/ s x(6,37 x 10 m) _{B 27} M = = 5,98 x 10 kg _{⨁ − 11 2 2} G =

  6,67 x 10 N . m kg /

  Selanjutnya akan kita bahas gerak bulan mengitari bumi berdasarkan hukum gravitasi Newton. Andaikan bulan tidak mengalami gaya apapun juga, bulan akan bergerak lurus dengan kecepatan tetap. Tetapi kenyataannya bulan tidak bergerak lurus melainkan bergerak mengitari bumi, berarti pada bulan harus bekerja suatu gaya yang tak lain adalah gaya gravitasi bumi. Bila kita mengabaikan gaya gravitasi bulan terhadap bumi (karena massa bulan hampir 100 kali lebih kecil dari massa bumi) maka percepatan bulan terhadap bumi akibat gaya gravitasi tersebut adalah

  G. M _⨁ a= ₂ d

  d adalah jarak bumi bulan. Sebenarnya orbit bulan berupa elips, tetapi untuk perhitungan sederhana kita andaikan orbit bulan berbentuk lingkaran dengan jejari d. Kita tahu bahwa pada benda yang bergerak melingkar dengan kecepatan tetap terjadi percepatan kea rah pusat, yang disebut percepatan sentripetal yang besarnya adalah ₂

  v a= d

  Percepatan pada bulan ini disebabkan oleh gaya gravitasi bumi, sehingga:

  v ² d = G . M _⨁ d ² Bila kala edar atau periode orbit bulan kita sebut P, maka v=

  CONTOH: c. 2 kali

  a. 0,1 kali

  2. Matahari mengelilingi pusat Galaksi dengan radius orbit 30.000 tahun cahaya. Anggap massa Galaksi sebagian besar terkumpul di pusat dan orbit Matahari berbentuk lingkaran sempurna. Jika Matahari dipindahkan mendekati pusat Galaksi sehingga radius orbitnya menjadi 1% dari semula, kecepatan liniernya menjadi berapa kali?

  e. 17,8 N/kg

  d. 12,7 N/kg

  c. 8,5 N/kg

  b. 3,75 N/kg

  a. 1,2 N/kg

  1. Hitunglah percepatan gravitasi di permukaan planet Mars. Diketahui massa Mars 6,418 x 10 ²³ kg dan jari-jari 3,38 x 10 ⁶ m

  d ³ G P ² M _⊕ ≈ 6 x 10 ²⁴ kg

  2 πd

  = 4 π ²

  M _⊕

  4 π ² Dari pengamatan diketahui kala edar bulan 27,3 hari atau 2.358.780 secon dan jarak Bumi-Bulan adalah 384.000 km, sehingga dapat dihitung massa bumi

  G . M _⊕

  =

  d ³ P ²

  Sehingga,

  P

  b. 1 kali

  d. 10 kali

  e. 100 kali (OSK 2005)

  3. Percepatan gravitasi bulan adalah 1/6 kali percepatan gravitasi bumi dan jari-jari bulan adalah 0,25 kali jari-jari bumi. Hitunglah perbandingan antara kerapatan bulan dan kerapatan bumi?

  a. 1/2

  b. 2/5

  c. 2/3

  d. 4/5

  e. 8/3

  4. Jika massa Matahari menjadi dua kali lebih besar dari sekarang, dan apabila planet-planet termasuk Bumi tetap berada pada orbitnya seperti sekarang, maka periode orbit Bumi mengelilingi Matahari adalah, a. 258 hari

  b. 321 hari

  c. 365 hari

  d. 423 hari

  e. 730 hari (OSK 2009)

  5. Callisto yang merupakan bulannya planet Jupiter, mengedari planet Jupiter pada jarak 1,88 juta kilometer dan dengan periode 16,7 hari.

  Apabila massa Callisto diabaikan, karena jauh lebih kecil daripada massa Jupiter, maka massa planet Jupiter adalah a. 10,35 x 10 ^-4 massa Matahari

  b. 9,35 x 10 ^-4 massa Matahari

• 4

  c. 8,35 x 10 massa Matahari _-4

  d. 7,35 x 10 massa Matahari _-4

  e. 6,35 x 10 massa Matahari (OSK 2009)

  PEMBAHASAN: ₂₃

  1. Diketahui : M = 6,418 x 10 kg ₆ R = 3,38 x 10 m Ditanya: g Jawab:

  M g=G ₂ R _{− 11 2 2 6,418 x 10 kg 23} g=6,67 x 10 N m / kg x _{6 2}

  3,38 x 10 m) (

  g=3,747 N /kg

  2. Diketahui : R = 30.000 tahun cahaya R’ = 1% R = 300 tahun cahaya

  Ditanya : V’ Jawab: _{2 G . M}

  V

  = ₂ R V ' R =

  V R ' =100 ( )

  Maka V’ = 10 V (D)

  3. Diketahui : g BL = 1/6 g BM R BL = 0,25 R BM

  Ditanya : ρ BL / ρ BM Jawab:

  ρ g R _{BL BL BM}

  1

  1

  2 = = = ( C )

  ρ g R _{BM BM BL} 6 ( 0,25 )

  3

  4. Diketahui: M’ = 2M R’ = R

  Ditanya: P B ’ = … Jawab: _{2 G . M}

  V

  =

  R

  2 πR

  V = P

  Maka ₃ 4. π . R

  M= ₂ G . P ₂ M P' _' = P

  ( ) M _{' P 365} P = = =

  258 hari (A)

  √

  2 √

  2 ₆

  5. Diketahui : d = 1,88 x 10 km = 0,012533 AU P = 16,7 hari = 0.045753 tahun

  Ditanya Massa Jupiter Jawab: _{3 3}

  d 0,012533 − ⁴ M= 9,35 x 10 M

  B) ₂ = = ( _{2 ⊙} P 0,045753

  LATIHAN:

  1. Besar gaya gravitasi dua buah benda adalah F. Jika jarak antara kedua buah benda diperkecil menjadi seperempat, maka besar gaya gravitasi berubah menjadi….

  a. 16F

  b. 8 F

  c. 4F

  d. F/4

  e. F/16

  2. Pada jarak berapa Bulan harus ditempatkan dari Bumi agar Bulan menjadi geostasioner? (Geostasioner terjadi ketika periode orbit bulan sama dengan periode rotasi Bumi, yaitu 24 jam)

  a. 2500 km

  b. 4267 km

  c. 6780 km

  d. 8432 km

  e. 9456 km

  3. Anggap Bumi mengelilingi matahari dalam orbit lingkaran dengan radius orbit 1 satuan astronomi dan periode orbit 365,25 hari.

  Berapa percepatan sentripetal yang dialami Bumi? ₂

  a. 6 m/s ₂

  b. 0,6 m/s ₂

  c. 0,06 m/s ₂

  d. 0,006 m/s ₂

  e. 0,0006 m/s (OSK 2010)

  4. Matahari mengorbit pusat galaksi Bima Sakti dengan setengah _{9 8} sumbu panjang orbitnya 1,8 x 10 AU dan periodenya 2 x 10 tahun. Apabila massa matahari diabaikan terhadap massa Bima Sakti, dan hukum Kepler III berlaku, maka massa galaksi Bima Sakti adalah: ₇

  a. 1,46 x 10 kali massa Matahari ₇

  b. 4,05 x 10 kali massa Matahari ₁₁

  c. 1,46 x 10 kali massa Matahari ₁₁

  d. 4,05 x 10 kali massa Matahari ₁₉

  e. 1,02 x 10 kali massa Matahari (OSK 2009)

  5. Bianca adalah bulannya Uranus yang mempunyai orbit berupa ₄ lingkaran dengan radius orbitnnya 5,92 x 10 km, dan periode orbitnya 0,435 hari. Tentukanlah kecepatan orbit Bianca ₂

  a. 9,89 x 10 m/s ₃

  b. 9,89 x 10 m/s ₄

  c. 9,89 x 10 m/s ₅

  d. 9,89 x 10 m/s ₆

  e. 9,89 x 10 m/s (OSP 2009)

  6. Dengan menggabungkan hukum Newton dan hukum Kepler, kita dapat menentukan massa Matahari asalkan kita tahu a. Massa dan keliling bumi

  b. Temperatur matahari yang diperoleh dari hukum Wien

  c. Densitas matahari yang diperoleh dari spektroskopi

  d. Jarak Bumi-Matahari dan lama waktu Bumi mengelilingi Matahari

  e. Waktu eksak transit Venus dan diameter Venus (OSP 2009)

  7. Dua buah galaksi saling mengorbit satu sama lainnya dengan periode 50 milyar tahun. Jarak kedua galaksi adalah 0,5 juta parsek. Tentukanlah massa kedua galaksi tersebut! ₁₁

  a. 1,2 x 10 massa matahari ₁₁

  b. 2,4 x 10 massa matahari ₁₁

  c. 3,2 x 10 massa matahari ₁₁

  d. 4,4 x 10 massa matahari ₁₁

  e. 5,2 x 10 massa matahari (OSP 2009)

  8. Seorang astronot terbang di atas Bumi pada ketinggian 300 km dan dalam orbit yang berupa lingkaran. Ia menggunakan roket untuk bergeser dari ketinggian 400 km dan tetap dalam orbit lingkaran. Kecepatan orbitnya adalah a. Lebih besar pada ketinggian 400 km

  b. Lebih besar pada ketinggian 300 km

  c. Kecepatannya sama karena orbitnya sama-sama berupa lingkaran d. Kecepatannya sama karena dalam kedua orbit efek gravitasinya sama e. Tidak cukup data untuk menjelaskan (OSK 2008)

  9. Apabila Bumi jaraknya menjadi 3 AU dari Matahari, maka bessarnya gaya gravitasi antara Bumi dan Matahari, menjadi a. 3 kali daripada gaya gravitasi sekarang

  b. 1,5 kali daripada gaya gravitasi sekarang

  c. Sama seperti sekarang

  d. Sepertiga kali daripada gaya gravitasi sekatang

  e. Sepersembilan kali daripada gaya gravitasi sekarang (OSK 2008)

  10. Radius matahari besarnya 110 kali radius bumi dan densitas rata- ratanya ¼ densitas rata-rata Bumi. Dengan data ini, massa matahari besarnya…

  a. 1.330.000

  b. 330.000

  c. 25.000

  d. 3.000

  e. 10.000