Edisi 13 April Pekan Ke-1, 2007 Nomor Soal: 121-130

  

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 13

April Pekan Ke-1, 2007

  

Nomor Soal: 121-130

_{2 2}

   

  x, y yang memenuhi persamaan x y 2007 dan

 

  121. Tentukan banyak pasangan bilangan real

  cot  x cot   y

  1 .

   Solusi:

  cot  x cot   y

  1 tan π  x cot π y

  π  tan x  tan   y π  π 

  2   π x   y  k

  π π π

  2

  1 x y k

     _{2 2}

  2 x  y  2007 _{2 2}  1  x  k   x  2007

   

  2   _{2 2    }

  1

  1 ₂ x  k   2 x k   x  2007

     

  2

  2 _{2 }     ₂ 1   1  2 x  k  

  2 x k   2007    

  2

  2     ₂

  1 _{2 }   k

       k 1 

  2   2 x     2007    

  2

  4

  2     _{2 2 k }  1   

     k 1  2 2007   x    

     

  2

  4

  4

  2     ₂ 

  1  k 

    2007 2 

  Karena   , maka ₂

  4

  2  1  k   4014

   

  2    1  1  k   4014 k   4014 

    

  2

  2   

  1

  1   4014     k 4014

  2

  2 Karena k bilangan bulat, maka   

  63 k 62 . Setiap nilai k memberikan dua kemungkinan pasangan   x, y , karena ₂

  1 _{2 k }        k

  1 

  2  

2 x     2007 memberikan dua nilai x, kemudian nilai y ditentukan dari

   

  2

  4

  2    

  1 x  y  k  .

2 Jadi, banyak pasangan bilangan real x, y adalah .

   

  2   126  252

  2

  4

  6 π π π

  8cos 8cos 8cos

  , and adalah akar-akar persamaan berderajat tiga (kubik), carilah 122. Jika

  7

  7

  7 persamaan tersebut.

  Solusi:

  3

  2 Misalnya persamaan berderajat tiga (kubik) adalah ax  bx  cx  d  dengan akar-akarnya

  2

  4

  6 π π π x  2 cos , x  2cos , dan x  2cos . _{1 2 3}

  7

  7

  7 Menurut Vieta:

  b x x x ₁     _{2 3} a

  2   π 2 π 4 π 6 π sin 2 cos  2 cos  2 cos

   

  b

  2

  7

  7

  7

  7 π 4π 6π  

    2cos  2cos  2cos  2 π

  a

  7

  7

  7 sin

  7

  2 π 2 π 2 π 4 π 2 π 6 π 2 sin cos  2 sin cos  2 sin cos

  7

  7

  7

  7

  

7

  7  2 π sin

  7

  4

  8 π 6 π 2 π 8π 4 π π 6 π 2 π sin  sin  sin  sin  sin sin  sin  sin

  7

  7

  7

  7

  7

  7

  7

  7   2 π 2 π sin sin

  7

  7 π 2 π 8sin  π cos sin

  7

  7   

  1

  2 π sin

  7 b

   

  1

  a c x x x x x x _{1 2}    _{1 3 2 3} a c

  2 π 4π 2π 6π 4π 6π

   2cos  2cos  2cos  2cos  2cos  2cos

  a

  7

  7

  7

  7

  7

  7

  c 

  2      π 4π 2π 6π 4π 6π

   2 2 cos cos  2 2 cos cos  2 2 cos cos      

  a

  7

  7

  7

  7

  7

  7      

  c 

  6  π 2 π 8π 4 π 10π 2 π

   2 cos  cos  cos  cos  cos  cos 

  

  a

  7

  7

  7

  7

  7

  7 

  

  c 

  2  π 4 π 6 π 8π 10 π 2 π

        2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos  

  a

  7

  7

  7

  7

  7

  7  

  c

  8 π 10π 2π

     1 2cos  2cos  2cos

  a

  7

  7

  7

  c  6 π   4 π  2 π    1 2 cos 2     π 2cos 2 π 2cos

      a

  7

  7

  7     c 

  6  π 4 π 2 π

     1 2 cos  2 cos  2 cos  

  a

  7

  7

  7  

  c

     1 1

  a c

   

  2

  a d x x x _{1 2 3}   a

  2

  4 π 2 π 4 π 6 π π 4 π 6 π 8sin cos cos cos 4 sin cos cos d

  2 π 4π 6π

  7

  7

  7

  7

  7

  7

  7 2 π 2 π a

  7

  7

  7

  sin sin

  7

  7

  6  π  6 π

  8

   2 sin 2 π cos

  6 π 6 π π 6 π 12 π

  2 sin cos  2 sin cos

     sin

  7

  7

  7 7  

  7

  7

  7    

  2

  2

  2

  2

π π π π

sin sin sin sin

  7

  7

  7

  7

  2  π 

  2 π

   sin 2 π    sin

  7  

  7

    

  1

  2

  2

  π π sin sin

  7

  7 d

   

  1

  a ₃

₂

_{3 2} Karena itu persamaannya adalah x  

  1 x   2 x    1 x  x  2 x   1 .

         a b c . Dua

    123. Diberikan ABC siku-siku di C yang panjang sisi-sisi adalah a, b, dan c, dengan lingkaran yang sama dengan jari-jari r berada di dalam segitiga yang bersinggungan dan juga sisi AC dan AB dan lingkaran yang lain menyinggung sisi AC dan BC. Buktikan bahwa

  

  b  c b 

a  6, b  8, dan c 

  10 r  dan hitunglah r jika .   3 c

  3 b a

  B c a A

  C Solusi: b

  A

  2 tan

  2  tan A _{2 A} B

  1  tan

  2

  c A

  2 tan

  a r a

  2 r r

  Q P

   _{2 A}

  b r r

  1  tan

  A

  2 C

  R S b

  2 tan

  1 sin 70 2sin 70

   

    

  BC BC OC

  sin 30 sin 80 2sin 80

  …. (2)

  

   

  AD AB

  sin 50 sin 80

  …. (1)

   

    

  BC AB

  sin 30

  sin 20 sin 80

  80 ADB . Sekarang kita gunakan aturan sinus pada ABC  , ABD  , BCO  , dan ADO  :

  70 ACB ,   

  Solusi 1: Kita mempunyai   

  50 ABD ,    30 DBC . Jika diagonal-diagonal berpotongan di O dan panjang OD = 2007, carilah panjang OC .

  20 CAD ,   

  30 BAC ,   

  124. ABCD adalah segi empat dengan   

     

       

  r

  3

  3

  12

  …. (3)

  AD OD

  2

    

  A B C D O

    .

  80 sin   80 sin Karenanya, 2007 OC OD

  100 40 sin sin      

40 sin

40 sin

  2       140 sin

  2 30 cos 70 sin

  2       70 cos 70 sin

       70 cos 30 cos 70 sin

  4  

  50 sin 20 sin

  2 70 sin 2 70 sin

        

50 sin

20 sin

  Tetapi  

   

   

  OC OD

  sin 80 4sin 20 sin 50 sin 70

  Karenanya,

     .

  OC BC OD AD

  1 2sin 20

  Bagilah persamaan (3) oleh persamaan (4), kita mendapatkan

   

   

  BC AD

  sin 80 2sin 50 sin 70

  …. (4) Bagilah persamaan (1) oleh persamaan (2), kita mendapatkan

  

  2 3 10 3 8 6

  8

  2

  2

  

  a  c b 

  

  2  2 

  2

  a c b

  

  2 ²  

  2

  2

  a c b

  

  2 ^{2 2}   

  2

    

  a a b b

  

  2 tan ^{2 2}   

  2

  4

  4

  2

  A b A a a A a b b

  2 tan ²    a

  2

  2 tan

  b A  a a 

  2 tan ² A

  a A c b

  2 tan (diterima) atau

  32

    

  8 10 6

  (qed)  

   

   

  b c b r c b a

  3

  3

   

  3

  3

  b c a b c r

  

    

   

  

a

A c b

  b c a r 3 

    

    

   

      2 

  AS RS CR AC    b c ar r r b

   

  b c ar AS

  2 tan

  

    

  AS r a A c b

  2 tan (ditolak)

    

  20  30  50  30

  Solusi 2:   

BCA CDB DAC ABD CBD DCA ADB BAC

BE CE BD AD   

  7 cos 2 cos 3 cos 6 cos

  Solusi 2: Menunjukkan x C B  2   

  

 

ADB x x A

   4 180      3 ,

    DB DA BD BC

   1 x x x x

  4 sin sin 1 2 sin

  3 sin   x x x x x x

  2 sin sin 4 sin 2 sin 4 sin

  3 sin   x x x x x x

  3 cos cos 6 cos 2 cos 7 cos cos

       x x x x

  2

    

  2  4 180         20   

  5 cos

  2

  9 cos

  2

  3 cos

  2

  9 cos x x x x

  

  2

  9 cos  x

    20 x A B D E C

  Karena itu,    100 A . ₂ sin sin100 sin 80 cos10 1 sin 10 A          ²  1 k 

  2

  70 ACB ,   

  10 cos sin 10 cos     

  80 ADB , x OCD

   

  dan y ODC   ;   

  80 y x 

  

              

sin sin sin sin sin sin sin sin

               70 sin sin 20 sin

  50 sin 30 sin sin 80 sin 30 sin

  y x

y x sin

  40 cos 20 cos 20 sin 4 sin

  10 cos          

  y x sin

  80 sin sin 10 cos     

  y x sin

   y x sin sin y x

   

   OD 2007 OC  

  Catatan:              

  10 cos 80 sin 40 cos 40 sin

  2 40 cos 20 cos 20 sin

  4 . 125. Diberikan ABC adalah segitiga sama kaki dengan AC AB

   . Garis bagi B

   memotong sisi

  AD BD BC sin10 k   sin A Solusi 1: Misalnya E pada BC sehingga

  BD BE  .

  AD BD BC   (diketahui)

   Menurut teorema garis bagi: CB AC CB AB CD AD CD CE

     Karena BCA DCE    , sehingga BCA DCE   ~ . Akibatnya ABC CDE DCE      . Misalnya

   2 ABC   , maka BED 4 BDE      , CBD    , sehingga

DA BD BC

  B C

40 Karena itu,  A  100     .

    _{2 2} sin A  sin100   sin 80   cos10   1 sin 10    1 k  ₂

  2 x 

  1 1   2 x 1  x

  , carilah nilai 126. Jika x adalah bilangan real merupakan solusi dari persamaan

  1  x

  dari x 10  2 5 .

  Solusi: ₂

  2 x 

  1 1   2 x 1  x 1  x _{2 2}

       1 x 2 x

  1 2 x 1 x

    Di sini jelas bahwa 

  1  x  1 .

  Misalnya (   ), sehingga x  cos   π _{2 }  1   x 1 cos    2 sin , _{2 2}

  2

  2

  2 x   1 2 cos    1 cos 2  _{2 2} , dan

  2 x 1  x  2cos 1 cos   2cos sin  sin 2 ,

       _{2 2} Sehingga persamaan 1   x 2 x  

  1 2 x 1  x menjadi

   

  

  2 sin  cos 2   sin 2 

  2

  

  2 sin  cos 2  sin 2

   

  2

     

  2 sin  2 sin 2    

  2

  4  

     

  sin  sin 2    

  2

  4  

   

  π π 2    2 k atau 2     k , k  B

   π  π 2 π

  4

  2

  4

  2 3 π 5 3 π

     

  2 k atau    2 k , k  B π π

  2

  4

  2

  4

  3 k  B

      k or    k ,

  π 4 π π 4 π

  6

  3

  10

  5

  

  3 π

  3 π

  10

  2

  5 Karena    , kita memiliki   , kemudian akarnya adalah x  cos  .

  π

  10

  10

  4

  10 2 5  100 20   x 10  2 5   10  2 5  

  20

  4 ₂

  4 ₂ 8sin x  8cos x sin x  8cos x  8sin x cos x tan 3 x  3cos 3 x .

  127. Selesaikanlah persamaan  

  Solusi 1: _{2 2} 8sin x  8cos x sin x  8cos x  8sin x cos x tan 3 x  3sec3 x ₂   ₂

  8sin x 1 cos  x  8cos x 1 sin  x tan 3 x  3sec3 x     _{2 2}

    8sin x sin x 8cos x cos x tan 3 x 3sec3 x    

  _{3 3}

  3 8sin x  8cos x tan 3 x  _{3 3} cos 3 x 8sin x cos 3 x  8 cos x sin 3 x 

  3 ₃ 3sin x  sin 3 x cos 3 x  3cos x ₃ sin x  cos x  Gunakan identitas: dan . _{3 3}

  4

  4

  3   sin x cos

  3 x cos x sin 3 x

  8 3 sin x  sin 3 x cos 3 x  3 cos x

  3 cos 3 x  sin 3 x 

  4

  4

  8

  1

  3     3 sin x cos

  3 x sin 3 x cos 3 x cos 3 x sin 3 x 3 cos x sin 3 x

   

  4

  8

  3 3 sin x cos 3 x  3 cos x sin 3 x 

  2

  1 sin x cos 3 x  cos x sin 3 x 

  2

  1  sin

  4 x

  2 π sin

  4 x  sin

  6

  π π 4 x   2 k atau 4 x    k π π 2 π

  6

  6

  5 π x   k atau x   k , k  B

  1 π π 1 π

  24

  2

  24

  2 _{6 6}

    sin x cos x 0, 25 .

  128. Selesaikanlah persamaan Solusi 1: _{2 2}

     Misalnya p sin x , sehingga _{6 6} 1 p cos x

  sin x  cos x  0, 25 _{2 3 2 3} sin x  cos x  0, 25

      _{3 3} p  

  1 p  0, 25 ₃   _{2 3}

  p   1 3 p  ₂ 3 p  p  0, 25 3 p  ₂ 3 p  0, 75  4 p 

  4 p   ₂

  1 2 p  1 

   

  1 p 

  2 ₂

  1 sin x 

  2

  1 sin x  

  2

  2

  1

  1     sin x 2 sin x

  2

  2

  2

  

  3  5   x   2 k x   k atau x   2 k x    k , k  B

  πatau 2 π πatau 2 π

  4

  4

  4

  4

  Solusi 2: _{6 6}   sin x cos x 0, 25 _{2 2 4 2 2 4} sin x  cos x sin x  sin x cos x  cos x  0, 25

     _{4 2 2 4} sin x  sin x cos x  cos x  0, 25 _{2 2 2 2 2} sin x  cos x  3sin x cos x  0, 25

    _{2 2} 1 3sin  x cos x  0, 25 _{2 2} 3sin x cos x  0, 75 _{2 2}

  4 sin x cos x  ₂

  1  2 sin x cos x

  1

    ₂

   sin 2 x

  1 sin 2 x  

  1  atau   sin

  2 x 1 sin 2 x

  1

  

  3   2 x  

  2 k atau 2 x   2 k atau

  π π

  2 x    2 k π

  2

  2

  2

  3

    

  x   k x   k x    k k  B π atau π atau π ,

  4

  4

  4 Solusi 3: _{3 3}

₃

Gunakan kesamaan a  b  a  b 

  3 ab a  b , sehingga kita mendapatkan _{6 6}    

  sin x  cos x  0, 25 _{2 2 3 2 2 2 2} sin x  cos x  3sin x cos x sin x  cos x  0, 25     _{2 2}

  1 3sin  x cos x  0, 25 _{2 2} 3sin x cos x  0, 75 _{2 2}

   4 sin x cos x ₂

  1 2 sin x cos x 

  1

    ₂

  sin 2 x 

  1 sin 2 x  

  1 sin 2 x  1 or sin 2 x  

  1 

  3   x   k atau x   k atau x    k , k  B

  π π π

  4

  4

  4 a  b

  sin 18   , tentukan nilai a  b  c .

  129. Jika c

  Solusi:

   18 

  

  5  5  18 

  

  2   90   3  sin 2   sin 90   3 

   

   sin 2  cos 3  2 sin  cos   cos

  2   

   

  2 sin  cos   cos 2  cos   sin ₂ 2  sin  2 sin  cos   2 cos   1 cos   2 sin  cos  sin 

    ₃

₂

     2 sin  cos  2 cos  cos  2 sin  cos 

  3 ²

  2 sin  cos   2 cos   cos  

  2 1  cos  cos  ₃   ₃ 2 sin  cos   2 cos   cos   ₃ 2 cos   2 cos 

     2 sin  cos  ₂ 4 cos  3 cos  , karena cos  2 sin   4 cos   ₂

  3 2 sin   4 1  sin  

  3

    ₂

  2 sin   ₂ 4  4 sin  

  3    4 sin 

  2 sin 

  1  2  4  16  2 

  2 5  1 

  5 sin    

  8

  8

  4  1 

  5 Karena  sudut lancip, maka sin   . Berarti a   1 , b  5 , dan c  4 .

  4 Jadi, nilai a  b  c   1  5  4  . 25 x  25 x cos x 

  16 untuk   x  .

  130. Tentukan nilai minimum dari x sin x

  Solusi 1: _{2 2 2 2 2 2 2}

  25 x 1 cos  x 

  16 25 x  25 x cos x 

  16 25 x sin x 

  16

   

   

  x sin x x sin x x sin x ₂ 25 y

  16

  16  Misalnya y x sin x , sehingga bentuk terakhir menjadi 25 y .

     y y

      y Karena x maka sin x dan x  , sehingga  .

  Selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM diperoleh

AM GM

  

  16

  16 25 y   2 25 y  

  40

  y y

  16

₂

  16

  4 Kesetaraan akan tercapai jika 25 y y y      . y

  25

  5

  4 Karenanya nilai minimum adalah 40 (jika x sin x  ; sehingga x sin x adalah kontinu dan naik

  5

    pada interval   dan pada interval ini   . x sin x

  2

  2 Solusi 2: _{2 2 2 2 2 2 2} 25 x 1 cos  x 

  16    25 x

  25 x cos x 16   25 x sin x

  16  

  x sin x x sin x x sin x

  40 sin x x

  Kita menyatakan pembilang sebagai bentuk kuadrat sempurna dengan menambah  , x sin x sehingga _{2 2 2}

₂

₂

  5 sin x x 

  4    25 x sin x

  16 40 sin x x 25 x sin x 40 sin x x 16      40   40  

  40

  

x sin x x sin x x sin x x sin x

Selanjutnya, jika 5 sin x x   4 , maka jelas minimum 40.

  Solusi 3:

  _{2 2 2}

  2 ² _{2 2}

  25 x 1 cos  x 

  16 25 x  25 x cos x 

  16 25 x sin x 

  16

   

   

  x sin x x sin x x sin x ₂ 25 y

  16

  16  Misalnya y  x sin x , sehingga bentuk terakhir menjadi f x 25 y .

       y y

  16

  32 Tentukan turunan pertama dan kedua, sehingga f ' y 25 dan f " y .   

      _{2 3} y y

  16

  4

  4 Nilai stasioner f dicapai jika f ' y  , sehingga 25 y  atau y   .

       ₂ y

  5

  5

  4 125 Perhatikan bahwa f "    berarti nilai f adalah minimum sedangkan   

  5

  2   4 125   f " berarti nilai f adalah maksimum.

       

  5

  2  

  

  4 25 x sin x

  16 Substitusikan y  x sin x  ke , sehingga diperoleh nilai minimum adalah ₂ 5 x sin x

  4   

  25

  16  

  5  

   40 .

  4

  5