Edisi 12 Maret Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 111-120

  

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 12

Maret Pekan Ke-4, 2007

  

Nomor Soal: 111-120

₂

  . Titik E dan F adalah titik tengah dari AB dan 111. Luas persegi panjang ABCD adalah 2007 cm

  CD, sedangkan G dan H adalah titik pada BC dan AD sedemikian sehingga CG = 2 GB dan AH

  = 2 HD. Berapakah luas EGFH?

  Solusi: ABCD AB BC

      c c C D F

  2006  2 c 3  k k

  2k

  2006 H

   ck

  6 G

  2k

  EGFH  ABCD   AEH  GCF  EBG  FDH              k

   ABCD  2  AEH  EBG 

        c c A E

  B 

  1

1 

      AB BC 2  AE AH EB BG 

  2

  2   AB BC AE AH EB BG

          2 c 3 k c 2 k c k

         

   6 ck  3 ck  3 ck 2007 ₂  

  3  1003,5 cm

  6

  112. Diberikan ABC di mana BC = 13 cm, AB = 14 cm, dan AC = 15 cm. Dengan menggunakan setiap titik sudut sebagai titik pusat dibuat lingkaran-lingkaran yang bersinggungan pada tiap sisinya. Hitunglah jari-jari ketiga lingkaran tersebut.

  Solusi:

  Dari gambar di sebelah diperoleh sistem persamaan:

  r  r 

  14 …. (1)

  B

  1

  2 r ₂

   r ₂ r

  15  r 

  …. (2)

  1

  3 r ¹ r ₃ r  r 

  13 …. (3)

  2

  3 Jumlah dari ketiga persamaan itu adalah  

  A C r r _{1 3}

  2 r  r  r 

  42

   

  1

  2

  3 r  r  r 

  21

  1

  2

  3 r

  13 r r r

  21  r     

  2

  3

  1

  2

  3 r 

  13 

  21

  1 r

  8 

  1 r  r 

  15 r  r  r 

  21 

  1

  3

  1

  2

  3 r

  15

  21  

  2 r 

  6

  2 r

  14 r r r

  21  r     

  1

  2

  1

  2

  3

  14

  21  r 

  3 r 

  7

  3  jari-jari yang berpusat A, B, dan C masing-masing adalah 8 cm, 6 cm, dan 7 cm. _{1 (r) dan O 2 (r) menyinggung dua sisi persegi ABCD yang}

  113. Dua lingkaran identik (sama) O panjang sisinya a. Dua lingkaran identik dengan pusat O dan O dengan jar-jari t, _{3 4} menyinggung dua sisi dari ABCD dan keduanya menyinggung secara luar kedua lingkaran O ¹ dan O . Jika a = 9 cm dan r = 4 cm, hitunglah nilai t. ₂

   O ⁴

  

O

¹

   O ²

   O ₃ Solusi: _{2 2 2 2}

₂

₂  4 tr  2 tr

  BC  ( t  r )  ( r  t )  t  2 tr  r  r  2 rt  t   

  AD AB BC CD a  t  2 rt  r

  O ⁴

   ²

  a  t  r  

   O ₁ a  t  r

  O ² O ³

   Jika a = 9 cm dan r = 4 cm, maka

  4 3  t 

   9  t 

  2 A B C D t 

  1

  t = 1cm Jadi, nilai t = 1 cm. 114. Buktikan bahwa luas daerah lingkaran yang diarsir sama dengan luas bagian dalam lingkaran.

  

r

  

r

Solusi: ₂

2 Luas lingkaran besar 

  2 )  4 r π( r π

  2

  2

  2 r 2 r Luas bagian dalam lingkaran   π  π

  2

  2

  2 Luas daerah lingkaran yang diarsir 

  4 r  2 r  2 r π π π

  Jadi, luas daerah lingkaran yang diarsir = luas bagian dalam lingkaran.(qed) 115. ABCD adalah sebuah persegi dengan pusat O. Lingkaran-lingkaran digambarkan sekitar A, B,

  C, dan D sebagai pusat, masing-masing dengan jari-jari AO, BO, CO, dan DO yang sama, yang berpotongan di P, Q, R, dan S. Jika AB = 8 cm, hitunglah luas daerah yang diarsir.

  R D C Q S O A B P Solusi:

  R

  Panjang AB = 8 cm, sehingga OA  SA 

  4 2 cm

  o D C

  90

  1

  2 Luas tembereng SO r OA SA

    π  

  o

  2 360

  2

  1

  1 Q

  S

   

  4 2  

  4 2 

  4

  2 π

    O

  4

  2

  1 A 8 cm B

  32

  16   π 

  4 ₂  8  16 cm

   π  P

  Luas daerah yang diarsir = luas lingkaran ₂ – 8  luas tembereng ₂    8  8  8  16  

  64 π  64 π  128  128 cm

  π π 116. AOB adadah diameter dari lingkaran besar. Dua lingkaran kecil berdiameter APO dan OQB saling bersinggungan dan menyinggung lingkaran yang besar dari dalam. Dua lingkaran kecil berpusat di R dan S menyinggung lingkaran yang besar dan lingkaran-lingkaran yang berpusat di P dan Q. Jika a, b, dan c = 4 cm adalah jari-jari lingkaran yang berpusat di O, P, dan R , carilah a: b : c dan nilai dari a dan b.

  

R

  

A B

   

  O

P Q

  

S

Solusi:

     

  QR b c , OQ  , dan b OR a c R

  Menurut Teorema Pythagoras:

   _{2 2 2} c QR OQ OR

   

  a b _{2 2 2}  c b c b a c

         

   A B

   

  2

  2

  2

  2

  2 O b 

  2 bc  c  b  a  2 ac  c b

  Q P

  2

  2 bc a 2 ac  

   2 S

  2 bc  2 ac  a

  1

  b a

  Diketahui bahwa  , sehingga

  2

  a b

  SAB dan DAB:

  1   k k

  

 

 

 

  …. (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

  DA k

SA

DAB SAB

  1 

 

  1

     

  …. (1) Pandanglah

  Dengan cara yang sama diperoleh

  AB AP SAB SAP

   

k

k

      1 

  SAP dan SAB:

  menyatakan “luas ABC” Pandanglah

    ABC

  Lambang

  DAB SAP

         

  SA DS RD CR QC BQ PB AP     . Carilah nilai k jika luas PQRS = 52 % luas ABCD.

    ABCD k k ABCD

  

A B

C D P Q R S

  1   

  1

  ABCD k k ₂ ²

     

  1 ²   

  2

     

        ²

  1  

     ₂

  

CAD BDC ABC DAP

k k ABCD   

  

       

 

     

      

  CAD RSD BDC QRC ABC PBQ              

  1     k k

   Solusi:

  117. Diketahui empat titik P, Q, R, S masing-masing pada sutu sisi segiempat ABCD sedemikian sehingga k

  2

  2

  Jadi, 2 : 3 :

  1 

  3

  a c

  3 a ac 

  2

   2 a ac ac 

    

  3

    

  1 2 a ac c a  

  2

  2

  2  2 a ac bc   ₂

  2

  1 

  6

  1 :

  b Jadi, nilai a = 12 dan b = 6.

  a

  4   

  3

  6 2 :

  3 4 :  b  

  2 :

  2 : 3 :  c b

  cm

  4   

  2

  6

  12 2 :

  6 4 :  a  

  2 :

   c a

  a a a c b a 2 : 6 :

   

  1 : : :

RDS QCR PBQ SAP ABCD PQRS

      ABCD PQRS %

  k

    _{2 2 2 2}  b r a r  

   b r a r   ²

²

^{2 2} BE BC AD AC     _{2 2 2 2} b r a r   

  Menurut Teorema Pythagoras: _{2 2 2 2}

  Solusi:

  118. Sebuah panji berbentuk segitiga sama sisi dipancangkan vertikal pada dua pojoknya yang tingginya a dan b. Pojok ketiga tertanam di tanah. Tentukan luas panji tersebut.

  3  k

  2

  2  k atau

  3

  (3k  2)(2k – 3) = 0

  k

  6 ²    k

  13

  6

  12 ²    k

  52 

  26

  12

  k k k

  25 ^{2 2}    

  25

  13

  26

  13

  1 ₂ ²    k k

  1

  13

  25

  ABCD PQRS  

      100 52 

  B C D E F

CE DC

   b r a r   ^{2 2} BF AB   _{2 2 2 2} r a r b    ^{2 2}

    ^{2 2}

  4  r

    ^{2 2}

  3

  4

  4

  3  b ab a   

  3

   luas panji tersebut ²

  3  b ab a   satuan luas.

  119. Diameter AB dari sebuah lingkaran panjangnya 2-angka bilangan bulat. Kebalikan dari angka itu menyatakan panjang tali busur CD yang tegak lurus pada diameter itu. Jarak dari titik potongnya H ke pusat O adalah bilangan rasional positif. Carilah panjang AB.

   Solusi: Misalnya u t AB   10 , dengan t dan u adalah angka, sehingga t u CD  10 .

  AB CD  , u t  .

  Menurut Teorema Pythagoras: _{2 2} CH OC OH  

  r r r a b A

  DE  _{2 2 2 2}  b r a r   AF

  3

  4  b ab a r  

  ( ) r b a    (kedua ruas dikuadratkan)    ^{2 2 2 2 2 2 2 2}

  4

   _{2 2 2 2}

  2

  2 a ab b r b r b r a r a r

               ^{2 2 2 2 2}

  2 2 r ab b r a r       ^{4 2 2 2 2 2 2 2 2 4}

  4

  4

  4 4 r abr b a b a r b a r      

  3

    ^{2 2 2 2 4}

  4

  4 3 abr r b a r   

  , dengan r ² .

    ^{2 2 2}

  4 3 b ab a r   

    ^{2 2 2}

   2 b r b r a r a r      ^{2 2} ) ( a b r       ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

      ^{2 2}

  …. (4) Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh

  a   

  23 ²    a

  120

  3 120 20     a a

       a a

  120 120 40 40 800

  40 40 800

  8    a

   ab b a   

  80  80 1600 b ab a b a b a      

  2

      ^{2 2 2} 80 1600 b a b a b a       _{2 2 2 2}

    ^{2 2 2}  40 b a b a   

  …. (3) Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh

   c b a 

  15

  a 8  a atau 15  a

  40    c b a

  60

  1  b

  2

  15

  60

  1  ab  

  2

  

  8  a 

  15  b 15  a

  1  b

  2

  60 ) 8 (

  1  ab

  2

  60

  …. (2) _{2 2 2}

  …. (1)

  10

    t u u t

       

₂

_{2 2 2} 20 100 20 100

  1 t ut u u ut t

  4

  1 20 100

  4

      ^{2 2 2 2} 20 100

   

  1  t ut u u ut t      _{2 2}

     

   

  1  

  2

  10

  1

  2

  2

  99

  1   ab L

    , yaitu

  2

  60

  Luas segitiga adalah

  Solusi:

  Jadi, panjang AB adalah 65. 120. Luas segitiga siku-siku adalah 60 cm ² dan jumlah ketiga sisinya adalah 40 m. Carilah panjang hipotenusanya.

   u 1  t (diterima) atau  u 4  t (ditolak), sehingga memberikan 6  t dan 5  u .

     ² 11k u t u t    ,  u 11  t , maka  u 11  t dan ² k u t

  99

  OH adalah rasional, ^{2 2 2} 11k u t   , dengan k adalah bilangan bulat.

  3  u t 

  2

  11

    ^{2 2}

  1  u t 

  2

   A B C D O H a c b

  b 

  8

  8  a   a  b  c  40  b 

  15    

  8 15 c

  40 c 