III. Ukuran Pemusatan Data
TATAP M U K A I I I
U K U RAN PEM U SATAN DATA
(M EAN , M EDI AN DAN M ODU S)
Fit ri Yulia nt i, SP. M si.
U K U RAN DATA
Ukura n da ta
Ukura n Pe m usa ta n
da ta
Ukura n le ta k
da ta
Ukura n pe nye b a ra n
da ta
Mean
Median
Jangkauan
Median
Kuartil
Jangkauan antar kuartil
Modus
Desil
Simpangan rata-rata
Persentil
Simpangan Baku
atau ragam
M EAN
• Apakah Mean?
Mean merupakan salah satu ukuran untuk
memberikan gambaran yang lebih jelas dan
singkat tentang sekumpulan data.
Mean dipelajari dalam materi Statistika, yaitu
dalam sub materi ukuran pemusatan data.
• Istilah lain
rata-rata atau rerata atau rataan
• Jenis Mean
1. rata-rata hitung,
2.rata-rata ukur dan
3. rata-rata harmonis
PERN AH K AH M EN DEN GAR
PERN YATAAN I N I ?
Berapa rata-rata nilai ulangan statistika di
kelasmu?
Tinggi badan rata-rata siswa kelas XII adalah
156 cm
Berapa keuntungan rata-rata yang diperoleh
petani padi setiap musim dalam satu tahun?
Berapa rata-rata jumlah kendaraan bermotor
yang melintasi Jalan Jenderal Sudirman setiap
menit?
RATAA -RATA HITUNG
LAMBANG
Ra ta -ra ta hitung d ila mb a ng ka n d e ng a n e ks b a r
X
SUB MATERI
1. Da ta tung g a l
2. Da ta b e rb o b o t
3. Da ta b e rke lo mp o k
RATA-RATA HITUNG
DATA TUNG G AL
Jika te rd a p a t n b ua h d a ta ya ng te rd iri d a ri
x1, x2, x3, … xn,
ra ta -ra ta hitung d a ta te rse b ut d a p a t d id e finisika n se b a g a i
b e rikut.
x
x1 x 2 x 3 .... xn
x
n
n
Σ xi
i1
n
a ta u
n
= b a nya k d a ta
Σx i
= jumla h d a ta (jumla h
a ta u
Σx i
x
n
d a ta ke -1 sa mp a i d e ng a n d a ta ke -n)
C o nto h so a l 1
Nila i ula ng a n ma te ma tika 5 siswa ke la s
X Akunta nsi a d a la h
8, 5, 7, 10, d a n 5.
Ra ta -ra ta hitung nila i siswa te rse b ut
a d a la h ….
a. 4
b. 5
c.6
d. 7
e. 8
Pe m b a ha sa n so a l 1
Dik :
Da ta
n
= 8, 5, 7,10, 5
= b a nya k d a ta = 5
Σx i = jumla h d a ta
Dita nya : ra ta -ra ta
Ja wa b :
x
=
Σx i
n
35
5
= 7
= 8 + 5 + 7 + 10 + 5
= 35
X
C o nto h so a l 2
Be ra t b a d a n 10 o ra ng
sisw a a d a la h z, 48, 50,
44, 46, 50, 56, 57, 44, d a n
45 kg . Jika b e ra t b a d a n
ra ta -ra ta ke 10 sisw a
te rse b ut 50 kg , nila i ya ng
b e na r untuk z a d a la h ….
Kg .
a . 70
b . 65
c . 60
d . 55
e . 45
Pe m b a ha sa n so a l 2
Dita nya : z
Dike ta hui :
b a nya k d a ta = n
= 10
Ra ta -ra ta
= 50
Ja wa b :
x
Jumla h d a ta
Σx i = z + 48+50+44+46+50
+56+57+44+45
= z + 440
50
Σx i
n
=
z 440
10
z + 440 = 50 . 10
z + 440 = 500
z
= 500 – 440
z
= 60
LATIHAN 1
1.
Te ntuka nla h ra ta -ra ta ting g i b a d a n a ng g o ta p a skib ra d a ri 8 siswa
p utri b e rikut 164, 165, 163, 160, 167, 165, 160, d a n 160 c m
2.
Ra ta -ra ta ha sil ula ng a n ma te ma tika 15 siswa a d a la h 6,8. Jika 5
siswa me ng ikuti ujia n susula n ma ka nila i ra ta -ra ta nya me nja d i 7,0.
Be ra p a nila i ra ta -ra ta ke lima siswa ya ng me ng ikuti ujia n susula n
te rse b ut?
Dik :
n= 8
x i= 164, 165, 163, 160,
167, 165, 160, dan
160 cm
Dita nya
: ra ta - ra ta ting g i b a da n
Ja wa b :
Σx i
= 164+ 165+ 163+ 160
+ 167+ 165+ 160+ 160
= 1304
x
x
Σx i
n
1304
8
= 163 c m
X
Dike ta hui :
Ra ta - ra ta 5 siswa :
X 5 siswa = 6,8
X 20 siswa = 7,0
Dita nya
:
X5 siswa
Ja wa b
:
x15 sisw a
6,8
x 20 sisw a
7,0
15
Σ xi
i1
Σ xi
i1
6,8 x 15 = 102
15
15
20
Σ xi
i1
20
Σ xi
i1
20
Σ xi
i1
5
Σ
20
15
i 1
i 1
140
Σ
5
102
5
= 38/ 5 = 7,6
15
15
x 5 sisw a
5
7,0 x 20 = 140
RATA-RATA HITUNG
DATA TUNG G AL BERBO BO T
Jika nila i n b ua h d a ta a d a la h x 1 , x 2 , x 3 , … x n, d a n ma sing -ma sing
fre kue nsinya a d a la h f1, f2, f3, … fn , nila i ra ta -ra ta hitung se kump ula n
d a ta te rse b ut d id e finisika n se b a g a i b e rikut.
f1.x1 f2 .x 2 f3 .x 3 .... fn .x n
x
n
x
Σfi.x i
fi
xi
fi = n
=
=
=
=
n
Σ fi.x i
i1
n
a ta u
x
a ta u
Σfi.x i
Σfi
Jumla h ha sil p e rka lia n se tia p d a ta d a n fre kue nsinya
Fre kue nsi d a ta ke -i
Da ta ke -i
b a nya k d a ta
C o nto h so a l 3
Ta b e l p e njua la n 10 b ua h kio s
p a ka ia n p a d a ming g u
p e rta ma b ula n De se mb e r 2008
Pa ka ia n
te rjua l
Ba nya k Kio s
(xi)
(fi)
70
2
80
3
90
4
100
1
Ra ta -ra ta p a ka ia n ya ng te rjua l
p a d a ta b e l d i sa mp ing a d a la h
a . 70
b . 71
c . 72
d . 73
e . 74
Pe m b a ha sa n c o nto h so a l 3
Diket ahui :
Pa ka ia n
te rjua l
Ja wa b :
Ba nya k Kio s
(fi)
(xi)
70
x
fi. xi
2
i
i
140
80
3
240
90
4
360
100
1
100
10
8 40
f .x
f
Dita nya : Rumus ra ta -ra ta
=
840
10
= 84
i
LATIHAN 2
1.
Ta b e l 1 b e risi d a ta Pa nja ng
b a ha n ya ng d ib utuhka n
siswa untuk me ra nc a ng
p a ka ia n p e sta . Hitung la h
b e ra p a p a nja ng ra ta -ra ta
b a ha n ya ng d ib utuhka n
o le h siswa ?
Ta b e l 2 me mp e rliha tka n
b a nya knya b ua h ma ng g a
ya ng d iha silka n. Be ra p a ka h
x d a n b e ra p a b a nyk musim
ya ng d ila lui jika ra ta -ra ta
p o ho n te rse b ut
me ng ha silka n 49 b ua h?
2.
Ta b e l 1.
Panj ang bahan
( dalam Met er)
Jum lah Siswa
Ta b e l 2
Ba nya k b ua h
Ba nya k Musim
(fi)
30
2
40
3
50
x
3
5
3,5
10
4
3
60
1
5
2
75
2
Diket ahui :
1
2
xi
Diket ahui :
xi
fi
x i .f i
3
3,5
5
15
10
35
4
3
fi
x i .f i
30
2
60
40
3
120
50
x
50x
60
1
60
75
2
150
12
Dita nya : x
5
2
10
20
72
f .x
f
i
=
=
3,6
i
72
20
:
x
f .x
f
i
i
49(8+x)
60 120 50x 60 150
8x
=390 + 50x
392 + 49x
= 390 + 50x
49x – 50x
= 390 – 392
-x
= -2
x
= 2 m usim
i
49
Dita nya : Ra ta -ra ta
Ja w a b :
x
Ja w a b
=
i
b a nya k m usim : 2 + 3+ 2+ 1 + 2 = 10 m usim
RATA-RATA HITUNG
DATA KELO MPO K
Be rikut ini a d a la h rum us-rum us untuk m e ne ntuka n Ra ta -ra ta hitung d a ta b e rke lo m p o k.
1. d e ng a n rum us sig m a
2. d e ng a n rum us c o d ing
Menent ukan rat aa - rat a hit ung dat a berkelom pok akan
lebih m udah apabila dat a disaj ikan dalam bent uk t abel
dist ribusi frekuensi.
, xi = Titik te ng a h
fi.x i
= ½ . (b a ta s b a wa h + b a ta s a ta s)
x
fi
c i = Ko d e titik te ng a h
3. d e ng a n ra ta -ra ta d ug a
x x0
x x0
fi .c
n
b n b n 1
=
sa tua n ukura n te rke c il
x 0 = Tit ik t engah pada frekuensi
I = Inte rva l ke la s = Pa nja ng ke la s
i
.I
t erbesar
fi .d
n
i
d i = xi – x0
C o nto h so a l 4
Ra ta -ra ta p e nd a p a ta n ha ria n
p e d a g a ng ka ki lima p a d a
ta b e l d i sa mp ing a d a la h Rp …
a.
97.000
b . 107.000
c.
117.000
d . 127.000
e.
137.000
Ta b e l p e nd a p a ta n 50
Pe d a g a ng ka ki lima p a d a
ta ng g a l 1 Ja nua ri 2009
NO
Pe nd a p a ta n
(d a la m p uluha n
rib u rup ia h)
fi
1
1–5
6
2
6 – 10
20
3
11 - 15
10
4
16 - 20
9
5
21 - 25
5
Batas bawah
NO
X
Pe m b a ha sa n c o nto h so a l 4
De ng a n rum us sig m a
Batas atas
fi
xi
fi.xi
1
1–5
6
3
18
2
6 – 10
20
8
160
3
11 - 15
10
13
130
4
16 - 20
9
18
162
5
21 - 25
5
23
115
50
585
x
f .x
f
i
i
i
x
X
= 11,7
585
50
Pe ng ha sila n ra ta - ra ta
pe da g a ng = 11,7 x 10.000
= Rp 117.000
x1 = ½ (1+5)
x2 = ½ (6+10)
x3 = ?
=½.6
= ½ . 16
x4 = ?
=3
=8
x5 = ?
Ke la s d e ng a n fre kue nsi te rb e sa r
Pe mb a ha sa n c o nto h so a l 4
X0 = nila i te ng a h p a d a fre kue nsi te rb e sa
De ng a n rumus c o d ing
0 = Ko d e p a d a fre kue nsi te rb e sa r
NO
X
fi
xi
ci
fi.c i
1
1–5
6
3
-1
-6
2
6 – 10
20
8
0
0
3
11 - 15
10
13
1
10
4
16 - 20
9
18
2
18
5
21 - 25
5
23
3
15
50
37
x x0
fi .c
n
i
.I
x0. = 8
fi.c i = 37
n = 50
I = (6 – 1)/ 1 = 5
37
x 8
.5
50
X
= 8 + 3,7 = 11,7
Pe ng ha sila n ra ta - ra ta
pe da g a ng = 11,7 x 10.000
= Rp 117.000
Ke la s d e ng a n fre kue nsi te rb e sa r
d i = Nila i te ng a h – Nila i d ug a a n = xi –x0
X0 = nila i d ug a a n
d1 = 3 – 8 = - 5
d2 = 8 – 8 = 0
d 3 = ?, d 4 = ? dan d 5 = ?
fi.d i
fi .d i
x x0
-30
n
NO
X
fi
xi
di
1
1–5
6
3
-5
2
6 – 10
20
8
0
0
3
11 - 15
10
13
5
50
4
16 - 20
9
18
10
90
5
21 - 25
5
23
15
75
50
185
fi.d i = 185
n = 50
x0. = 8
185
x 8
.
50
X = 8 + 3,7 = 11,7
Pe ng ha sila n ra ta - ra ta
pe da g a ng = 11,7 x 10.000
= Rp 117.000
Pem bahasan dengan
rat a- rat a duga
LATIHAN 3
1.
Hitung la h Ja ra k ra ta -ra ta
ya ng d ite mp uh siswa d a ri
ruma h ke se ko la h (ta b e l 3)
d e ng a n :
A. Rumus sig ma
B. Rumus C o d ing
C . Rumus Ra ta -ra ta d ug a
Tabel 3
Jarak
Frekuensi
1 - 10
40
11 – 20
25
21 – 30
20
31 - 40
15
B. Rum us coding
A. Rum us sigm a
x
fi
xi
X
fi.xi
1 - 10
40
5,5
11 – 20
25
15,5
387,5
21 – 30
20
25,5
510
31 - 40
15
35,5
532,5
100
Ra ta -ra ta =
x
220
fi.x i
f
xi
Ci
fi.xi
1 – 10
40
5,5
0
0
11 – 20
25
15,5
1
25
21 – 30
20
25,5
2
40
31 – 40
15
35,5
3
45
1650
fi
100
Ra ta -ra ta =
i
= 1650/ 100
x x0
110
fi .c
i
.I
110
x 5,5
. 10
100
n
= 5,5 + 11
= 16,5 KM
= 16,5 KM
C. Rum us rat aa - rat a duga
X
fi
xi
1 – 10
40
5,5
0
0
11 – 20
25
15,5
10
250
21 – 30
20
25,5
20
400
31 – 40
15
35,5
30
450
100
Di
fi.di
Ra ta -ra ta :
1100
x x0
f .d
i
i
1100
x 5.5
100
= 5.5 + 11
= 16.5 KM
n
MO DUS
Nilai yang paling sering muncul atau Nilai yang frekuensinya paling
tinggi
A. Modus untuk Ungrouped Data
Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Bisa terjadi data tanpa modus
Contoh :
a. Sumbangan PMI warga Depok:
Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000
Modus : Rp. 8000
b. Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus)
c. Umur Mahasiswa : 19 18 19 18 23 21
19 21 18 20 22 17
Modus : 18 dan 19
MO DUS (LANJUTAN)
Modus untuk Grouped Data
Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada
Kelas dengan frekuensi tertinggi
Tepi Batas Bawah kelas ke i = Batas Bawah kelas ke i + Batas Atas kelas ke (i-1)
2
Tepi Batas Atas kelas ke i = Batas Atas kelas ke i + Batas Bawah kelas ke (i+1)
2
C O NTO H MO DUS (LANJUTAN)
C O NTO H MO DUS (LANJUTAN)
MEDIAN, KUARTIL, DESIL PERSENTIL
A.
Median untuk Ungrouped Data
Median
Letak Median
Letak Median =
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir
(ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir
n 1
2
n = banyaknya data
• Jika banyak data (n) ganjil dan tersortir, maka:
Median = Data ke n 1
2
• Jika banyak data (n) genap dan tersortir, maka:
Median = [Data ke- n + Dat a ke- ( n + 1) ] : 2
2
2
C O NTO H MEDIAN (UNG RO UPED DATA)
MEDIAN (G RO UPED DATA)
Nilainya m erupakan pendekat an
Median
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir
(ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median =
n
2
n : banyak dat a
Kelas Median : Kelas di mana Median berada
Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan
Frekuensi Kumulatif
C O NTO H MEDIAN (G RO UPED DATA)
Median = Dat a ke- 25 t erlet ak di kelas 24- 31
Kelas Median = 24 - 31
TBB Kelas Median = 23.5
TBA Kelas Median = 31.5
C O NTO H MEDIAN (G RO UPED DATA)
f M = 17
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10
Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27
s = 25 - 10 = 15
s’ = 27 - 25 = 2
KUARTIL (G RO UPED DATA)
Kelas Kuart il ke- q : Kelas di m ana Kuart il ke- q berada
Kelas Kuart il ke- q didapat kan dengan m em bandingkan Let ak
Kuart il ke- q dengan Frekuensi Kum ulat if
KUARTIL (G RO UPED DATA)
C O NTO H KUARTIL (G RO UPED DATA)
Kuart il ke- 3 = Dat a ke- 37.5 t erlet ak di kelas 40 - 47
Kelas Kuart il ke- 3 = 40 - 47
TBB Kelas Kuart il ke- 3 = 39.5
TBA Kelas Kuart il ke- 3 = 47.5
C O NTO H KUARTIL (G RO UPED DATA)
f Q = 10
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34
Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44
s = 37.5 - 34 = 3.5
s’ = 44 - 37.5 = 6.5
DESIL (G RO UPED DATA)
DESIL (G RO UPED DATA)
C O NTO H DESIL (G RO UPED DATA)
Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55
Kelas Desil ke-9 = 48 - 55
TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5
TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5
C O NTO H DESIL (G RO UPED DATA)
fD=3
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44
Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47
s = 45 - 44 = 1
s’ = 47 - 45 = 2
PERSENTIL (G RO UPED DATA)
Kelas Persentil ke-p : Kelas di mana Persentil ke-p berada
Kelas Persentil ke-p didapatkan dengan membandingkan Letak Persentil kep dengan Frekuensi Kumulatif
PERSENTIL (G RO UPED DATA)
C O NTO H PERSENTIL (G RO UPED DATA)
Persentil ke-56 = Data ke-28 terletak di kelas 32 - 39
Kelas Persentil ke-56 = 32 - 39
TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5
TBA Kelas Persentil ke-56 = 39.5
C O NTO H PERSENTIL (G RO UPED DATA)
fP=7
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Persentil ke-56 = 27
Frek. Kumulatif sampai Kelas Persentil ke-56 = 34
s = 28 - 27 = 1
s’ = 34 - 28 = 6
U K U RAN PEM U SATAN DATA
(M EAN , M EDI AN DAN M ODU S)
Fit ri Yulia nt i, SP. M si.
U K U RAN DATA
Ukura n da ta
Ukura n Pe m usa ta n
da ta
Ukura n le ta k
da ta
Ukura n pe nye b a ra n
da ta
Mean
Median
Jangkauan
Median
Kuartil
Jangkauan antar kuartil
Modus
Desil
Simpangan rata-rata
Persentil
Simpangan Baku
atau ragam
M EAN
• Apakah Mean?
Mean merupakan salah satu ukuran untuk
memberikan gambaran yang lebih jelas dan
singkat tentang sekumpulan data.
Mean dipelajari dalam materi Statistika, yaitu
dalam sub materi ukuran pemusatan data.
• Istilah lain
rata-rata atau rerata atau rataan
• Jenis Mean
1. rata-rata hitung,
2.rata-rata ukur dan
3. rata-rata harmonis
PERN AH K AH M EN DEN GAR
PERN YATAAN I N I ?
Berapa rata-rata nilai ulangan statistika di
kelasmu?
Tinggi badan rata-rata siswa kelas XII adalah
156 cm
Berapa keuntungan rata-rata yang diperoleh
petani padi setiap musim dalam satu tahun?
Berapa rata-rata jumlah kendaraan bermotor
yang melintasi Jalan Jenderal Sudirman setiap
menit?
RATAA -RATA HITUNG
LAMBANG
Ra ta -ra ta hitung d ila mb a ng ka n d e ng a n e ks b a r
X
SUB MATERI
1. Da ta tung g a l
2. Da ta b e rb o b o t
3. Da ta b e rke lo mp o k
RATA-RATA HITUNG
DATA TUNG G AL
Jika te rd a p a t n b ua h d a ta ya ng te rd iri d a ri
x1, x2, x3, … xn,
ra ta -ra ta hitung d a ta te rse b ut d a p a t d id e finisika n se b a g a i
b e rikut.
x
x1 x 2 x 3 .... xn
x
n
n
Σ xi
i1
n
a ta u
n
= b a nya k d a ta
Σx i
= jumla h d a ta (jumla h
a ta u
Σx i
x
n
d a ta ke -1 sa mp a i d e ng a n d a ta ke -n)
C o nto h so a l 1
Nila i ula ng a n ma te ma tika 5 siswa ke la s
X Akunta nsi a d a la h
8, 5, 7, 10, d a n 5.
Ra ta -ra ta hitung nila i siswa te rse b ut
a d a la h ….
a. 4
b. 5
c.6
d. 7
e. 8
Pe m b a ha sa n so a l 1
Dik :
Da ta
n
= 8, 5, 7,10, 5
= b a nya k d a ta = 5
Σx i = jumla h d a ta
Dita nya : ra ta -ra ta
Ja wa b :
x
=
Σx i
n
35
5
= 7
= 8 + 5 + 7 + 10 + 5
= 35
X
C o nto h so a l 2
Be ra t b a d a n 10 o ra ng
sisw a a d a la h z, 48, 50,
44, 46, 50, 56, 57, 44, d a n
45 kg . Jika b e ra t b a d a n
ra ta -ra ta ke 10 sisw a
te rse b ut 50 kg , nila i ya ng
b e na r untuk z a d a la h ….
Kg .
a . 70
b . 65
c . 60
d . 55
e . 45
Pe m b a ha sa n so a l 2
Dita nya : z
Dike ta hui :
b a nya k d a ta = n
= 10
Ra ta -ra ta
= 50
Ja wa b :
x
Jumla h d a ta
Σx i = z + 48+50+44+46+50
+56+57+44+45
= z + 440
50
Σx i
n
=
z 440
10
z + 440 = 50 . 10
z + 440 = 500
z
= 500 – 440
z
= 60
LATIHAN 1
1.
Te ntuka nla h ra ta -ra ta ting g i b a d a n a ng g o ta p a skib ra d a ri 8 siswa
p utri b e rikut 164, 165, 163, 160, 167, 165, 160, d a n 160 c m
2.
Ra ta -ra ta ha sil ula ng a n ma te ma tika 15 siswa a d a la h 6,8. Jika 5
siswa me ng ikuti ujia n susula n ma ka nila i ra ta -ra ta nya me nja d i 7,0.
Be ra p a nila i ra ta -ra ta ke lima siswa ya ng me ng ikuti ujia n susula n
te rse b ut?
Dik :
n= 8
x i= 164, 165, 163, 160,
167, 165, 160, dan
160 cm
Dita nya
: ra ta - ra ta ting g i b a da n
Ja wa b :
Σx i
= 164+ 165+ 163+ 160
+ 167+ 165+ 160+ 160
= 1304
x
x
Σx i
n
1304
8
= 163 c m
X
Dike ta hui :
Ra ta - ra ta 5 siswa :
X 5 siswa = 6,8
X 20 siswa = 7,0
Dita nya
:
X5 siswa
Ja wa b
:
x15 sisw a
6,8
x 20 sisw a
7,0
15
Σ xi
i1
Σ xi
i1
6,8 x 15 = 102
15
15
20
Σ xi
i1
20
Σ xi
i1
20
Σ xi
i1
5
Σ
20
15
i 1
i 1
140
Σ
5
102
5
= 38/ 5 = 7,6
15
15
x 5 sisw a
5
7,0 x 20 = 140
RATA-RATA HITUNG
DATA TUNG G AL BERBO BO T
Jika nila i n b ua h d a ta a d a la h x 1 , x 2 , x 3 , … x n, d a n ma sing -ma sing
fre kue nsinya a d a la h f1, f2, f3, … fn , nila i ra ta -ra ta hitung se kump ula n
d a ta te rse b ut d id e finisika n se b a g a i b e rikut.
f1.x1 f2 .x 2 f3 .x 3 .... fn .x n
x
n
x
Σfi.x i
fi
xi
fi = n
=
=
=
=
n
Σ fi.x i
i1
n
a ta u
x
a ta u
Σfi.x i
Σfi
Jumla h ha sil p e rka lia n se tia p d a ta d a n fre kue nsinya
Fre kue nsi d a ta ke -i
Da ta ke -i
b a nya k d a ta
C o nto h so a l 3
Ta b e l p e njua la n 10 b ua h kio s
p a ka ia n p a d a ming g u
p e rta ma b ula n De se mb e r 2008
Pa ka ia n
te rjua l
Ba nya k Kio s
(xi)
(fi)
70
2
80
3
90
4
100
1
Ra ta -ra ta p a ka ia n ya ng te rjua l
p a d a ta b e l d i sa mp ing a d a la h
a . 70
b . 71
c . 72
d . 73
e . 74
Pe m b a ha sa n c o nto h so a l 3
Diket ahui :
Pa ka ia n
te rjua l
Ja wa b :
Ba nya k Kio s
(fi)
(xi)
70
x
fi. xi
2
i
i
140
80
3
240
90
4
360
100
1
100
10
8 40
f .x
f
Dita nya : Rumus ra ta -ra ta
=
840
10
= 84
i
LATIHAN 2
1.
Ta b e l 1 b e risi d a ta Pa nja ng
b a ha n ya ng d ib utuhka n
siswa untuk me ra nc a ng
p a ka ia n p e sta . Hitung la h
b e ra p a p a nja ng ra ta -ra ta
b a ha n ya ng d ib utuhka n
o le h siswa ?
Ta b e l 2 me mp e rliha tka n
b a nya knya b ua h ma ng g a
ya ng d iha silka n. Be ra p a ka h
x d a n b e ra p a b a nyk musim
ya ng d ila lui jika ra ta -ra ta
p o ho n te rse b ut
me ng ha silka n 49 b ua h?
2.
Ta b e l 1.
Panj ang bahan
( dalam Met er)
Jum lah Siswa
Ta b e l 2
Ba nya k b ua h
Ba nya k Musim
(fi)
30
2
40
3
50
x
3
5
3,5
10
4
3
60
1
5
2
75
2
Diket ahui :
1
2
xi
Diket ahui :
xi
fi
x i .f i
3
3,5
5
15
10
35
4
3
fi
x i .f i
30
2
60
40
3
120
50
x
50x
60
1
60
75
2
150
12
Dita nya : x
5
2
10
20
72
f .x
f
i
=
=
3,6
i
72
20
:
x
f .x
f
i
i
49(8+x)
60 120 50x 60 150
8x
=390 + 50x
392 + 49x
= 390 + 50x
49x – 50x
= 390 – 392
-x
= -2
x
= 2 m usim
i
49
Dita nya : Ra ta -ra ta
Ja w a b :
x
Ja w a b
=
i
b a nya k m usim : 2 + 3+ 2+ 1 + 2 = 10 m usim
RATA-RATA HITUNG
DATA KELO MPO K
Be rikut ini a d a la h rum us-rum us untuk m e ne ntuka n Ra ta -ra ta hitung d a ta b e rke lo m p o k.
1. d e ng a n rum us sig m a
2. d e ng a n rum us c o d ing
Menent ukan rat aa - rat a hit ung dat a berkelom pok akan
lebih m udah apabila dat a disaj ikan dalam bent uk t abel
dist ribusi frekuensi.
, xi = Titik te ng a h
fi.x i
= ½ . (b a ta s b a wa h + b a ta s a ta s)
x
fi
c i = Ko d e titik te ng a h
3. d e ng a n ra ta -ra ta d ug a
x x0
x x0
fi .c
n
b n b n 1
=
sa tua n ukura n te rke c il
x 0 = Tit ik t engah pada frekuensi
I = Inte rva l ke la s = Pa nja ng ke la s
i
.I
t erbesar
fi .d
n
i
d i = xi – x0
C o nto h so a l 4
Ra ta -ra ta p e nd a p a ta n ha ria n
p e d a g a ng ka ki lima p a d a
ta b e l d i sa mp ing a d a la h Rp …
a.
97.000
b . 107.000
c.
117.000
d . 127.000
e.
137.000
Ta b e l p e nd a p a ta n 50
Pe d a g a ng ka ki lima p a d a
ta ng g a l 1 Ja nua ri 2009
NO
Pe nd a p a ta n
(d a la m p uluha n
rib u rup ia h)
fi
1
1–5
6
2
6 – 10
20
3
11 - 15
10
4
16 - 20
9
5
21 - 25
5
Batas bawah
NO
X
Pe m b a ha sa n c o nto h so a l 4
De ng a n rum us sig m a
Batas atas
fi
xi
fi.xi
1
1–5
6
3
18
2
6 – 10
20
8
160
3
11 - 15
10
13
130
4
16 - 20
9
18
162
5
21 - 25
5
23
115
50
585
x
f .x
f
i
i
i
x
X
= 11,7
585
50
Pe ng ha sila n ra ta - ra ta
pe da g a ng = 11,7 x 10.000
= Rp 117.000
x1 = ½ (1+5)
x2 = ½ (6+10)
x3 = ?
=½.6
= ½ . 16
x4 = ?
=3
=8
x5 = ?
Ke la s d e ng a n fre kue nsi te rb e sa r
Pe mb a ha sa n c o nto h so a l 4
X0 = nila i te ng a h p a d a fre kue nsi te rb e sa
De ng a n rumus c o d ing
0 = Ko d e p a d a fre kue nsi te rb e sa r
NO
X
fi
xi
ci
fi.c i
1
1–5
6
3
-1
-6
2
6 – 10
20
8
0
0
3
11 - 15
10
13
1
10
4
16 - 20
9
18
2
18
5
21 - 25
5
23
3
15
50
37
x x0
fi .c
n
i
.I
x0. = 8
fi.c i = 37
n = 50
I = (6 – 1)/ 1 = 5
37
x 8
.5
50
X
= 8 + 3,7 = 11,7
Pe ng ha sila n ra ta - ra ta
pe da g a ng = 11,7 x 10.000
= Rp 117.000
Ke la s d e ng a n fre kue nsi te rb e sa r
d i = Nila i te ng a h – Nila i d ug a a n = xi –x0
X0 = nila i d ug a a n
d1 = 3 – 8 = - 5
d2 = 8 – 8 = 0
d 3 = ?, d 4 = ? dan d 5 = ?
fi.d i
fi .d i
x x0
-30
n
NO
X
fi
xi
di
1
1–5
6
3
-5
2
6 – 10
20
8
0
0
3
11 - 15
10
13
5
50
4
16 - 20
9
18
10
90
5
21 - 25
5
23
15
75
50
185
fi.d i = 185
n = 50
x0. = 8
185
x 8
.
50
X = 8 + 3,7 = 11,7
Pe ng ha sila n ra ta - ra ta
pe da g a ng = 11,7 x 10.000
= Rp 117.000
Pem bahasan dengan
rat a- rat a duga
LATIHAN 3
1.
Hitung la h Ja ra k ra ta -ra ta
ya ng d ite mp uh siswa d a ri
ruma h ke se ko la h (ta b e l 3)
d e ng a n :
A. Rumus sig ma
B. Rumus C o d ing
C . Rumus Ra ta -ra ta d ug a
Tabel 3
Jarak
Frekuensi
1 - 10
40
11 – 20
25
21 – 30
20
31 - 40
15
B. Rum us coding
A. Rum us sigm a
x
fi
xi
X
fi.xi
1 - 10
40
5,5
11 – 20
25
15,5
387,5
21 – 30
20
25,5
510
31 - 40
15
35,5
532,5
100
Ra ta -ra ta =
x
220
fi.x i
f
xi
Ci
fi.xi
1 – 10
40
5,5
0
0
11 – 20
25
15,5
1
25
21 – 30
20
25,5
2
40
31 – 40
15
35,5
3
45
1650
fi
100
Ra ta -ra ta =
i
= 1650/ 100
x x0
110
fi .c
i
.I
110
x 5,5
. 10
100
n
= 5,5 + 11
= 16,5 KM
= 16,5 KM
C. Rum us rat aa - rat a duga
X
fi
xi
1 – 10
40
5,5
0
0
11 – 20
25
15,5
10
250
21 – 30
20
25,5
20
400
31 – 40
15
35,5
30
450
100
Di
fi.di
Ra ta -ra ta :
1100
x x0
f .d
i
i
1100
x 5.5
100
= 5.5 + 11
= 16.5 KM
n
MO DUS
Nilai yang paling sering muncul atau Nilai yang frekuensinya paling
tinggi
A. Modus untuk Ungrouped Data
Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Bisa terjadi data tanpa modus
Contoh :
a. Sumbangan PMI warga Depok:
Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000
Modus : Rp. 8000
b. Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus)
c. Umur Mahasiswa : 19 18 19 18 23 21
19 21 18 20 22 17
Modus : 18 dan 19
MO DUS (LANJUTAN)
Modus untuk Grouped Data
Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada
Kelas dengan frekuensi tertinggi
Tepi Batas Bawah kelas ke i = Batas Bawah kelas ke i + Batas Atas kelas ke (i-1)
2
Tepi Batas Atas kelas ke i = Batas Atas kelas ke i + Batas Bawah kelas ke (i+1)
2
C O NTO H MO DUS (LANJUTAN)
C O NTO H MO DUS (LANJUTAN)
MEDIAN, KUARTIL, DESIL PERSENTIL
A.
Median untuk Ungrouped Data
Median
Letak Median
Letak Median =
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir
(ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir
n 1
2
n = banyaknya data
• Jika banyak data (n) ganjil dan tersortir, maka:
Median = Data ke n 1
2
• Jika banyak data (n) genap dan tersortir, maka:
Median = [Data ke- n + Dat a ke- ( n + 1) ] : 2
2
2
C O NTO H MEDIAN (UNG RO UPED DATA)
MEDIAN (G RO UPED DATA)
Nilainya m erupakan pendekat an
Median
Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir
(ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median =
n
2
n : banyak dat a
Kelas Median : Kelas di mana Median berada
Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan
Frekuensi Kumulatif
C O NTO H MEDIAN (G RO UPED DATA)
Median = Dat a ke- 25 t erlet ak di kelas 24- 31
Kelas Median = 24 - 31
TBB Kelas Median = 23.5
TBA Kelas Median = 31.5
C O NTO H MEDIAN (G RO UPED DATA)
f M = 17
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10
Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27
s = 25 - 10 = 15
s’ = 27 - 25 = 2
KUARTIL (G RO UPED DATA)
Kelas Kuart il ke- q : Kelas di m ana Kuart il ke- q berada
Kelas Kuart il ke- q didapat kan dengan m em bandingkan Let ak
Kuart il ke- q dengan Frekuensi Kum ulat if
KUARTIL (G RO UPED DATA)
C O NTO H KUARTIL (G RO UPED DATA)
Kuart il ke- 3 = Dat a ke- 37.5 t erlet ak di kelas 40 - 47
Kelas Kuart il ke- 3 = 40 - 47
TBB Kelas Kuart il ke- 3 = 39.5
TBA Kelas Kuart il ke- 3 = 47.5
C O NTO H KUARTIL (G RO UPED DATA)
f Q = 10
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34
Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44
s = 37.5 - 34 = 3.5
s’ = 44 - 37.5 = 6.5
DESIL (G RO UPED DATA)
DESIL (G RO UPED DATA)
C O NTO H DESIL (G RO UPED DATA)
Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55
Kelas Desil ke-9 = 48 - 55
TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5
TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5
C O NTO H DESIL (G RO UPED DATA)
fD=3
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44
Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47
s = 45 - 44 = 1
s’ = 47 - 45 = 2
PERSENTIL (G RO UPED DATA)
Kelas Persentil ke-p : Kelas di mana Persentil ke-p berada
Kelas Persentil ke-p didapatkan dengan membandingkan Letak Persentil kep dengan Frekuensi Kumulatif
PERSENTIL (G RO UPED DATA)
C O NTO H PERSENTIL (G RO UPED DATA)
Persentil ke-56 = Data ke-28 terletak di kelas 32 - 39
Kelas Persentil ke-56 = 32 - 39
TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5
TBA Kelas Persentil ke-56 = 39.5
C O NTO H PERSENTIL (G RO UPED DATA)
fP=7
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Persentil ke-56 = 27
Frek. Kumulatif sampai Kelas Persentil ke-56 = 34
s = 28 - 27 = 1
s’ = 34 - 28 = 6