Contoh Hitunglah luas daerah D
001
y= - D = -
2
1
£
x
£
= {(x,y) |
Contoh Hitunglah luas daerah D
.
 Ú
= Æ
y
P L f x g x x f x g x dx
b n
i
alim ( ) ( ) ( ) ( )
1 || ||
( ) ( )
Luas daerah D adalah
f (x)}.
£
y
p , £
£ sin 2x}.
g
1
Â Ú Ú
= D = = = - = - - - =
=
Æ
L x x x dx x d x x p
p
pn i P
lim sin 2 sin 2 sin 2 (2 ) cos 2 1 1 1.
1
2
2
1
y Dx
1 || || / 2 / 2
( ) ( ) / 2
Luas daerah D adalah
2 p x
1
4 p x
1
= sin 2x
1 y
(x) £
,
Dx f
£
1
|| ||
(x)} Luas daerah D adalah
f
£
y
, £
b
£
x
a
b n i a
= {(x,y) |
b , dan sumbu x. D
, garis x =
a
0, garis x =
(x) dengan f (x) ≥
f
Daerah D dibatasi kurva y =
0 a x b x
lim ( ) ( )
P
L f x x f x dxb
g
£
x
£
a
= {(x,y) |
b . D
, dan garis x =
a
(x), garis x =
(x), dengan f (x) ≥
= Æ
g
(x), kurva y =
f
Daerah D dibatasi kurva y =
0 a x b x
y Dx f g
.
 Ú
= D =
D D D
2
x y x
Hitunglah luas daerah D {(x,y) | 1 4, 4x }.
= £ £ £ £
- Contoh
y
2
Daerah D dibatasi parabol y 4x , garis x 1,
Dx
= = dan sumbu x.
- x
4
3 y 4x x =
- 2
Luas daerah D adalah
n
4
2
2
2 D L x x x x x dx
lim (4 ) (4 ) = D = - -
i  =
1 Ú
P
1 || || Æ
1 D
4
1
64
1
2
3
x x
2
32
2 9. = = - - + =
- 0 1 2 x 4 x
3
3
3 ( )
1 x x
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y cos dan y sin
= = dengan x terletak di antara dua titik potong yang berturutan.
y y x y x
Fungsi cos dan sin mempu- = =
Dx
nyai periode 2 p. Pada selang [0,2p]
1
kedua kurva ini berpotongan di titik
y sin x y cos x = =
D
1
1
1
1 p 2p
, 2 dan 1 , 2 . p p -
1
1
5
3
4
2
4
2 x
( ) ( ) p p p p x
4
2
4
2
1
5 x
Pada selang , sin
[ ] =
p p kurva y
- 1
4
4 Dx x terletak di atas kurva y cos .
= Luas daerah D adalah
p n 5 / 4
L x x x x x dx
lim sin cos sin cos = D = - -
( ) ( ) Â i
=
1 Ú
P p / 4 || || Æ p
5 / 4
1
1
1
1 x x
cos sin
2
2
2 2 2 2. = - = = + + - +
( ) p / 4
2
2
2
2 D y x
Contoh Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva , sumbu x, dan
=
garis y 2.
=
- x
2 y x y
Integralkan dalam peubah y: y , x = ≥ ¤ x =
y x 2 (4,2)
=
x y
dan y
2
2. Luas daerah D adalah = ¤ x = + -
2 n
2
2 y Dy
L y y y y y dy
lim ( 2 ) ( 2 ) = + - D = + -
D
1 D 2 = =
- y x  i
Ú P
|| || Æ
2 0 1 2 3 4 x
1
1
2
1
2
3
y y y
2 2 4 2 3 .= = + - = - +
y f a
Daerah D dibatasi kurva y (x), garis x , garis = =
Dx Dx x b
, dan sumbu x. Luas daerah D adalah =
f f
| | b n
L f x x f x dx D lim | ( )| | ( )|
= D =
 i
1 = Ú a
|| || P Æ 0 a x c x b x
D
Pada gambar di samping,
f c b
L f x dx f x dx
( ) ( ) = + -
Dx ( ) a c
Ú Ú y f g
Daerah D dibatasi kurva y (x), kurva y (x), = =
Dx a b
garis x , dan garis x . Luas daerah D adalah = =
Dx g D b
n
fL f x g x x f x g x dx lim | ( ) ( )| | ( ) ( )| .
= D = - -
i
1 Â
D = a Ú f || || P
Æ g
Pada gambar di samping,
c b 0 a x c x b x
L f x g x dx g x f x dx ( ) ( ) ( ) ( ) .
= - + -
( ) ( ) a c
Ú Ú
3 x
Contoh Hitunglah luas daerah D yang dibatasi kurva y cos 2x, 0
= £ £ p
4 dan sumbu x. y
y
cos 2x memotong sumbu x di titik =
Kurva
Dx
1
3 1 y 2x
= -cos 0, , dan .
p p
4
4
1
kurva terletak di atas
[0, ] p
Pada selang
D
4 x
3
1
3
1
1 0 x p p x p
4
2 4 x
sumbu dan pada selang , kurva ter-
[ p p ]
4
4 D y cos 2x =
letak di bawah sumbu x.
- 1
Dx
Luas daerah D adalah
3 /4 p n
L x x x dx
lim |cos 2 | |cos 2 | = D =
 i
1 = Ú
|| || P Æ /4 3 /4 p p x dx x dx
cos 2 ( cos 2 ) = - +
Ú Ú p /4 p /4 3 /4 p
1
1
1
1
1
1
= = - - - =
- x x sin 2 sin 2 1 .
2
2
2
2
2
2 ( ) ( ) p /4 ( )
- 2 £
- 2,
- 2 £
- 2 pada selang
- 2,2] berpotongan di titik (
- 1,1) dan (2,4).
- 2
- 1,2] parabol terletak di bawah garis.
- 1,1)
- 2
- 1 0
- Æ
2
adalah L
i
, i = 1, 2, 3, 4, maka
L
1 = ( )
2
1
beserta parabol dan garis pembatasnya. Jika luas daerah D
(9 ) (7 )
x x dx
Ú
L
2 = ( )
( )
1
i
4
2
y =
1 4 6 .
n i P
L x x x x x dx
x x dx x x dx
x x x x x x=
= - + D = - + = - + + + - = - - + + - = - - + + - + + - - + - = + =
Â Ú Ú Ú y
9 (
9
, dan D
2 (
Ilustrasi Perhatikan daerah D
1
, D
2
, D
3
2
2
2 4 2 4
7
x dx x dx
D
1 D
2 D
4 y
=
D
2
3 y
=
5
7
5
3 y
= x
4 9 ( )
3
1
2
(9 ) 5 (7 ) 5
x dx x dx
Ú Ú
L
3 = ( )
( )
2
2
2
3
2
(9 ) (4 ) 5 (4 )
x x dx x dx
Ú Ú
L
4 = ( )
2
2
D D (
Pada selang [-2,-1] parabol terletak di atas garis dan pada selang [
Parabol y =
x
2
dan garis y =
x
[
Luas daerah D adalah
x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1
2 || ||
1
x 2 x
1
2
=
Contoh
Hitunglah luas daerah D yang dibatasi parabol y =
x
2
,
x
£ 2, garis y
x
2
x
£ 2, dan sumbu x.
y Dx Dx
4 (2,4) y = x
2 y
= x
y = x
2
2
2
2
8
1
1
3
2
3
3
3
1
5
1
1
6
2
3
lim | ( 2)| | ( 2)| ( 2) ( 2)
8
1
2
3
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
3
3
2
2
3
2
- 1,8)
- x
- x
- 2,5) (2,5)
- 3 -2 -1 0 1 2 3 x >
- 3
y y cakram lingkaran Dx f tinggi (x)
Dx, jari-jari f Dx Dx f
D f (x) f (x)
0 a x b x a x b
0 x sb putar D {(x,y) | a x b , y f (x)} = £ £ £ £ diputar terhadap sumbu x.
Dx volum cakram
2 V f ( ) x x D = p D i a x b y f
Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D {(x,y) | , (x)} dipu- = £ £ £ £ tar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah
b n
2
2 V f x x f x dx lim ( ) ( ) .
= D = p p
i Â
1 = a Ú
|| || P Æ D x y x y x
Contoh Jika daerah ( , ) : 0 ,0 sin diputar terhadap
= £ £ p £ £
{ } sumbu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi. y
Volum benda putar yang terjadi bilamana da-
Dx
erah D diputar terhadap sumbu x adalah
1 n y sin x
=
2 V x x
lim sin
D = p D
i1 Â
= || || P Æ
0 x p x p
2 x dx
sin = p
Ú y p
1
1 x dx
cos 2 = p -
2
2 x y sin Ú = ( ) p
1
1
sin 2 = p
- x x
0 x
2
4 p x
( )
1
1
2 .
= ◊ p p = p
4
3 Contoh V r Buktikan volum bola berjari-jari a .
> 0 adalah = p
3 y
Suatu cara untuk memperoleh bola berjari-jari a
Dx a
adalah daerah
2 y a x
=
- 2
2 D x y a x a y a x
{( , )| ,0 } = - £ £ £ £
- 2
D diputar terhadap sumbu x. x a x
- a 0
Volum benda putarnya adalah volum bola yang
y
dicari, yaitu
2 a n
2
2
lim = D p
- 2
y a x = i
2 V a x x
- =
Â
1 P || || Æ ( )
2 a a
2
2
2
2 a x a x dx a x dx
- a 0 x
2 = p = p - -
( ) Ú Ú
- a a
(
)1
2
4
3
3
3 a x x a a
- a
2 2 . = p = p ◊ = p
2
3
3
3 ( )
2 x x y
Contoh Jika daerah D {(x,y) | 2, 4} diputar terhadap sum-
= £ £ £ £ bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.
2 y x x y
Notasi D {(x,y) | 2, 4} berarti bah- = £ £ £ £ wa proyeksi D pada sumbu x adalah selang [0,2],
y
4 =
2 4 (2,4) x
batas bawahnya y dan batas atasnya y 4.
= =
y Dy
Ubahlah daerah D dengan membuat proyeksinya
2 D
y x =
terhadap sumbu y, diperoleh
D y x
0 2 x D y
{(x,y) | 4, = £ £ £ £ y }.
Proyeksi pada sumbu adalah selang [0,2], ba-
y y tas kirinya x 0 dan batas kanannya x .
= =
4 Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah (
- 2,4) (2,4)
D
diputar terhadap sumbu y adalah
2
2
4 n y x
= V y y y dy
lim = p D = p
i Â
= 1 ( ) Ú
P
|| || Æ
4 2 x
- 2 0
1
2 y (8 0) 8 .
= p = p - = p
2
y y cincin lingkaran, tinggi Dx,
Dx f jari-jari f (x) dan g(x).
D Dx Dx f
- f x g x ( ) ( )
g f x
( ) g g x ( )
a
0 a x b x 0 x x sb b putar
D {(x,y) | a x b , g (x) y f (x)} = £ £ £ £
Dx diputar terhadap sumbu x. volum cakram
2 V f ( ) x g x ( ) x D = p ( ) D i a x b g y f
- 2
Jika f, g kontinu pada [a,b], dan daerah D {(x,y) | , (x) (x)} = £ £ £ £ diputar terhadap sumbu x, maka volum benda putar yang terjadi adalah
b n
2
2
2 V f x g x x f x g x dx lim ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) .
= p D = p
- 2
- =
 i
1 Ú a
P || || Æ
D x x y Contoh Jika daerah {(x,y) |
1 4, diputar terhadap sum- = £ £ £ £2 x } bu x, hitunglah volum benda putar yang terjadi.
y Dx
Daerah D dibatasi oleh kurva y = 2 x , garis x = 1, dan
4 (4,4) y 2 x
=
garis y = x. Kurva y = 2 x dan garis y = x berpotongan
y x =
D di titik (0,0) dan (4,4).
0 1 x 4 x
Volum benda putar yang terjadi bilamana daerah D di-
y
putar terhadap sumbu y adalah
4 (4,4)
n
2 V x x x
lim (2 ) = p D
- 2
1 P || || Æ
( ) Â i
=
4
4
2
2
2 x x dx x x dx
(2 ) (
4 ) = p = p - -
( ) 1 x
4 Ú Ú
1
1
4
1
64
2
3 x x
2
32 2 9 . = = - - + = p p p
- 1
3
3
3 ( ) ( )
1
2 x y
Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran ( 2)
1
- 2
- £ diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.
y y
1 y Dy
D
- 1 0 1 0 1
2 3 x -3 3 x
2
2 x y x y
= - -
2 1 = + -
2
1 Bentuk Donat
2
2 x y
Cakram lingkaran ( 2)
1
- £ berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan,
2
2 x y
dan batasnya adalah lingkaran ( 2)
1
- = . Batas sebelah kirinya ada-
2
2 x y x y
lah fungsi
2 1 dan sebelah kanannya adalah
2 1 . = -
= + - - Volum benda putar yang terjadi adalah
2
2 n
Ê ˆ
2
2 V y y y
lim
2
1
2
1 = p - - + - - D
 i =
1
Á ˜
P || || Æ
( ) ( )
Ë ¯
1
2
2
1
Ê ˆ
2
2
2 y y dy y dy
2
1
2 1 8 1 = p - - = p - - - +
Á ˜
Ú Ú
1 ( ) ( )
Ë ¯
1
1
1
2 y dy
16
1
16 4 . = = ◊ = p p p p
- 2
4 Ú
1
1
2
- y t t
Untuk menghitung 1 y dy , buatlah penggantian sin ,0 .
= £ £ p
2 Ú
2
2
2
dy t dt y t t t
Akibatnya cos dan 1 1 sin cos cos . Batas in- = = = =1 y t y t tegralnya berubah, 1 dan = ¤ = p = ¤ = . Dari sini diperoleh
2 1 p / 2 p / 2 1
1
2 y dy t t dt t dt
1 cos cos cos 2
= ◊ =2
2 Ú Ú Ú
( )
p / 2
1 1 1 1
1
1
- t t sin 2 .
= = ◊ - ◊ = p p
2 4 2 2
4
4
y y y f kulit tabung
Dx
- x x x 0 a x b x
- b b x sumbu putar
Metode kulit tabung: sumbu putar x f (x)
DV = 2 Dx p a x b y f
Jika f kontinu pada [a,b] dan daerah D {(x,y) | , (x)} dipu- = £ £ £ £ tar terhadap sumbu y, maka volum benda putar yang terjadi adalah
b n
V x f x x x f x dx
lim 2 ( ) 2 ( ) . = p D = p
i Â
P || || Æ
1 = a Ú
Catatan Metode kulit tabung dapat digunakan untuk daerah D yang diba-
tasi kurva f dan g yang kontinu pada [a,b]. Jika f, g kontinu pada [a,b], dan
a x b g y fdaerah D {(x,y) | , (x) (x)} diputar terhadap sumbu y, maka = £ £ £ £ volum benda putar yang terjadi adalah
b n
V x f x g x x x f x g x dx
lim 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) = p D = p - -
( ) ( ) Â i
=
1 Ú a
P || || Æ
D x x y Contoh Jika daerah {(x,y) |
1 4, diputar terhadap sum- = £ £ £ £2 x } bu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.
y
Volum benda putar yang terjadi adalah
Dx 4 (4,4) n
4
y 2 x =
V x x x x x x x dx
lim
2
2
2
2 = p - D = p
- 2
 i = 1 ( ) ( ) y x
Ú = P
1 D || || Æ
4
4
1
3
1
4
1
3
2
3 x x x
2 2 25
21 7 . = = - + = - - p p p
0 1 x 4 x
5
3
5
3
5
3
5 ( ) ( )
1
2 Contoh x x y
Jika daerah D {(x,y) | 2, 4} diputar terhadap sumbu = £ £ £ £
y , hitunglah volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung. y y
Volum benda putar yang terjadi ada- lah
y
4 = 4 4 (2,4) n
(
- 2,4) (2,4)
V x x x
lim
2
4 = p ( ) D
- 2
i Â
1 = P
|| || Æ
2 D
2 y x
= x y =
2
2
1
3
2
4 x x dx x x
2 ( 4 )
2
2 = p = p - -
4 Ú
( ) 2 x x 2 x -2 0 2 (8 4) 8 .
= p - = p
2
x y Contoh Jika daerah D yang berbentuk cakram lingkaran ( 2)
1
- 2
- £ diputar terhadap sumbu y, hitunglah volum benda putar yang terjadi.
y y Dx
1
2 y x
= - - 1 ( 2) D x
0 1 3 x
2 -3 3 x -1 0 1
2 y 1 ( x 2)
=- - -
2
2 x y
Cakram lingkaran ( 2)
1 £ berpusat di (2,0), berjari-jari 1 satuan,
2
2
x y
dan batasnya adalah lingkaran ( 2)
1 = . Batas sebelah atasnya ada- - +
2
2 y x y x lah fungsi 1 ( 2) dan sebelah bawahnya adalah 1 ( 2) .
= - - = - - -
Volum benda putar yang terjadi dengan metode kulit tabung adalah
3 n
2
2 V x x x x x x dx
lim 2 1 ( 2) 1 ( 2) 4 1 ( 2) = - - - - D = - - p p
- 2
i Â
=
1 Ú
P 1 || ||
Æ ( )
1
2 u u du u x du dx x u x u
4 2 1 ; 2, , 2, 1
3
1
1 = p = - = = + £ £ ¤- £ £ - +
( ) Ú
- 1
1
1
1
1
2
2
2
2 u u du u du u du
4
1
8 1 0 16
1
16 4 . = p p = + p = p p ◊ = p - + - -
4 Ú 1 Ú
1 Ú
Metode Cakram Metode Cincin
y y irisan sejajar f irisan sejajar^ sb-x ^ sb-x f g
0 a x b x 0 a x b x
- g
- f
bidang yang bidang yang ^ sb-x -f ^ sb-x
Pada metode cakram, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang te- gak lurus sumbu x selalu berbentuk cakram lingkaran. Untuk x [a,b] Œ
2 L L x f x luasnya merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu ( ) ( ) .
D = = p metode cincin, irisan sejajar benda putar dengan bidang yang tegak Pada
x x
lurus sumbu selalu berbentuk cincin lingkaran. Untuk [a,b] luasnya Œ
2 L L x f x g x merupakan fungsi kontinu dari x, yaitu ( ) ( ( ) ( ) ) .
D = = p Volum benda putar untuk kedua metode ini adalah
- 2
b n
V L x x L x dx
lim ( ) ( ) , = D =
i Â
= 1 a Ú
P || || Æ
2
2 L x f x L x f x g x dengan penampangnya ( ) ( ) atau ( ) ( ) ( ) .
- 2
= = ( ) p p Gagasan metode irisan sejajar adalah perumuman kedua metode ini un- tuk benda padat di antara dua bidang yang tegak lurus sumbu x.
Luas irisan sejajar Metode irisan sejajar Suatu benda padat terle- adalah L(x)
tak antara dua bidang yang tegak lurus sumbu-x
bidang a b
dari ke . Jika luas irisan sejajar benda dengan
^ sb-x L (x)
bidang tegak lurus sumbu x adalah L(x) dan L
sb-x
kontinu pada [a,b], maka volume benda padat
a
tersebut adalah
x x a b
= n b
V L x x L x dx lim ( ) ( ) .
= D =
 i =
1 Ú a
P || || Æ
Contoh Alas suatu benda padat adalah cakram lingkaran berjari-jari a 0.
> Jika irisan sejajar antara bidang yang tegak lurus garis tengah tetap selalu berbentuk persegi, hitunglah volum benda padat tersebut.
2
2
2 benda padat x y a Persamaan lingkarannya adalah .
- =
C
Irisan benda padat dengan bidang yang tegak
y D
lurus sumbu x pada selang [
- a,a] berbentuk
x = -a
ABCD A B
persegi . Jika (x, dan (x,y), maka
- y)
B (x,y) x =
2 A (x,
- y)
AB y a x
sisi persegi adalah
2 2 , se- = =
- 2
2 x a x = a x hingga luas ABCD adalah L(x) 4( ) .
= Karena L kontinu pada [
- 2
- a,a], maka volum
y a benda padatnya adalah a
B(x,y) n
2
2
2
2 V a x x a x dx
2 2 lim 4( ) 4( )
= D = - -
= =
- y a x
 i
Ú P
- 1 a
|| ||
Æ
aa
- a a x x
1
2
2
2
3 a x dx a x x
8 ( )
8 = = - -
3 Ú
( )
- a
A(x,
- y)
1
1
3
3
- a
a a a
8 5 . = =
3
3
3 ( )
D x y y x y Contoh Alas suatu benda padat adalah {( , ) |0 1,0 2 1 } = £ £ £ £ - . y
Jika irisan sejajar dengan bidang yang tegak lurus sumbu selalu berbentuk cakram setengah lingkaran, tentukan volum benda padat tersebut.
y
Irisan sejajar yang berbentuk cakram setengah
1 =
- x 2 1 y
lingkaran untuk y di antara 0 dan 1 berdiameter
y diameter
2 1 y
- , sehingga jari-jarinya 1 y - . Luas ca-
lingkaran
2
1
1 0 2 x
L y y y
( ) 1 (1 ) kramnya adalah = = - . p p -
2 y
Karena L kontinu pada [0,1], maka volum ben-
benda padat
2 ( )
da padatnya adalah
1
1 n
1
1 V y y y dy
lim (1 ) (1 ) = p - D = p
- 2 =
i  1 2
Ú P
|| || Æ 0 cakram 2 x
1
1
1
1
1
1
2 setengah y y 1 .
= p = p = p - -
2
2
2
2
4 lingkaran
Pusat Massa Batang Dx i m 2 m
3 O m 1 m m O L i n x
2 x 3 x 1 x i x n x x i c i x i x n x
- 1
,
1 Sistem partikel pada suatu garis terdiri dari n partikel dengan massa m m m x x
, yang terletak di titik x , , , . Massa, momen terhadap ti-
2 º, n
1 2 º n tik asal O, dan pusat massanya ditentukan sebagai berikut. h m m m
Massa adalah M =
1
2 º n m x m x m x h Momen terhadap O adalah M
= º n n + + +
1
1
2
2 M x h Titik pusat massa adalah .
=
M
Sebuah batang horisontal tak homogen panjangnya L terletak di antara
x L
0 dan x . Jika rapat massa di setiap titik pada batang adalah (x), = = r dengan r kontinu pada [0,L], akan ditentukan pusat massa batang.
i ,x i ] selang bagian ke-i dan pan-
- 1
Buatlah partisi untuk [0,L] dengan [x jangnya . Jika c adalah titik tengah [x ,x ] dan rapat massanya pada Dx i i i i
- 1
selang bagian ini konstan sebesar (c ), maka massanya (c ) r i Dm i = r i Dx i dan pusat massanya di c . Batang ini dipandang sebagai sistem n partikel
i c c
dengan massa , , , di c , , , yang massa, momen ter- Dm
1 Dm 2 º Dm n
1 2 º n hadap titik O, dan pusat massanya ditentukan seperti di atas.
batang tak homogen yang panjangnya L dengan rapat massa (x), r Untuk r kontinu pada [0,L], pusat massanya ditentukan sebagai berikut.
L n h M c x x dx Massa batang adalah lim ( ) ( ) .
= r D = r
i i i
 =
1 Ú
P || || Æ
L n M c c x x x dx
h Momen terhadap O adalah lim ( ) ( ) .
= D =
i r i i r i Â
=
1 Ú
P
|| ||
ÆM h
x
Titik pusat massa batang adalah .=
Contoh Tentukan pusat massa batang tak homogen yang panjangnya 4 sa-
tuan dan rapat massa di setiap titik x yang jaraknya x satuan dari ujung kiri batang adalah (x) r = 6x + 4.
Massa batang adalah
4 n
4
2 M c x x dx x x
lim
6
4
6
4
3 4 48 16 64 . = + D = = = = + + +
i i ( )
( ) i
 = (
1 )
P Ú || || Æ
Momen terhadap O adalah
4
4 n
2 M c c x x x dx x x dx
lim
6
4
6
4
6
4 = + D = = + +
i i i ( )
( ) i
Â
Ú Ú || || P Æ
1 = ( )
4
3
2 x x
2 2 128 32 160. = = =
( ) M
160
1 x 2 .
= = = Titik pusat massa batang adalah
M
64
2
1 Jadi titik pusat massa batang terletak 2 satuan dari ujung kiri batang.
2 Pusat Massa Keping Datar y
partikel pada suatu bidang terdiri dari Sistem
m
2 n m m
partikel dengan massa m , , , yang
1 2 º n (x 2 ,y 2 ) y 1 m
1 m 3 (x 1 ,y 1 ) ( x ( x ( x terletak di titik ,y ), ,y ) , , ,y ).
1
1
2 2 º n n (x 3 ,y 3 )
Massa, momen terhadap titik asal O, dan pu- sat massanya ditentukan sebagai berikut.
0 x x
1 m m h m m m
4 n Massa adalah M
=
1