Materi Kuliah Jurusan Teknik Elektro - FORUM STUDI ISLAM AL-BIRUNI
Matematika Dasar
FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
Fungsi Trigonometri merupakan
fungsi periodik sehingga pada daerah R bukan
merupakan fungsi satu-satu. Oleh karena itu untuk mendapatkan
fungsi inversnya maka
domain dari fungsi trigonometri harus dibatasi.
Misal f(x) = sin x. Maka agar f(x) = sin x merupakan fungsi satu-satu maka
domainnya diambil :
π
−π
2 ≤ x ≤ 2 ; − 1 ≤ f ( x ) ≤ 1
Pada daerah di atas f( x ) = sin x merupakan fungsi satu-satu dan oleh karena itu
mempunyai invers. Notasi invers : x = sin−1 f ( x ) = arc sin f ( x )
Turunan fungsi invers Trigonometri
π
π
y = sin−1 u − 1 ≤ u ≤ 1 ; − ≤ y ≤
2
2
Misal
dengan u merupakan fungsi
dy
dalam x. Maka turunan y ' = didapatkan sebagai berikut :
dx
y = sin−1 u ⇔ u = sin y ⇔
dy
1
=
du cos y
Bila sin y = u maka cos y = 1 − u 2 . Oleh karena itu,
Jadi : y ' =
u'
1 − u2
dy
=
du
1
1− u2
.
.
Dengan menggunakan anti turunan dari invers sinus didapatkan rumus integral :
∫
du
1 − u2
= sin−1 u + C
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Untuk fungsi invers trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan cara sama :
[
]
1. y = cos−1 u − 1 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ π
y' =
− u'
1 − u2
⇔
∫
du
1 − u2
= − cos−1 u + C
π
π
u'
2. y = tan−1 u − ∞ < u < ∞ ; − < y < ⇒ y ' =
2
2
1 + u2
π
π
− u'
3. y = cot −1 u 0 ≤ u < ∞ ; − ≤ y < 0 ∨ 0 < y ≤ ⇒ y ' =
2
2
1+ u2
tan −1 u + C
=
∫ 1 + u2 − cot −1 u + C
du
π
π
u'
4. y = sec −1 u |u| ≥ 1 ; 0 ≤ y <
∨
< y ≤ π ⇒ y ' =
2
2
u u2 − 1
π
π
− u'
5. y = csc −1 u | u| ≥ 1 ; − ≤ y < 0 ∨ 0 < y ≤ ⇒ y ' =
2
2
u u2 − 1
sec−1 u + C
6. ∫
=
−1
u u 2 − 1 − csc u + C
du
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 10 ) Carilah turunan dari :
1. y = cos−1( 2 x + 1)
( x)
2. y = cot −1
3. y = cos−1(cos x)
4. y =
tan−1 x
(
)
3
5. y = x 2 sin−1 x
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
(
6. y = 1 + x sec −1 x
(
)
8. y = csc−1
1− x
1+ x
(
)
7. y = sin−1 e− 3x
9. y = tan−1 x e 2 x
(
)2
10. y = sin−1 x 2 ln x
)
( Nomor 11 sd 17 ) Hitung integral berikut :
dx
11.
∫
12.
∫
13.
∫ t4 + 1
1 − 4x2
dx
x 9x2 − 1
t dt
14.
∫
15.
∫
sec2 x dx
1 − tan 2 x
dx
x 1 − (ln x )
2
2
ln
3
∫
16.
ln 2
3
17.
∫
1
e − x dx
1 − e− 2 x
dx
x ( x + 1)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
Fungsi Trigonometri merupakan
fungsi periodik sehingga pada daerah R bukan
merupakan fungsi satu-satu. Oleh karena itu untuk mendapatkan
fungsi inversnya maka
domain dari fungsi trigonometri harus dibatasi.
Misal f(x) = sin x. Maka agar f(x) = sin x merupakan fungsi satu-satu maka
domainnya diambil :
π
−π
2 ≤ x ≤ 2 ; − 1 ≤ f ( x ) ≤ 1
Pada daerah di atas f( x ) = sin x merupakan fungsi satu-satu dan oleh karena itu
mempunyai invers. Notasi invers : x = sin−1 f ( x ) = arc sin f ( x )
Turunan fungsi invers Trigonometri
π
π
y = sin−1 u − 1 ≤ u ≤ 1 ; − ≤ y ≤
2
2
Misal
dengan u merupakan fungsi
dy
dalam x. Maka turunan y ' = didapatkan sebagai berikut :
dx
y = sin−1 u ⇔ u = sin y ⇔
dy
1
=
du cos y
Bila sin y = u maka cos y = 1 − u 2 . Oleh karena itu,
Jadi : y ' =
u'
1 − u2
dy
=
du
1
1− u2
.
.
Dengan menggunakan anti turunan dari invers sinus didapatkan rumus integral :
∫
du
1 − u2
= sin−1 u + C
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
Untuk fungsi invers trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan cara sama :
[
]
1. y = cos−1 u − 1 ≤ u ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ π
y' =
− u'
1 − u2
⇔
∫
du
1 − u2
= − cos−1 u + C
π
π
u'
2. y = tan−1 u − ∞ < u < ∞ ; − < y < ⇒ y ' =
2
2
1 + u2
π
π
− u'
3. y = cot −1 u 0 ≤ u < ∞ ; − ≤ y < 0 ∨ 0 < y ≤ ⇒ y ' =
2
2
1+ u2
tan −1 u + C
=
∫ 1 + u2 − cot −1 u + C
du
π
π
u'
4. y = sec −1 u |u| ≥ 1 ; 0 ≤ y <
∨
< y ≤ π ⇒ y ' =
2
2
u u2 − 1
π
π
− u'
5. y = csc −1 u | u| ≥ 1 ; − ≤ y < 0 ∨ 0 < y ≤ ⇒ y ' =
2
2
u u2 − 1
sec−1 u + C
6. ∫
=
−1
u u 2 − 1 − csc u + C
du
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 10 ) Carilah turunan dari :
1. y = cos−1( 2 x + 1)
( x)
2. y = cot −1
3. y = cos−1(cos x)
4. y =
tan−1 x
(
)
3
5. y = x 2 sin−1 x
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Dasar
(
6. y = 1 + x sec −1 x
(
)
8. y = csc−1
1− x
1+ x
(
)
7. y = sin−1 e− 3x
9. y = tan−1 x e 2 x
(
)2
10. y = sin−1 x 2 ln x
)
( Nomor 11 sd 17 ) Hitung integral berikut :
dx
11.
∫
12.
∫
13.
∫ t4 + 1
1 − 4x2
dx
x 9x2 − 1
t dt
14.
∫
15.
∫
sec2 x dx
1 − tan 2 x
dx
x 1 − (ln x )
2
2
ln
3
∫
16.
ln 2
3
17.
∫
1
e − x dx
1 − e− 2 x
dx
x ( x + 1)
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung