Kumpulan soal tentang Materi Matriks and
“Kumpulan Soal”,,,,,
! ! !
Materi: “Matriks & Ruang Vektor”
1. BEBAS LINEAR
S
O
3. BASIS DAN DIMENSI
A
L
2. KOMBINASI LINEAR
NeXt
FITRIYANTI NAKUL
Page 1
1. BEBAS LINEAR
Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan suatu vektor yang anggotanya tidak saling
tergantung antara satu vektor dengan vektor yang lainnya. Berikut ini akan disajikan soal
yang menggambarkan keadaan sistem yang bebas linear maupun yang tak bebas linear
dari vektor-vektor dalam ℝ3 . Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi berikut ini:
DEFENISI 1.1
Jika � =
berikut
1,
2,
3, … ,
adalah suatu himpunan vektor tak kosong, maka persamaan
1 1
+
2 2
+
3 3
+ ⋯+
sedikitnya mempunyai penyelesaian berikut
1
=
2
=
3
=⋯=
=0
jika hanya itu satu-satunya penyelesaian, maka S dinamakan himpunan vektor yang
bebas linear , tetapi jika ada penyelesaian yang lain, maka S dinamakan tak bebas
linear .
Cara alternatif untuk menentukan suatu sistem bebas linear atau tak bebas linear, yaitu
cukup dengan memeriksa/meninjau apakah matriks det (A) = 0 atau tidak.
NOTE:
Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A) = 0, maka antara satu
vektor dan vektor lainnya saling tergantung atau S tak bebas linear .
Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A) ≠ 0, maka antara satu
vektor dan vektor lainnya tidak saling tergantung atau S bebas linear .
Soal
Tentukan apakah S bebas linear?, jika diberikan:
a.
�=
b. � =
, ,
, ,
di ℝ3 , dengan
di ℝ3 , dengan
FITRIYANTI NAKUL
= 1, 2, 1 ,
= 4, 6, 0 ,
= 2, 5, 0 , dan
= 0, 0, 2 , dan
= 3, 3, 8
= −2, −3, 1
Page 2
Jawab:
a. Penyeleasaian dari: � =
di ℝ3 , dengan
, ,
= 3, 3, 8
= 1, 2, 1 ,
= 2, 5, 0 , dan
Pembuktian
Mengacu pada defenisi 1.1
1
+
2
+
3
=0
1
+
2
+
3
=0
Atau
1
1, 2, 1 +
+2
2
2, 5, 0 +
3, 3, 8 = 0
3
+ 2 2, 5 2, 0 + 3 3, 3 3, 8
1, 2 1, 1
1
2
+ 3 3, 2
1
+5
2
+ 3 3,
1
+0+8
3
=0
3
=0
Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:
1
2
1
+2
+5
1
2
2
+3
+3
+0+8
3
3
3
…..(1)
=0
=0
…..(2)
=0
…..(3)
1
⇒ 2
1
2 3
5 3
0 8
1
2
3
0
= 0
0
dengan:
1
�= 2
1
2 3
5 3
0 8
Untuk menentukan sistem ini bebas linear atau tak bebas linear, maka cukup diperiksa
apakah matriks det (S) = 0 atau tidak. Untuk itu perlu dicari terlebih dahulu nilai
determinan dari sistem ini.
Misalkan elemen yang diambil terletak pada kolom 1, maka nilai determinan dapat
ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:
� =
� =
11
−1
−1
1+1
+
�
�11 +
21
−1
2+1
2
5 0
+ 2 −1 3
0
3 8
2 3
5 0
+1
� =1
+ (−2)
0 8
3 8
� = 1 −1
2
�21 +
31
3
+ 1 −1
8
2 3
5 3
−1
4
3+1
2
5
�31
3
3
� = 1 40 − 0 + (−2) 16 − 0 + 1(6 − 15)
� = 1 40 + (−2) 16 + 1(−9)
� = 40 + (−32) + (−9)
FITRIYANTI NAKUL
Page 3
� = 40 + (−41)
� = −1
Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol
� � ≠ , maka antara satu vektor dengan vektor lainnya tidak saling
tergantung atau S bebas linear.
b. Penyelesaian dari: � =
, ,
= −2, −3, 1
di ℝ3 , dengan
= 4, 6, 0 ,
= 0, 0, 2 , dan
Pembuktian
Mengacu pada defenisi 1.1
1
+
2
+
3
=0
1
+
2
+
3
=0
Atau
1
4
4
4, 6, 0 +
1, 6 1, 0
+ 0, 0, 2
+ 0 + −2
1
2
3, 6 1
4
1
−2
0, 0, 2 +
2
+ −2
+0−3
3, 6 1
3, 0
−3
3
−2, −3, 1 = 0
3 , −3 3 ,
3
=0
2
+
3
=0
3, 2 2
+
3
=0
+2
Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:
4
1
6
1
2
−2
−3
2
+
3
=0
…..(1)
3
=0
…..(2)
3
=0
…..(3)
4
⇒ 6
0
dengan:
4
�= 6
0
0 −2
0 −3
2 1
1
2
3
0
= 0
0
0 −2
0 −3
2 1
Untuk menentukan sistem ini bebas linear atau tak bebas linear, maka cukup diperiksa
apakah matriks det (S) = 0 atau tidak. Untuk itu perlu dicari terlebih dahulu nilai
determinan dari sistem ini.
FITRIYANTI NAKUL
Page 4
Misalkan elemen yang diambil yang terletak pada kolom 3, maka nilai determinan
dapat ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:
� =
� =
13
−1
−1
� = −2 −1
� = −2
6
0
1+3
+
�
�13 +
23
−1
2+3
�23 +
33
−1
3+3
4 0
6 0
+ 1 −1
+ (−3) −1 5
0 2
0 2
4 0
4 0
0
+1
+3
6 0
0 2
2
4
�33
6
4 0
6 0
� = −2 12 − 0 + 3 8 − 0 + 1(0 − 0)
� = −2 12 + 3 8 + 1(0)
� = −24 + 24 + 0
� =0
Karena nilai determinan dari system linear tersebut sama dengan nol
� � = , maka antara satu vektor dengan vektor lainnya saling tergantung
atau S tak bebas linear.
2. KOMBINASI LINEAR
Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan kombinasi linear dari vektor-vektor
dalam ruang vektor ℝ3 . Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi berikut ini:
DEFINISI 2.1
suatu vektor
disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor,
1,
2,
…,
, jika bisa
dinyatakan dalam bentuk
=
dengan
1,
2,
…,
1 1
+
2 2
+⋯+
adalah scalar
Soal
Tinjau vektor
= 10, −2, −6
= −1, 3, 2 dan
= 4, 2, −1 di ℝ3 . Tunjukkanlah bahwa
adalah kombinasi linear dari
bukanlah kombinasi linear dari
FITRIYANTI NAKUL
dan .
dan
dan bahwa
= 12,4, −2
Page 5
Jawab:
akan menjadi kombinasi linear dari
=
sedemikian sehingga berlaku
=
dan
+
−1, 3, 2 +
10, −2, −6 = − , 3 , 2
10, −2, −6 = −
+ 4 ,3
4, 2, −1
+ 4 ,2 ,−
+2 ,2
−
Dengan menyamakan komponen yang berpadanan diperoleh:
−
3
, yaitu
+
10, −2, −6 =
jika dapat ditemukan skalar m dan n
2
+ 4 = 10
….. (1)
+ 2 = −2
….. (2)
−
….. (3)
= −6
Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi pada tiga persamaan di atas,
sehingga diperoleh nilai skalar m dan n sebagai berikut:
Eliminasi variable n pada pers. (2) dan (3)
3
2
+ 2 = −2 x 1 ⟹ 3
−
= −6 x 2 ⟹ 4
+ 2 = −2
− 2 = −12
7
= −14
=
−14
7
= −2
= −2 , ke pers. (1)
Subtitusikan nilai
−
+
+ 4 = 10
− −2 + 4 = 10
2 + 4 = 10
4 = 10 − 2
4 =8
=
8
4
=2
FITRIYANTI NAKUL
Page 6
Pengujian nilai skalar m dan n dalam system persamaan linear:
Pers. 1
−
+ 4 = 10
+ 2 = −2
3
2
−(−2) + 4(2) = 10
3(−2) + 2(2) = −2
10 = 10
−2 = −2
−6 + 4 = −2
2 + 8 = 10
Pers. 3
Pers. 2
−
= −6
2(−2) − 2 = −6
2(−2) − 2 = −6
−4 − 2 = −6
−6 = −6
Berdasarkan hasil uji, maka nilai skalar m dan n memenuhi sistem persamaan linear.
Dengan demikian, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut menghasilkan
= −2 dan
= 2, sehingga diperoleh:
=
Jadi, ∴
+
= −2 + 2
merupakan kombinasi linear dari
dan .
Demikian juga untuk membuktikan apakah merupakan kombinasi linear dari
dan , yaitu =
+
=
, dengan cara yang sama, diperoleh:
+
12, 4, −2 =
−1, 3, 2 +
12, 4, −2 = − , 3 , 2
12, 4, −2 = −
+4 ,3
4, 2, −1
+ 4 ,2 ,−
+ 2 ,2
−
Dengan menyamakan komponen yang berpadanan diperoleh:
−
3
2
FITRIYANTI NAKUL
+ 4 = 12
….. (1)
+2 =4
….. (2)
−
= −2
….. (3)
Page 7
Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi pada tiga persamaan di atas,
sehingga diperoleh nilai skalar m dan n sebagai berikut:
Eliminasi variabel n pada pers. (2) dan (3)
3
2
x1 ⟹ 3
+2 =4
−
= −2 x 2 ⟹ 4
+2 =4
− 2 = −4
7
+
=0
=
0
7
=0
= 0 , ke pers. (1)
Subtitusikan nilai
−
+ 4 = 12
− 0 + 4 = 12
0 + 4 = 12
4 = 12
4 = 12
=
=3
Pengujian nilai skalar m dan n dalam system persamaan linear:
Pers. 1
−
12
4
+ 4 = 12
Pers. 3
Pers. 2
3
+2 =4
−(0) + 4(3) = 12
3(0) + 2(3) = 4
0 + 12 = 12
0+6= 4
12 = 12
6≠4
2
−
= −2
2 0 − 3 = −2
2(0) − 3 = −2
0 − 3 = −2
−3 ≠ −2
Berdasarkan hasil uji, maka dapat dinyatakan bahwa system tersebut tidak konsisten
artinya tidak mempunyai penyelesaian atau tidak dapat ditemukan m dan n, sehingga
dapat disimpukan bahwa: ∴ � bukan merupakan kombinasi linear dari
FITRIYANTI NAKUL
dan .
Page 8
3. BASIS DAN DIMENSI
Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan basis dan dimensi pada ruang vektor
ℝ2 dan ℝ3 . Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi dan teorema berikut ini:
a. Basis
DEFINISI 3.1
Jika V ruang vector dan � =
1, 2, 3, … ,
adalah himpunan vector-vektor di V, maka
S dinamakan basis untuk V jika kedua syarat di bawah ini terpenuhi:
1. S bebas linear
2. S membangun V
Teorema 3.2
Jika � =
1, 2, 3, … ,
dalam bentuk
adalah basis untuk ruang V , maka ∀ ∈ � dapat dinyatakan
=
1 1
+
dalam tepat satu cara.
2 2
+
3 3
+ ⋯+
b. Dimensi
DEFINISI 3.3
Suatu ruang vector tak-nol V dinamakan berdimensi berhingga jika V berisi himpunan
vektor berhingga yaitu
1, 2, 3, … ,
yang merupakan basis. Jika tidak himpunan
seperti itu, maka V berdimensi tak-hingga. Ruang vektor nol dinamakan berdimensi
berhingga.
Teorema 3.4
Dimensi suatu ruang vektor berdimensi berhingga V, yang ditulis dengan dim (V),
didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis V. ruang vector nol berdimensi nol.
FITRIYANTI NAKUL
Page 9
Soal
1. � =
1, 2, 3
,
dengan
1
= 1, 2, 1 ,
2
= 2, 5, 0 ,
dan
3
= 3, 3, 8 .
Tunjukkanlah bahwa S adalah basis untuk ℝ3 ?
Jawab:
Untuk membuktikan apakah S basis atau bukan, mengacu pada definisi 3.1 maka cukup
dibuktikan apakah S mempunyai sifat bebas linear dan membangun ruang vektor ℝ3 .
Pembuktian
Ambil ∀� = (�1 , �2 , �3 ) ∈ ℝ3 , kemudian ditunjukkkan apakah � merupakan kombinasi
linear dari S, ditulis
�=
(�1 , �2 , �3 ) =
+
2 2
+
1, 2, 1 +
2
1 1
1
(�1 , �2 , �3 ) = ( 1 , 2 1 ,
(�1 , �2 , �3 ) = (
1
+2
1)
2
3 3
2, 5, 0 +
+ 2 2, 5
+3
3, 2 1
2, 0
+ 5
3, 3, 8
3
+ 3 3, 3 3, 8
2
+ 3 3,
3
+ 0 + 8 3)
1
Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:
2
1
+2
2
+3
3
1
+ 5
2
+3
3
1
+8
3
….. (1)
= �1
1
⇒ 2
1
….. (2)
= �2
….. (3)
= �3
2 3
5 3
0 8
1
2
3
dengan:
1
�= 2
1
�1
= �2
�3
2 3
5 3
0 8
Untuk menentukan sistem ini memenuhi syarat yakni S membangun ruang vector ℝ3
cukup diperiksa nilai determinannya. Jika det (S) ≠ 0, maka � merupakan kombinasi
linear dari S, sehingga S membangun ℝ3 .
Berikut adalah nilai determinan yang diperoleh dari system:
Misalkan elemen yang diambil terletak pada kolom 1, maka nilai determinan dapat
ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:
� =
� =
11
−1
−1
1+1
+
�
�11 +
21
−1
2+1
2
5 0
+ 2 −1 3
0
3 8
2 3
5 0
� =1
+1
+ (−2)
0 8
3 8
� = 1 −1
FITRIYANTI NAKUL
2
�21 +
31
3
+ 1 −1
8
2 3
5 3
−1
4
3+1
2
5
�31
3
3
Page 10
� = 1 40 − 0 + (−2) 16 − 0 + 1(6 − 15)
� = 1 40 + (−2) 16 + 1(−9)
� = 40 + (−32) + (−9)
� = 40 + (−41)
� = −1
Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol
� ≠ 0, maka � dapat ditemukan dan merupakan kombinasi linear dari S,
sehingga
1, 2
dan
3
membangun ruang vektor.
membangun ℝ3 . Dengan demikian S memenuhi sifat
Untuk membuktikan S bebas linear, ambil 0 = (0,0,0) ∈ ℝ3 , kemudian akan
ditunjukkan apakah 0 merupakan kombinasi linear dari S, ditulis:
0=
(0,0,0) =
1
1 1
+
1, 2, 1 +
2 2
2
+
3 3
2, 5, 0 +
3
3, 3, 8
(0,0,0) = ( 1 , 2 1 , 1 ) + 2 2 , 5 2 , 0 + 3 3 , 3 3 , 8
(0,0,0) = ( 1 + 2 2 + 3 3 , 2 1 + 5 2 + 3 3 ,
1
3
+ 0 + 8 3)
Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:
1
+2 2+3
3
2 1+ 5 2+3
1+8
3
3
=0
….. (1)
=0
….. (2)
=0
1
⇒ 2
1
….. (3)
2 3
5 3
0 8
1
2
3
0
= 0
0
Determinan dari system persamaan di atas memiliki nilai determinan tidak sama dengan
nol,
� ≠ 0, maka matriks koefisiennya mempunyai invers sehingga system linear
ini mempunyai penyelesaian tunggal yaitu
1
=
2
=
3
= 0, sehingga S bebas linear .
Jadi, ∴ karena S mempunyai sifat bebas linear dan membangun ℝ , maka S basis
untuk ruang vector ℝ . Dengan demikian dimensi dari ℝ3 adalah �� � = .
FITRIYANTI NAKUL
Page 11
2. Tentukan basis dan dimensi dari ruang penyelesaian system linear homogeny di bawah
ini:
2
1
+2
2
+
3
+
2
+
3
+2
2
+
3
1
1
−
4
+
5
=0
….. (1)
4
+
5
=0
….. (2)
4
+
5
=0
….. (3)
−
−
Jawab :
= � kemudian lakukan OBE sedemikian hingga
Ubahlah dalam bentuk matriks
matriks A menjadi matriks eselon tereduksi seperti berikut ini:
2 2 1 −1 1
1 1 1 −1 1
1 2 1 −1 1
1−
1−
2
⟹ 1
1
0
⟹ 1
1
3 untuk
3
untuk
1
Maka dengan memisalkan
5
−2
2
3
+
−
1
4
+
5
=0
3
=
3
4
= ,
2 2
⟹
1 1
2
1 2
−1 1
0 0 ⟹
0 0
−1 1
0 0
0 0
2 untuk
2
1
0
0
1
0
4
1
0
0
1
0
0
= ,
1
=0
1
−
+
0+
5
1 −1 1
0 0 0
1 −1 1
= −
=0
2
2
=0
2
=0
atau
1
2
3
4
=
5
0
0
−
0
0
=
0
0
0
+ −
0
=
0
0
1 +
1
0
0
0
−1
0
1
Yang menunjukkan vektor-vektor:
1
0
0
= 1
1
0
dan
2
0
0
= −1
0
1
Dengan demikian, sistem di atas menunjukkan adanya sifat membangun ruang
penyelesaian, oleh karena itu � , �
mempunyai dimensi dua �� � = .
FITRIYANTI NAKUL
adalah basis ruang penyelesaian yang
Page 12
! ! !
Materi: “Matriks & Ruang Vektor”
1. BEBAS LINEAR
S
O
3. BASIS DAN DIMENSI
A
L
2. KOMBINASI LINEAR
NeXt
FITRIYANTI NAKUL
Page 1
1. BEBAS LINEAR
Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan suatu vektor yang anggotanya tidak saling
tergantung antara satu vektor dengan vektor yang lainnya. Berikut ini akan disajikan soal
yang menggambarkan keadaan sistem yang bebas linear maupun yang tak bebas linear
dari vektor-vektor dalam ℝ3 . Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi berikut ini:
DEFENISI 1.1
Jika � =
berikut
1,
2,
3, … ,
adalah suatu himpunan vektor tak kosong, maka persamaan
1 1
+
2 2
+
3 3
+ ⋯+
sedikitnya mempunyai penyelesaian berikut
1
=
2
=
3
=⋯=
=0
jika hanya itu satu-satunya penyelesaian, maka S dinamakan himpunan vektor yang
bebas linear , tetapi jika ada penyelesaian yang lain, maka S dinamakan tak bebas
linear .
Cara alternatif untuk menentukan suatu sistem bebas linear atau tak bebas linear, yaitu
cukup dengan memeriksa/meninjau apakah matriks det (A) = 0 atau tidak.
NOTE:
Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A) = 0, maka antara satu
vektor dan vektor lainnya saling tergantung atau S tak bebas linear .
Jika nilai determinan dari suatu sistem linear det (A) ≠ 0, maka antara satu
vektor dan vektor lainnya tidak saling tergantung atau S bebas linear .
Soal
Tentukan apakah S bebas linear?, jika diberikan:
a.
�=
b. � =
, ,
, ,
di ℝ3 , dengan
di ℝ3 , dengan
FITRIYANTI NAKUL
= 1, 2, 1 ,
= 4, 6, 0 ,
= 2, 5, 0 , dan
= 0, 0, 2 , dan
= 3, 3, 8
= −2, −3, 1
Page 2
Jawab:
a. Penyeleasaian dari: � =
di ℝ3 , dengan
, ,
= 3, 3, 8
= 1, 2, 1 ,
= 2, 5, 0 , dan
Pembuktian
Mengacu pada defenisi 1.1
1
+
2
+
3
=0
1
+
2
+
3
=0
Atau
1
1, 2, 1 +
+2
2
2, 5, 0 +
3, 3, 8 = 0
3
+ 2 2, 5 2, 0 + 3 3, 3 3, 8
1, 2 1, 1
1
2
+ 3 3, 2
1
+5
2
+ 3 3,
1
+0+8
3
=0
3
=0
Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:
1
2
1
+2
+5
1
2
2
+3
+3
+0+8
3
3
3
…..(1)
=0
=0
…..(2)
=0
…..(3)
1
⇒ 2
1
2 3
5 3
0 8
1
2
3
0
= 0
0
dengan:
1
�= 2
1
2 3
5 3
0 8
Untuk menentukan sistem ini bebas linear atau tak bebas linear, maka cukup diperiksa
apakah matriks det (S) = 0 atau tidak. Untuk itu perlu dicari terlebih dahulu nilai
determinan dari sistem ini.
Misalkan elemen yang diambil terletak pada kolom 1, maka nilai determinan dapat
ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:
� =
� =
11
−1
−1
1+1
+
�
�11 +
21
−1
2+1
2
5 0
+ 2 −1 3
0
3 8
2 3
5 0
+1
� =1
+ (−2)
0 8
3 8
� = 1 −1
2
�21 +
31
3
+ 1 −1
8
2 3
5 3
−1
4
3+1
2
5
�31
3
3
� = 1 40 − 0 + (−2) 16 − 0 + 1(6 − 15)
� = 1 40 + (−2) 16 + 1(−9)
� = 40 + (−32) + (−9)
FITRIYANTI NAKUL
Page 3
� = 40 + (−41)
� = −1
Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol
� � ≠ , maka antara satu vektor dengan vektor lainnya tidak saling
tergantung atau S bebas linear.
b. Penyelesaian dari: � =
, ,
= −2, −3, 1
di ℝ3 , dengan
= 4, 6, 0 ,
= 0, 0, 2 , dan
Pembuktian
Mengacu pada defenisi 1.1
1
+
2
+
3
=0
1
+
2
+
3
=0
Atau
1
4
4
4, 6, 0 +
1, 6 1, 0
+ 0, 0, 2
+ 0 + −2
1
2
3, 6 1
4
1
−2
0, 0, 2 +
2
+ −2
+0−3
3, 6 1
3, 0
−3
3
−2, −3, 1 = 0
3 , −3 3 ,
3
=0
2
+
3
=0
3, 2 2
+
3
=0
+2
Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:
4
1
6
1
2
−2
−3
2
+
3
=0
…..(1)
3
=0
…..(2)
3
=0
…..(3)
4
⇒ 6
0
dengan:
4
�= 6
0
0 −2
0 −3
2 1
1
2
3
0
= 0
0
0 −2
0 −3
2 1
Untuk menentukan sistem ini bebas linear atau tak bebas linear, maka cukup diperiksa
apakah matriks det (S) = 0 atau tidak. Untuk itu perlu dicari terlebih dahulu nilai
determinan dari sistem ini.
FITRIYANTI NAKUL
Page 4
Misalkan elemen yang diambil yang terletak pada kolom 3, maka nilai determinan
dapat ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:
� =
� =
13
−1
−1
� = −2 −1
� = −2
6
0
1+3
+
�
�13 +
23
−1
2+3
�23 +
33
−1
3+3
4 0
6 0
+ 1 −1
+ (−3) −1 5
0 2
0 2
4 0
4 0
0
+1
+3
6 0
0 2
2
4
�33
6
4 0
6 0
� = −2 12 − 0 + 3 8 − 0 + 1(0 − 0)
� = −2 12 + 3 8 + 1(0)
� = −24 + 24 + 0
� =0
Karena nilai determinan dari system linear tersebut sama dengan nol
� � = , maka antara satu vektor dengan vektor lainnya saling tergantung
atau S tak bebas linear.
2. KOMBINASI LINEAR
Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan kombinasi linear dari vektor-vektor
dalam ruang vektor ℝ3 . Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi berikut ini:
DEFINISI 2.1
suatu vektor
disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor,
1,
2,
…,
, jika bisa
dinyatakan dalam bentuk
=
dengan
1,
2,
…,
1 1
+
2 2
+⋯+
adalah scalar
Soal
Tinjau vektor
= 10, −2, −6
= −1, 3, 2 dan
= 4, 2, −1 di ℝ3 . Tunjukkanlah bahwa
adalah kombinasi linear dari
bukanlah kombinasi linear dari
FITRIYANTI NAKUL
dan .
dan
dan bahwa
= 12,4, −2
Page 5
Jawab:
akan menjadi kombinasi linear dari
=
sedemikian sehingga berlaku
=
dan
+
−1, 3, 2 +
10, −2, −6 = − , 3 , 2
10, −2, −6 = −
+ 4 ,3
4, 2, −1
+ 4 ,2 ,−
+2 ,2
−
Dengan menyamakan komponen yang berpadanan diperoleh:
−
3
, yaitu
+
10, −2, −6 =
jika dapat ditemukan skalar m dan n
2
+ 4 = 10
….. (1)
+ 2 = −2
….. (2)
−
….. (3)
= −6
Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi pada tiga persamaan di atas,
sehingga diperoleh nilai skalar m dan n sebagai berikut:
Eliminasi variable n pada pers. (2) dan (3)
3
2
+ 2 = −2 x 1 ⟹ 3
−
= −6 x 2 ⟹ 4
+ 2 = −2
− 2 = −12
7
= −14
=
−14
7
= −2
= −2 , ke pers. (1)
Subtitusikan nilai
−
+
+ 4 = 10
− −2 + 4 = 10
2 + 4 = 10
4 = 10 − 2
4 =8
=
8
4
=2
FITRIYANTI NAKUL
Page 6
Pengujian nilai skalar m dan n dalam system persamaan linear:
Pers. 1
−
+ 4 = 10
+ 2 = −2
3
2
−(−2) + 4(2) = 10
3(−2) + 2(2) = −2
10 = 10
−2 = −2
−6 + 4 = −2
2 + 8 = 10
Pers. 3
Pers. 2
−
= −6
2(−2) − 2 = −6
2(−2) − 2 = −6
−4 − 2 = −6
−6 = −6
Berdasarkan hasil uji, maka nilai skalar m dan n memenuhi sistem persamaan linear.
Dengan demikian, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut menghasilkan
= −2 dan
= 2, sehingga diperoleh:
=
Jadi, ∴
+
= −2 + 2
merupakan kombinasi linear dari
dan .
Demikian juga untuk membuktikan apakah merupakan kombinasi linear dari
dan , yaitu =
+
=
, dengan cara yang sama, diperoleh:
+
12, 4, −2 =
−1, 3, 2 +
12, 4, −2 = − , 3 , 2
12, 4, −2 = −
+4 ,3
4, 2, −1
+ 4 ,2 ,−
+ 2 ,2
−
Dengan menyamakan komponen yang berpadanan diperoleh:
−
3
2
FITRIYANTI NAKUL
+ 4 = 12
….. (1)
+2 =4
….. (2)
−
= −2
….. (3)
Page 7
Dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi pada tiga persamaan di atas,
sehingga diperoleh nilai skalar m dan n sebagai berikut:
Eliminasi variabel n pada pers. (2) dan (3)
3
2
x1 ⟹ 3
+2 =4
−
= −2 x 2 ⟹ 4
+2 =4
− 2 = −4
7
+
=0
=
0
7
=0
= 0 , ke pers. (1)
Subtitusikan nilai
−
+ 4 = 12
− 0 + 4 = 12
0 + 4 = 12
4 = 12
4 = 12
=
=3
Pengujian nilai skalar m dan n dalam system persamaan linear:
Pers. 1
−
12
4
+ 4 = 12
Pers. 3
Pers. 2
3
+2 =4
−(0) + 4(3) = 12
3(0) + 2(3) = 4
0 + 12 = 12
0+6= 4
12 = 12
6≠4
2
−
= −2
2 0 − 3 = −2
2(0) − 3 = −2
0 − 3 = −2
−3 ≠ −2
Berdasarkan hasil uji, maka dapat dinyatakan bahwa system tersebut tidak konsisten
artinya tidak mempunyai penyelesaian atau tidak dapat ditemukan m dan n, sehingga
dapat disimpukan bahwa: ∴ � bukan merupakan kombinasi linear dari
FITRIYANTI NAKUL
dan .
Page 8
3. BASIS DAN DIMENSI
Berikut ini akan disajikan soal yang menggambarkan basis dan dimensi pada ruang vektor
ℝ2 dan ℝ3 . Untuk itu, perlu diketahui terlebih dahulu definisi dan teorema berikut ini:
a. Basis
DEFINISI 3.1
Jika V ruang vector dan � =
1, 2, 3, … ,
adalah himpunan vector-vektor di V, maka
S dinamakan basis untuk V jika kedua syarat di bawah ini terpenuhi:
1. S bebas linear
2. S membangun V
Teorema 3.2
Jika � =
1, 2, 3, … ,
dalam bentuk
adalah basis untuk ruang V , maka ∀ ∈ � dapat dinyatakan
=
1 1
+
dalam tepat satu cara.
2 2
+
3 3
+ ⋯+
b. Dimensi
DEFINISI 3.3
Suatu ruang vector tak-nol V dinamakan berdimensi berhingga jika V berisi himpunan
vektor berhingga yaitu
1, 2, 3, … ,
yang merupakan basis. Jika tidak himpunan
seperti itu, maka V berdimensi tak-hingga. Ruang vektor nol dinamakan berdimensi
berhingga.
Teorema 3.4
Dimensi suatu ruang vektor berdimensi berhingga V, yang ditulis dengan dim (V),
didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis V. ruang vector nol berdimensi nol.
FITRIYANTI NAKUL
Page 9
Soal
1. � =
1, 2, 3
,
dengan
1
= 1, 2, 1 ,
2
= 2, 5, 0 ,
dan
3
= 3, 3, 8 .
Tunjukkanlah bahwa S adalah basis untuk ℝ3 ?
Jawab:
Untuk membuktikan apakah S basis atau bukan, mengacu pada definisi 3.1 maka cukup
dibuktikan apakah S mempunyai sifat bebas linear dan membangun ruang vektor ℝ3 .
Pembuktian
Ambil ∀� = (�1 , �2 , �3 ) ∈ ℝ3 , kemudian ditunjukkkan apakah � merupakan kombinasi
linear dari S, ditulis
�=
(�1 , �2 , �3 ) =
+
2 2
+
1, 2, 1 +
2
1 1
1
(�1 , �2 , �3 ) = ( 1 , 2 1 ,
(�1 , �2 , �3 ) = (
1
+2
1)
2
3 3
2, 5, 0 +
+ 2 2, 5
+3
3, 2 1
2, 0
+ 5
3, 3, 8
3
+ 3 3, 3 3, 8
2
+ 3 3,
3
+ 0 + 8 3)
1
Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:
2
1
+2
2
+3
3
1
+ 5
2
+3
3
1
+8
3
….. (1)
= �1
1
⇒ 2
1
….. (2)
= �2
….. (3)
= �3
2 3
5 3
0 8
1
2
3
dengan:
1
�= 2
1
�1
= �2
�3
2 3
5 3
0 8
Untuk menentukan sistem ini memenuhi syarat yakni S membangun ruang vector ℝ3
cukup diperiksa nilai determinannya. Jika det (S) ≠ 0, maka � merupakan kombinasi
linear dari S, sehingga S membangun ℝ3 .
Berikut adalah nilai determinan yang diperoleh dari system:
Misalkan elemen yang diambil terletak pada kolom 1, maka nilai determinan dapat
ditentukan dengan cara determinan minor sebagai berikut:
� =
� =
11
−1
−1
1+1
+
�
�11 +
21
−1
2+1
2
5 0
+ 2 −1 3
0
3 8
2 3
5 0
� =1
+1
+ (−2)
0 8
3 8
� = 1 −1
FITRIYANTI NAKUL
2
�21 +
31
3
+ 1 −1
8
2 3
5 3
−1
4
3+1
2
5
�31
3
3
Page 10
� = 1 40 − 0 + (−2) 16 − 0 + 1(6 − 15)
� = 1 40 + (−2) 16 + 1(−9)
� = 40 + (−32) + (−9)
� = 40 + (−41)
� = −1
Karena nilai determinan dari sistem linear tersebut tidak sama dengan nol
� ≠ 0, maka � dapat ditemukan dan merupakan kombinasi linear dari S,
sehingga
1, 2
dan
3
membangun ruang vektor.
membangun ℝ3 . Dengan demikian S memenuhi sifat
Untuk membuktikan S bebas linear, ambil 0 = (0,0,0) ∈ ℝ3 , kemudian akan
ditunjukkan apakah 0 merupakan kombinasi linear dari S, ditulis:
0=
(0,0,0) =
1
1 1
+
1, 2, 1 +
2 2
2
+
3 3
2, 5, 0 +
3
3, 3, 8
(0,0,0) = ( 1 , 2 1 , 1 ) + 2 2 , 5 2 , 0 + 3 3 , 3 3 , 8
(0,0,0) = ( 1 + 2 2 + 3 3 , 2 1 + 5 2 + 3 3 ,
1
3
+ 0 + 8 3)
Sehingga dapat ditulis dalam sistem persamaan linear dan matriks seperti berikut:
1
+2 2+3
3
2 1+ 5 2+3
1+8
3
3
=0
….. (1)
=0
….. (2)
=0
1
⇒ 2
1
….. (3)
2 3
5 3
0 8
1
2
3
0
= 0
0
Determinan dari system persamaan di atas memiliki nilai determinan tidak sama dengan
nol,
� ≠ 0, maka matriks koefisiennya mempunyai invers sehingga system linear
ini mempunyai penyelesaian tunggal yaitu
1
=
2
=
3
= 0, sehingga S bebas linear .
Jadi, ∴ karena S mempunyai sifat bebas linear dan membangun ℝ , maka S basis
untuk ruang vector ℝ . Dengan demikian dimensi dari ℝ3 adalah �� � = .
FITRIYANTI NAKUL
Page 11
2. Tentukan basis dan dimensi dari ruang penyelesaian system linear homogeny di bawah
ini:
2
1
+2
2
+
3
+
2
+
3
+2
2
+
3
1
1
−
4
+
5
=0
….. (1)
4
+
5
=0
….. (2)
4
+
5
=0
….. (3)
−
−
Jawab :
= � kemudian lakukan OBE sedemikian hingga
Ubahlah dalam bentuk matriks
matriks A menjadi matriks eselon tereduksi seperti berikut ini:
2 2 1 −1 1
1 1 1 −1 1
1 2 1 −1 1
1−
1−
2
⟹ 1
1
0
⟹ 1
1
3 untuk
3
untuk
1
Maka dengan memisalkan
5
−2
2
3
+
−
1
4
+
5
=0
3
=
3
4
= ,
2 2
⟹
1 1
2
1 2
−1 1
0 0 ⟹
0 0
−1 1
0 0
0 0
2 untuk
2
1
0
0
1
0
4
1
0
0
1
0
0
= ,
1
=0
1
−
+
0+
5
1 −1 1
0 0 0
1 −1 1
= −
=0
2
2
=0
2
=0
atau
1
2
3
4
=
5
0
0
−
0
0
=
0
0
0
+ −
0
=
0
0
1 +
1
0
0
0
−1
0
1
Yang menunjukkan vektor-vektor:
1
0
0
= 1
1
0
dan
2
0
0
= −1
0
1
Dengan demikian, sistem di atas menunjukkan adanya sifat membangun ruang
penyelesaian, oleh karena itu � , �
mempunyai dimensi dua �� � = .
FITRIYANTI NAKUL
adalah basis ruang penyelesaian yang
Page 12