PENYELESAIAN BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN PANAS DAN GELOMBANG DENGAN MENGGUNAKAN SEGITIGA PASCAL
PENYELESAIAN BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN PANAS
DAN GELOMBANG DENGAN MENGGUNAKAN SEGITIGA
PASCAL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Yohanes Sulistiono
NIM: 043114016
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
FINITE DIFFERENCE SOLUTION FOR HEAT AND WAVE
EQUATIONS USING PASCAL’S TRIANGLE
Final Project
Presented as Partial Fulfillment of The Requirement to Obtain
The Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Yohanes Sulistiono
Student Number: 043114016
STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SCIENCE
DEPARTEMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
SKRIPSI
PENYELESAIAN BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN PANAS
DAN GELOMBANG DENGAN MENGGUNAKAN SEGITIGA
PASCAL
Oleh:
Yohanes Sulistiono
NIM: 043114016
Telah disetujui oleh:
Pembimbing Lusia Krismiyati B., S.Si., M.Si. 23 September 2008
SKRIPSI
PENYELESAIAN BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN PANAS DAN
GELOMBANG DENGAN MENGGUNAKAN SEGITIGA PASCAL
Dipersiapkan dan ditulis oleh
Yohanes Sulistiono
NIM: 043114016
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
pada tanggal 1 September 2008
dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguji
Ketua MV. Any Herawati, S.Si., M.Si.Sekretaris Herry Pribawanto S., S.Si., M.Si. Anggota Lusia Krismiyati B., S.Si., M.Si.
Yogyakarta, 23 September 2008
Fakultas Sains dan Teknologi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.Yogyakarta, 23 September 2008
Penulis
ABSTRAK
Persamaan diferensial parsial dalam ilmu fisika dapat menggambarkan suatuproses fisis, contohnya adalah persamaan panas dan persamaan gelombang.
Penyelesaian dari masalah persamaan panas dan masalah persamaan gelombang,
dapat diperoleh secara eksak atau secara pendekatan. Suatu metode untuk
memperoleh penyelesaian secara pendekatan adalah metode beda hingga. Dengan
menggunakan metode tersebut, persamaan panas maupun persamaan gelombang
diubah menjadi suatu persamaan beda hingga yang kemudian diselesaikan untuk
menghasilkan penyelesaian beda hingga. Penyelesaian beda hingga tersebut akan
konvergen ke penyelesaian eksaknya, jika selang letak ( x) dan selang waktu ( t)
yang digunakan kecil ( x→0 dan t→0).Persamaan beda hingga diperoleh dari penggunaan pendekatan beda hingga.
Namun, dapat juga menggunakan suatu formula yang dihasilkan dari penerapan
Segitiga Pascal. Penerapan Segitiga Pascal untuk membentuk persamaan beda hingga
didasarkan atas adanya pola bilangan Segitiga Pascal pada bentuk pendekatan beda
hingga.
ABSTRACT
A partial differential equation in physics can represent a physical process, itsexample are heat and wave equations. The solution of heat equation and wave
equation problems can be obtained exactly or approximately. A method that can be
used to obtain the approximate solution is finite difference method. By this method,
heat and wave equations are changed into a finite difference equation and solved to
obtain the finite difference solution. This solution would be converge to the exact
solution, when the space distance ( x) and time distance ( t) that used are small
( x→0 and t→0).The finite difference equation is obtained by using the finite difference
approximation. However, this equation can be also obtained by using a formula
which obtained by the application of Pascal’s Triangle. The application of Pascal’s
Triangle to build the finite difference equation is based on the existence of a number
pattern, that is Pascal’s Triangle, in the finite difference approximation form.
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Yohanes SulistionoNomor Mahasiswa : 043114016
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:PENYELESAIAN BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN PANAS DAN
GELOMBANG DENGAN MENGGUNAKAN SEGITIGA PASCALbeserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, me-
ngalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,
mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media
lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis.Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 23 September 2008 Yang menyatakan
KATA PENGANTAR
Syukur kepada Tuhan, karena atas berkatnya skripsi ini dapat diselesaikan
oleh penulis. Skripsi ini merupakan tugas akhir yang ditulis dalam rangka untuk
mengakhiri Program S1 Matematika yang penulis ikuti di Universitas Sanata Dharma.
Selama proses penulisan skripsi ini, penulis mendapatkan bantuan, baik secara
langsung atau tidak langsung, dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis meng-
ucapkan terimakasih kepada:1. Ibu Lusia Krismiyati, atas koreksi, anjuran, serta masukkan yang diberikan selama membimbing penulis,
2. Romo Frans Susilo, atas anjuran yang diberikan saat kuliah Seminar Matematika,
3. Para dosen penguji: ibu Any Herawati, pak Herry Pribawanto, dan ibu Lusia Krismiyati, atas koreksi dan anjuran yang diberikan,
4. Romo Greg. Heliarko, sebagai Dekan Fakultas Sains dan Teknologi,
5. Kedua orang tua, kakak, dan adik, atas dukungan dan doa yang diberikan sehingga penulis terdorong untuk tetap bersemangat dalam mengerjakan skripsi,
6. Para karyawan Perpustakaan Sanata Dharma Paingan, atas pelayanan yang diberikan sehingga penulis tanpa kesulitan mendapatkan referensi yang dibutuhkan,
7. Para karyawan Laboratorium Komputer Dasar dan Tugas Akhir, atas pelayanan yang diberikan sehingga penulis dapat menggunakan fasilitas komputer untuk penulisan skripsi,
8. Para dosen, atas ilmu pengetahuan yang diberikan selama penulis mengikuti kuliah,
9. Para karyawan Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, atas pelayanan yang
10. Teman-teman angkatan 2004: Ratna, Eny, Nancy, Dwi, Retno, Siska, Teo, Lina dan Lili, kebersamaan dengan kalian saat belajar bersama memberikan semangat tersendiri bagi penulis,
11. Teman-teman seprodi, adik tingkat dan kakak tingkat, serta teman-teman seangkatan di prodi Fisika dan Ilmu Komputer, atas semua hal yang penulis alami bersama kalian, 12. Setiap pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Penulis sadar bahwa skripsi ini belum menjadi karya ilmiah yang baik dan
sempurna. Oleh karena itu, setiap kritik dan saran yang pembaca berikan akan penulis
terima dengan senang hati.Yogyakarta, 22 September 2008 Penulis
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL ………………………………………………...……….... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …...…………………………... iii HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………………. iv HALAMAN PERSEMBAHAN ……………………………………………….. v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……………………………………….. vi ABSTRAK ……………………………………………………………………... vii ABSTRACT ……………………………………………………………………. viii PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS …………………………………….... ix KATA PENGANTAR …………………………………………………………. x DAFTAR ISI …………………………………………………………………… xii BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………………....
1 A. Latar Belakang Masalah ………………………………………………..
1 B. Rumusan Masalah ……………………………………………………… 3 C. Batasan Masalah ………………………………………………………..
4 D. Metode Penulisan ……………………………………………………….
4 E. Tujuan Penulisan ………………………………………………………..
4 F. Manfaat Penulisan ………………………………………………………
4 G. Sistematika Penulisan ………………………………………………….. 4 BAB II SEGITIGA PASCAL …………………………………………………..
6 A. Permutasi dan Kombinasi ……………………………………………....
6 1. Aturan Penjumlahan (Sum Rule) …………………………………….
6 2. Aturan Perkalian (Product Rule) …………………………………….
8 3. Permutasi …………………………………………………………….
9
4. Kombinasi …………………………………………………………... 12
A. Pengertian Persamaan Diferensial Parsial ……………………………… 17 B. Pembentukkan Persamaan Panas dan Gelombang ……………………...
54
A. Kesimpulan …………………………………………………………….. 109
90 BAB V PENUTUP …………………………………………………………….. 109
2. Persamaan Gelombang ………………………………………………
1. Persamaan Panas (Difusi) …………………………………………... 65
65
62 B. Penerapan pada Persamaan Panas dan Persamaan Gelombang ………...
57
4. Formulasi Segitiga Pascal untuk Persamaan Beda Hingga ………….
56
3. Pendekatan Beda Pusat untuk Turunan Orde Tinggi ………………..
2. Pendekatan Beda Mudur untuk Turunan Orde Tinggi ………………
1. Pendekatan Beda Maju untuk Turunan Orde Tinggi ……………….. 55
52 BAB IV PENYELESAIAN BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN PANAS DAN GELOMBANG MENGGUNAKAN SEGITIGA PASCAL……. 54 A. Turunan Orde Tinggi dan Formulasi Segitiga Pascal untuk
Persamaan Beda Hingga ………………………………………………...
27
1. Persamaan Panas …………………………………………………….
48
3. Turunan Parsial dalam Bentuk Pendekatan Beda Hingga …………..
47
2. Pendekatan Turunan Pertama dan Ke-dua …………………………..
1. Pendekatan Polinomial Taylor ………………………………………
46
42 D. Pendekatan Beda Hingga ……………………………………………….
2. Persamaan Gelombang ………………………………………………
35
34
1. Persamaan Panas …………………………………………………….
31 C. Penyelesaian Eksak Persamaan Panas dan Gelombang ………………...
2. Persamaan Gelombang ………………………………………………
27
B. Saran …………………………………………………………………… 110
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………….. 111
LAMPIRAN ……………………………………………………………………. 113
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Nilai dari turunan fungsi satu variabel di suatu titik, secara analitik dapat
ditentukan dengan menggunakan definisi turunan suatu fungsi yang didapat dari
proses limit. Turunan fungsi merupakan limit dari perbandingan selisih nilai fungsi di
dua titik dengan jarak kedua titik tersebut. Secara pendekatan, nilai turunan fungsi di
suatu titik dapat dicari tanpa menggunakan proses limit melainkan dengan memilih
suatu nilai berhingga untuk jarak. Cara pendekatan inilah yang disebut pendekatan
beda hingga. Pendekatan beda hingga dibedakan menjadi tiga metode, yaitu beda mundur, beda maju dan beda pusat.
Pendekatan beda hingga pada jangkauan yang lebih luas dapat diterapkan un-
tuk mencari turunan suatu fungsi dengan orde yang lebih tinggi. Untuk turunan fungsi
dengan orde tinggi, formula yang digunakan sebagai pendekatan beda hingga
memiliki bentuk yang lebih rumit. Sebagai contoh, turunan fungsi orde dua diperoleh
dengan menurunkan turunan fungsi orde satu. Turunan fungsi orde-orde berikutnya
didapatkan dengan cara yang sama.Jika bentuk-bentuk turunan fungsi dengan pendekatan beda hingga diamati,
Segitiga Pascal . Munculnya pola segitiga Pascal di dalam formula turunan fungsi
dengan pendekatan beda hingga, memberikan solusi yang lebih cepat untuk memben-
tuk suatu turunan fungsi. Hal ini menarik karena metode pendekatan beda hingga juga
digunakan di dalam persamaan diferensial parsial.Persamaan diferensial parsial merupakan suatu persamaan yang memuat suatu
fungsi dengan dua atau lebih variabel dan beberapa turunan parsial didalamnya. Tu-
runan parsial pada persamaan diferensial parsial merupakan perluasan dari turunan
fungsi satu variabel pada penjelasan sebelumnya. Bentuk pendekatan beda hingga
untuk persamaan diferensial parsial pada dasarnya menggunakan bentuk pendekatan
beda hingga pada turunan fungsi satu variabel. Oleh karena itu, adanya hubungan
antara bentuk turunan fungsi satu variabel dengan segitiga Pascal memungkinkan
segitiga Pascal untuk digunakan dalam membentuk pendekatan beda hingga untuk
persamaan diferensial parsial. Penyelesaian beda hingga dari suatu persamaan difer-
ensial parsial diperoleh dengan cara membentuk persamaan beda hingga dari per-
samaan diferensial parsial tersebut. Apabila persamaan diferensial parsial telah di-
nyatakan dalam persamaan beda hingga maka persamaan diferensial parsial akan le-
bih mudah untuk diselesaikan.Persamaan diferensial parsial di dalam ilmu fisika banyak digunakan untuk
memodelkan suatu peristiwa fisis. Proses fisis tersebut antara lain perambatan gelom-
bang dan penghantaran panas. Model untuk kedua proses tersebut dibentuk berdasar
model tersebut adalah persamaan panas dan gelombang. Kedua persamaan tersebut
dapat diselesaikan secara eksak maupun secara pendekatan.Penyelesaian eksak persamaan panas dan gelombang memuat integral fungsi
syarat awal yang diberikan dan juga deret tak hingga. Adanya deret tak hingga meng-
akibatkan nilai penyelesaian eksak akan sulit ditentukan secara pasti. Selain itu, men-
ghitung nilai integral untuk fungsi-fungsi dengan bentuk tertentu akan sulit dilaku-
kan. Dengan demikian, metode numerik yang digunakan, yaitu metode beda hingga,
diperlukan untuk menyelesaikan kedua masalah tersebut.B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana merumuskan formula persamaan beda hingga untuk turunan de- ngan menggunakan segitiga Pascal?
2. Bagaimana merumuskan formula persamaan beda hingga untuk penyelesaian persamaan panas dan persamaan gelombang dengan menggunakan segitiga Pascal?
3. Bagaimana menyelesaikan persamaan panas dan persamaan gelombang de- ngan menggunakan formula persamaan beda hingga yang telah diperoleh dari penggunaan segitiga Pascal?
C. Batasan Masalah
Pembahasan masalah yang ada hanya akan dibatasi pada mencari penyelesaian dari
persamaan diferensial parsial orde dua yang linear homogen dengan koefisien kons-
tan (persamaan panas dan persamaan gelombang).D. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku serta jurnal.
E. Tujuan Penulisan
Memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana segitiga Pascal digunakan
dalam menyajikan pendekatan beda hingga untuk persamaan panas dan persamaan
gelombang.F. Manfaat Penulisan
Memberikan pengetahuan tentang adanya hubungan antara segitiga Pascal dengan
pendekatan beda hingga.G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah
D. Metode Penulisan
E. Tujuan Penulisan
F. Manfaat Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II SEGITIGA PASCAL A. Permutasi dan Kombinasi B. Bentuk Segitiga Pascal BAB III PERSAMAAN PANAS DAN PERSAMAAN GELOMBANG A. Pengertian Persamaan Diferensial Parsial B. Pembentukkan Persamaan Panas dan Gelombang C. Penyelesaian Eksak Persamaan Panas dan Gelombang D. Pendekatan Beda Hingga BAB IV PENYELESAIAN BEDA HINGGA UNTUK PERSAMAAN PANAS DAN GELOMBANG MENGGUNAKAN SEGITIGA PASCAL A. Turunan Orde Tinggi dan Formulasi Segitiga Pascal untuk Persamaan Beda Hingga B. Penerapan pada Persamaan Panas dan Persamaan Gelombang BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
BAB II SEGITIGA PASCAL Segitiga Pascal dibentuk berdasar pada konsep permutasi dan kombinasi, yang
menjadi konsep dalam penyusunan sejumlah objek dengan aturan tertentu. Konsep
tersebut memuat sifat-sifat yang berlaku dalam penggunaannya. Pembahasan pada
bab ini hanya akan difokuskan pada sifat-sifat yang bersesuaian dengan penggunaan
segitiga Pascal di bab IV. A. Permutasi dan Kombinasi Pembahasan tentang konsep permutasi dan kombinasi diawali dengan mem-berikan aturan tentang perhitungan. Aturan tersebut adalah aturan penjumlahan dan
aturan perkalian. Kedua aturan tersebut digunakan untuk menentukan banyaknya cara
pemilihan sejumlah objek dari objek-objek yang tersedia. Hal yang membedakan
kedua aturan tersebut dalam penggunaannya adalah prinsip pemilihan sejumlah objek
yang dilakukan.1. Aturan Penjumlahan (Sum Rule)
Aturan penjumlahan menyatakan: Misalkan terdapat dua buah kejadian. Ke-
dari dua kejadian tersebut dapat muncul, namun tidak untuk muncul secara bersama-
sama.Aturan penjumlahan dapat diperluas untuk jumlah kejadian yang lebih dari
dua. Misal diambil n kejadian. Kejadian pertama dapat muncul sebanyak w cara, ke-
1 jadian ke-dua dapat muncul sebanyak w 2 cara yang berbeda, …, kejadian ke-n dapat muncul sebanyak w n cara yang berbeda. Jadi, terdapat w w ... w cara 1 2 + + + n (2.1.1) untuk (hanya) salah satu kejadian dapat muncul.
Contoh 2.1.1
Sebuah perusahaan jasa membuka sebuah lowongan kerja untuk satu posisi, yang
akan ditempatkan di bagian promosi. Lowongan tersebut dibuka untuk lulusan sar-
jana maupun diploma. Pada hari terakhir penyeleksian pelamar, terdapat 7 orang lulu-
san sarjana dan 3 orang lulusan diploma yang memenuhi persyaratan. Ada berapa
banyak cara yang dimiliki perusahaan untuk memilih pelamar yang akan diterima se-
bagai staf promosi perusahaan tersebut? Penyelesaian : terdapat 7 + 3 = 10 cara pemilihan.Contoh 2.1.2
Seorang anak kecil bernama Merlin menginginkan hadiah topi di hari ulang tahunnya.
Saat hari ulang tahunnya tiba, ayahnya memberi 9 topi bertuliskan ‘YOVHANA’ dan
ibunya memberi 10 topi bertuliskan ‘MARIA’. Dengan demikian, Merlin memiliki
cara sebanyak 9 + 10 = 19 cara untuk memilih mengenakan topi.2. Aturan Perkalian
(Product Rule) Aturan perkalian menyatakan: Andaikan terdapat dua kejadian. Kejadian per- tama dapat terjadi dengan w 1 cara dan kejadian ke-dua dapat terjadi dengan w 2 cara
tanpa bergantung pada kejadian pertama. Dengan demikian, terdapat w w cara un-
1 × 2 tuk dua kejadian tersebut terjadi (secara bersama-sama atau berurutan).Seperti pada aturan penjumlahan, aturan perkalian juga dapat diperluas untuk
lebih dari dua kejadian. Misalkan terdapat n kejadian. Kejadian pertama dapat terjadi
dengan w 1 cara, kejadian ke-dua dapat terjadi dengan w 2 cara tanpa bergantung pada kejadian pertama, kejadian ke-tiga dapat terjadi dengan w3 cara tanpa bergantung
pada kejadian pertama dan ke-dua, …, kejadian ke-n dapat terjadi dengan w n cara
tanpa bergantung pada kejadian pertama, ke-dua, ke-tiga, …, dan ke-(n-1). Jadi n ke-
jadian tersebut dapat terjadi secara bersama-sama atau berurutan dengan w w w ... w cara. 1 × × × × n (2.1.2) 2 3 Contoh 2.1.3
Sebuah gedung perpustakaan memiliki dua ruang penyimpanan koleksi buku, yaitu di
taknya bersebelahan. Jika seorang mahasiswa ingin mencari sebuah buku dan saat itu
ia berada di Lantai Dasar, maka dengan berapa cara ia dapat naik ke ruang penyim-
panan koleksi buku via lift? Penyelesaian :Oleh karena letak lift bersebelahan, maka mahasiswa tersebut dapat masuk lewat
pintu lift manapun. Kemudian ia dapat memencet tombol penunjuk lantai untuk lantai
I atau lantai II. Jadi, mahasiswa tersebut mempunyai 2 x 2 = 4 cara untuk menuju ke
ruang penyimpanan koleksi buku via lift.3. Permutasi
Misalkan terdapat suatu himpunan dengan n anggota, H, yang secara singkat
disebut himpunan n-anggota. Secara umum definisi permutasi dari himpunan n-
anggota H adalah penyusunan tiap anggota himpunan tersebut dalam suatu urutan.Contoh 2.1.4
Tiga orang kakak-beradik, yaitu NIA, ANI, dan IAN duduk bersebelahan di dalam
sebuah bus yang membawa mereka menuju ke sekolah. Berapa banyakkah posisi
duduk yang mungkin untuk mereka? Penyelesaian :Misalkan posisi duduk tiga orang kakak-beradik tersebut dinyatakan dalam posisi
tuk duduk di posisi sebelah kanan. Akhirnya untuk tiap pilihan tersebut, terdapat 1
pilihan sisa untuk menempati posisi di sebelah kiri. Dengan demikian, dapat di-
simpulkan bahwa terdapat 3 x 2 x 1 = 6 posisi duduk yang mungkin untuk NIA, ANI,
dan IAN. Hasil tersebut berdasar pada aturan perkalian.- Misal diambil suatu bilangan, sebut r, dengan r . Suatu r- permutasi dari
∈ ℤ
himpunan n- anggota H adalah penyusunan r anggota secara berurutan dari n anggota
H . Jumlah r- permutasi dari himpunan H dinotasikan dengan P ( r n , ) . Oleh karena
penyusunan dilakukan terhadap anggota-anggota H, maka permutasi tersebut hanya
r n r n P n r
berlaku untuk . Jika > , maka permutasinya bernilai nol, ( , ) . De-
≤ = ngan kata lain tidak ada penyusunan yang dapat dilakukan untuk kasus tersebut.
Teorema 2.1.1
Jika n dan r adalah dua bilangan bulat positif dengan r n , maka
≤
( , ) = × ( − 1 ) × ... × ( − 1 ) . (2.1.3)
- P n r n n n r
Bukti :
Menurut prinsip pemilihan objek pada aturan perkalian, terdapat n cara untuk pilihan
n
pertama, 1 cara untuk pilihan ke-dua tanpa bergantung pada pilihan pertama, …,
− n r
dan ( 1 ) cara untuk pilihan ke-r tanpa bergantung pada r – 1 pilihan sebelum-
− −
P n
Secara khusus, jumlah permutasi untuk r=0 didefinisikan oleh ( , ) 1 . Hal ini
= karena banyaknya cara untuk mengurutkan nol objek hanya terdapat satu cara.
Terdapat notasi yang penting untuk didefinisikan pada pembahasan di bab ini, yakni n! yang disebut n faktorial . Notasi tersebut didefinisikan oleh
n ( n
1 ) ( n 2 ) ...
2 1 n ! ,
× − × − × × × = (2.1.4) dengan n adalah bilangan bulat tak negatif. Secara khusus 0!=1.
Teorema 2.1.2
Jika r n dan r, n adalah dua bilangan bulat tak negatif, maka
≤ n !
P ( n , r ) .
=
( n r )!
− Bukti
:
n !
1 ) ... ( n r 1 ) ,
= × − × × − =
- Menurut Teorema 2.1.1, P ( n , r ) n ( n
( n r )!
− n n
! ! dengan 1 r n . Oleh karena 1 untuk setiap n bilangan bulat tak
≤ ≤ = =
( n )! n !
− n !
=
■ negatif, maka formula P ( n , r ) juga berlaku untuk r=0.
( n r )!
− Contoh 2.1.5
Sebuah perkumpulan pengendara sepeda motor besar menandai setiap sepeda motor digunakan adalah 1, 7, 8, 4, dan 5 serta tidak ada dua sepeda motor dengan nomor sama, maka ada berapakah jumlah sepeda motor yang ada di dalam perkumpulan tersebut?
Penyelesaian :
Oleh karena terdapat 5 angka berbeda yang dipakai, maka perkumpulan tersebut memiliki 5 ! 5 !
P (
5 , 2 )
5
4 20 buah sepeda motor.
= = = × =
(
5 2 )! 3 !
−
4. Kombinasi
Suatu r-kombinasi dari himpunan n-anggota H, dengan r bilangan bulat tak negatif, menyatakan suatu penyeleksian r anggota dari n anggota H. Penyeleksian tersebut tak berdasarkan urutan. Suatu r-kombinasi dari H juga dapat dinyatakan se- bagai suatu himpunan bagian r-anggota dari H. Notasi yang digunakan untuk me-
n n
nyatakan jumlah r-kombinasi dari H adalah . Seperti pada permutasi, ,
= r r
untuk r n .
> Teorema 2.1.3 r n
Jika ≤ ≤ , maka
n Dengan demikian,
n n !
.
=
r r ! ( n r )!
− Bukti
: Suatu r-permutasi dari himpunan n-anggota dapat diperoleh dengan membentuk r- kombinasi dari himpunan tersebut dan kemudian mengurutkan tiap elemen dari r- kombinasi tersebut. Jadi, menurut aturan perkalian didapat hubungan
n n
P ( n , r ) P ( r , r ) r ! ,
= × = × r r
yang berakibat
n P ( n , r ) n !
■
= = .
r r ! r ! ( n r )!− Teorema Akibat 2.1.4
Jika r n , maka
≤
n n .=
r n r
−Bukti : n n !
Berdasarkan pada Teorema 2.1.3, , yang sama dengan
=
r r ! ( n r )!
− n n ! n !
= =
■ . Menurut Teorema 2.1.3 dapat diperoleh hasil-hasil berikut
n n n
1 , 1 , n , dan 1 .
= = = =
1 n
Contoh 2.1.6
Seorang dosen memberikan 7 soal ujian kepada para mahasiswanya saat ujian akhir semester. Jika para mahasiswa hanya diminta untuk mengerjakan 5 soal saja, maka dengan berapa cara mereka dapat melakukannya?
Penyelesaian
: Soal yang ingin mereka kerjakan dapat dipilih dengan
7 7 ! 7 ! 21 cara.
= = =
5 5 ! (
7 5 )! 5 ! 2 !
−
B. Bentuk segitiga Pascal
n
Terdapat suatu sifat yang penting dari . Sifat tersebut dinyatakan oleh teo-
r
rema berikut.
Teorema 2.2.1 ( Formula Pascal )
Jika 1 r n 1 , maka
≤ ≤ −
n n1 n
1
− − = + .
Misal terdapat himpunan n-anggota H, dan q adalah salah satu anggotanya. Suatu himpunan, sebut K, memuat semua r-kombinasi dari H, dan ukuran (size) dari K di- lambangkan dengan |K|. Setiap r-kombinasi dari H yang tak memuat q dikelompok- kan ke dalam suatu himpunan, sebut T, sedangkan setiap r-kombinasi dari H yang memuat q dikelompokkan ke dalam himpunan, sebut U. Dengan demikian, menurut aturan penjumlahan
n
= r
- T U ,
n
dengan menyatakan ukuran (size) dari K. Ukuran dari T adalah jumlah r-
r
kombinasi dari himpunan (n – 1)-anggota, H – {q}, yaitu
n
1
−
T .
= r
Oleh karena pada U, q berada di setiap r-kombinasi, maka hal tersebut berarti q di- pasangkan dengan setiap (r – 1)-kombinasi dari himpunan H – {q}. Jadi, ukuran U adalah
n
1
− U .
=
r
1
−
Berdasar pada dua hal tersebut diperoleh hasil yang diharapkan
n n
1 n
1
− −
= r r r
+
■ .
1
− Formula Pascal tersebut menjadi dasar terbentuknya segitiga Pascal (Gambar 2.1). Pada gambar tersebut, n menyatakan baris segitiga Pascal dan r menyatakan kolom segitiga Pascal. Formula Pascal menunjukkan bahwa jika setiap dua bilangan yang bersebelahan pada baris-(n – 1) dijumlahkan, maka hasil penjumlahan dua bilangan tersebut berada tepat di bawah di antara dua bilangan itu pada baris-n.
Untuk mengilustrasikan penggunaan formula Pascal tersebut, ambil elemen dari segitiga Pascal pada n = 4, r = 1, yaitu 4. Nilai 4 dihasilkan dari penjumlahan 1, elemen pada n = 3, r = 0, dan 3, elemen pada n = 3, r = 1. Hubungan tersebut diha- silkan oleh
4
3
3
=
- .
1
1
r = r =1
n =
1
r =
2
n =
1
1
1
r =
3
n =
2
1
2
1
r =
4
n =
3
1
3
3
1
n =
4
1
4
6
4
1
n = 5 1
5
10
10
5
1 …
Gambar 2.1 Segitiga Pascal
BAB III PERSAMAAN PANAS DAN PERSAMAAN GELOMBANG Sebagian besar persamaan diferensial yang termasuk dalam persamaan di-
ferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang terbentuk dari proses-proses
atau kejadian fisis, contohnya proses penyebaran panas dan perambatan gelombang.
Pada bab ini dipaparkan juga mengenai kaitan antara deret Taylor dengan metode
beda hingga yang akan digunakan untuk mendapatkan penyelesaian persamaan di-
ferensial parsial.A. Pengertian Persamaan Diferensial Parsial
Definisi dari persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang
memuat suatu fungsi, sebut u, dengan dua atau lebih variabel dan beberapa turunan
parsial didalamnya. Fungsi itu adalah fungsi yang tidak diketahui dan merupakan
variabel tak bebas . Bentuk umum dari persamaan diferensial parsial adalah 2 ( ) m u u u u
∂ ∂ ∂ ∂ F x , u , , ..., , , ...,
= (3.1.1) x x x x x ... x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 n 1 2 1 k x x x
di mana = , ..., adalah variabel bebas, u merupakan fungsi yang tak diketahui,
1 n 2 ( ) u u∂ ∂ turunan parsial dan , adalah dari fungsi u. Suatu persamaan diferensial parsial dibentuk menurut ordenya. Orde merupakan derajat tertinggi dari turunan yang muncul. Bentuk umum persamaan diferensial par- sial berdasar orde, dengan mengambil u u ( x , y ) , antara lain:
=
1. Bentuk umum persamaan diferensial parsial orde-satu adalah:
u u
∂ ∂ F x , y , u , ,
=
x y
∂ ∂
(3.1.2)
2. Bentuk umum persamaan diferensial parsial orde-dua adalah: 2 2 2
u u u u u