PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE BEDA HINGGA.

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI
PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN
METODE BEDA HINGGA

oleh
FIQIH SOFIANA
M0109030

SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET

commit to user

SURAKARTA
2013

i

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

commit to user

ii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRAK
Fiqih Sofiana, 2013. PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE
DARI PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN METODE

BEDA HINGGA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.
Persamaan gelombang suara di bawah air merupakan penerapan dari bidang
fisika yang dapat diformulasikan ke dalam bentuk matematis. Melalui persamaan
kontinuitas, persamaan momentum, dan persamaan keadaan dapat dikonstruksikan persamaan gelombang suara di bawah air
(
)
1
ω2
1
∂r (rpr ) + ρ(z)∂z
pz + 2 p = 0.
r
ρ(z)
c (z)
Persamaan gelombang suara di bawah air dapat diformulasikan ke dalam masalah
Sturm-Liouville
)′
(
Z(z)
ω2

1 ′
Z (z) + 2
Z(z) = λ
,
ρ(z)
c (z)ρ(z)
ρ(z)
dengan ρ sebagai densitas, z sebagai kedalaman, dan λ sebagai nilai eigen. Bentuk
normal masalah Sturm-Liouville
−y ′′ (x) + V (x)y(x) = λy(x),
digunakan untuk mempermudah dalam perhitungan numerik. Metode beda hingga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville dari persamaan gelombang suara di bawah air. Melalui bentuk normal masalah SturmLiouville dapat diperoleh pendekatan sistem persamaan linear y ′′ , kemudian dibentuk ke dalam matriks (N − 1) × (N − 1). Dari matriks (N − 1) × (N − 1)
dapat ditentukan penyelesaian pendekatan nilai eigen λ dan fungsi eigen y.
Kata kunci: masalah sturm-liouville, persamaan gelombang suara di bawah air,
metode beda hingga, nilai eigen, fungsi eigen

commit to user

iii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

ABSTRACT
Fiqih Sofiana, 2013. SOLUTION OF STURM-LIOUVILLE PROBLEMS
FROM UNDERWATER ACOUSTICS EQUATION BY FINITE DIFFERENCE
METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Underwater acoustics equation is an application of physics which can be
formulated into a mathematical form. An underwater acoustics equation is constructed by a continuity equation, a momentum equation, and an equation of
state
(
)
1
1
ω2
∂r (rpr ) + ρ(z)∂z
pz + 2 p = 0.
r
ρ(z)
c (z)

We obtain Sturm-Liouville problems of underwater acoustics equation
)′
(
ω2
Z(z)
1 ′
Z (z) + 2
Z(z) = λ
,
ρ(z)
c (z)ρ(z)
ρ(z)
where ρ is a densitas, z is a depth, and λ is an eigenvalue. The normal form of
Sturm-Liouville problems, which is
−y ′′ (x) + V (x)y(x) = λy(x),
is used to simplify the numerical computation. Here we use finite difference method to solve Sturm-Liouville problems of underwater acoustics equation.
Through normal form of Sturm-Liouville problems, we approach the solution of
the linear equation system y ′′ . Then, it is formed into matrix of (N −1)×(N −1).
From that matrix we find the solution of the approximation of eigenvalues λ and
eigenfunction y.

Key words: underwater acoustics equation, sturm-liouville problem, finite difference method, eigenvalue, eigenfunction

commit to user

iv

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

MOTO

SEMANGAT itu sejatinya ada pada DIRI SENDIRI,
jadi sehebat apapun PENYEMANGATmu jika tak ada TEKAD dan SEMANGAT
tak akan ada gunanya.
Jangan takut untuk memulai sesuatu, ketika sudah memulai jangan
ragu untuk menyelesaikannya, percayalah Allah SWT akan memberi
hasil terbaik

commit to user

v

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini kupersembahkan kepada :
kedua orang tuaku yang tersayang.

commit to user

vi

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari
bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis
mengucapkan terima kasih kepada
1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si sebagai Pembimbing I dan Ibu Dra. Etik Zukhronah, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini.
2. Teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2009 atas kebersamaan dan kebahagiaan yang telah menambah semangat penulis, serta
seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan.
Surakarta, Oktober 2013

Penulis

commit to user

vii

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

ABSTRACT

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

I

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5

Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI
2.1

4

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1.1

Persamaan Gelombang Suara Di Bawah Air . . . . . . . .

4

2.1.2

commit .to. user
Masalah Sturm-Liouville
. . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.3

Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . .

6

viii

perpustakaan.uns.ac.id

2.2

digilib.uns.ac.id

2.1.4

Bentuk Normal Masalah Sturm-Liouville . . . . . . . . . .

8

2.1.5

Metode Beda Hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

III METODE PENELITIAN

14

IV PEMBAHASAN

16

4.1

4.2

Persamaan Gelombang Suara di Bawah Air . . . . . . . . . . . . .

16

4.1.1

Persamaan Kontinuitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4.1.2

Persamaan Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.1.3

Persamaan Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Masalah Sturm-Liouville dari Persamaan Gelombang Suara di Bawah Air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

24

Bentuk Normal Masalah Sturm Liouville dari Persamaan Gelombang Suara di Bawah Air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.4

Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville dengan Metode Beda Hingga 27

4.5

Contoh Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V PENUTUP

28
38

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

DAFTAR PUSTAKA

40

commit to user

ix

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR TABEL

4.1

Penyelesaian pendekatan nilai eigen dan eksak dari Contoh 4.5.1
dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . .

4.2

Eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.1 dengan
metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . . . . . .

4.3

33

Penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.3 dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . . . . . . . .

4.6

33

Eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.2 dengan
metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . . . . . .

4.5

30

Penyelesaian pendekatan nilai eigen dan eksak dari Contoh 4.5.2
dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . .

4.4

29

37

Estimasi eror penyelesaian pendekatan nilai eigen dari Contoh 4.5.3
dengan metode beda hingga dengan N = 5, 10, 20, 40, 80, 160 . . .

commit to user

x

37

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR GAMBAR

3.1

Diagram alur penulisan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.1

Pusat sumber untuk gelombang suara di medium bertingkat . . .

23

4.2

Gelombang suara yang dipantulkan dari Contoh 4.5.3. . . . . . . .

36

commit to user

xi

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL

u(x, t)

:

fungsi gelombang

φ

:

fungsi potensial

v

:

kecepatan

t

:

waktu

ω

:

frekuensi sudut (2πf )

f

:

frekuensi

∇

:

operator Laplace atau gradien (turunan berarah)

t

:

waktu

c

:

kecepatan suara

k

:

frekuensi getaran suara

ρ

:

densitas

ρ0

:

densitas awal

P

:

tekanan

p

:

perubahan tekanan

p0

:

tekanan awal

λ

:

nilai eigen dari suatu matriks A

u|x

:

disubstitusikan x ke u

δ

:

delta atau perubahan