PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS
PEMBAHASAN SOAL SESUAI KISI-KISI UAS PEMINATAN
XI -
IPA MATEMATIKA
SOAL 1 Perhatikan segitiga di bawah ini! sec cosec
Tentukan nilai cot
Jawab:
INGAT definisi: depan
1 miring
sin cosec miring sin depan samping
1 miring cos sec miring cos samping depan
1 samping tan cot samping tan depan
Pada soal di atas, sisi depan = 15 cm, sisi miring = 17 cm. Sisi samping dicari dengan rumus Pythagoras.
2
2
17
15 289 225
64 8 cm
17
17
8
,
Maka sec cosec dan cot
8
15
15
1
17 17 255 136 391 sec cosec 391 15 391
8 15 120 120 120 .
Sehingga
8
8
120
8
64
8 cot
8
15
15
15 (Hitung-hitungan mengenai pecahan mengingatkan kenangan indah waktu sd….) SOAL 2
2 Nilai dari sin ( ) cos tan ....
2
3
4 Jawab: Ingat tabel ini aaahhhh…..!!
O ya, untuk mengubah satuan radian ke satuan derajat, gunakan konversi: Kembali pada soal,
2 sin ( ) cos tan
2
3
4
2
sin cos tan
2
3
4 180 180
2 sin 90 cos tan
3
4
2 (sin
90 ) cos 60 tan
45
1
1
2
1
1
2
2
SOAL 3 , dan Jika serta p q
6 3 maka nilai dari a p a cos 330 q a tan 120 = ….
Jawab: o
Untuk sudut yang lebih besar dari 90 , ingat kuadran-kuadran:
INGAT!! Acuan sudut adalah terhadap sumbu X bukan sumbu Y…!!
INGAT….. INGAT!!! Untuk menghitung , perhatikan bahwa sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X cos 330 o o (BUKAN sumbu Y!!!!) adalah 30 Sudut 330 ada di kuadran IV, nilai cos adalah positif.
. o o
1 Jadi, cos 330 = cos 30 = .
3
2 o o
Untuk menghitung tan 120 perhatikan sudut kecil yang terbentuk dengan sumbu X adalah 60 .
, o Sudut 120 ada di kuadran II, nilai tan adalah negatif. o o
Jadi, tan 120 =
3
- – tan 60 = Dari soal,
p q
6
3 a cos 330 a tan 120
6
3
1 a 3 a ( 3 )
6
3
2
1 a ( 3 3 )
6
3
2
1 ( 3 )
6
3 a
2
6
3 a
12
1
3 2
SOAL 4
2 p
sin x
Diketahui dengan x sudut lancip. Maka nilai dari tan x = ….
5 Jawab: Buat segitiga bantu. Ingat, sin = depan/miring.
2
2 5 ( 2 p )
2 25 4 p Maka nilai tan x adalah: depan
2 p
.
tan x
2 samping
25
4 p
SOAL 5
1 Himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri untuk 360 x cos
3 x
3
2 adalah….
Jawab:
INGAT! Penyelesaian cos X cos A adalah X A k . 360 atau X A k . 360 .
1 Pada soal, cos 3 x
3
2 cos x 3 cos 60 3 x
60 k . 360 atau 3 x 60 k . 360
x
20 k . 120 x 20 k . 120
x
20 k . 120 atau x 20 k . 120
k x
20 k x 20 (di luar batas)
k
1 x 140 k 1 x 100
k
2 x 260 k 2 x 220
k
3 x 380 (di luar batas 0 k 3 x 340
–360)
Jadi, HP = {20, 100, 140, 220, 260, 340} Solusinya ada 6 buah.
SOAL 6 Himpunan penyelesaian dari persamaan (
2 sin x 1 )(sin x 2 ) untuk x 2 adalah….
Jawab:
( 2 sin x 1 )(sin x 2 ) 2 sin x
1 atau sin x
2
1 sin x
2 sin
x
2
1
[Tidak ada penyelesaian
sin x
2
sebab batas nilai sin x adalah
2 sin x sin 45 1 sin x 1 ]
x
45 k . 360
( lihat pengumuman di bawah!)
x ( 180 45 ) k . 360
k x
45 x 135 k . 360
k
1 x 405 (di luar batas) k x 135
k
1 x 485 (di luar batas) O O
Jadi , HP = {45 , 135 }
3
=
,
4
4
SOAL 7
Banyaknya penyelesaian x dari persamaan 4 tan 2 x 4 dengan 360 ada berapa buah? x
Jawab:
4 tan 2 x
4 4 tan
2 x
4 tan
2 x
1
45 tan 2 tan x 180 .
Banyak penyelesaian x dari
Jawab:
SOAL 8 Nilai dari cos 105 o = ….
asalkan ) c Pada soal, b = 2. Maka banyak penyelesaiannya = 2b = 2 x 2 = 4 buah.
(
pada selang x 360 adalah 2b
c bx tan
(di luar batas) HP = {22,5 ; 112,5 ; 202,5 ; 292,5} Banyak penyelesaian ada 4 buah!
45 2 k x 90 .
x k
4
202 5 , 2 x k 292 5 , 3 x k 382 5 ,
x k
1
5 , 22 k x 5 , 22 x k 112 5 ,
CARA CEPAT:
INGAT RUMUS:
sin sin cos cos ) cos( )
1
sin cos cos sin ) sin( sin cos cos sin ) sin(
)
sin sin cos cos ) cos(
(Catatan: Perhatikan tanda plus-minus pada rumus
1
4
2
1
4
6
2
45 ) 60 cos( 105 cos(
1
2
2
1
2
3
1
2
) sin sin cos cos cos(
60 cos
45 sin 60 sin 45 cos
2
SOAL 9 Diketahui tan x
15 , maka tan 2 x ....
Jawab: Gunakan rumus:
2 tan x tan 2 x
2
1 tan x 2
15
30
30
15
2
1 225 224 112 1
15 SOAL 10
Jika diubah ke bentuk penjumlahan, maka bentuk
2 cos 84 sin 20 = ….
Jawab: Hafalkan rumuz berikut:
2 sin A cos B sin( A B ) sin( A B ) 2 cos A sin B sin( A B ) sin( A B ) 2 cos A cos B cos( A B ) cos( A B ) 2 sin A sin B cos( A B ) cos( A B )
Maka
2 cos 84 sin 20 sin(
84 20 ) sin(
84 20 )
sin( 104 ) sin( 64 )
SOAL 11 Jika diubah ke bentuk perkalian, maka cos 8 cos ....
Jawab: Hafalkan rumuz berikut:
A B A B
sin A sin B 2 sin cos
2
2
A B A B
sin A sin B 2 cos sin
2
2
A B A B
cos A cos B 2 cos cos
2
2
Udah hafal belum 4 rumuz ini? A B A B
cos A cos B 2 sin sin
Kalau belum ….. hafalkan ya…!
2
2
8 8
Maka
cos 8 cos 2 sin sin
2
2
9
7 .
2 sin sin
2
2
SOAL 12 cos 78 cos 12 Nilai
.... sin 78 sin 12
Jawab: 78
12 78
12 2 cos cos cos 78 cos 12
2
2
2 cos 45 . cos 33 cos 45
sin78 sin 12 2 sin 45 cos 33 sin 45 78 12 78
12 2 sin cos
2
2
1
2
2 .
1
1
2
2 SOAL 13 Jika 3 sin x cos x diubah menjadi bentuk cos(x , tentukan nilai k dan . k )
Jawab:
INGAT!
sin cos cos( )
a x b x k x
2
2 a k a b dan dengan sudut sesuai dengan tanda positif negatif
tan
b koefisien dari sin x dan cos x.
Pada soal, dan 1 . a
3 b
2
2
2
2 Maka .
k a b
3 ( 1 ) 3 1 4
2
a
3 dan . tan
3
b
1 Nilai dengan tan 3 ada 2 macam, yaitu 120 dan 300 .
Yang mana yang benerr?? Lihatlah pada koefisien sin (yaitu
3 ) bernilai positif, sedangkan
a koefisien cos (yaitu b 1 ) bernilai negatif.
Naahhh… sudut dengan sin positif dan cos negatif ada di kuadran berapa hayoooo…?? Sehingga, 120 (karena di kuadran II).
Di kuadran II.
Jadi, k = 2 dan 120 .
SOAL 14 Nilai maksimum dari fungsi f ( x )
5 sin 4 x 6 cos 4 x adalah….
Jawab: Yuk jadikan bentuk f ( x )
5 sin 4 x 6 cos 4 x ke bentuk k cos( 4 x ) ,
2
2 dengan k
5
6
25
36 61 .
Maka f ( x )
5 sin 4 x 6 cos 4 x 61 cos( 4 x )
Jelas nilai maksimum fungsi ini adalah ketika cos 1 . Jadi .
f
61
maks SOAL 15
sin x cos x Sederhanakan bentuk .
cos x cos x sin x
Jawab: Samakan dulu penyebut pecahan yang ada di dalam kurung. Maka:
sin x cos x sin x sin x cos x cos x cos x cos x
cos x sin x cos x sin x cos x sin x
2
2
sin x cos x cos x
cos x sin x
1
sin x cosec x
SOAL 16 Tuliskan rumus-rumus sudut ganda dong! Jawab: Boleh..
Ini:
sin
2 2 sin cos
2
2
cos 2 cos sin
2
2 cos
1
2
1 2 sin 2 tan tan 2
2
1 tan
SOAL 17 Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini!
sin 5 x
a) Lim .... x
3 x
2
sin 7 x
b) Lim ....
x
5 x tan 4 x 8 x . tan 9 x
c) ....
Lim x
sin 2 x
Jawab: Gunakan rumuz-rumuz berikut:
sin ax ax tan ax ax sin ax tan ax a
Lim Lim Lim Lim Lim Lim
x x x x x x bx sin bx bx tan bx tan bx sin bx b
sin 5 x
5
a) ( Mudah …. Alhamdulillah….) Lim .
x
3 x
3
2
sin 7 x sin 7 x . sin 7 x
7
7
49 .
b) Lim Lim x x
5 x tan 4 x 5 x tan 4 x
5
4
20 8 x . tan 9 x 8 x
8
c) .
Lim Lim tan
9 x . tan 4
x x
sin 2 x sin 2 x
2 INGAT! Pada soal c) tan 9x tidak ada pasangannya, jadi dimasukkan saja x = 0 ke tan 9x.
SOAL 18 Hitunglah nilai-nilai limit berikut ini!
(cos 6 x )
1
a) Lim ....
2 x
3 x
3 3 cos(
2 6 ) x
b) Lim ....
2 x
3
( x 3 )
Jawab:
2
a) Rumus cos
2
1 2 sin sering digunakan dalam menghitung limit trigonometri yang mengandung fungsi cos.
2
,
Dengan mengambil
3 x maka cos 6 x cos 2 ( 3 x )
1 2 sin ( 3 x ).
2
(cos 6 x )
1
1 2 sin ( 3 x )
1 2 sin( 3 x ) sin( 3 x )
Sehingga Lim Lim Lim
2
2 x x x
3 x x 3 x
3 x
3
3
2
6
3
1 b) Untuk limit x tidak mendekati nol (0), maka buat variabel baru yang mendekati nol.
Misalkan u x
3 . Jika x 3 maka u .
Maka:
3 3 cos(
2 6 )
3 3 cos[ 2 ( 3 )] x x
Lim Lim
2
2 x 3 x
( x 3 ) ( x 3 )
3
3 3 cos 2 u
Lim
2 u u
2
3 3 (
1 2 sin u )
Lim
2 u u
2
3 3 6 sin u Lim
2 u
u
6 sin u sin u
Lim
u u u
1
1 6
1
1
6
SOAL 19
cos x cos q Lim ....
2
2 x q x q
Jawab:
A B A B
Gunakan rumus selisih cos:
cos A cos B 2 sin sin
2
2
x q x q
2 sin sin
cos x cos q
2
2
Maka
Lim Lim
2
2 x q x q
( x q )( x q )
x q x q x q
2 sin
2
2
Lim . Lim
x q x q
( x q ) ( x q )
q q
1 2 sin
2
2 .
( q q ) ( 1 ) 2 sin q
1
.
2 q
2 sin q
. 2 q
Perhatikan jawabannya dalam q.
CARA CEPAT:
Gunakan teorema l’Hopital dengan turunan
f ( x ) f ( x ) Lim Lim x a x a
g ( x ) g ( x )
cos x cos q sin x sin q Pada soal, Lim Lim .
2
2 x q x q
2 x 2 q
x q
INGAT TURUNAN FUNGSI TRIGONO:
y = sin x y’ = cos x y = cos x y’ = – sin x SOAL 20
2 a cos x
Lim
4
Jika , maka nilai a + b = ….
2 x
3 bx
Jawab:
2 a cos x 2 a cos 2 a
1 Coba masukkan x = 0, maka .
2
2
3 bx 3 b . Karena
4
x bx x x
1
2
1
2
2
3 ) sin( ) sin(
4
Lim x
bx x
2
4
1
2
2
2
3 ) ( sin
4
Lim x
bx x
2
1
2
Lim x
1
1
b
b a
1
2
1
24
12
24
1
24
13
24
24
1
1
2
12
b b
1
2
1
2
2
3
2
2 1 (
3 cos
1 2 a maka
1 2 a
Jadi,
4 0 masih memungkinkan ).
persamaan
1 2 a , maka
. Sedangkan jika
a
2
1
4
. Kontradiksi dengan
1 2a
( Jika
1
1 2 a sehingga bentuknya menjadi .
Hal ini mengharuskan
a .
2
1
4
, maka
Lim x
bx x a
2
2
2
a Masukkan
3 )) ( sin
4
Lim x
bx x
1
2
2
1
3 ) ( 2 cos
4
Lim x
bx x
2
2
1
3 cos
4
Lim x
bx x a
2
2
3 cos
4
ke dalam limit, maka:
1 a
1 Jadi, .
SOAL 21 Perhatikan busur lingkaran berikut ini! Jika jari-jari r = 8 cm dan panjang busur s = 10 cm, maka besar sudut ... radian.
Jawab: Besar sudut dalam radian didefinisikan sebagai perbandingan antara panjang busur lingkaran (s) di hadapan sudut dengan jari-jari lingkaran (r).
Rumusnye: s
r s
Pada soal, 1 , 25 radian.
10 r
8 Ternyata soal mengenai radian tidak sesulit
membuka tutup botol dengan peniti!! SOAL 22 Tentukan persamaan grafik fungsi trigonometri berikut ini! Jawab: Sebelum menjawab soal, mari kita ingat-ingat grafik fungsi dasar sin dan cos ! Bentuk umum fungsi sinus dan cosinus adalah: y a sin b ( x c ) d y a cos b ( x c ) d
Dimana: a = amplitudo o o
b = banyaknya gelombang pada rentang 0 (atau 0
- – 360 – 2) c = digeCer grafik dasar ke kiri (+) atau ke kanan (-)
d d = iangkat grafik dasar ke atas (+) atau ke bawah (-)
Grafik pada soal: 1 gelombang
1 gelombang 1 gelombang Terlihat bahwa fungsi ini adalah fungsi cos karena mulainya dari puncak. Nilai a = 6 b = 3 (ada 3 gelombang pada rentang 0
- – 2) = 0
c d = 0 Jadi, persamaan fungsinya y = 6 cos 3x.
SOAL 23 Dari gambar grafik menawan berikut ini, tentukan himpunan penyelesaian:
8 sin x
4 2 .
Jawab: o
Karena yang ditanya daerah 8 sin x yang lebih kecil sama dengan
4 2 , lihat aje bagian grafik y = 8 sin x yang berada di bawah garis y = . Lalu arsir deh!
4
2 Jawabannye: HP = { x x
45 atau 135 x 360 }
SOAL 24 o
Perhatikan grafik fungsi berikut ini! y = 10 sin (x – 40)
Tentukan koordinat P, Q dan R! Jawab: Titik P dan Q adalah titik-titik ketika y = 0 Karena
10 sin( 40 ) y x
Maka 10 sin( x 40 ) sin( x
40 ) sin(x 40 ) sin x k atau x k
40 . 360 40 180 . 360 x k x k
40 . 360 atau 220 . 360 k x k x
40 220
k x 1 400 Perhatikan grafik, untuk titik P nilai x yang sesuai adalah x = 40, sedangkan untuk titik Q, nilai x = 400 Jadi, koordinat titik P(40, 0) dan Q(400, 0) Titik R adalah perpotongan grafik dengan sumbu Y, maka nilai x = 0 .
Sehingga . y 10 sin( x 40 ) 10 sin( 40 ) 10 sin 40 o Jadi, koordinat titik R(0, ). –10 sin40
SOAL 25 Gambarkan grafik fungsi: (a) y
1 sin 2 x (b) y 4 sin( x 30 ) (c) y sin x
2 (d) y sin x
Jawab: (a) y 1 sin 2 x
Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya naik 1 satuan ke atas, dan ada 2 gelombang o pada rentang 0 .
- – 360 (b)
y 4 sin( x 30 ) Keterangan: Perhatikan bahwa grafiknya mempunyai amplitudo 4 dan posisinya geser 30 satuan ke kiri.
(c) y x sin y x
sin Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y =
- – sin x dapat diperoleh dari mencerminkan grafik y = x terhadap sumbu X. (Komen: biasanya anak perempuan ahli deh dalam hal cermin-bercermin) (d)
y x sin
2 y x
sin
2 Keterangan: Perhatikan bahwa grafik y = sin x selalu berada di atas sumbu X (karena
2 bentuknya kuadrat sehingga nilainya selalu positif atau nol). Grafik y = sin x lebih ramping daripada grafik y = sin x.
Pembahasan selesai …. Alhamdulillah…..