PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X MATEMATIKA PEMINATAN
PEMBAHASAN PERSIAPAN UAS X
MATEMATIKA PEMINATAN
Soal 1Diberikan dua vektor sebagai berikut:
a
b
Gambarkan vektor
a) 2 a b
b) a b
Jawab:
a) Untuk menggambar vektor 2 a b , gambar dahulu vektor a 2 , lalu disambung dengan
vektor b . Vektor a 2 adalah vektor yang panjangnya 2 kali vektor a dan arahnya sama
dengan arah vektor a . Gambar dulu yuk vektor a 2 :
a
2
Kemudian, dilanjutkan dengan menggambar vektor b . Letakkan pangkal vektor b pada
ujung vektor a 2 :
b
a
2
Lalu mana vektor 2 a b ?
Buat garis berarah (vektor) dari pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a 2 ) ke
ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor b ). Itulah vektor 2 a b . Gambarnye:
b 2 a b
a
2
b) Untuk menggambar vektor a , gambar dahulu vektor a , lalu disambung dengan b vektor b
. Pertama, gambar vektor a :
a
b
Selanjutnya, vektor adalah vektor yang panjangnya sama dengan panjang vektor
b , tapi arahnya berlawanan dengan arah vektor b .
Kalau vektor b arahnya ke kanan atas:
b
b
Maka vektor arahnya ke kiri bawah:
b
Geser vektor b
ini ke vektor a , pangkal vektor b ditempelkan ke ujung vektor .
a a
b
Nah, hubungin pangkal vektor pertama (yaitu pangkal vektor a ) ke
ujung vektor kedua (yaitu ujung vektor ), jadi deh vektor b a . b
a
b
a b
Soal 2
o
Diketahui a , a b , sudut apit antara vektor dan b adalah 60 . Maka
4 61 a b ....
Jawab:
Untuk soal ini, gunakan rumus menawan berikut:
Hafalin rumus
2
2 ini yuuuk…!! a b a b a b
2 cos
a b dengan adalah sudut apit antara vektor dan .
Masukkan nilai-nilai yang ada,
2
2 a b a b a b
2 cos
2
2 b b
61 4 2 4 cos 60
2
1
b b
61 16 2 4
2 kuadratkan
2 b b
61 16
4
2 b b
4 16
61
2 b b
4
45
b b
9
5
b b
9 atau 5
b
9 b
5 atau
b b
Solusinya adalah 5 sebab panjang vektor diasumsikan positif. Jadi, 5 .
(Ternyata, memecahkan soal vektor tidak sesulit memecahkan batu karang dengan gergaji!!) Soal 3
5 9 k
Diketahui persamaan 2 a b c dengan a 1 , b m dan c 8 .
3 2
3 2 n
1
Maka nilai k + m + n = ….
Jawab:
Kita mulai dari persamaan:
2 a 3 b c .
Masukkan nilai vektor a , b , dan c , sehingga menjadi:
5 9 k
2
1 3 m
8
2
3 2 n
1
10 27 k
2 3 m
8
4
9
2
1 n
10 27 k
2 3 m
8 4
9 2 n
1
Dari sini, kita peroleh: 10 27 k k
17
2 3 m 8 m
2 4
9 2 n 1 n
7 Sehingga k m n 17 2 7 12 .
- –1) dan F(p, 6) terletak pada satu garis lurus. Maka nilai 30p – 1 = …
1
8
8 1 p
4
1 4 p
8
1
8
4 p
m
8 1
1 4 m p dan m
Dari sini,
m p
4
1
8
1
8 990
30
1
30
33 .
8
1
8
33 p
8
8 982
4 491
3 122
4
Maka nilai dari
1
8
Soal 4
) ( d e m d f
DE m DF
Jika titik D, E dan F segaris, maka berlaku:
Jawab:
Titik D(4, 7), E(5,
6
m
p4
7
5
1
4
7
p .
Soal 5
4 q 8 q Maka nilai .
2
12
m q p
Dari komponen pertama, 12 = m . 3 m = 4
Dari komponen kedua,
1
2 m p
1
4 2 p p = 2
Dari komponen ketiga, )
2 ( m q ) 2 (
68
1
64 4 ) 8 (
2
2
2
2
2
q p
Soal 6
Jika j i p
2 dan k j i q
maka .... q 3 p
3
2
Apakah syarat dua vektor sejajar? Jelaskan! Nah, jika vektor
3
q p s
2
12 sejajar dengan vektor
2
1
t
.maka nilai .... 2 2 q
p Jawab: Dua vektor sejajar jika vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang lain.
Jika vektor s sejajar dengan vektor t
, maka dapat ditulis
t m s
(dengan m suatu bilangan riil) Masukkan nilai vektor s
dan t pada soal, didapatkan:
Jawab:
k j i k j i j i k j i j i q p
.
3
2 5 ) 3 (
2
5
3
b b
(iii) Panjang proyeksi vektor a pada b
2
adalah
b b a
.
38
8
5
9
10
3
38
2
38
5
38
2
25
2
2
38
2
5
3
4
38
18
38
38
19
4
38
38
8
38
.
38
8
38
8
Kalau mau dirasionalkan penyebutnya juga boleh!!
2 5 ) 3 (
2
2
5
3
2
6
2
2
b b a
Diberikan
3
2
2
2
q p .
Soal 7
2
2
6
a
dan
5
3
2
3
3
2
5
3
25
3 ( 2 ) 3 )
2 (
3 .
Maka
38
9
4
5
b b
b a
.
(ii) Vektor satuan searah vektor b adalah
.
6
2
3
(iv) proyeksi vektor orthogonal a pada b
b
.
Tentukan: (i) hasil kali skalar .... b a
(ii) vektor satuan searah vektor b
(iii) panjang proyeksi vektor a
pada b
3
Jawab:
(i) Hasil kali
8
10
18
2
5
.
a b (iv) Proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah b .
2
b
6
3 2
5
3
2
a b
b
5
2
2
2
2
2
b
2 ( 3 ) 5
2
3
18
10
5
2
2
2
( 3 ) 5
2
2
3
8
5
38
2
3
4
5
19
2
4 Kalau bilangan dimasukin ke dalam komponen-komponen vektor juga boleh, nggak
19 dimarahin kok!
12
19
3
4
20
5 .
19
19
2
8
19
Soal 8
Diberikan titik-titik P(3, 1, 2), Q(4, 1,
- –2) dan R(0, 2, 2). Tentukan: (i) Jarak PQ
(ii) Jika adalah sudut yang dibentuk antara vektor PQ dan PR , tentukan nilai cos .
Jawab: (i) Cari dulu vektor PQ , kemudian hitung panjangnya (yaitu PQ).
4
3
1
PQ q p
1 1 .
2 2
4
2
2
1 ( 4 ) 1 16 17 .
Jawab:
4
2
2
2
PR .
Maka 170
3 170
3
10
17
1
3
1 cos
1
PR PQ PR PQ .
Soal Matematika ada 2 macam: 1. Soal yang singkat, mudah dan simpel.
mengasyikkan
…
Soal 9
Di suatu bidang terletak titik A(7, 0) dan titik B(
9 1 ) 3 (
10
(ii) Gunakan rumus
PR .
PR PQ PR PQ
cos Dari soal (i) sudah didapatkan
4
1 PQ dan 17
PQ . Sekarang kita cari
PR dan
, sehingga
1
3
2
1
3
2 PR 2 p r
- –14, 7). Titik P terletak pada ruas garis AB sehingga AP : PB = 4 : 3. Sedangkan titik Q terletak pada perpanjangan AB sedemikian sehingga AB : BQ = 7 : 2. Tentukan koordinat titik P dan titik Q!
14
7
56
21
35
4 3
7
28
28
5 4 b 3 a
p .
4
3
7
7
7
4 sehingga koordinat titik P adalah (
- –5, 4). Untuk titik Q, perhatikan bahwa titik Q terletak di luar ruas garis AB. Perhatikan gambar di atas! Karena AB : BQ = 7 : 2 , maka AQ : QB = 9 :
- –2 sehingga vektor posisi titik Q dapat dinyatakan dengan persamaan
14 7 126 14 140
9 2
7
63
63
20 9 b 2 a
q
9
2
7
7
7
9
Sehingga koordinat titik Q adalah ( –20, 9).
Soal 10
9
1
Vektor a 3 tegak lurus vektor b 4 . Tentukan nilai m.
4 3 m
1
Jawab:
Jika vektor a tegak lurus b maka berlaku persamaan: a b
- –2i + j + xk dan vektor b = 4i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 8, maka x = ....
b a
1
4
2
6
4
8 6 ) 2 (
= 8
4 Karena panjang proyeksinya 8, maka: b
2
2
6
2 b = 4i
1
x
2
2
6
10
6
56
8
x
8
2
16
2
4
36
x
a =
x
3
9
3
4
1
4
1
, terbukti) Jadi, b a
maka sudut apitnya 90 , sehingga 90 cos cos b a b a b a b a
(Bukti: Jika vektor a tegak lurus b
Dalam bentuk vektor kolom, vektor a dan b bisa juga ditulis:
1 12 m
b b a .
INGAT! Panjang proyeksi vektor a pada b adalah
Jawab:
Diberikan vektor a =
m Soal 11
1
12
12 9 m 1 12 m
12
4
m
9
3 1 .
1 3 ( 4 4 .
)
m
- –2i + j + xk
- – 2j + 6k
- - 8
8
juga vektor satuan) (c)
1 1 . 1 . 1 cos k k k k
(INGAT! Sudut antara vektor
k
dengan
k
adalah 0
o .
INGAT juga nilai 1 cos ) (d) .
1 .
1 90 cos j i j i
(INGAT! Sudut antara vektor i
dan
3
. Nilai dari .... b a
o
adalah 30
. Sudut apit antara vektor a dan b
2 b
dan
j
8 a
Diketahui
Soal 13
) 90 cos
INGAT juga
adalah 90 .
(Alasan: k
1 k
14
5
2
6
10
x
14
16
6 10 x
10
14
16 6 x
6
10
14 16 x
3
14 8 x
adalah vektor satuan, panjangnya tentu 1 satuan dong!) (b)
(iii) k k
i
(Alasan: Karena
(a) 1 i
Jawab:
(d) j i
(Pembilang dan penyebut sama-sama dibagi 2)
(ii) k
Tentukan: (a) i
, dan , .
Diketahui vektor-vektor satuan arah sumbu X, Y dan Z berturut-turut adalah k j i
Soal 12
Jawab:
Gunakan definisi perkalian skalar a b a b cos . Maka:
8
1
a b a b cos
8
2 3 cos 30
16 3 3 8 3 24 .
2 Soal 14
Pada jajargenjang PQRS, vektor QP u dan QR v .
Titik X adalah titik tengah SR, sedangkan titik Y adalah titik tengah PS. Nyatakan vektor:
(a) QX
(b)
XY
dalam u dan v !
Jawab:
(a) Perhatikan gambar! .
1 QX QR RX v u
2 (b) Perhatikan gambar!
1 1
XY
XS SY u v
2
2
(Lihat vektor SY dan v berlawanan arah)
Soal 15
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan berikut ini:
2
( x 6 )( x 1 ) (a)
3
( 9 )
x
2
2
(b) x 9 x 3 x
2 Jawab:
2
( 6 )( 1 )
x x
(a) Pertidaksamaan
3
( x 9 ) Pertama, tentukan titik-titik batas, yaitu nilai-nilai x sehingga:
2
3 x
6 ( x 1 ) ( x 9 )
x
6 x 1 x 9
x
1 x
9 Lalu letakkan nilai-nilai batas ini pada garis bilangan: Perhatikan bahwa pada angka
- –6 titiknya satu buah, angka 1 titiknya dua buah, sedangkan pada angka 9 titiknya tiga buah, sesuai dengan pangkat pada soal
2
( x 6 )( x 1 ) .
3
( x 9 )
Ingat aturan pengisian tanda:
Jika titiknya ganjil, maka daerah kanan dan kirinya berbeda tanda Jika titiknya genap, maka daerah kanan dan kirinya sama tanda.
Cek tanda untuk daerah paling kanan. Ambil sembarang bilangan yang > 9, misalkan 10.
2
( x 6 )( x 1 ) Masukkan x = 10 ke bentuk .
3
( x 9 )
2
2
2
( x 6 )( x 1 ) ( 10 6 )( 10 1 ) 16
9 hasilnya positif.
3
3
3
( x 9 ) ( 10 9 )
1 Jadi kita isi deh daerah paling kanan positif: Karena angka 9 titiknya ada tiga (ganjil), maka daerah tepat di sebelah kiri 9 tandanya berbeda, yaitu negatif: Dan karena angka 1 titiknya ada dua (genap), maka daerah tepat di kiri 1 tandanya sama, yaitu negatif: Kemudian, karena angka
- –6 titiknya ada satu (ganjil), maka daerah tepat di kiri –6 tanda berbeda dengan di kanannya, yaitu bertanda positif: Lengkaplah sudah pengisian tanda!
2
( x 6 )( x 1 ) Pada soal , berarti yang diminta adalah daerah yang bertanda
3
( x 9 ) negatif. Sehingga himpunan penyelesaian (HP)nya dapat ditulis sebagai:
HP { x
6 x 1 atau 1 x 9 , x bilangan riil } atau bisa juga ditulis:
HP { x
6 x 9 , x 1 , x bilangan riil }
2
2
(b) Cara menyelesaikan pertidaksamaan x 9 x 3 x
2 adalah dengan mengkuadratkannya menjadi:
2
2
x9 x 3 x
2
………………….. (I) dengan syarat bentuk di bawah tanda akar harus :
2 x
9 ……………………..(II)
2
dan x x 3 2 ……………………… (III)
Pertama, kita selesaikan dulu pertidaksamaan (I):
2
2
x 9 x 3 x
2 3 x
2
9 3 x
11
11
x
……………………(*)
3 Bagannya: Berikutnya, kita kerjakan pertidaksamaan (II):
2 x
9 ( x 3 )( x 3 )
x
3 atau x
3 ………………... (**)
( Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh ) Juga kita kerjakan pertidaksamaan (III):
2 x x
3 2 ( x 1 )( x 2 )
x
1 atau x
2 ………………... (***)
Catatan: Karena ada tanda = nya, bulatannya penuh
( )
Nah, penyelesaian akhirnya adalah irisian dari ketiga daerah tersebut (daerah (*), (**), dan (***)). Irisan adalah bagian yang berada di bawah tiga garis. Yuuk kita iris:
11 { , bilangan riil} Maka HP x x x .
3