Luas Permukaan Benda Putar and Aplikasi

LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR
DAN
APLIKASI INTEGRAL TENTU PADA FISIKA

OLEH :
KELOMPOK 7 (TUJUH)
GUSRIANTA
HANNAS CP MUNTHE
MAULIDA RAHMI SAGALA

JURUSAN FISIKA
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2015

KATA PENGANTAR

Dengan mengucapkan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkatNya
makalah yang berjudul “Luas Permukaan Benda Putar dan Aplikasi Integral Tentu Pada Fisika”
dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Sehingga menjadi makalah yang diharapkan dapat
memberikan manfaat bagi mahasiswa pada mata kuliah Kalkulus II.
Satu harapan penulis bahwa makalah ini dapat mencapai tingkat pemahaman yang lebih

dalam kepada pembaca dan terutama kelompok penulis sendiri. Mudah-mudahan makalah ini dapat
bermanfaat bagi pembaca serta dapat memberikan kritik dan saran demi perbaikan makalah ini.
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
dalam penulisan makalah ini. Semoga bantuan yang telah diberikan kepada penulis, Tuhan yang
akan membalasnya berlipat ganda. Amin

Medan,

April 2015

Penulis

Kelompok 7

1

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR............................................................................................................. i
DAFTAR ISI........................................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN....................................................................................................... 1
I.1 LATAR BELAKANG...................................................................................................... 1
I.2 RUMUSAN MASALAH.................................................................................................. 1
I.3 TUJUAN............................................................................................................................ 1
BAB II PEMBAHASAN........................................................................................................ 2
II.1 LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR........................................................................ 2
II.2 APLIKASI INTEGRAL DALAM FISIKA................................................................... 5
BAB III PENUTUP................................................................................................................ 7
III.1 KESIMPULAN.............................................................................................................. 7
III.2 SARAN............................................................................................................................ 7
DAFTAR PUSTAKA.............................................................................................................. 8

2

BAB I
PENDAHULUAN
I. 1 LATAR BELAKANG
Jika berbicara tentang integral

tentulah kita tahu bahwa, sebuah benda yang

memiliki permukaan dapat diputar melalui sumbu x ataupun y. Dan selain dalam
matematika, integral juga memiliki aplikasi didalam fisika. Seperti menentukan usaha dan
tekanan pada zat cair
Yang akan dibahas lebih disini adalah tentang luas permukaan benda putar dan
aplikasinya didalam fisika.

I. 2 RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana cara memahami konsep dari menentukan luas permukaan benda putar ?
2. Bagaimana aplikasi integral dalam fisika ?

I. 3 TUJUAN
1. Mampu menggunakan konsep integral.
2. Dapat mengetahui dan memahami konsep dari luas permukaan beda putar dan
menentukan luas permukaan benda putar di dalam fisika melalui proses integral.

1

BAB II
PEMBAHASAN

II.1 LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR
Jika sebuah busur AB diputar terhadap garis yang sebidang, maka akan terbentuk sebuah
benda pusar. Misalkan busur AB adalah busur dari lengkung y = f(x) yang kontinu pada interval
[a,b] dan memenuhi f (x) ≥0 dalam interval tersebut.Jika f(x) diputar terhadap sumbu x, maka
akan terbentuk suatu benda putar.

II.1.1 Defenisi 1
Misalkan fungsi f mempunyai turunan yang kontinu pada interval [a,b]. Luas permukaan
benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) pada interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x adalah
b

S=2 π ∫ f ( x ) √ 1+(f ' ( x ) )2 dx . Analog dengan cara diatas kita dapat mendefenisikan luas
a

permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) diputar melalui sumbu y.
Contoh 1 :
Tentukan luas permukaan benda putar yang dibatasi oleh
Penyelesaian :

y=f ( x ) =√ 1−x → f ( x )=

2

'

1
y=√ 1−x 2 , 0 ≤ x ≤ 2

−x

√ 1−x 2

Maka:
b

S=2 π ∫ f ( x ) √ 1+(f ' ( x ) )2 dx
a

1
2

S=2 π ∫ √ 1−x

2

0
1
2

S=2 π ∫ √ 1−x
0

2

(√ ( √ ) )
1+

(√

−x

2

1−x 2
2

dx

)

x
1+
dx
1−x 2

1
2

S=2 π ∫ 1 dx
0

1
2
0

S= [ 2 πx ] =π satuanluas
2

Dengan demikian luas permukaan benda putar yang dibatasi kurva
0≤x ≤

1
2

y=√ 1−x 2 ,

adalah S=π satuan luas .

Contoh 2 :
Hitung luas permukaan benda putar yang terbantuk karena perputaran
2

y =12 x dari x = 0 sampai x = 3 terhadap sumbu X.
Penyelesaian :
y 2=12 x
'

f ( x ) → 2 y dy=12 dx →

dy 12 6
= =
dx 2 y y

b

S=2 π ∫ y √ 1+( f ' ( x ) )2 dx
a

√

3

6 2
y 1+
dx=¿2 π ∫ √ y 2 +62 dx
y
0

()

3

S=2 π ∫ ¿
0

3

S=2 π ∫ √ 12 x+36 dx
0

S=24 (2 √ 2−1) π

satuan luas

II.1.2 Defenisi 2
Misalkan fungsi g mempunyai turunan yang kontinu pada interval [c,d]. Luas permukaan
benda putar yang terjadi bila kurva x = g(y) diputar mengeilingi sumbu y pada interval [c,d] adalah
d

S=2 π ∫ x √1+(g' ( y ) )2 dy .
c

2
d S=√ 1+( f ' ( x ) ) dx , maka kedua rumus ini dapat

Selanjutnya karena y = f(x) dan
disederhanakan menjadi :
b

L=2 π ∫ y ds

d

dan

a

L=2 π ∫ x ds
c

Contoh 3 :
Tentukanlah luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva
diputar mengelilingi sumbu x.

y=√ x

pada interval [0,4]

Penyelesaian :
f ( x ) = y =√ x → f ' ( x )=

1
2 √x

Luas permukaan benda putar :

3

f
¿
¿' (x)¿2
+¿
1¿
b

L=2 π ∫ x √ ¿
a

4

√

1

0

4

√

= 2 π ∫ √ x 1+
0

2

( 2 √ x ) dx

L=2 π ∫ √ x 1+

1
dx
4x

= π √ 4 x+1 dx
17

L=

π
∫ u1/ 2 du
4 1

Misal : u = 4x + 1 → du = 4dx

√ u∨¿174

x=0 → u=1

π
L= u ¿
6

x = 4 → u = 17

π
L= ( 17 √ 17−1 ) satuan luas
6
II.1.3 Defenisi 3
Jika kurva dinyatakan secara parametrik. Misalkan x = f(t) dan y = g(t) pada interval [a,b]
maka untuk menentukan luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva ini pada interval [a,b]
b

'
2
'
2
diputar mengelilingi sumbu X, adalah S=2 π ∫ g (t) √(f ( t ) ) +( g (t)) dt .
a

Contoh 4 :
Hitung permukaan bola berjari-jari a.
Penyelesaian :
Kalau sumbu AB diputar terhadap sumbu x maka luas permukaan
permukaan bola.
x=f ( θ )=a cos θ

S=2 π ∫ g ( θ )
a

adalah

y=g ( θ ) =a sin θ

dx '
=f ( θ )=−a sin θ
dθ
b

putar

dy
=g' ( θ )=a cos θ
dθ

√ ( f ( θ ) ) +( g ( θ ) ) dθ
'

2

'

2

π

S=2 π ∫ (a sin θ) √ (−a sin θ )2 + ( a cos θ )2 dθ
0
π

S=2 π ∫ ( a sinθ ) a dθ
0

4

π
2

S=2 π a

∫ sinθ dθ=2 π a2 [−cosθ]0π
0

2

S=2 π a (−cos π +cos 0 )=4 π a2 satuanluas
Contoh 5 :
Hitunglah luas permukaan benda putaran,bila satu busur
sikloid x=a( 0−sinθ) , y=a(1−cosθ ) diputar keliling
sumbu x.
Penyelesaian :
dx
=a(1−cosθ)
dθ
ds=

√(

dy
=a sinθ
dθ

dx 2 dy 2
+
dθ
dθ
dθ

)( )

θ
2
2
ds=a √ ( 1−cosθ ) +sin θ dθ=2 a sin dθ
2
2π

2π

θ
S=2 π ∫ y ds=2 π ∫ a ( 1−cosθ ) 2 asin dθ
2
0
0
2π

2π

θ
θ
θ
S=2 π 2a ∫ ( 1−cosθ ) sin dθ=4 π a2 ∫ 2sin 2 . sin dθ
2
2
2
0
0
2

2π

2

S=8 π a

∫ (1−cos2 θ2 )sin θ2 dθ
0

θ 2
θ
S=8 π a2 −2 cos + cos3 ¿ 20 π =63 π a 2 satuanluas
2 3
2

(

)

II.2 APLIKASI INTEGRAL PADA FISIKA
II.2.1 Usaha
Bila F(x) suatu gaya untuk menggerakkan suatu titik sepanjang sumbu x dari x = a sampai x
= b, maka usaha :
b

W =∫ F ( x ) dx
a

Juga rumus diatas berlaku pada per yang diregangkan dengan pertambahan panjang = t dan
konstanta kekakuan = k, maka menurut Hukum Hooke f(t) = kt.
Contoh 6 :
Sebuah per panjangnya 25 cm diregangkan menjadi 30 cm dengan gaya F = 45 kg. Ditanyakan
usaha untuk meregangkan per dari panjang 35 cm menjadi 45 cm.
Penyelesaian :
F

=kt

→

t = (30 – 25) cm = 5 cm

4,5 = k 5
5

k

= 0,9 kg/cm
t2

W =k ∫ t dt

→

t1 = (35 – 25) cm = 10 cm

dan

t2 = (45 – 25) cm = 20 cm

t1

20

W =0,9∫ t dt
10

W =0,9

t 2 20
¿ =1,35 m kg .
2 10

6

II.2.2 Tekanan Dan Gaya Pada Cairan
Asumsikan bahwa sebuah plat ditekan secara vertikal kedalam cairan yang kerapatannya
ρ dari x = a sampai x = b. Untuk a ≤ x ≤ b , misalkan w(x) adalah lebar plat x dan h(x)
kedalaman pada saat titik x. Maka total gaya cairan pada dasar tangki dan tekanan zat cairnya
adalah:
b

F=∫ ρ .h ( x ) . w(x) dx
a

b

P=∫ ρ xy dx
a

Catatan : rapat jenis air ( ρ ) = 103 kg/m3 ; 1,94 slugs/ft3 ; 62,4 lb/ft3
Contoh 7 :
Lempeng lingkaran jari-jari 3ft dimasukkan kedalam air, sehingga
setengah lempeng berada dibawah permukaan air. Hitunglah tekanan zat
cair yang bekerja pada lempeng tersebut.
Penyelesaian :
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 9
y=√ 9−x 2
Batas x = 0 → x = 3
ρ = 62,4 lb/ft3
b

P=∫ ρ xy dx
a

3

P=2 ×62,4 ∫ x √ 9−x 2 dx
0

3
2 2

(9−x ) ∨¿30 =1123,2 lb
−1
P=2× 62,4 ×
¿
3

( )

7

BAB III
PENUTUP
III.1 KESIMPULAN
1. Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva y = f(x) pada interval [a,b] diputar
b

'
2
mengelilingi sumbu x adalah S=2 π ∫ f ( x ) √ 1+(f ( x ) ) dx .
a

2. Luas permukaan benda putar yang terjadi bila kurva x = g(y) diputar mengeilingi sumbu y
d

'
2
pada interval [c,d] adalah S=2 π ∫ x √1+(g ( y ) ) dy .
c

3. Integral tentu pada fisika dapat di aplikasikan untuk mencari usaha (W) dan tekanan pada zat
cair (P)

4. Pemakaian integral pada usaha yaitu :
b

W =∫ F ( x ) dx
a

5. Pemakaian integral pada tekanan zat cair yaitu :
b

F=∫ ρ .h ( x ) . w(x) dx
a

b

dan

P=∫ ρ xy dx
a

III.2 Saran
Semoga dengan tersusunnya makalah ini dapat menambah wawasan mahasiswa tentang
materi luas permukaan benda putar dan mampu menggunakan integral dalam perhitungan
fisika. Selanjutnya, kami berharap pembaca mampu memahami konsep pengintegralan
sehingga dapat menyelesaikan permasalahan mengenai luas permukaan benda putar.

8

DAFTAR PUSTAKA
Baisum,M.Hasyim. 1986. Kalkulus. Jakarta : UI Press
Soemartojo,N. 1998. Kalkulus Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga
Tim Dosen Matematika. 2015. Matematika Umum II (Kalkulus II). Medan: UNIMED

9