Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL)

Percobaan Satu Faktor: Rancangan
Bujur Sangkar Latin (Latin Square
Design)
Arum H. Primandari, M.Sc.

Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL)
• Pada kondisi-kondisi tertentu, keheterogenan unit
percobaan tidak bisa dikendalikan hanya dengan
satu sisi keragaman unit-unit percobaan.
• Salah satu yang mampu mengendalikan
keragaman lebih dari satu adalah RBSL.
• RAKL hanya mengendalikan keragaman dari satu
arah, sementara RBSL mengendalikan keragaman
dari dua arah (baris dan kolom)

Kelebihan dan Kekurangan
• Kelebihan:
– mampu mengendalikan komponen keragaman unit – unit
percobaan dari dua arah (arah baris dan arah kolom).

• Kekurangan:

– persyaratan RSBL sering dianggap kekurangan, yaitu bahwa
jumlah ulangan harus sama dengan jumlah perlakuan.
– Untuk jumlah perlakuan yang lebih kecil dari 4 akan
mengakibatkan jumlah db galat percobaan menjadi sangat kecil
dengan konsekuensi bahwa galat percobaan akan menjadi besar.
– Akibat dari dua kekurangan sebelumnya, RBSL hanya digunakan
untuk percobaan yang menggunakan 4 – 8 perlakuan.

Syarat RBSL
• Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom
• Pengacakan, setiap perlakuan harus muncul sekali di
setiap baris dan sekali di setiap kolom

Pengacakan dan Denah Rancangan
• Kasus: suatu penelitian melibatkan 4 perlakuan (A, B, C, D)
dimana penempatan perlakuan diacak berdasar posisi baris
dan kolom.
• Oleh karena Jumlah perlakuan = jumlah baris = jumlah kolom,
maka banyak unit percobaan adalah 4 x 4 = 16.
• Penempatan perlakuan harus memperhatikan aturan: setiap

perlakuan hanya muncul sekali pada arah baris dan sekali
pada arah kolom.

• Cara pengacakannya yaitu:
1. Tempatkan perlakuan pada arah diagonal secara acak.
1
2

A
B

C
A

D
C

B
D

3
4

D
C
1

B
D
2

A
B
3

C
A
4

2. Acaklah penempatan baris

3. Acaklah penempatan kolom

3
2
4

D
B
C

B
A
D

A
C
B

C

D
A

3
2
4

B
A
D

C
D
A

D
B
C

A

C
B

1

A
1

C
2

D
3

B
4

1

C

2

B
4

A
1

D
3

Bagan percobaan
akhir

Tabulasi Data

Model Linier
• Model linier untuk RBSL:

Yijk    i j  k  ijk

i,j,k  1,2,...,r
ij N 0, 2 
iid

dimana:
Yijk: nilai pengamatan pada perlakuan ke-k dalam baris ke-i
dan kolom ke-j
μ: rataan umum
αi: pengaruh baris ke-i
βj: pengaruh kolom ke-j
τk: pengaruh perlakuan ke-k
εijk: pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke-k pada baris
ke-i dan kolom ke-j

Asumsi
• Asumsi untuk model tetap
2



0,


0,


0
dan

N
0,



 i j k
ijk
t

r

t

i1

j1

i1

iiid

• Asumsi untuk model acak

i N 0,   , j N 0,   , k N 0, 
iid

2


iid

2


iid

2


 dan 

N 0, 2 

iiid
ijk

Hipotesis Model Tetap
• Hipotesis pengaruh perlakuan
H0 : 1  2  ...  r  0
Perlakuan tidak berpengaruh terhadap

H1 : k  0,(k  1,2,...,r)
• Hipotesis pengaruh baris
H0 : 1  2  ...  r  0

H1 : i  0,(i  1,2,...,r)
• Hipotesis pengaruh kolom

H0 : 1  2  ...  r  0
H1 :  j  0,(j  1,2,...,r)

respon yang diamati

Hipotesis Model Acak
• Hipotesis pengaruh perlakuan
H0 : 2  0

H1 : 2  0
• Hipotesis pengaruh baris
H0 : 2  0

H1 : 2  0
• Hipotesis pengaruh kolom
H0 : 2  0

H1 : 2  0

Perhitungan
2
Y
FK  2
r
r

r

r

JKT   Yijk2  FK
i1 j1 k 1

Yi2
 FK
JKB  
i1 r
r

r

Y 2j

j1

r

JKK  

 FK

Y 2k
JKP  
 FK
k 1 r
JKG  JKT  JKB  JKK  JKP
r

Tabel Analisis Variansi
SV

db

JK

KT

F-hitung

Perlakuan

r–1

JKP

KTP

KTP/KTG

Baris

r–1

JKB

KTB

KTB/KTG

Kolom

r–1

JKK

KTK

KTK/KTG

Galat

(r – 1)(r – 2)

JKG

KTG

Total

r2 – 1

JKT

Uji Hipotesis, maka kriteria keputusan :
H0 ditolak jika:

Fhitung  F ,r1,(r1)(r2)

Efisiensi Relatif (ER) dari RBSL
• Tingkat efisiensi RBSL terhadap RAK:
dbl  1  dbb  3 
ˆ b2

 2
ER 
dbl  3dbb  1 ˆ l
dimana dbl: derajat bebas galat dari RBSL, dbb: derajat bebas
galat dari RAK, ragam galat dari RBSL dan RAK:

ˆ l2  KTG

ˆ


2
b

r  1KTK   r  1  r  1r  2 KTG

r r  1 

• Misal ER = 5 berarti agar sensifitas RAK sama dengan RBSL
maka ulangan dalam RAK sebanyak 5 kali dari banyak kolom
yang digunakan RBSL

Efisiensi RBSL terhadap RAK
• Efisiensi RBSL terhadap RAK terdapat 2 ukuran:
1. Memperlakukan baris sebagai kelompok
• Dugaan KTG (RAK):
fcKTK   ft  fe KTG
KTG(RAK) 
fc  ft  fe
dengan:
KTK dan KTG adalah kuadrat tengah kolom dan kuadrat
tengah galat dari RBSL;
fc, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk kolom,
perlakuan, dan galat dari RBSL.

2. Memperlakukan kolom sebagai kelompok
• Dugaan KTG (RAK) adalah:

frKTB   ft  fe KTG
KTG(RAK) 
fr  ft  fe
dengan:
KTB dan KTG adalah kuadrat tengah baris dan kuadrat
tengah galat dari RBSL;
fr, ft, fe berturut-turut adalah derajat bebas untuk baris,
perlakuan, dan galat dari RBSL.

• dengan demikian, ER(RBSL terhadap RAK) dihitung
berdasarkan formula:

f1  1 f2  3KTG(RAK)

ER(RBSL terhadap RAK) 
 f2  1 f1  3KTG(RBSL)
dengan:
f1 dalah db galat untuk RBSL dan f2 adalah db galat untuk RAK.

Data Hilang dalam RBSL
• Pendugaan data hilang:

r B  K  P   2G
Y
r  1r  2
• dengan:
r: banyaknya perlakuan.
B: total nilai pengamatan dari baris yang mengandung data hilang.
K: total nilai pengamatan dari kolom yang mengandung data hilang.
P: total nilai pengamatan dari perlakuan yang mengandung data
hilang.
G: total seluruh pengamatan

• Jumlah kuadrat perlakuan melalui analisis ragam akan berbias
ke atas dengan besar bias:

G  B  K  r  1P

Bias 

2

r  1r  2

2

Latihan

Pengulangan dari RBSL
• Salah satu kelemahan RBL berukuran kecil adalah bahwa
rancangan itu hanya memiliki derajat bebas yang kecil,
konsekuensinya tingkat ketelitian akan rendah.
• Misalkan: untuk RBSL 3×3 hanya memiliki db: (3-1)(3-2)=2
• Oleh karena itu, apabila kita menggunakan RBSL dalam
ukuran kecil, sering dipertimbangkan untuk mengulang RBSL
tersebut sehingga diperoleh db galat yang besar.

• Contoh:
Kita melakukan percobaan pemberian makanan jenis A, B, dan
C pada sapi. Dalam percobaan, kita menggunakan RBSL
ukuran 3×3, dengan menyiapkan 3 ekor sapi untuk dicobakan
secara bergantian selama 3 periode waktu.

Periode

Misalkan denah percobaannya adalah:
1

A

B

C

2

B

C

A

3

C

A

B

1

2
Sapi

3

Untuk meningkatkan db galat,
maka kita mengulang percobaan
dengan RBL 3×3 itu sebanyak n
kali, katakanlah sebanyak 3 atau 4
kali.

Periode

Sapi
1

2

3

1

A

B

C

2

B

C

A

3

C

A

B

4

B

C

A

5

A

B

C

6

C

A

B

7

C

A

B

8

A

B

C

9

B

C

A

10

A

B

C

11

B

C

A

12

C

A

B

RBSL ukuran 3×3

RBSL ukuran 3×3

RBSL ukuran 3×3

RBSL ukuran 3×3

• Derajat bebas dari 4 buah RBSL 3×3:
SV

db

Baris/ Periode dalam RBSL
(Ulangan)

nr – 1 = (4)(3) – 1 = 11

Kolom (sapi)

r–1=3–1=2

Perlakuan (makanan)

r–1=3–1=2

Galat

(r – 1)(nr – 2) = (2)(10) = 20

Total

nr2 – 1 = 35

Perhitungan
2
Y
FK  2
nr
r

r

r

r

2
 FK
JKT   Yijkl
i1 j1 k 1 l1

1 r 2
JK(RBSL)  JK(ulangan)  2  Yl  FK
r l1
Yi2 l 1 r 2
 2  Yl
JKB(RBSL)  
r l1
i1 l1 r
r

r

Y 2j

j1

nr

JKK  

r

 FK

Y 2k
 FK
JKP  
k 1 nr
JKG  JKT  JK(RBSL)  JKB(RBSL)  JKK  JKP
r

Tabel Anava
SV

db

JK

KT

Baris/ Periode

nr – 1

JK(RBSL) + JKB(RBSL)

KTB

Kolom

r–1

JKK

KTK

Perlakuan

r–1

JKP

KTP

Galat

(r – 1)(nr – 2)

JKG

KTG

Total

nr2 – 1

JKT

F

KTP/KTG

Rancangan Beralih (Cross-Over
Design)

Cross-Over Design
• Digunakan dalam percobaan yang menggunakan rotasi dengan
panjang periode tetap (panjang periode ditentukan oleh peneliti).
• Pengaruh bawaan dari perlakuan terdahulu akan mempengaruhi
pengukuran dari pengaruh perlakuan sekarang.
• Pengaruh bawaan dapat diatasi melalui pemilihan rancangan
percobaan yang sesuai atau melalui penyisipan suatu periode
istirahat di antara periode-periode perlakuan.
• Periode istirahat merupakan suatu periode waktu tanpa
pengamatan pada perlakuan sekarang atau suatu periode tanpa
perlakuan.
• Pada dasarnya rancangan beralih merupakan kombinasi antara RBSL
dan RAK

• Contoh:
Misalkan kita memiliki 2 perlakuan:

– A: pemberian makanan tambahan
– B: tanpa pemberian makanan tambahan

Perlakuan A dan B akan dicobakan pada 8 ekor sapi. Setiap ekor sapi
akan menerima 2 perlakuan A dan B dalam periode 1 dan 2.
Perlakuan A dan B diberikan secara acak, dengan pembatasan
separuh sapi mendapat perlakuan A dan separuhnya lagi mendapat
perlakuan B dalam periode 1.
Selanjutnya, sapi-sapi yang mendapat perlakuan A pada periode 1
akan beralih mendapat perlakuan B pada periode 2, vise-versa.

Denah Percobaan
Sapi atau Ulangan
Baris

1

2

3

4

5

6

7

8

Periode 1

B

A

B

A

A

B

B

A

Periode 2

A

B

A

B

B

A

A

B

Jika percobaan yang sama dilakukan dengan menggunakan RBSL,
maka kita perlu menggunakan RBSL ukuran 2×2 diulang sebanyak
4 kali.
Sapi atau Ulangan
1

2

3

4

5

6

7

8

1

B

A

B

A

A

B

B

A

2

A

B

A

B

B

A

A

B

RBSL 1

RBSL 2

RBSL 3

RBSL 4

Perhitungan
2
Y
FK 
bk
b

k

JKT   Yij2  FK
i1 j1

Yi2
 FK
JKB  
i1 b
b

k

Y 2j

j1

k

JKK  

 FK

Y 2k
 FK
JKP  
k 1 r
JKG  JKT  JKB  JKK  JKP
r

• dengan:
b: banyak baris
k: banyak kolom

Tabel Anava
SV

db

JK

KT

Baris/ Periode

b–1

JKB

KTB

Kolom

k–1

JKK

KTK

Perlakuan

t–1

JKP

KTP

Galat

*

JKG

KTG

Total

bk – 1

JKT

* db galat: db total – db baris – db kolom – db perlakuan

F

KTP/KTG

Referensi
• Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian
Percobaan, Tarsito, Bandung.
• Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I,
Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB
Press, Bandung.
• Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of
Experiments 5th Ed, John Wiley & Sons, Inc., USA.