ALJABAR BOOLEAN.pdf (132Kb)

ALJABAR BOOLEAN

  Definisi:

  Misalkan terdapat

• Dua operator biner: + dan 
• Sebuah operator uner: ’.
• B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, , dan ’
• 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.

  Tupel (B, +, , ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c  B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

  1. Closure/tertutup: (i) a + b  B (ii) a  b  B

  2. Identitas: (i) a + 0 = a (ii) a  1 = a

  3. Komutatif: (i) a + b = b + a (ii) a  b = b . a

  4. Distributif: (i) a  (b + c) = (a  b) + (a  c) (ii) a + (b  c) = (a + b)  (a + c)

  5. Komplemen ¹ : (i) a + a’ = 1 (ii) a  a’ = 0

  Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:

  1. Elemen-elemen himpunan B,

  2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, 3. Memenuhi postulat Huntington.

• B = {0, 1}
• operator biner, + dan 
• operator uner, ’
• Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  Aljabar Boolean Dua-Nilai

  1

  Aljabar Boolean dua-nilai:

  a b a  b a b a + b a a’

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 Cek apakah memenuhi postulat Huntington: 1. Closure : jelas berlaku , karena hasil operasi + dan  juga bernilai 0 atau 1.

  2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa: (i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1 (ii) 1  0 = 0  1 = 0 3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.

  4. Distributif: (i) a  (b + c) = (a  b) + (a  c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:

  a b c b + c a  (b + c) a  b a  c (a  b) + (a  c)

  1

  1

  1

  (ii) Hukum distributif a + (b  c) = (a + b)  (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).

  5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa: (i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1

  (ii) a  a = 0, karena 0  0’= 0  1 = 0 dan 1  1’ = 1  0 = 0 Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan  operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.

  Ekspresi Boolean

  Misalkan (B, +, , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ,

   ’) adalah: (i) setiap elemen di dalam B, (ii) setiap peubah,

   (iii) jika e ^{1 dan e 2 adalah ekspresi Boolean, maka e 1 + e 2 , e 1 2 , e 1 ’ adalah ekspresi}

  e

  Boolean Contoh:

  1

  a b c a + b a  b a’ (b + c) a  b’ + a  b  c’ + b’, dan sebagainya

  Mengevaluasi Ekspresi Boolean

  Contoh: a’ (b + c)

   jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:

  0’ (1 + 0) = 1  1 = 1 Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya

   mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah. Contoh:

  a  (b + c) = (a . b) + (a  c) Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .

  Penyelesaian:

  a b a’ a’b a + a’b a + b

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika

   ada penekanan: (i) a(b + c) = ab + ac (ii)

  a + bc = (a + b) (a + c)

  (iii) a  0 , bukan a0

  Prinsip Dualitas

    operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti  dengan +

  Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan

• dengan  0 dengan 1 1 dengan 0 dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar.

  S* disebut sebagai dual dari S.

  Contoh.

  (i) (a  1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1  a’) = 1

  Hukum-hukum Aljabar Boolean

  9. Hukum distributif: (i) a + (b c) = (a + b) (a + c) (ii) a (b + c) = a b + a c

  = a + (ab + a’b) (Asosiatif) = a + (a + a’)b (Distributif) = a + 1 b (Komplemen) = a + b (Identitas)

  Penyelesaian: (i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)

  Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab

  (i) a + a’b = a+b (ii) a (a’+b) = ab

  (ii) 1’ = 0 12.

  11. Hukum 0/1 (i) 0’ = 1

  10. Hukum De Morgan: (i) (a + b)’ = a’b’ (ii) (ab)’ = a’ + b’

  8. Hukum asosiatif: (i) a + (b + c) = (a + b) + c (ii) a (b c) = (a b) c

  1. Hukum identitas: (i) a + 0 = a (ii) a  1 = a

  7. Hukum komutatif: (i) a + b = b + a (ii) ab = ba

  6. Hukum penyerapan/absorpsi: (i) a + ab = a (ii) a(a + b) = a

  5. Hukum involusi: (i) (a’)’ = a

  4. Hukum dominansi: (i) a  0 = 0 (ii) a + 1 = 1

  (ii) aa’ = 0

  a + a’ = 1

  3. Hukum komplemen: (i)

  2. Hukum idempoten: (i) a + a = a (ii) a  a = a

  (ii) adalah dual dari (i)

  Aljabar Boolean sebagai Lattice

  Suatu aljabar boolean adalah lattice complemented, yaitu lattice yang terbatas dan semua elemennya mempuyai komplemen.

  Fungsi Boolean _n Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari B ke B melalui

   ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai _n 

  f : B B _n

  yang dalam hal ini B adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

  Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.

   Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

   f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

  Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1  0  1 + 1’  0 + 0’ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

  Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:

  1. f(x) = x 2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’ 3. f(x, y) = x’ y’ 4. f(x, y) = (x + y)’ 5. f(x, y, z) = xyz’

  Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut

   literal.

  Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.

  Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.

  Penyelesaian:

  x y z f(x, y, z) = xy z’

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 Penyederhanaan Fungsi Boolean

  Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’

  disederhanakan menjadi

  f(x, y) = x’ + y’

  Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan cara:

  1. Secara aljabar

  2. Menggunakan Peta Karnaugh

1. Penyederhanaan Secara Aljabar

  Contoh:

  1. f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y)

  = 1  (x + y ) = x + y

  2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’

  3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’) = xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

2. Peta Karnaugh

  a. Peta Karnaugh dengan dua peubah

  y

  0 1

  m m _{2 3}

^{1 x 0 x’y’ x’y}

  1

  m m xy’ xy

  b. Peta dengan tiga peubah

  yz

  00

  01

  11

  10

  m m ^{1 m 3 m 2 x 0 x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’} m ^{4 m 5 m 7 m 6}

  1 xy’z’ xy’z xyz xyz’ Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

  x y z f(x, y, z)

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  yz

  00

  01

  11

  10

  x 0

  1

  1

  1

  1 b. Peta dengan empat peubah

  yz

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  yz

  1

  00

  01

  11

  10

  wx

  00

  1

  1

  01

  1

  1

  11

  1

  1

  1

  00

  1

  01

  11

  10

  m m ^{1 m 3 m 2 wx 00 w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’} m ^{4 m 5 m 7 m 6}

  01 w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’

  m ^{12 m 13 m 15 m 14}

  11 wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’

  m ⁸ m ⁹ m ¹¹ m ¹⁰

  10 wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’ Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.

  w x y z f(w, x, y, z)

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  10