Agustina Eunike, ST., MT., MBA

  Distribusi Peluang Kontinyu STATISTIK INDUSTRI 1 Agustina Eunike, ST., MT., MBA

  Distribusi Peluang Kontinyu

• Rata-rata dan Variansi
• – Rumus Umum:

  Distribusi Peluang Diskrit dan Kontinyu UNIFORM

  Distribusi Diskrit Uniform Distribusi Diskrit Uniform

• Contoh:
• – Suatu bacth produk terdiri dari nomor serial, dengan nomor urut pertama terdiri dari 0 sampai dengan 9. Jika salah satu produk diambil secara acak, maka X adalah munculnya nomor serial dengan angka pertama tersebut masing-masing nomor (R={0,1,2,...,9) memiliki peluang 0,1.

  1 = 10 = 0,1

  (9:0)

  = Distribution Random Variable Possible Distribution Function Mean

  2 <4,5

  2 X Values of X E(X)

  Fx(a) = P(X=a) 2 (9;0:1) ;1 _{Realization of :} = <8,25

  12 Uniform , , … , 1/

  1

  2 _{1 , 2 ,…,}

  2 Distribusi Kontinyu Uniform Distribusi Kontinyu Uniform

• Contoh:
• – Variabel acak kontinyu menotasikan pengukuran arus pada kawat tembaga dalam miliamper. Jika diketahui bahwa f(x)=0,05 untuk 0 ≤ x ≤ 20. Berapakah peluang pengukuran arus berada antara 5 dan 10 mA.

  10

• – 5 < < 10 = = 5 0,05 = 0,25

  5

• – Rata-rata dan Variansi distribusi uniform arus kawat tembaga: a=0, b=20

  (0+20)

• = =

  = 10

  2 (20−0)2

  2

  = = • = 33,33

  12

• = 5,77

  Distribusi Normal

• Gaussian distribution (Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)
• Bell-shaped curve
• Probability density function:

  1 1 − ( − )2 ,

  2 2

• – ; , =

  2

• – −∞ < < ∞
• – = 3,14159 …

  Distribusi Peluang Kontinyu

• – = 2,71828 …

  NORMAL Distribusi Normal Distribusi Normal

• Area dalam Kurva Normal

Distribusi Normal Distribusi Normal

• Area dalam Kurva Normal
• Standard Distribusi Normal:
• – Kurva normal yang telah di-standarisasi dan menggambarkan nilai standar deviasi dari nilai rata-rata.
• – = 0, = 1. (0
• – : = 0, = 1

  − =

  −

  1

  =

  1

  −

  2

  =

  2 Distribusi Normal Distribusi Normal

• Menggunakan Tabel Distribusi Normal Standar

  Distribusi Normal Distribusi Normal

• Contoh Soal • Contoh Soal
• – Suatu perusahaan generator menghitung berat salah satu komponennya. Berat komponen tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 35 gram, dan standard deviasi 9 gram.
_{2. Berapa peluang pengambilan acak satu komponen dengan berat paling 1. Hitung probabilitas bahwa satu komponen yang diambil secara acak akan ringan 50 gram? memiliki berat antara 35 dan 40 gram?}
• JAWAB: 1.

  ≤ ≤ :

• – = 40 ,

  − 40 − 35 = = = 0,56, ≤ 0,56 = 0,7123

  9

• – = 35 ,

  − 35 − 35 = = = 0, ≤ 0 = 0,5

  9

• – 35 ≤ ≤ 40 = 0 ≤ ≤ 0,56 = 0,7123 − 0,5 = 0,2123

  Distribusi Normal

  Distribusi Normal

• Menghitung nilai = − , = +
• Contoh:
• Latihan Soal:
• – Nilai ujian fisika di sebuah kelas terdistribusi secara normal dengan rata-rata 60 dan standar deviasi 10. Berapa persen siswa yang memperoleh nilai antara 60 dan 70?
• – Diketahui suatu distribusi normal dengan = 40 dan = 6. Carilah nilai , yang memiliki:
• Latihan Soal:
• Central Limit Theory • Menyelesaikan permasalahan binomial dengan distribusi normal
• – Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?
• Diaplikasikan pada masalah antrian dan masalah keandalan (reliabilitas).
• Time / space occuring until a specified number of
• Fungsi gamma:
• Properti fungsi gamma:
Distribusi Gamma

  a. 45% area dari sisi kiri

  b. 14% area dari sisi kanan Jawab: a.

  ≤ = 0.45, = −0,13 = 6 −0,13 + 40 = 39,22 Distribusi Normal

  Distribusi Normal

  GAMMA Distribusi Peluang Kontinyu

  Poisson events occur

  Distribusi Gamma

• Fungsi distribusi gamma:

  : ; :

• – : −
• – : /
• – λ: / (λ = 1/ )
• – : (lama waktu atau luasan area hingga kejadian berikutnya)

  Distribusi Gamma

• Rata-rata dan Variansi: dan adalah variabel acak yang
• Jika

  1

  2 independen, dan ~ ( , );

  1

  1 ~ ( , ), maka

  2

2 Distribusi Peluang Kontinyu

  ~ ( , ) + +

  1

  2

  1

  2

• Sehingga, jika ~ , , =

  EKSPONENSIAL 1, … , , maka ( + + ⋯ + )~ (

  1

  1 ⋯ + , )

  Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial

• Bentuk khusus dari distribusi peluang gamma ( = 1)
• Eksponensial menganut proses Poisson (λ: laju kedatan
• Time to arrival or time to first poisson event problems
• ~ λ :

  ∞

• Diaplikasikan pada permasalahan waktu antar

  ;λ ;λ kedatangan pada fasilitas jasa, life time / waktu ≥ = λ = kegagalan komponen, survival time, dan waktu respon

  1

  2

  2 = = 1/λ komputer

  λ ;

• – λ = 1/
• Karakter penting: memoryless property
• – Pada permasalahan life time (hingga terjadi break down / failure / kerusakan), misal life time dari lampu, TV, kulkas
• Kerusakan yang diakibatkan oleh pemakaian berkala (misal pemakaian mesin), tidak berlaku distirbusi eksponensial. Lebih tepat menggunakan distribusi GAMMA atau distribusi WEIBULL
Contoh: Gamma Contoh: Gamma Contoh: Gamma Contoh: Eksponensial

• Jumlah telpon masuk pada nomor darurat 119 pada suatu kota diket
• Dari Tabel:

  berdistribusi Poisson dengan rata-rata 10 telpon per jam. Jika saat ini dilakukan pengamatan, berapakah peluang telpon masuk terjadi paling cepat 5 menit dari sekarang?

• – = 10 = 10/60
• – = 1/λ = 6 menit per telpon

  ;λ

• – ≥ =

  1 ;( )(5) ;0,833

  6

• – ≥ 5 = = 2,71828 = 0,4347

  X = menit antar telp ke 119 Rangkuman

  Distributions with Possible Values of X Density Function Parameters

  2 ₂ Normal ( ) − 1

  , −∞ < < ∞

  1 2 2( − ) 2 ;λ

  Exponential ( λ) 0 <

  λ Gamma (

  1 , ) 0 <

  ;1 ; /

  Γ( ) Note:

  Distribusi Peluang Kontinyu

  ( ) =

  CHI-SQUARED Distribusi Chi-Squared Distribusi Chi-Squared

• Di suatu kota, pemakaian tenaga listrik harian dalam jutaan
• Distribusi gamma dengan α = ν/2 dan = 2

  kilowatt-jam, variabel acak berdistribusi gamma dengan = 6

  2

• ν: degrees of freedom (derajat kebebasan), positive integer dan = 12.

  a. Cari nilai dan b. Cari peluang suatu hari tertentu pemakaian harian tenaga listrik akan melebihi 12 juta kilowatt-jam

• Density Function:
• Jawab: 1 (ν/2);1 ; /2

  6 , > 0 a.

  ν/2 α = ν/2, ν = μ = 6, α = = 3, = 2

  2 2 Γ(ν/2)

  ; ν = ₁

  12 ¹ ₂ 0,

  b. 2 − P X > 12 = 1 − Γ 3 ₂₃

  6

  1 2 −

  P X > 12 = 1 −

  Γ 3

• Mean dan Variansi:

  P X > 12 = 1 − F 6; 3 = 1 − 0.9380 = 0.0620

  2 = ν dan = 2ν

  Distribusi Beta

• Pengembangan dari distribusi uniform
• Distribusi kontiyu yang fleksibel tetapi terbatas pada suatu range tertentu. Misal: proporsi radiasi matahari yang diserap oleh suatu material, waktu maksimal untuk menyelesaikan suatu proyek
• Fungsi Beta:

  1

  Γ( )Γ( )

  ;1 ;1

  , = (1 − ) = , , > 0 Γ( + )

  Dengan parameter: > 0, > 0

  Distribusi Peluang Kontinyu

• Density Function:

  1 ;1 ;1 (1 − ) , 0 < < 1

  ( , ) BETA

  ; ν = 0,

• – Catatan: distribusi uniform (0,1) adalah distribusi beta dengan parameter

  = 1, = 1

• = , distribusi beta akan berbentuk simetris

  Distribusi Beta Distribusi Beta

• Mean dan Variansi:

  2

  dan = =

  2

  : : : :1

• – Modus: − 1 =
• − 2
• – Distribusi uniform (0,1), mean dan variansi:

  1 1 (1)(1)

  1

  2

  dan = = = =

  2

  1:1 2 1:1 1:1:1

  12 Distribusi Beta Referensi

• Jika diketahui waktu maksimum penyelesaian suatu • Montgomery, D.C., Runger, G.C., Applied Statistic and _th proyek berdistribusi beta dengan Probability for Engineers, 5 ed, John Wiley & Sons, Inc., NJ, = 3, dan = 1.

  2011

  a. Berapakah peluang waktu penyelesaian melebihi 0.7?

  b. Berapa rata-rata dan variansi distribusi tersebut?

• Walpole, Ronald B., Myers, Raymond H., Myers, Sharon L., Ye, Keying, Probability & Statistics for Engineers and Scientist,
• Jawab:
_th 9 ed, Prentice Hall Int., New Jersey, 2012.

  1 Γ(α:β) α;1 β;1

  a.

  P X > 0.7 = x (1 − x)

  0.7 Γ(α)Γ(β)

• Weiers, R.M., 2011, Introduction to Business Statistics,

  1 Γ(4) Cengage Learning, OH, 2008.

  2 P X > 0.7 = (1 − x)

  Γ(3)Γ(1) x

  0.7

  24

  1

  3 P X > 0.7 =

  1

  6

  3

  0.7 = 4 ∗ 0.219 = 0.876 b. Rata − rata = 0.75; Variansi = 0.0375