Agustina Eunike, ST., MT., MBA

  STATISTIK INDUSTRI 1 _{Distribusi Peluang} Agustina Eunike, ST., MT., MBA

DISKRIT DAN KONTINYU

  Random Variable Distribusi Peluang

• Random variable / peubah a
• Distribusi frekuensi relatif yang secara teori
• – Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real dengan tiap seharusnya terjadi pada pengamatan suatu _{elemen pada ruang sampel}

  populasi

• – Random/Acak karena tidak diketahui pasti nilai yang akan _{dihasilkan pada percobaan yang dilakukan}
• Pemahaman dasar tentang terjadinya suatu
• – Notasi random variable: “huruf besar” (X, Y, A, B, ...) kejadian secara natural
• – Nilai random variable: “huruf kecil” (x, y, a, b, ...)
• Identifikasi peluang terjadinya suatu keja>Ruang sampel Dis
• Model yang menggambarkan peluang suatu
• – Bilangan bulat, berupa titik, ada gap antar titik sampel

  kejadian dan penggambaran kapan terjadinya

• – Variabel acak diskrit
• Ruang sampel Kontinyu – Membantu pengambilan keputusan secara efektif
• – Dapat berupa pecahan, semua poin pada interval dalam ruang
_{sampel<>– Persiapan untuk proses yang terkait dengan kejadian tersebut– Variabel acak kontinyu}

  Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit

• – Distribusi Klasik – Distribusi Kumulatif / Frekuensi relatif

  , −~ &lt; &lt; ~

• ( ) ≥ 0, _,
• = ≤ = _{≤= 1}
• = = ( ),
• 0 ≤ ( = ) ≤ 1
• Mutually Exclusive

  Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit

• Distribusi Peluang Diskrit Kumulatif
• – 1 = ≤ 1 = 0 + 1 = 0.25 + 0.5 = 0.75

  0, &lt; 0 0.25, 0 ≤ &lt; 1

• – ( )

  0.75, 1 ≤ &lt; 2 1, ≥ 2

  Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang

• Mean / Expected Value • Distribusi Peluang Kontinyu
• – = = ( )
• – Probability density function
• Variansi

  2

  2

  2

• – = [ − ] = ( − ) ( )

  Distribusi Binomial

• Percobaan berturut-turut dengan dua kemungkinan hasil:
• – Sukses vs Gagal – Yes vs No
• Mengacu pada Proses Bernoulli:
_{Distribusi Peluang Diskrit} – Percobaan dilakukan ber
• – Tiap percobaan hanya ada 2 kemungkinan hasil

  BINOMIAL

• – Percobaan bersifat independen
• – Peluang sukses selalu sama dari percobaan satu ke _{percobaan berikutnya}

Distribusi Binomial Distribusi Binomial

• =
• =
• =
• =
• &lt; ( ≤ ≤ )

  Distribusi Binomial Distribusi Binomial

• Dengan Tabel:

  Distribusi Binomial Distribusi Binomial

• Dengan Tabel:
• Rata-rata dan Variansi:

  _CATATAN: Distribusi Binomial

• Pada kondisi tertentu, distribusi binomial dapat _{distribusi normal diselesaikan dengan pendekatan distribusi poisson atau}
• Hasil perhitungan berdasarkan pendekatan distribusi _{menggunakan beberapa asumsi. Pada distribusi Karena pada prinsipnya setiap pendekatan harus diterima dengan bijaksana dan penuh kehati2an. Distribusi Peluang Diskrit binomial, asumsi yang digunakan adalah asumsi bahwa independen pada proses percobaan bernoulli, dan}

  MULTINOMIAL adalah konsisten Distribusi Multinominal Distribusi Multinominal

  = •

• =

  Distribusi Multinominal Distribusi Peluang Diskrit HYPERGEOMETRIC Distribusi Hypergeometric Distribusi Hypergeometric

• Notasi dalam percobaan hypergeometric:
• Percobaan berturut-turut dengan dua
• – variabel acak hypergeometric:

  kemungkinan hasil:

• jumlah sukses variabel X dalam percobaan hypergeometric
• – Sukses vs Gagal – Distribusi hypergeometric:distribusi peluang dari variabel
• – Yes vs No
hypergeometric<
• – x :jumlah sukses variabel X dalam percobaan n sampel
• Tidak menganut proses Bernoulli ⇛percobaan
• – n :ukuran sample acak (dilakukan tanpa pengembalian)

  tidak independen ⇛tanpa pengembalian

• – N :jumlah keseluruhan obyek

  (without replacement)

• – k :jumlah obyek sukses dari keseluruhan obyek
• Aplikasi: penerimaan sampel (acceptance – n - x :jumlah gagal dalam percobaan

  sampling), pengujian elektronik, jaminan mutu

• – N - k:jumlah gagal pada keseluruhan obyek
• – h :nilai dari distribusi hypergeometric

  Distribusi Hypergeometric Distribusi Hypergeometric Contoh: −

  − ; , , = , max 0, − − ≤ ≤ min , .

  Distribusi Hypergeometric Distribusi Hypergeometric

• Rata-rata dan Variansi: • Distribusi hypergeometric dapat diselesaikan dengan distribusi binomial, jika

  ≤0.05 , = =

  −

  2

• – Sehingga rata-rata dan variansinya dapat dihitung = . .

  −1 1− _{dengan cara:}

• – Contoh:

  = 40, = 5, = 3,

  Distribusi Binomial Negatif

• Percobaan binomial negatif
• – Mencari peluang sukses dalam percobaan
• Variabel acak binomial negatif
• – Jumlah percobaan yang diperlukan untuk _{mendapatkan Distribusi Peluang Diskrit negatif}

  sukses pada percobaan binomial

• Distribusi peluang binomial negatif

BINOMIAL NEGATIF

• – Peluang jumlah percobaan yang diperlukan untuk _{mendapatkan negatif}

  sukses pada percobaan binomial

  Distribusi Binomial Negatif Distribusi Binomial Negatif _Contoh:

• Notasi: _∗
:peluang sukses pada trial tertentu<
• – – x :jumlah percobaan
• – p :peluang sukses
• – q :peluang gagal
• – k :jumlah sukses yang terjadi

  Distribusi Binomial Negatif

• Rata-rata dan Variansi: =

  (1− ) Distribusi Peluang Diskrit

  2 =

2 GEOMETRIC

  Distribusi Geometric Distribusi Geometric Contoh:

• Kondisi khusus dari binomial negatif
• – = 1

  Distribusi Geometric

• Rata-rata dan Variansi:

  1 =

  2 (1− ) Distribusi Peluang Diskrit =

2 POISSON

  Distribusi Poisson Distribusi Poisson

• Percobaan Poisson:
• Karakteristik Proses Poisson:
• Percobaan yang variabel acak-nya adalah banyaknya
_{hasil selama selang waktu tertentu atau area tertentu} – Jumlah hasil yang terjadi pada selang waktu atau area adalah independen terhadap hasil yang<
• Selang waktu: menit, jam, hari, minggu, bulan, tahun, _{dll X: banyaknya hari sekolah libur karena banjir X: banyaknya penelepon 108 per jam, terpisah. (poisson process has no memory) terjadi pada selang waktu atau area lain yang}
_{X: banyaknya pertandingan bola ditunda pada musim hujan} – Peluang satu hasil terjadi dalam selang waktu yang singkat atau area yang kecil sebanding dengan<
• Area: panjang garis, luas daerah, isi benda, potongan _{material, dll X: banyaknya salah ketik per halaman X: banyaknya tikus sawah per hektar interval waktu atau area tersebut. tersebut independen terhadap hasil di luar panjang selang waktu atau ukuran area. Peluang}

  Distribusi Poisson

• Dengan Tabel ; λ = ; λ
• Rumus:
• – = λ
• – = ; λ
• – : "waktu", "jarak", "area", "volume“
• – λ: "rata − rata jumlah hasil per satuan unit “
• – = 2,71828 …
• Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu _{penghitung selama 1 milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6 partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?}
• Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu _{pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayaninya?}
• – X: banyaknya tanker yang tiba tiap hari
• – &gt; 15 = 1 − ≤ 15
• – &gt; 15 = 1 −
• – Dengan Tabel:
• – &gt; 15 = 1 − 0,9513
• – &gt; 15 = 0,0487
• Poisson dan Binomial
• Rata-rata dan Variansi: = λ
• – Percobaan Binomial dapat diselesaikan dengan _{Poisson jika:}
• → ∞
• ( → 0)
• ^→∞

Distribusi Poisson Distribusi Poisson

  ; λ = ^−λ

  λ !

  , = 0, 1, 2, …

  Distribusi Poisson

  =0 Distribusi Poisson

  Contoh:

  6; 4.1 = ^{−4 4.1 6} _6! = ^{2,71828−4.46} _{6 5 4 2 1} = ^0,018∗4096 ₇₂₀ = 0,104196

  6; 4 = ; 4 − ⁶ ₌₀ ; 4 ⁵ ₌₀ = 0.8893 − 0.7851 = 0.1042 Distribusi Poisson

  Contoh:

  ; 10 ¹⁵ ₌₀

  Distribusi Poisson

  2 = λ

  Distribusi Poisson

  , ( ; ) ^→∞ ( ; )

• Poisson dan Binomial • Poisson dan Binomial _{Negative 1 − . Binomial − Distribution Random Variable Possible Distribution Function Mean}

  Distribusi Peluang Diskrit _{No of trials until the kth −1 − independet trials) (draw w/ replacement, with p = P (success) success with p = P No. of success in n trials X Values of X Fx(a) = P(X=a) E(X) , + 1, … / 0, 1, … . , − 1 − 1 1 − Distribusi Peluang Diskrit Hypergeometric − ) Geometric} Binomial _{with p = P (success) = No. of success in n trials (success) success with p = P No of trials until the 1st −1 (success) ... min , ( max 0, − − 1 , 2, 3, … (1 − ) 1/} RANGKUMAN _{Poisson interval length t ! arrivale rate No. of arrivals with −λ trials) replacement, dependet (draw w/o k/N λ during an 0, 1, 2,... λ − λ}

  Distribusi Peluang Diskrit

• The number of defectives found when inspecting 10 items _{( produced by a production line with defective rate 5 %.}

  = 10, = 5% )

• The number of flips required to observe the 4thhead _{( flipping a biased coin with P(head)=1/3.}

  = 4, = 1/3 )

• The number of red balls observed when drawing without _{balls. ( replacement 10 balls from a bag with 5 red and 20 black}

  = 25, = 5, = 10 )

• The number of bubbles observed when inspecting a piece _{( 5 bubbles on a piece of glass with area 10000 . of glass with area 100 where on the average there exist}
_{2 2} λ = 5/10000, = 100 )