2 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya

Aljabar Linear
2 SKS

Silabus :
Bab I
Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

2

Bab 5 RUANG VEKTOR

Sub Pokok Bahasan
◦ Ruang Vektor Umum
◦ Subruang
◦ Basis dan Dimensi
◦ Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor
Beberapa metode optimasi
Sistem Kontrol
Operation Research
dan lain-lain

Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

3

Ruang Vektor Umum
Misalkan u , v , w  V
dan k, l  Riil

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan
Untuk setiap u , v  V maka u  v  V
2. u  v  v  u
3. u  v  w   u  v   w
4. Terdapat 0  V
sehingga untuk setiap u  V
berlaku u  0  0  u  u
5. Untuk setiap u  V

terdapat  u 

sehingga

u   u    u   u  0
MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

4

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap u  V

dan k  Riil maka k u  V

7. k u  v   ku  kv
8. k  l  u  ku  lu
9. k l u   l k u   kl  u
10.1. u  u

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

5

Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan

skalar).
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x n
dengan operasi standar (penjumlahan matriks
dan perkalian matriks dengan skalar),
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

6

Ruang Euclides orde n
Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:
 Penjumlahan






u  v  u1  v1 , u 2  v 2 , ..., u n  v n 
Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

ku  ku1 , ku 2 ,..., kun 

Perkalian Titik (Euclidean inner product)
u  v  u1 v1  u 2 v 2  ...  u n v n
Panjang vektor didefinisikan oleh :
u  u  u  2  u1  u 2  ...  u n
2

1



2

2

Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
d u , v   u  v



u1  v1 2  u 2  v 2 2  ...  u n  v n 2

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

7

Contoh :
Diketahui u  1, 1, 2, 3 dan v  2 , 2 , 1, 1
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua
vektor tersebut

Jawab:
Panjang vektor :
u  u  u 

1

2

 12  12  2 2  32  15

v  2 2  2 2  12  12  10

Jarak kedua vektor adalah:
d u , v   u  v




1  22  1  22  2  12  3  12

 12   12  12  2 2

 7
MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

8

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah
ruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) V
jika W juga merupakan ruang vektor
yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :
1. W  { }
u v W
2. W  uV, v W
3. Jika

maka
u W
k uW
4. Jika
dan k  Riil maka

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

9

Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua
matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya
adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor
matriks 2x2
Jawab :
0 0
  W maka W   

1. O  
0 0
2. Jelas bahwa W  M2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B
Tulis
0
 0 a1  dan

A  
B  
 a2 0 
 b2

W
b1 

0

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

10

Perhatikan bahwa :
 0 a1   0 b1 
  

A  B  
 a2 0   b2 0 
a1  b1 
 0

 
0 
 a2  b2
Ini menunjukan bahwa A  B  W

4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil
maka
 0 ka1 
  W
kA  
 ka2 0 
Ini menunjukan bahwa kA W
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

11

Tunjukan bahwa matriks A dimana setiap
unsur diagonalnya adalah nol merupakan
subruang dari ruang vektor matriks
2x2.dimana A adalah :
 0 2

A  
7 0

Contoh :
Periksa apakah himpunan D yang berisi semua
matriks orde 2x2 yang determinannya nol
merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :
Ambil sembarang matriks A, B  W
Pilih a ≠ b :

 a b  , jelas bahwa det (A) = 0

A  
 0 0

 0 0  , jelas bahwa det (A) = 0

B  
b a
MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

13

Perhatikan bahwa :

A B

a b

= 
b a

Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
Jadi D bukan merupakan subruang
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

14

Sebuah vektor u
dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor

v1, v2 , … , vn

jika vektor – vektor tersebut

dapat dinyatakan dalam bentuk :

u  k1v1  k 2v2  ...  k n vn
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

15

Contoh
Misal

u = (2, 4, 0), dan v = (1, –1, 3)

adalah vektor-vektor di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
a.

a = (4, 2, 6)

b. b = (1, 5, 6)
c.

c

= (0, 0, 0)

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

16

Jawab :

a. Tulis k1u  k 2 v  a
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
 2 


k1  4  
 0 



 4 
 1 




k2  -1    2 
 6 
 3 





Ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 


4
1


 0 3 



 k1 
 4 





2




 k 
 6 


 2

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

17

dengan OBE, diperoleh:

 1 12 2   1 12

 
 1 -3 -6 ~ 0 1
 0 3 6   0 0

 

2

2
0 

Dengan demikian,

a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v
atau

 

a  u  2v

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

18

b. Tulis :

 
k1u  k 2 v  b
 2 


k1  4   k 2
 0 



1 
 1 
 


-1    5 
 3
 6 
 



ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 
 1 

  k1  

   5 
 4 - 1  
 0 3   k2   6 





MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

19

dengan OBE dapat kita peroleh :
2 1

 4 -1
 0 3


1   1 12
 
5  ~ 0 -3
6   0 3

0  1
 
3 ~ 0
6   0

1

2

1
0

1



2
3 
2

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebut adalah tidak konsisten
(tidak mempunyaisolusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

20

c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0,
maka dapat ditulis


 
k1u  k 2 v  c

artinya vektor nol merupakan kombinasi linear
dari vektor apapun.

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

21

Definisi membangun dan bebas linear
Himpunan vektor

S  v1 , v 2 , ... , v n 

dikatakan membangun suatu ruang vektor V

jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.

Contoh :
Tentukan apakah

v1 = (1, 1, 2),
v2 = (1, 0, 1), dan

v3 = (2, 1, 3)

membangun V???

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

22

Jawab :
Ambil sembarang vektor di R2
misalkan
.

Tulis :
.

 u1 
 
u  u2 
u 
 3

u  k1 v1  k 2 v 2  k 3 v3

Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
1 1 2  k1 
 u1 
1 0 1   k    u 
 2

  2
u 
2 1 3  k3 
 3

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

23

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :

Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang
(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian vektor – vektor tersebut
tidak membangun R3
MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

24

Misalkan S  u1 , u 2 ,..., u n 

adalah himpunan vektor diruang vektor V

S dikatakan bebas linear (linearly independent)
JIKA SPL homogen :

k1u1  k 2 u1  ...  k n u n  0
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
0
k1 , 0 k 2 ,...,

kn  0

Jika solusinya tidak tunggal

maka S kita namakan himpunan tak bebas linear

(Bergantung linear / linearly dependent)
MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

25

Contoh :

Diketahui u   1, 3, 2 dan a  1, 1,  1
Apakah saling bebas linear di R3

Jawab :
Tulis


 
k1 u  k 2 a  0

atau
 -1 1 

  k1 
1    
 3
 2 1   k2 



0
 
0
0
 

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

26

dengan OBE dapat diperoleh :
 -1 1 0 
1



1 0  ~ 0
 3
 2 1 0 
0




 1 0
1 0 0



4 0 ~  0 1 0
 0 0 0
1 0 



dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :

k1 = 0, dan k2 = 0.

Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

27

Soal tugas 2:
Misalkan

,  1
 
a  3 
 2
 

 2 
1
 
 
b   1  c    6
  1
  4
 
 

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Jawab :
Tulis :
,

atau

0  k1 a  k 2 b  k 3 c

2   k1 
1 1
 

 3 1  6  k 2 =
 2  1  4  k3
 


0
 
0
0
 

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

28

dengan OBE diperoleh :
1
1  1  2



0  ~ 0
0 4
0 1
0
0 



 1  2

1
0 
0
0 

Ini menunjukan bahwa

k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak
Jadi

a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

29

Basis dan Dimensi
Jika V adalah sembarang ruang vektor
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,
maka S dinamakan basis bagi V
Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear

MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

30

Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

M 


3 6 
3  6,



 8   1 0 
 0  1  0
 1 0 ,  12  4,  1 2 

 
 
 

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2

Jawab :

Tulis kombinasi linear :

atau

 0  8
 1 0 a b
 0 1
3 6 
 k4 

 k3 
 k2 
k1 










c
d
3
6
1
0
12
4
1
2



 





3k1  k 4


 3k1  k 2  12k 3  k 4

6k1  k 2  8k 3

 a b 
  

 6 k1  4k 3  2k 4   c d 
MA-1223 Aljabar Linear

24/12/2014 12:05

31