RANCANGAN BLOK RANDOM TAK LENGKAP SEIMBANG
RANCANGAN BLOK RANDOM TAK LENGKAP SEIMBANG
1. Kurnia Dwi Saputri (M0105011)
2. Novandry Widyastuti (M0105013)
3. Kurnia Lutfi Astuti (M0105046)
4. Laila Kurnia (M0106014)
5. Siti Mutmainah (M0106017)
6. Ariadne Monasari (M0106030)
7. Mirnasari (M0106051)
8. Nugroho Arif S. (M0106053)
9. Yulinda Ariesta (M0106069)
10. Herman Setiawan (M0106074)
1. PENDAHULUAN
Percobaan merupakan serangkaian kegiatan di mana setiap tahap dalam rangkaian benar-benar terdefinisikan, dilakukan untuk menemukan jawaban tentang pemasalahan yang diteliti melalui suatu pengujian hipotesis. Dari hasil pengujian tersebut nantinya dapat digunakan untuk menarik suatu kesimpulan dari permasalahan yang diteliti.
Pada suatu percobaan tertentu yang menggunakan rancangan blok random, semua kombinasi perlakuan mungkin tidak dapat diformulasikan pada setiap blok. Dengan kata lain, ukuran blok cukup kecil sehingga ada perlakuan yang tidak dapat muncul dalam blok. Pada keadaan seperti itu, maka digunakan Rancangan Blok Random Tak Lengkap Seimbang (RBRTLS). Dalam makalah ini akan dijelaskan tentang RBRTLS serta contoh penerapan kasusnya.
2. RANCANGAN BLOK RANDOM TAK LENGKAP SEIMBANG
(RBRTLS)
Jika setiap perlakuan sama pentingnya, maka pemilihan perlakuan dalam masing-masing blok harus seimbang, yaitu pemilihan perlakuan dalam masing-masing blok harus sedemikian sehingga setiap 2 perlakuan akan muncul/tampak bersama-sama dalam jumlah yang sama dalam seluruh eksperimen.
Misalkan ada a buah perlakuan dan dapat dilaksanakan k (k<a) buah
a
perlakuan tiap blok, maka RBRTLS dapat dilaksanakan dengan buah blok,
k masing-masing blok dengan kombinasi perlakuan yang berbeda.
Contoh: RBRTLS untuk membandingkan 4 perlakuan dalam 4 blok-blok yang masing- masing blok berukuran 3.
Perlakuan Blok
1
2
3
4
X x 2. X x x -
- 1. x
X x 4. x - x x
- 3. x
2.1 ANALISIS STATISTIK
- = Keterangan : i, j mempunyai nilai sebanyak
( ) 2
) ( =
RKS RKP diperbaiki F
F F α
> N b a a
( ) 1 ; − 1 ; + − −
Ho ditolak jika
untuk paling sedikit sebuah i yang memiliki pengaruh
H τ
: 1 ≠ i
H τ τ τ
a. Analisis Statistik Pengaruh Perlakuan
β
, ~ σ ε NID ij ; = 0 i τ ; = 0 j
Asumsi :
τ = pengaruh dari perlakuan ke-i j β = pengaruh dari blok ke-j
= observasi ke-i dalam blok ke-j µ = rata-rata keseluruhan i
ij
⋅ = replikasi perlakuan Y
N r a
Y ε β τ µ
λ Model statistik RBRTLS : ij j i ij
a k r
− =
1 −
1
( ) ( )
⋅ = ⋅ = total observasi. Jumlah dua perlakuan akan muncul atau tampak bersama-sama dalam seluruh eksperimen yaitu
Pada umumnya, kita asumsikan bahwa ada a perlakuan dan b blok, lalu diasumsikan bahwa tiap blok terdapat k perlakuan, dimana tiap perlakuan terjadi r kali perulangan (tidak ada perlakuan yang muncul dua kali dalam tiap blok) dan terdapat b k r a N
2.1.1 Langkah-langkah Analisis Statistik
- Uji Hipotesis ... : 2 1 = = = = O a<
- Menentukan yang digunakan
- Daerah kritis
- Statistik Uji
- Kesimpulan
- Uji Hipotesis
H : β β ... β O 1 = = = = 2 a H : β ≠ untuk paling sedikit sebuah j yang memiliki pengaruh 1 j
- Menentukan yang digunakan
- Daerah kritis
Ho ditolak jika F > F − − −
(
+
α ; b 1 ; N a b 1 )- Statistik Uji ( )
RKB diperbaiki F = RKS
- Kesimpulan
2.1.2 Menghitung Jumlah Kuadrat
a. Pengaruh Perlakuan
- Jumlah Kuadrat Total (JKT)
JKT = JKP(diperbaiki) + JKB + JKS 2 .. 2 Y
JKT = Y − ij ; db = N – 1 i j N
- Jumlah Kuadrat Blok (JKB) b 2 2 Y . j Y ..
- Jumlah Kuadrat Perlakuan Diperbaiki (JKP diperbaiki ) a 2
- Jumlah Kuadrat Sesatan (JKS)
- Jumlah Kuadrat Total (JKT)
- Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) a 2 2 Y Y .. i .
- Jumlah Kuadrat Blok Diperbaiki (JKB ) b 2 diperbaiki
- Jumlah Kuadrat Sesatan (JKS)
- ˆ τ ˆ n β y i i ij i i .
- 45
- -2 1 -1 N o rm a l S c o re Residual Normal Probability Plot of the Residuals (response is RESPON) 48 47 46 45 44 43 42 41 40 R 5 -5 Fitted Value e si d u a l Residuals Versus the Fitted Values (response is RESPON)
- 5 2 4 6 Observation Order 8 10 12 14 16
- Hipotesis
- Digunakan = 0,05
- Daerah kritis
- Statistik Uji
- Kesimpulan Karena F < F = 0,32 < 5,41 maka H tidak ditolak, yang berarti
- − + − = = =
- Uji Hipotesis
- Digunakan = 0,05
- Daerah kritis '
- Statistik Uji ' RKB ( diperbaiki ) F = = ,
- Kesimpulan Karena F’ < F (0,05;3;5) = 0,35 < 5,41 maka H o tidak ditolak, yang berarti bahwa konsentrasi GA3 yang diberikan pada tanaman tidak mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga.
; db = b - 1
JKB = − j = k N 1
k Q i = 1 i JKP ( diperbaiki ) =
; db = a - 1 λ . a b a
1 Dimana Q = Y − n Y ; i = 1, 2, ..., a ; Q i i . ij . j i =
k j = 1 i = 1 n = ij 1 , bila perlakuan ke-i muncul pada blok ke-j n ij = 0, bila perlakuan tidak muncul
Keterangan k = ukuran blok , Q i = jumlah perlakuan ke-i yang diperbaiki Tujuan JKP(diperbaiki) untuk memisahkan efek perlakuan dan blok. Ini perlu karena tiap perlakuan diwakili dalam himpunan yang berbeda dari r blok. Sedangkan perlakuan total yang tidak diperbaiki Y , Y ,..., Y dipengaruhi
( ) 1 , 2 . a .
oleh perlakuan dan perbedaan antar blok.
JKS = JKT - JKP(diperbaiki) - JKB ; db = N - a - b + 1
Tabel Anava
Sumber JK db RK F o variasi (Jumlah Kuadrat) (derajat (Rataan 2 kebebasan) Kuadrat)
Perlakuan A - 1 JKP k Q diperbaiki i RKP ( diperbaiki )
(diperbaiki) F = o RKS a −
1
a
λ 2 2 Blok B - 1
JKB Y . j Y ..
−
b
1 −
k N Sesatan JKS = JKT - N - a - b + 1
JKS JKP(diperbaiki) - JKB 2 N − a − + b
1 Total N - 1 2 Y ..
Y − ij N
b. Pengaruh Blok
JKT = JKP+ JKB(diperbaiki) + JKS 2 Y .. 2 JKT = Y − ij ; db = N – 1 i j N
; db = a - 1
JKP = − i = 1 r N
r Q j = 1 j JKB ( diperbaiki )
= ; db = b - 1 λ . b
JKS Total
..
a - 1
1 −
a JKP Sesatan JKS = JKT -
JKB(diperbaiki) - JKP N – a - b + 1
− 1 + − b a N
−
− a i i
N Y Y ij 2 2 ..
N - 1
Sehingga dapat diuji dengan uji Range Berganda Duncan, yaitu membandingkan semua pasangan rata-rata perlakuan yang diperbaiki yang diestimasi oleh i τˆ (untuk pengaruh perlakuan). Langkah-langkah analisisnya : (1) Pasangan rata-rata perlakuan yang diperbaiki (diestimasi oleh i
τˆ ) diurutkan dari kecil ke besar.
a kQ i i .
ˆ λ
τ =
N Y r Y 1 2 2 .
b JKB diperbaiki RKS RKB diperbaiki F o ) ( = Perlakuan =
Dimana = − = a i i ij j j
n bila perlakuan ke-i muncul pada blok ke-j n ij = 0, bila perlakuan tidak muncul
Y n r Y Q 1 . .
1 '
; i = 1, 2, ..., a ; = 1 = b j j
Q
,
1 = ij
Keterangan r = ukuran perlakuan Q j = jumlah blok ke-j yang diperbaiki
1 −
JKS = JKT - JKB(diperbaiki) - JKP ; db = N - a - b + 1
Tabel Anava
Sumber variasi JK
(Jumlah Kuadrat) db (derajat kebebasan)
RK (Rataan
Kuadrat) F o
Blok (diperbaiki) b Q r b j j . 1 2 λ = b - 1
2.2 ANALISIS LANJUTAN Jika H ditolak, maka paling tidak ada satu perlakuan yang berbeda.
(2) Menghitung standar eror perlakuan yang diperbaiki
k . RKS S =
. λ a
(3) Mencari nilai r (α , p , f) pada tabel VII p = 2, 3, ..., a (4) Menghitung nilai R p = r (α ; p ; f) . S (5) Membandingkan selisih rata-rata perlakuan dengan R p (6) H ditolak jika selisih rata-rata perlakuan yang diperbaiki > R p
τ τ R − > ; i ≠ j
( i j p )
(7) Kesimpulan jika H ditolak, berarti kedua perlakuan tersebut mempunyai rata-rata yang berbeda.
3. ESTIMASI KUADRAT TERKECIL DARI PARAMETER
Anggap estimasi pengaruh perlakuan untuk model Blok Random Tak Lengkap Seimbang. Persamaan kuadrat terkecil normal adalah b a
ˆ ˆ ˆ
µ = N µ r τ k β = y i = 1 j = i i .. + + 1 b i = 1,2, … , a ˆ j = 1,2, … , b
τ r µ r
= + = a j = 1 ˆ
ˆ ˆ i ij i i . i i = 1 + β = k µ n τ k = y β + ˆ
ˆ ˆ = = didapatkan µ = y .. . Selanjutnya digunakan persamaan { }
τ β i i
β i
τ }, didapatkan untuk mengeliminasi pengaruh blok dari persamaan { b a b i
rk τ ˆ r τ ˆ n n τ ˆ ky n y i i ij pj p i . ij . i − − = − j = 1 p = p i ≠ 1 j = 1 ruas kanan adalah kQ dimana Q adalah perlakuan total ke-i diperbaiki.. b i i 2 Sekarang selama n n = λ jika p ≠ dan i n p = np (karena np = atau 1) j i = ij pi i i i
Dapat ditulis kembali persamaan a
r ( k
1 ) τ ˆ x τ ˆ kQ − − = i = 1,2, …, a i p i p ≠ i p = 1
a a
τ ˆ τ ˆ τ ˆ
Catatan bahwa = menyatakan secara tidak langsung bahwa = − i = 1 i p ≠ i p = 1 i i dan r(k-1)= λ (a-1) untuk mendapatkan λ ˆ a τ = kQ i = 1,2, … ,a i i oleh karena itu estimasi kuadrat terkecil dari RBRTLS adalah
kQ i
τ = ˆ i i = 1,2, … ,a λ a
5. CONTOH KASUS
Data dan penelitian ini merupakan data dan penelitian yang diperoleh atau bersumber dari skripsi salah satu mahasiswa pertanian UNS. Seorang peneliti meneliti pengaruh lama vernalisasi pada suatu tanaman. Peneliti memperkirakan bahwa perbedaan konsentrasi Asam
Gibberrelat (GA 3 ) yang diberikan pada tanaman tersebut mungkin mempunyai
pengaruh. Oleh karena itu peneliti memutuskan untuk menggunakan konsentrasi GA
3 sebagai blok percobaan. Tetapi karena keterbatasan GA 3 ,
tidak semua perlakuan dapat dicobakan. Sehingga peneliti menggunakan rancangan blok random tak lengkap seimbang. Dari percobaan diperoleh data umur tanaman mulai berbunga (hari).
Data yang diperoleh sebagai berikut Lama Konsentrasi GA3 (ppm)
Vernalisasi 500 1000 1500 (hari)
47
45
14
33 45 - 49 28 -
46
46
42
42
41
47 46 -
Penyelesaian :
1. Dilakukan uji asumsi Asumsi Kenormalan
Asumsi kenormalan dipenuhi apabila Normal probability plot of residuals membentuk atau mendekati garis lurus.
Dari plot dapat dilihat bahwa plot membentuk atau mendekati garis lurus sehingga asumsi kenormalan dipenuhi.
Asumsi Homogenitas variansi
1. Asumsi homogenitas variansi dipenuhi jika Residual Versus the Fitted Values tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak.
Dari plot di atas dapat dilihat bahwa plot tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak, sehingga asumsi homogenitas dipenuhi. 5 -5 2
2. Uji Bartlett 95% Confidence Intervals for Sigmas Factor Levels Test for Equal Variances for data 1 Bartlett's Test 2 Test Statistic: 6.210 P-Value : 0.102 3 4 Test Statistic: 1.011 P-Value : 0.437 Levene's Test
50 100 Test for Equal Variances Response data Factors ver ConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels 0.51256 1.15470 14.583 3 1 3.69612 8.32666 105.160 3 2 1.02512 2.30940 29.166 3 3 1.42690 3.21455 40.598 3 4 Bartlett's Test (normal distribution) Test Statistic: 6.210 P-Value : 0.102 Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 1.011 P-Value : 0.437 Test for Equal Variances: data vs ver MTB > %Vartest 'data' 'ga3'; SUBC> Confidence 95.0.
Executing from file: C:\Program Files\MTBWIN\MACROS\Vartest.MAC
Macro is running ... please waitTest for Equal Variances Response data Factors ga3 ConfLvl 95.0000 Bonferroni confidence intervals for standard deviations Lower Sigma Upper N Factor Levels 1.17442 2.64575 33.414 3 1 3.58791 8.08290 102.081 3 2 0.25628 0.57735 7.292 3 3 1.55889 3.51188 44.353 3 4 Bartlett's Test (normal distribution) Test Statistic: 7.757 P-Value : 0.051 Levene's Test (any continuous distribution) Test Statistic: 0.531 P-Value : 0.674 Test for Equal Variances: data vs ga3
Oleh karena P-Value < Test Statistic maka semua perlakuan mempunyai variansi yang sama.
Asumsi independensi Asumsi independensi dipenuhi jika Residual versus the order of the
data tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak Residuals Versus the Order of the Data (response is RESPON) R e s id u a l
5
Dari plot di atas dapat dilihat bahwa plot tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak, sehingga asumsi independensi dipenuhi. Kesimpulan : Karena ketiga asumsi dipenuhi maka tidak terdapat ketidakcocokan model dengan data.
JKB =
N Y Y JKT i j ij
67 ,
20 23606 23585 33 ,
12 ) 532 (
) 136 137 127 132 (
3 1 .. . 2 2 2 2 2 1 2 2
= − = − + + + = − = = b j j
N Y k Y
− = b j j ij i i
12 ) 532 (
Y n k Y Q 1 . .
1 33 , . 136 5 )] ) 1 ( 137 . ( ) 127 . ) 1 ( 132 . 1 [(
3
1 137 1
= + + + − =
Q
33 , . 136 6 )] ) 1 ( 137 . ) 1 ( 127 . ) 1 ( 132 . [(
3
1 127 2
23776 .. 2 2 2 = − = − =
λ (i) Analisis Statistik Pengaruh Perlakuan (Lama vernalisasi) 190 67 ,
3. Dilakukan uji Hipotesis Konsentrasi GA3 (ppm) Lama Vernalisasi
47 46 - 134 Y.j 132 127 137 136 532 a = 4 ; b = 4 ; k = 3 ; r =3 ; N = 12
(hari) 500 1000 1500 Yi.
45 47 - 45 137 14 -
33
45 49 127
28 46 -
46 42 134
42
41
( ) ( )
a k r
2 )
1 4 ( )
1 3 (
3
1
1 =
− −
= −
− =
− = + + + − = Q
1 Q 134 [( 1 . 132 ) ( . 127 ) ( 1 . 137 ) ( 1 . 136 )]
1 3 = + − + + = −
3
1 Q = 134 − + + + [( 4 1 . 132 ) ( 1 . 127 ) ( 1 . 137 ) ( . 136 )] =
2 4
3 5 , 33 ( 6 , 33 ) ( 1 )
= 2 i 1 i a 2 + + Q = + − − =
k Q i 2 2 2 2 i = 1 [ ] 3 ( 5 , 33 ) ( − 6 , 33 ) ( − 1 ) ( + + + 2 ) 3 ( 73 , 4778 ) JKP ( diperbaiki )
27 ,
55 = = = =
λ a 2 .
4
8 JKS = JKT - JKP(diperbaiki) – JKB = 190,67 – 27,55 – 20,67 = 142,45
Tabel Anava Sumber variasi db JK RK F
Lama vernalisasi 3 27,55 9,183 (diperbaiki)
Konsentrasi GA3
3 20,67 F = 0,32
Sesatan
5 142,45 28,49 Total 190,67
11
H : τ = τ = τ = τ = (Lama vernalisasi tidak mempengaruhi umur O 1 2 3 4
tanaman mulai berbunga)
H : τ ≠ (paling tidak ada satu perlakuan lama vernalisasi yang 1 i
mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga)
F
5 ,
41 Ho ditolak jika > F =
( , 05 ; 3 ; 5 )
RKP ( diperbaiki ) F ,
32 = =
RKS
(0,05;3;5) o
= 190,67 – 18 – 30.28 = 142,39
3 4 1 = + + − + − = = j j
3
1 137 ' 3
= + + + − = Q 33 .
. 134 3 )] ( ) 134 . ) 1 ( 127 . ) 1 ( 137 . 1 [(
3
1 136 ' 4
= + + + − = Q 33 .
3 34 . 5 ) 67 . 5 (
Q [ ] 25 .
Q 34 .
30
8 ) 75 . 80 (
3 4 .
2 ) 33 . ) 3 ( 34 . ) 5 ( 67 . ) 5 ( 3 (
3 ) ( 2 2 2 2 1 2
= =
b Q r JKB diperbaiki b j j
λ JKS = JKT - JKP– JKB(diperbaiki)
. 134 5 )] ) 1 ( 134 . ) 1 ( 127 . ) 1 ( 137 . [(
− = + + + − =
bahwa lama vernalisasi tidak mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga. Karena dari hasil uji hipotesis diperoleh bahwa H tidak ditolak, maka tidak perlu dilakukan analisis lanjut.
= − = − + + + = − = = a i i
(ii) Analisis Statistik Pengaruh Blok (konsentrasi GA3) 190 67 ,
12 ) 532 (
23776 .. 2 2 2 = − = − =
N Y Y JKT i j ij
18 23585 33 , 23603 33 ,
12 ) 532 (
) 134 134 127 137 (
3 1 .. 2 2 2 2 2 1 2 2 .
N Y r Y
1 127 ' 2
JKP =
− = a i i ij j j
Y n r Y Q ' 1 . .
1 . 134 3 )] ) 1 ( 134 . ) 1 ( 127 . ( ) 137 . 1 [(
3
1 132 ' 1
− = + + + − = Q 67 .
. 134 5 )] ) 1 ( 134 . ( ) 127 . ) 1 ( 137 . 1 [(
3
3
18 Konsentrasi GA3
3
30.28
10.05 (diperbaiki)
F = 0.35
Sesatan
5 142,39 28.478 Total 190,67
11
H : β = β = ... = β = (konsentrasi GA3 tidak mempengaruhi umur O 1 2 a
tanaman mulai berbunga)
H : β ≠ (paling tidak ada satu blok konsentrasi GA3 yang 1 j
mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga)
F > F =
5 ,
41 Ho ditolak jika
( , 05 ; 3 ; 5 )
35 RKS
Karena dari hasil uji hipotesis diperoleh bahwa H tidak ditolak, maka tidak perlu dilakukan analisis lanjut.
Hasil uji yang diperoleh dengan Minitab 13 adalah sebagai berikut
General Linear Model: RESPON versus VERNALISASI, GA3 Factor Type Levels Values
VERNALIS fixed 4 1 2 3 4 GA3 fixed 4 1 2 3 4 Analysis of Variance for RESPON, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
VERNALIS 3 18.00 27.58 9.19 0.32 0.810 GA3 3 30.25 30.25 10.08 0.35 0.789 Error 5 142.42 142.42 28.48 Total 11 190.67
Kesimpulan :
1. Analisis statistik dengan pengaruh perlakuan diperoleh nilai p = 0,810 > = 0,05 maka H tidak ditolak yang berarti bahwa lama vernalisasi tidak mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga.
2. Analisis statistik dengan pengaruh blok diperoleh nilai p = 0,789 > = 0,05 maka H tidak ditolak yang berarti bahwa konsentrasi GA3 yang diberikan pada tanaman tidak mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga.
6. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Model statistik Rancangan Blok tak Lengkap Seimbang adalah ij i j ij = + + + Y µ τ β ε Keterangan : i, j mempunyai nilai sebanyak N = a ⋅ r replikasi perlakuan Y ij = observasi ke-i dalam blok ke-j µ = rata-rata keseluruhan
τ i = pengaruh dari perlakuan ke-i β = pengaruh dari blok ke-j j 2
ε ~ NID , σ τ β Asumsi : ; = 0 ; = 0 ij ( ) i j 2. Jika H ditolak maka, paling tidak ada satu perlakuan yang berbeda.
Sehingga dapat dilakukan uji Range Berganda Duncan, yaitu membandingkan semua pasangan rata-rata perlakuan yang diperbaiki yang diestimasi oleh τˆ (untuk pengaruh perlakuan). i
7. DAFTAR PUSTAKA
Montgomery, D. C. (1991). Design and Analysis of Experiments . John Wiley & Sons, Inc. New York.