Pembuktian Teorema Prapeta Gabungan Dua

TUGAS III
PENGANTAR ANALISIS REAL
tentang:

Pembuktian Teorema Prapeta Gabungan Dua Buah Himpunan,
Jenis-jenis Fungsi dan Pembatasan Fungsi

oleh:

ANNISA PRIHARTINI
412.291

Dosen Pembimbing:

Andi Susanto, S.Si, M.Sc

Jurusan Pendidikan Matematika B Fakultas Tarbiyah dan Keguruan
Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Imam Bonjol Padang
1435H/2014M

Daftar Isi

Daftar Isi

i

A. PEMBUKTIAN TEOREMA

1

B. JENIS-JENIS FUNGSI

2

1. Fungsi Injektif (Satu-satu)

2

2. Fungsi Surjektif (Pada)

3

3. Fungsi Bijektif

4

4. Invers Fungsi

5

5. Fungsi Komposisi

6

C. RESTRICTIONS OF FUNCTIONS (PEMBATASAN FUNGSI)

7

Daftar Pustaka

ii

i

A. Pembuktian Teorema
Buktikan bahwa:
Jawab:
Adb:

Karena

dan

merupakan dua buah himpunan, maka persamaan diatas dapat dibuktikan

dengan menunjukkan bahwa:
(i)
(ii)

Bukti:
(i) Adt:

Ambil

sebarang

Ini berarti:
Ini juga berarti:
Dimana:


berarti



berarti

Hal ini berarti:

Karena

diambil sebarang, maka:

(ii) Adt:

1

Ambil sebarang
Ini berarti:
Dimana;


berarti



berarti

Dua hal ini menyatakan bahwa
Karena

maka;

diambil sebarang maka;

Berdasarkan (i) dan (ii) maka terbukti bahwa:

B. Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi Injektif (Satu-Satu)
Definisi:
Suatu fungsi

dikatakan injektif atau satu-satu jika setiap

demikian sehingga

mengakibatkan

kita juga katakan bahwa

. Jika

fungsi injektif,

suatu injeksi.

Definisi Versi Penulis:
Suatu fungsi

dari

ke

dikatakan injektif atau satu-satu jika dan hanya jika

tidak ada prapeta yang mempunyai peta yang sama. Dengan kata lain, anggota
tidak boleh mempunyai pasangan lebih dari satu di .

Untuk membuktikan bahwa
untuk setiap

adalah fungsi injektif, kita harus menunjukkan bahwa:

di , jika

maka

.
2

Secara ekivalen,
setiap

mengakibatkan

injektif jika dan hanya jika

untuk

.

Contoh:
(1) Buktikan bahwa

dengan

adalah injektif!

Penyelesaian:
Untuk menunjukkan bahwa

untuk

injektif, asumsikan bahwa

.

Maka diperoleh:

Setelah diselesaikan ternyata
(2)

untuk

. Maka terbukti bahwa

adalah fungsi injektif.

adalah satu-satu. Sedangkan

misalnya untuk

tidak satu-satu, sebab

berlaku

(3) Jika

.

dan

. Periksa apakah fungsi

injektif!
Penyelesaian:
Pertama kita harus mensubstitusikan setiap anggota domain
fungsi

, sedemikian sehingga diperoleh fungsi

ke
dalam bentuk

himpunan pasangan berurutan adalah:
.
Ternyata terdapat anggota domain yang mempunyai peta yang sama di kodomain, yaitu
. Hal ini mengakibatkan fungsi

bukan merupakan fungsi injektif.

2. Fungsi Surjektif (Pada)
Definisi:

3

Suatu fungsi

dikatakan surjektif (memetakan

secara ekivalen, jika range

. Jika

pada ) jika

;

fungsi surjektif, kita juga sebut

suatu

surjeksi.

Definisi Versi Penulis:
Suatu fungsi

dari himpunan

ke himpunan

pada apabila daerah nilai fungsi (range)
anggota

sama dengan kodomainnya. Atau semua

mempunyai pasangan di , sedemikian sehingga mengakibatkan daerah

range fungsi

adalah kodomainnya sendiri.

Untuk membuktikan bahwa fungsi
setiap

dikatakan surjektif atau fungsi

terdapat

adalah surjektif, kita harus menunjukkan bahwa untuk

sedemikian sehingga

.

Contoh:
Buktikan bahwa

,

adalah fungsi pada!

Penyelesaian:
Untuk membuktikan fungsi
sebarang

merupakan fungsi pada, adalah dengan mengambil unsur

, apakah ada

maka

sehingga

, atau

? Jika

dan

. Dalam perhitungan aljabar, hasil penjumlahan atau

pengurangan sebarang bilangan bulat adalah bilangan bulat. Hal ini berarti bahwa untuk
setiap

ada
,

sehingga

. Jadi, fungsi

:

yang ditetapkan oleh

merupakan fungsi pada.

3. Fungsi Bijektif
Definisi:
Suatu fungsi

dikatakan bijektif jika bersifat injektif dan surjektif. Bila

bijektif, kita sebut

suatu bijeksi.

Definisi Versi Penulis:
Suatu fungsi

dari

ke

dikatakan bijektif jika dan hanya jika

merupakan

fungsi satu-satu dan fungsi pada.
4

Contoh:
Jika merupakan fungsi dari

ke , tunjukkan bahwa:

,

adalah fungsi

bijektif ( himpunan seluruh bilangan bulat).
Penyelesaian:
Fungsi

bijektif jika dan hanya jika

(a) Adt:

merupakan fungsi injektif dan onto.

injektif

Ambil dua unsur sebarang

, dengan

. Sedemikian sehingga

diperoleh:

Hal ini berarti fungsi
(b) Adt:

merupakan fungsi injektif.

onto.

Untuk setiap
setiap

sehingga

, maka didapat

mempunyai prapeta

. Jadi

Berarti fungsi ini merupakan fungsi onto.

Berdasarkan (a) dan (b) maka fungsi

merupakan fungsi bijektif.

4. Invers Fungsi
Jika

adalah fungsi dari

ke , maka

pasangan berurutan
pasangan berurutan

adalah subhimpunan khusus dari

. Himpunan

yang diperoleh dengan menukar anggota-anggota himpunan
, secara umum ini bukanlah fungsi. Tetapi, jika

bijeksi, maka

penukaran ini menghasilkan fungsi , yang disebut “invers fungsi” dari .
Definisi:
Jika

adalah fungsi bijektif dari

ke , maka

g
adalah fungsi dari

ke

. Fungsi ini dinamakan invers fungsi dari

dinotasikan dengan

. Fungsi

, dan

disebut juga invers dari .

5

Kita juga dapat menunjukkan hubungan antara
menuliskan bahwa

dan inversnya

dan

dengan

dan bahwa:

.
Definisi Versi Penulis:
Suatu fungsi g

merupakan invers dari fungsi

jika dan hanya jika

bijektif, sehingga mengakibatkan g
dengan jika fungsi

. Ekivalen

maka invers dari fungsi

. Atau jika

dinyatakan dengan

maka

Contoh:
suatu fungsi riil. Inversnya dihitung:

Atau boleh juga mengganti symbol

dengan ;

5. Fungsi Komposisi
Definisi:
Jika
g

dan g
adalah fungsi dari
g

dan jika
ke

g)

, maka fungsi komposisi

yang dinyatakan dengan:
g

, untuk

.

Definisi Versi Penulis:

6

Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan menghasilkan sebuah fungsi yang
disebut komposisi fungsi, dan hasilnya disebut fungsi komposisi.
Misalkan

adalah tiga buah himpunan. Jika fungsi

sehingga range fungsi

dan g

,

adalah proper subset dari domain fungsi g yaitu , maka

fungsi komposisi g

ditulis dengan:

g

g

, untuk

.

Contoh:
(1) Misalkan

dan g adalah dua buah fungsi untuk setiap

yang diberikan oleh:

dan g
Karena

g

dan

.

g , maka domain

dan fungsi komposisi g

g

juga sama dengan

,

diberikan oleh:

g
Disisi lain, domain dari fungsi komposisi

g juga elemen , tapi

g

.

Maka, dalam kasus ini, kita peroleh g

(2) Jika g

g.

dan g

maka tentukan nilai dari

!

Penyelesaian:
g

g

menstubtitusikan fungsi

artinya fungsi komposisi g
ke dalam g

diperoleh dengan

sehingga menjadi

g
Sehingga didapat

.

C. Restrictions of Functions (Pembatasan Fungsi)
Jika
fungsi

adalah sebuah fungsi dan jika

, kita dapat mendefinisikan sebuah

dengan:
untuk

Fungsi

dikatakan batasan dari

ke

. Terkadang ini dinotasikan dengan

7

Hal ini mungkin terlihat aneh bagi pembaca bahwa salah satu pilihan untuk membuang
satu bagian dari sebuah fungsi, tapi ada beberapa alasan untuk melakukan itu. Contohnya,
jika

adalah fungsi kuadrat:
untuk

maka

,

tidak injektif, sehingga fungsi tersebut tidak mempunyai invers fungsi. Tetapi, jika

kita batasi

ke himpunan

, maka batasan

adalah bijeksi dari

pada

. Oleh sebab itu, batasan ini mempunyai invers fungsi, yaitu fungsi akar kuadrat positif.

8

Daftar Pustaka

Abdillah, Abu., 2013. Introduction to Analisis Real (Pengantar Analisis Real). Komunitas Studi
al-Khawarizmi.
Bartle, R. G., Sherbert, D. R., 2010. Introduction to Real Analysis Fourth Edition. John Wilwey
& Sons, Inc.
Buku Catatan Pengantar Analisis Real
Habibie, Ady., Tim MIPA i-media. 2010. Gudang Rumus Matematika SMA/MA kelas 1,2,&3.
Tangerang: Iloken Media.
M. Eccles, Frank., 2003. Pengantar Geometri Tranformasi. Bandung: Pustaka Setia.
Rasmedi, Ame., Darhim., 2007. Materi Pokok Geometri Transformasi. Jakarta: Universitas
Terbuka.
Yahya, Yusuf., dkk., 2004. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Jakarta: Penerbit Ghalia
Indonesia.

ii