Pengoptimalan Persediaaan dengan Metode Simpleks

PENGOPTIMALAN PERSEDIAAN DENGAN

METODE SIMPLEKS

SKRIPSI

CHRISTIAN HERMAWAN

090803022

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

PENGOPTIMALAN PERSEDIAAN DENGAN

METODE SIMPLEKS

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

CHRISTIAN HERMAWAN

090803022

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2013

PERSETUJUAN

Judul : Pengoptimalan Persediaaan Dengan Metode Simpleks

Ketegori : Skripsi

Nama : Christian Hermawan

Nomor Induk Mahasiswa : 090803022

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, 22 Juli 2013

Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Rosman Siregar, M.Si Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si NIP. 196101071986011001 NIP. 194604041971071001

Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D NIP. 196209011988031002

PERNYATAAN

PENGOPTIMALAN PERSEDIAAN DENGAN

METODE SIMPLEKS

SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 22 Juli 2013

CHRISTIAN HERMAWAN 090803022

PENGHARGAAN

Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya Penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Pengoptimalan Persediaan Dengan Metode Program Linier.

Terimakasih penulis sampaikan kepada Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si selaku dosen pembimbing 1 dan Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku dosen pembimbing 2 yang telah meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terima kasih kepada Drs. James Pieter Marbun, M.Kom dan Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku dosen pembanding, Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Sc selaku Ketua Departemen dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU Medan, Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA-FMIPA-USU, seluruh staff dan Dosen Matematika FMIPA USU, pegawai FMIPA USU dan rekan-rekan kuliah. Akhirnya tidak lupa kepada Bapak, Ibu, keluarga dan teman-teman yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan. Semoga Tuhan Yang Maha Esa membalasnya.

PENGOPTIMALAN PERSEDIAAN DENGAN

METODE SIMPLEKS

ABSTRAK

Aplikasi matematika saat ini banyak diterapkan dalam berbagai bidang, salah satunya bidang industri/perusahaan. Permasalahan yang sering dihadapi industri/perusahaan mengenai masalah persediaan. Fluktuasi permintaan barang yang tidak menentu dari satu periode ke periode lain menyebabkan kekurangan atau kelebihan persediaan. Penerapan model pemrograman linier sangat membantu manajer operasi dalam pengambilan keputusan untuk menentukan produk mana yang menjadi prioritas utama untuk disediakan. Tahap awal dalam pengembangan model Program Linier adalah mengidentifikasi semua variabel, selanjutnya menetapkan fungsi tujuan (Z) dan fungsi kendala. Dalam hal menentukan persediaan yang optimal digunakan Metode Simpleks dalam Program Linier. Dengan melakukan pengkajian pada PT. Multi Mas Chemindo maka ditentukan bahwa fungsi tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan laba perusahaan dan fungsi kendala adalah kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan. Pengolahan data dilakukan dengan menggunakan software POM-QM. Berdasarkan hasil perhitungan disimpulkan bahwa kombinasi persediaan yang dilakukan perusahaan mencapai tingkat optimal untuk produk pupuk urea 2.000 packs, kieserite 8.000 packs dan rock phosphate 10.000 packs.

OPTIMIZING SUPPLY WITH SIMPLEX METHOD

ABSTRACT

Current mathematical applications are widely applied in various fields, such as industries/companies. Problems that are often faced by industry/company regarding inventory issues. Fluctuations in demand for goods is erratic from one period to another cause shortages or excess supply. The application of the linear programming model is very helpful in the decision-making for operation managers to determine which product is a top priority for supply. Early stage in the development of models of Linear Programing is identify all the variables, objective function (Z) and constraint functions. In terms of determining the optimal supply used Simplex Method in Linear Programming. By doing assessment at PT. Multi Mas Chemindo, the goal function is to maximize corporate profits and constraint functions are the storage capacity and the number of requests. Data processing is performed using software POM-QM. Based on calculations concluded that the combination of inventory by the corporate reached the optimal level for urea 2.000 packs, kieserite 8.000 packs and rock phosphate 10.000 packs.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan iii

Pernyataan iv

Penghargaan v

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

Bab 1. Pendahuluan 1

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 2

1.3. Batasan Masalah 2

1.4. Tujuan Penelitian 3

1.5. Manfaat Penelitian 3

1.6. Tinjauan Pustaka 3

1.7. Metodologi Penelitian 5

Bab 2. Landasan Teori 6

2.1. Persediaan 6

2.1.1. Pengertian Persediaan 6

2.1.2. Jenis-jenis Persediaan 7

2.1.3. Fungsi Persediaan 8

2.2. Permintaan 9

2.2.1. Pengertian Permintaan 9

2.2.2. Teori Permintaan 9

2.2.3. Hukum Permintaan 9

2.3. Program Linier 10

2.3.1. Karakteristik-karakteristik Dalam Program Linier 10

2.3.2. Asumsi Dalam Program Linier 11

2.3.3. Metode Simpleks 12

2.3.4. Teknik M (Metode Pinalti) 15

2.3.5. Teknik Dua Fase 15

2.3.6. Teori Dualitas 16

2.3.7. Metode Dual Simpleks 17

Bab 3. Hasil dan Pembahasan 19

3.1. Pengumpulan Data 19

3.2. Variabel Keputusan 19

3.3. Perumusan Fungsi tujuan 20

3.4. Perumusan Fungsi Kendala 20

Bab 4. Kesimpulan dan Saran 26

4.1. Kesimpulan 26

4.2. Saran 26

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1. Data Permintaan Tiap Produk 19

3.2. Iterasi 0 Metode Simpleks Dengan Software POM-QM 24 3.3. Iterasi 1 Metode Simpleks Dengan Software POM-QM 24 3.4. Iterasi 2 Metode Simpleks Dengan Software POM-QM 25 3.5. Iterasi 3 Metode Simpleks Dengan Software POM-QM 25

PENGOPTIMALAN PERSEDIAAN DENGAN

METODE SIMPLEKS

ABSTRAK

Aplikasi matematika saat ini banyak diterapkan dalam berbagai bidang, salah satunya bidang industri/perusahaan. Permasalahan yang sering dihadapi industri/perusahaan mengenai masalah persediaan. Fluktuasi permintaan barang yang tidak menentu dari satu periode ke periode lain menyebabkan kekurangan atau kelebihan persediaan. Penerapan model pemrograman linier sangat membantu manajer operasi dalam pengambilan keputusan untuk menentukan produk mana yang menjadi prioritas utama untuk disediakan. Tahap awal dalam pengembangan model Program Linier adalah mengidentifikasi semua variabel, selanjutnya menetapkan fungsi tujuan (Z) dan fungsi kendala. Dalam hal menentukan persediaan yang optimal digunakan Metode Simpleks dalam Program Linier. Dengan melakukan pengkajian pada PT. Multi Mas Chemindo maka ditentukan bahwa fungsi tujuan yang ingin dicapai adalah memaksimumkan laba perusahaan dan fungsi kendala adalah kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan. Pengolahan data dilakukan dengan menggunakan software POM-QM. Berdasarkan hasil perhitungan disimpulkan bahwa kombinasi persediaan yang dilakukan perusahaan mencapai tingkat optimal untuk produk pupuk urea 2.000 packs, kieserite 8.000 packs dan rock phosphate 10.000 packs.

OPTIMIZING SUPPLY WITH SIMPLEX METHOD

ABSTRACT

Current mathematical applications are widely applied in various fields, such as industries/companies. Problems that are often faced by industry/company regarding inventory issues. Fluctuations in demand for goods is erratic from one period to another cause shortages or excess supply. The application of the linear programming model is very helpful in the decision-making for operation managers to determine which product is a top priority for supply. Early stage in the development of models of Linear Programing is identify all the variables, objective function (Z) and constraint functions. In terms of determining the optimal supply used Simplex Method in Linear Programming. By doing assessment at PT. Multi Mas Chemindo, the goal function is to maximize corporate profits and constraint functions are the storage capacity and the number of requests. Data processing is performed using software POM-QM. Based on calculations concluded that the combination of inventory by the corporate reached the optimal level for urea 2.000 packs, kieserite 8.000 packs and rock phosphate 10.000 packs.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar belakang

Ilmu pengetahuan dan teknologi salah satu faktor yang sangat berpengaruh dalam berkembangnya suatu perusahaan khususnya dibidang industri, baik industri jasa maupun industri manufacturing. Hal ini akan memperketat persaingan antar pengusaha sebab perusahaan baru akan melakukan terobosan baru dalam mengembangkan usahanya.

Semua perusahaan tentu ingin memenangkan pangsa pasar dengan membuat strategi-strategi untuk menarik minat konsumen. Perusahaan juga menginginkan eksistensi dan kelangsungan hidup perusahaan itu walaupun dalam persaingan yang ketat.

Salah satu faktor yang mempengaruhi kelangsungan perusahaan adalah jumlah persediaan perusahaan itu sendiri. Persediaan barang yang terlalu banyak akan mengakibatkan kerugian, seperti biaya simpan dan terjadinya kemungkinan penurunan kualitas barang yang menimbulkan pelanggan berpindah ke produk lain. Sebaliknya, produksi yang terlalu sedikit juga akan mengurangi keuntungan, dalam hal ini peluang untuk mendapatkan keuntungan yang lebih besar berkurang.

Jumlah permintaan yang tidak menentu menjadi masalah bagi perusahaan yaitu timbulnya ketidakpastian dalam menentukan jumlah persediaan sehingga dibutuhkan suatu cara untuk mengoptimumkan jumlah persediaan tersebut.

PT. Multi Mas Chemindo adalah salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang distribusi. Jumlah permintaan barang yang tidak menentu dari satu periode ke periode lain menyebabkan perusahaan mengalami kelebihan atau kekurangan persediaan.

Dalam menghadapi kendala ini perusahaan membutuhkan solusi untuk mengoptimalkan persediaan dengan memperhatikan setiap keterbatasan-keterbatasan yang ada. Solusi tersebut dapat diperoleh dengan penggunaan model optimisasi yaitu model optimisasi Program Linier.

1.2. Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian tugas akhir ini adalah bagaimana menentukan jumlah persediaan optimal bagi PT. Multi Mas Chemindo. Kendala yang diperhatikan adalah kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan.

1.3. Batasan Masalah

Agar penelitian yang dilakukan dapat menghasilkan penelitian yang fokus dan akurat, maka diberikan batasan masalah sebagai berikut:

1. Penelitian ini hanya fokus dalam menentukan banyaknya persediaan barang pada PT. Multi Mas Chemindo.

2. Kendala persediaan yang dibahas adalah kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan.

3. Data yang digunakan untuk permintaan adalah data Juli 2012-Desember 2012. 4. Pengolahan data optimasi menggunakan model program linier dengan metode

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan jumlah persediaan yang optimal bagi PT. Multi Mas Chemindo.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Sebagai masukan atau informasi yang bermanfaat bagi manajemen PT. Multi Mas Chemindo.

2. Menambah aplikasi ilmu pengetahuan dalam penerapan metode program linier terhadap bidang-bidang industri.

1.6. Tinjauan Pustaka

Persediaan adalah sumber daya yang menganggur yang menunggu proses lebih lanjut. Yang disebut proses lebih lanjut adalah berupa kegiatan produksi pada sistem manufaktur atau kegiatan pemasaran (Nasution & Prasetyawan, 2008).

Persediaan adalah suatu aktiva yang meliputi barang-barang milik perusahaan dengan maksud untuk dijual dalam suatu periode usaha normal, atau persediaan barang-barang yang masih dalam pengerjaan atau proses produksi, ataupun persediaan bahan baku dasar yang menunggu penggunaannya dalam suatu proses produksi (Assauri, 1980).

Program Linier adalah salah satu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang berbeda dengan cara terbaik yang mungkin dapat dilakukan sehingga diperoleh keuntungan yang maksimum atau biaya yang minimum. Keputusan yang diambil

dalam program tersebut diambil dengan memilih dari beberapa alternatif yang ada (Amalia, 2004).

Metode analisis yang paling bagus untuk menyelesaikan persoalan alokasi sumber ialah metode program linier. Pokok pikiran yang utama dalam menggunakan program linier ialah merumuskan masalah menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Selanjutnya menerjemahkan masalah ini ke dalam bentuk model matematika yang mempunyai cara pemecahan yang lebih mudah dan rapi guna menemukan jawaban terhadap masalah yang dihadapi (P. Siagian, 2006).

Program Linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan permasalahan mengenai pengalokasian/penempatan sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan agar memperoleh suatu solusi yang optimal (Hendi Nirwansah & Widowati, 2007).

Program Linier dapat menangani berbagai macam masalah, seperti menentukan jadwal pesawat atau jadwal film di bioskop himgga pendistribusian minyak ke pasar. Alasan dari beragam kegunaan ini adalah kemudahan dalam menggabungkan kendala ke dalam bentuk model (Miller, 2007).

Permasalahan Program Linier dapat diformulasikan sebagai berikut:

Minimum:

= 1�1+ 2�2+⋯+ �

Dengan batasan:

� =1

Keterangan:

1. ₁�₁+ 2�2+⋯+ � adalah fungsi tujuan yang harus diminimumkan atau dimaksimalkan dan dinotasikan dengan .

2. Koefisien ₁, 2,… adalah koefisien cost yang diketahui. 3. �₁,�₂,… � adalah variabel keputusan yang harus dicari. 4. Pertidaksamaan ₌₁ � adalah konstrain ke-i. 5. Pertidaksamaan untuk

= 1, 2, 3, … dan = 1, 2, 3,…

Adalah parameter pembatas.

6. Konstrain � 0 adalah konstrain non-negatif.

Selain model program linier yang diformulakan di atas, terdapat bentuk lain dari model program linier, yaitu:

1. Fungsi tujuan bukan minimasi, melainkan maksimasi.

2. Konstrain fungsionalnya mempunyai bentuk ketidaksamaan dalam bentuk

lebih kecil (≤).

3. Beberapa konstrain lainnya mempunyai bentuk persamaan.

4. Menghilangkan konstrain non-negatif untuk beberapa variabel keputusan.

1.7. Metodologi Penelitian

Objek penelitian dilakukan pada PT. Multi Mas Chemindo, Medan. Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mengidentifikasi variabel keputusan.

2. Membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala dalam model program linier. 3. Menyelesaikan model program linier dengan Metode Simpleks.

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti pengertian persediaan, metode program linier.

2.1. Persediaan

2.1.1. Pengertian Persediaan

Persediaan adalah sumber daya menganggur (idle resources) yang menunggu proses lebih lanjut. Yang dimaksud dengan proses lebih lanjut adalah berupa kegiatan produksi pada sistem manufaktur, kegiatan pemasaran pada sistem distribusi ataupun kegiatan konsumsi pangan pada sistem rumah tangga (Nasution, 2008).

Setiap perusahaan perlu mengadakan persediaan untuk menjamin kelangsungan hidup usahanya. Untuk mengadakan persediaan, dibutuhkan sejumlah uang yang diinvestasikan dalam persediaan tersebut. Oleh karena itu, setiap perusahaan haruslah dapat mempertahankan suatu jumlah persediaan optimum yang dapat menjamin kebutuhan bagi kelancaran kegiatan perusahaan dalam jumlah dan mutu yang tepat dengan biaya yang serendah-rendahnya.

Keberadaan persediaan atau sumber daya menganggur ini dalam suatu sistem mempunyai suatu tujuan tertentu. Alasan utamanya adalah karena sumber daya tertentu tidak bisa didatangkan ketika sumber daya tersebut dibutuhkan. Sehingga, untuk menjamin tersedianya sumber daya tersebut perlu adanya persediaan yang siap digunakan ketika dibutuhkan. Adanya persediaan menimbulkan konsekuensi berupa resiko-resiko tertentu yang harus ditanggung

perusahaan bisa saja rusak sebelum digunakan. Selain itu perusahaan juga harus menanggung biaya-biaya yang timbul akibat adanya persediaan tersebut.

2.1.2. Jenis-jenis Persediaan

Persediaan diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Persediaan barang dagang

Barang yang ada di gudang dibeli oleh pengecer atau perusahaan dagang untuk dijual kembali. Barang yang diperoleh untuk dijual kembali diperoleh secara fisik tidak diubah kembali, barang tersebut tetap dalam bentuk yang telah jadi ketika meninggalkan pabrik pembuatnya.

2. Persediaan manufaktur

a. Persediaan bahan baku

Barang berwujud yang dibeli atau diperoleh dengan cara lain (misalnya dengan menambang) dan disimpan untuk penggunaan langsung dalam membuat barang untuk dijual kembali. Bagian dari suku cadang yang diproduksi sebelum digunakan kadang-kadang diklasifikasikan sebagai persediaan komponen suku cadang.

b. Persediaan barang dalam proses

Barang yang membutuhkan proses lebih lanjut sebelum penyelesaian.

c. Barang jadi

3. Persediaan rupa-rupa

Barang seperti perlengkapan kantor kebersihan dan pengiriman, persediaan ini biasanya dicatat sebagai beban penjualan umum.

2.1.3. Fungsi Persediaan

Berdasarkan fungsinya, persediaan dapat dikelompokkan dalam 4 jenis, yaitu (Herjanto, 1999):

1. Stok Fluktuasi (Fluctuation Stock)

Merupakan persediaan untuk menjaga terjadinya fluktuasi permintaan yang tidak dapat diperkirakan sebelumnya, dan untuk mengatasi jika terjadi kesalahan/penyimpangan dari perkiraan penjualan, waktu produksi, atau waktu pengiriman barang.

2. Stok Antisipasi (Anticipation Stock)

Merupakan persediaan yang dibutuhkan untuk menghadapi permintaan yang diramalkan, misalnya pada saat jumlah permintaan besar, tetapi kapasitas produksi tidak mampu memenuhi permintaan tersebut. Jumlah permintaan yang besar ini diakibatkan oleh sifat musiman dari suatu produk. Persediaan ini juga menjaga kemungkinan sukarnya diperoleh bahan baku, agar proses produksi tidak berhenti.

3. Persediaan dalam Jumlah Besar (Lot Size Inventory)

Merupakan persediaan yang diadakan dalam jumlah yang lebih besar daripada kebutuhan saat itu. Persediaan jenis ini dilakukan untuk mendapatkan potongan harga (discount) karena pembelian barang dalam jumlah besar. Persediaan jenis ini juga dapat menghemat biaya pengangkutan karena memperkecil frekuensi pengiriman barang dan biaya per unit pengangkutannya lebih murah.

4. Pipa Persediaan (Pipeline/ Transit Inventory)

Merupakan persediaan yang sedang dalam proses pengiriman dari tempat asal ke tempat di mana barang itu akan digunakan. Persediaan ini timbul karena jarak dari tempat asal ke tempat tujuan cukup jauh dan bisa memakan waktu beberapa hari atau beberapa minggu.

2.2. Permintaan

2.2.1. Pengertian Permintaan

Permintan adalah banyaknya jumlah barang yang diminta pada suatu pasar tertentu dengan tingkat harga tertentu pada tingkat pendapatan tertentu dan dalam periode tertentu.

2.2.2. Teori Permintaan

Dapat dinyatakan:

“Perbandingan lurus antara permintaan terhadap harganya yaitu apabila

permintaan naik, maka harga relatif akan naik, sebaliknya bila permintaan turun,

maka harga relatif akan turun.”

2.2.3. Hukum Permintaan

Hukum permintaan pada hakikatnya merupakan suatu hipotesis yang menyatakan:

“Hubungan antara barang yang diminta dengan harga barang tersebut dimana hubungan berbanding terbalik yaitu ketika harga meningkat atau naik maka jumlah barang yang diminta akan menurun dan sebaliknya apabila harga turun jumlah barang meningkat.”

2.3. Program Linier

Program Linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Misalnya pengalokasian fasilitas produksi, sumber daya nasional untuk kebutuhan domestik, penjadwalan produksi dan lain-lain.

2.3.1. Karakteristik-karakteristik Dalam Program Linier

Dalam membangun model dari formulasi di atas akan digunakan karakteristik-karakteristik yang biasa digunakan dalam persoalan program linier yaitu:

1. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang menguraikan secara lengkap keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan merupakan fungsi dari variabel keputusan yang akan dimaksimumkan (untuk pendapatan atau keuntungan) atau diminimumkan (untuk ongkos). Fungsi ini merupakan bentuk hubungan antara variabel keputusan.

3. Pembatas

Pembatas merupakan kendala yang dihadapi sehingga kita tidak bisa menentukan harga-harga variabel keputusan secara sembarang.

2.3.2. Asumsi Dalam Program Linier

Dalam menggunakan model program linear, diperlukan beberapa asumsi sebagai berikut:

1. Asumsi kesebandingan (proposionality)

a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

2. Asumsi penambahan (additivity)

a. Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

b. Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

3. Asumsi pembagian (divisibility)

Dalam persoalan program linear, variabel keputusan boleh diasumsikan berupa bilangan pecahan.

4. Asumsi kepastian (certainty)

Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologi, diasumsikan dapat diketahui secara pasti.

Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap, sebagai berikut:

1. Tentukan variabel keputusan dan nyatakan dalam simbol matematik.

2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan.

3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya masalah itu.

Bentuk baku model Program Linier:

Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan

= ₁�₁+ ₂�₂+⋯+ �

Fungsi pembatas : ₁₁�₁₁ + 12�12+⋯+ 1 �1 1

₂₁�₂₁ + ₂₂�₂₂+⋯+ ₂ �_{2 2} . . . . . . .

₁� ₁+ 2� 2 +⋯+ � dan �₁ 0,�2 0,…,�3 0

2.3.3. Metode Simpleks

Program linier yang melibatkan lebih dari 2 atau banyak variabel sulit diselesaikan dengan metode grafik. Dalam keadaan ini kebutuhan metode yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum itu dikenal dengan nama Metode Simpleks yang dirancang untuk menyelesaikan masalah Program Linier, baik yang melibatkan dua atau lebih dari 2 variabel.

Perhatikan model Program Linier:

Fungsi tujuan : Maksimumkan atau minimumkan

= ₁�₁+ ₂�₂+⋯+ �

Fungsi pembatas : ₁₁�₁₁ + ₁₂�₁₂+⋯+ ₁ �_{1 1}

₂₁�₂₁ + ₂₂�₂₂+⋯+ ₂ �_{2 2}

. . . .

. . . .

₁� ₁+ 2� 2 +⋯+ � dan �₁ 0,�₂ 0,…,�₃ 0

Jika didefinisikan:                                                    n n mn m m n n b b b B x x x X a a a a a a a a a A . . ; . . ; ... . . . . . . . . ... ... 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

maka pembatas dari model tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk sistem persamaan AX = B.

Perhatikan suatu sistem AX = B dari persamaan linear dalam n variabel (n > m).

Definisi:

1. Solusi basis

Solusi basis untuk AX = B adalah solusi di mana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis dari AX = B

dinolkan ini disebut variabel nonbasis (NBV). Selanjutnya, dapatkan harga dari n – (n – m) = m variabel lainnya yang memenuhi AX = B, yang disebut variabel basis (BV).

2. Solusi basis fisibel

Jika solusi variabel pada suatu solusi basis berharga nonnegatif, maka solusi itu disebut solusi basis fisibel (BFS).

3. Solusi feasibel titik ekstrem

Yang dimaksud dengan solusi feasibel titik ekstrem atau titik sudut ialah solusi feasibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solusi feasibel lainnya.

Untuk menyelesaikan persoalan program linier maksimasi dengan menggunakan metode simpleks, lakukanlah langkah-langkah berikut:

1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

2. Cari Solusi Basis Fisibel (BFS).

3. Jika seluruh NBV mempunyai koefisien nonnegatif (artinya berharga positif atau nol) pada baris fungsi tujuan [baris persamaan z yang biasa disebut baris 0 atau baris (zj – cj)], maka BFS sudah optimal. Jika pada baris 0 masih ada

variabel dengan koefisien negatif, pilihlah salah satu variabel yang mempunyai paling negatif pada baris 0 itu. Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variable, disingkat EV).

4. Hitung rasio dari (Ruas kanan) / (Koefisien EV) pada setiap baris di mana EV-nya mempuEV-nyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel

ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis atau leaving variable, disingkat LV.

2.3.4. Teknik M (Metodepinalti)

Program linier dengan sistem batasan yang mengandung tanda (≥) atau (=),

diselesaikan dengan menambahkan variabel buatan atau variabel fiktif. Variabel ini akan terbuang dari tabel simpleks segera ia menjadi variabel nonbasis.

Penambahan variabel ini akan merusak sistem batasan. Akan tetapi kesulitan ini dapat diatasi dengan menciptakan situasi di mana variabel ini menjadi nol pada penyelesaian akhir. Hal ini dapat dicapai dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Dalam kasus memaksimumkan, M bertanda negatif (-M) dan dalam kasus meminimumkan M bertanda positif (M).

2.3.5. Teknik Dua Fase

Dengan digunakannya konstanta M yang merupakan bilangan positif yang sangat besar sebagai penalty, maka bisa terjadi kesalahan perhitungan, terutama apabila perhitungan itu dilakukan dengan menggunakan komputer. Kesalahan itu bisa terjadi karena koefisien fungsi tujuan relatif sangat kecil dibandingkan dengan harga M, sehingga komputer akan memperlakukannya sebagai koefisien yang berharga nol.

Kesulitan ini bisa dikurangi dengan menggunakan teknik kedua fase. Di sini konstanta M dihilangkan dengan cara menyelesaikan persoalan dalam dua fase (dua tingkatan) sebagai berikut:

Fase I:

Fase ini digunakan untuk menguji apakah persoalan yang kita hadapi memiliki solusi fisibel atau tidak. Pada fase ini fungsi tujuan semula diganti dengan meminimumkan jumlah variabel artifisialnya. Jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga nol (artinya seluruh variabel artifisial berharga nol), berarti persoalan memiliki solusi fisibel, lanjutkan ke fase 2. Tetapi, jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga positif, maka persoalan tidak memiliki solusi fisibel.

Fase II:

Gunakan solusi basis optimum dari fase I sebagai solusi awal bagi persoalan semula. Dalam hal ini ubahlah bentuk fungsi tujuan fase I dengan mengembalikannya pada fungsi tujuan persoalan semula. Pemecahan persoalan dilakukan dengan cara seperti biasa.

2.3.6. Teori Dualitas

Teori Dualitas merupakan salah satu konsep program linear yang penting dan menarik ditinjau dari segi teori dan praktisnya. Ide dasar yang melatarbelakangi teori ini adalah bahwa setiap persoalan programa linear mempunyai suatu programa linear lain yang saling berkaitan yang disebut dual , sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang disebut primal) juga memberi solusi pada dualnya.

Hubungan antara primal dengan dual sebagai berikut:

1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual. 2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual, dan untuk setiap

4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya). 5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada

dual.

6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada dual.

7. Dual dari dual adalah primal.

2.3.7. Metode Dual Simpleks

Apabila pada suatu iterasi kita mendapat persoalan program linear yang sudah optimum (berdasarkan kondisi optimalitas), tetapi belum fisibel (ada pembatas nonnegatif yang tidak terpenuhi), maka persoalan tersebut harus diselesaikan dengan menggunakan metode dual simpleks. Syarat digunakannya metode ini adalah bahwa seluruh pembatas harus merupakan ketidaksamaan yang bertanda

(≤), sedangkan fungsi tujuan bisa berupa maksimasi atau minimasi.

Pada dasarnya metode dual simpleks ini menggunakan tabel yang sama seperti metode simpleks pada primal, tetapi leaving dan entering variable-nya ditentukan sebagai berikut:

1. Leaving variable (kondisi fisibilitas)

Yang menjadi leaving variable pada dual simpleks adalah variabel basis yang memiliki harga negatif terbesar. Jika semua variabel basis telah berharga positif atau nol, berarti keadaan fisibel telah tercapai.

2. Entering variable (kondisi optimalitas)

a. Tentukan perbandingan (ratio) antara koefisien persamaan z dengan koefisien persamaan leaving variable. Abaikan penyebut yang positif atau nol. Jika semua penyebut berharga positif atau nol, berarti persoalan yang bersangkutan tidak memiliki solusi fisibel.

b. Untuk persoalan minimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio terkecil, sedangkan persoalan maksimasi, entering variable adalah variabel dengan rasio absolut terkecil.

BAB 3 PEMBAHASAN

Perumusan fungsi tujuan dan fungsi kendala dari penelitian akan dijelaskan sebagai berikut:

3.1. Pengumpulan Data

Data yang dikumpulkan dalam penelitian ini meliputi data permintaan untuk kurun waktu antara bulan Juli 2012 sampai dengan bulan Desember 2012 dalam satuan bungkus (pack) dari PT. Multi Mas Chemindo.

Tabel 3.1. Data permintaan tiap produk

Bulan Urea Kieserite Rock Phosphate

Juli 2.250 7.920 9.580

Agustus 2.250 7.910 9.940

September 2.710 7.880 9.630

Oktober 2.670 8.000 9.890

November 2.870 7.970 9.860

Desember 3.000 7.890 10.000

3.2. Variabel Keputusan

Variabel keputusan yang diharapkan dari permasalahan adalah jumlah persediaan optimal dari produk, yaitu:

X1 = Pupuk Urea

X2 = Kieserite

3.3. Perumusan Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan yang akan dimaksimalkan adalah laba. Koefisien variabel dari variabel keputusan yaitu keuntungan yang diperoleh dari tiap produk.

Fungsi tujuan dari model program linier untuk memaksimumkan laba dapat dirumuskan sebagai berikut:

Maksimum:

= 7.000�₁+ 9.000�₂+ 10.000�₃

3.4. Perumusan Fungsi Kendala

Fungsi kendala terdiri dari kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan terhadap pupuk.

1. Model fungsi kendala dari kapasitas penyimpanan.

Tiap bungkus (pack) pupuk memiliki berat yang sama yaitu 50 kg. Kapasitas penyimpanan yang tersedia adalah 1.000 ton (1.000.000 kg). Persamaan dapat ditulis:

50�1+ 50�2+ 50�3 1.000.000

2. Model fungsi kendala dari permintaan terhadap pupuk.

Dari tabel permintaan di atas dapat dibuat persamaan sebagai berikut:

�1 3.000

�2 8.000

3.5. Analisis Simpleks

Permasalahan di atas diselesaikan dengan metode Simpleks.

Dari permasalahan diperoleh:

Fungsi tujuan:

Maksimum: = 7.000�1+ 9.000�2+ 10.000�3 Fungsi kendala: 50�₁+ 50�₂+ 50�₃ 1.000.000

�1 3.000

�2 8.000

�3 10.000

�₁, �2, �3 0 Bentuk standarnya menjadi:

Maksimum: = 7.000�₁+ 9.000�₂+ 10.000�₃

Fungsi kendala: 50�1+ 50�2+ 50�3+�4 = 1.000.000 �1 + �5 = 3.000

�2+�6 = 8.000 �3+�7 = 10.000 � 0, = 1, 2, 3,…, 7

Iterasi 0

Basis 7.000 9.000 10.000 0 0 0 0

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�4 0 50 50 50 1 0 0 0 1.000.000

�5 0 1 0 0 0 1 0 0 3.000

�6 0 0 1 0 0 0 1 0 8.000

�7 0 0 0 1 0 0 0 1 10.000

− � -7.000 -9.000 -10.000 0 0 0 0 Keterangan:

1. Pada baris − � =−10.000 paling minimum , maka �₃masuk dalam basis. 2. � 1.000 .000

50 ,

10.000

1 = 10.000 (berarti �7 keluar dari basis).

3. Baris �₄ yang baru: baris �₄−50 kali baris �₃.

Iterasi 1

Basis 7.000 9.000 10.000 0 0 0 0

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�4 0 50 50 0 1 0 0 -50 500.000

�5 0 1 0 0 0 1 0 0 3.000

�6 0 0 1 0 0 0 1 0 8.000

�3 10.000 0 0 1 0 0 0 1 10.000

− � -7.000 -9.000 0 0 0 0 10.000

Keterangan:

1. Pada baris − � =−9.000 paling minimum , maka �₂masuk dalam basis. 2. � 500 .000

50 , 8.000

Iterasi 2

Keterangan:

1. Pada baris − � =−1 paling minimum , maka �₁masuk dalam basis. 2. � 100 .000

50 , 3.000

1 = 2.000 (berarti �4 keluar dari basis).

3. Baris �₁ yang baru: baris �₅ dikali 1

50.

3. Baris �₅ yang baru: baris �₅− baris �₁.

Iterasi 3

Basis 7.000 9.000 10.000 0 0 0 0

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�1 7.000 1 0 0 0,02 0 -1 -1 2.000

�5 0 0 0 0 -0,02 1 1 1 1.000

�2 9.000 0 1 0 0 0 1 0 8.000

�3 10.000 0 0 1 0 0 0 1 10.000

− � 0 0 0 140 0 2.000 3.000

Karena baris − � 0, maka permasalahan telah optimal. Diperoleh �₁ = 2.000,�2 = 8.000,�3 = 10.000.

Basis 7.000 9.000 10.000 0 0 0 0

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�4 0 50 0 0 1 0 -50 -50 100.000

�5 0 1 0 0 0 1 0 0 3.000

�2 9.000 0 1 0 0 0 1 0 8.000

�3 10.000 0 0 1 0 0 0 1 10.000

Maka banyak pupuk yang harus disediakan di gudang adalah:

Urea = 2.000 packs, Kieserite = 8.000 packs, dan Rock Phosphate = 10.000 packs.

Model matematika yang telah dibuat kemudian akan diolah dengan software POM-QM menggunakan model program linier. Diperoleh hasil olahan data yang optimal sebagai berikut:

Tabel 3.2. Iterasi 0 metode Simpleks dengan Software POM-QM

Tabel 3.4. Iterasi 2 metode Simpleks dengan Software POM-QM

Tabel 3.5. Iterasi 3 metode Simpleks dengan Software POM-QM

Dari hasil iterasi dengan software POM-QM diperoleh hasil yang optimal sebagai berikut:

X1 = 2.000

X₂ = 8.000 X3 = 10.000

Banyak pupuk yang harus disediakan di gudang adalah:

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil olahan diatas dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Faktor yang mempengaruhi banyaknya persediaan untuk mendapatkan keuntungan yang optimum adalah kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan.

2. Metode Program Linier dapat membantu perusahaan dalam menghasilkan jumlah persediaan yang optimal, sehingga menghasilkan keuntungan yang optimal bagi perusahaan.

3. Dari hasil analisis diperoleh persediaan yang optimal bagi perusahaan tiap bulan, yaitu pupuk Urea 2.000 packs, Kieserite 8.000 packs, Rock Phosphate 10.000 packs.

4.2. Saran

1. Diharapkan perusahaan dapat menerapkan sistem pengendalian persediaan sehingga segala sumber daya dapat digunakan seoptimal mungkin untuk mendapatkan laba yang lebih maksimal.

2. Pada tugas akhir ini, terdapat dua kendala yang dihadapi perusahaan, yaitu kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan. Untuk penelitian selanjutnya

DAFTAR PUSTAKA

Amalia, Rizka. 2004. Optimasi Komposisi Kuantum Produksi dengan Menggunakan Metode Linear Programming (Studi Kasus: PT. Petrokimia Gresik). Surabaya: Tugas Akhir Teknik Industri ITS, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Assauri, S. 1980. Manajemen Produksi dan Operasi. Jakarta: FE UI.

Herjanto, Eddy. 1999. Manajemen Produksi & Operasi. Jakarta: PT Grasindo.

Miller, S. J. 2007. An Introduction to Linear Programming. http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/416/currentnotes/Linea rProgramming.pdf. Diakses tanggal 26 Maret 2013.

Nasution, A. H. dan Prasetyawan, Y. 2008. Perencanaan dan Pengendalian Produksi Edisi Pertama. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Nirwansah, Hendi dan Widowati. 2007. Efisiensi Biaya Distribusi Dengan Metode Transportasi. Semarang: Proseding Seminar Nasional Aplikasi Sains dan Matematika Dalam Industri, FMIPA UNDIP.

Iterasi 0

Basis 7.000 9.000 10.000 0 0 0 0

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�4 0 50 50 50 1 0 0 0 1.000.000

�5 0 1 0 0 0 1 0 0 3.000

�6 0 0 1 0 0 0 1 0 8.000

�7 0 0 0 1 0 0 0 1 10.000

− � -7.000 -9.000 -10.000 0 0 0 0

Keterangan:

1. Pada baris − � =−10.000 paling minimum , maka �₃masuk dalam basis. 2. � 1.000 .000

50 , 10.000

1 = 10.000 (berarti �7 keluar dari basis).

3. Baris �₄ yang baru: baris �₄−50 kali baris �₃.

Iterasi 1

Basis 7.000 9.000 10.000 0 0 0 0

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�4 0 50 50 0 1 0 0 -50 500.000

�5 0 1 0 0 0 1 0 0 3.000

�6 0 0 1 0 0 0 1 0 8.000

�3 10.000 0 0 1 0 0 0 1 10.000

− � -7.000 -9.000 0 0 0 0 10.000

Keterangan:

1. Pada baris − � =−9.000 paling minimum , maka �₂ masuk dalam basis. 2. � 500 .000

50 , 8.000

1 = 8.000 (berarti �6 keluar dari basis).

Iterasi 2

Keterangan:

1. Pada baris − � =−1 paling minimum , maka �₁masuk dalam basis. 2. � 100 .000

50 , 3.000

1 = 2.000 (berarti �4 keluar dari basis).

3. Baris �₁ yang baru: baris �₅ dikali 1

50.

3. Baris �₅ yang baru: baris �₅− baris �₁.

Iterasi 3

Basis 7.000 9.000 10.000 0 0 0 0

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�1 7.000 1 0 0 0,02 0 -1 -1 2.000

�5 0 0 0 0 -0,02 1 1 1 1.000

�2 9.000 0 1 0 0 0 1 0 8.000

�3 10.000 0 0 1 0 0 0 1 10.000

− � 0 0 0 140 0 2.000 3.000

Karena baris − � 0, maka permasalahan telah optimal. Diperoleh �₁ = 2.000,�2 = 8.000,�3 = 10.000.

Basis 7.000 9.000 10.000 0 0 0 0

B

�1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

�4 0 50 0 0 1 0 -50 -50 100.000

�5 0 1 0 0 0 1 0 0 3.000

�2 9.000 0 1 0 0 0 1 0 8.000

�3 10.000 0 0 1 0 0 0 1 10.000

Maka banyak pupuk yang harus disediakan di gudang adalah:

Urea = 2.000 packs, Kieserite = 8.000 packs, dan Rock Phosphate = 10.000 packs.

Model matematika yang telah dibuat kemudian akan diolah dengan software POM-QM menggunakan model program linier. Diperoleh hasil olahan data yang optimal sebagai berikut:

Tabel 3.2. Iterasi 0 metode Simpleks dengan Software POM-QM

Tabel 3.4. Iterasi 2 metode Simpleks dengan Software POM-QM

Tabel 3.5. Iterasi 3 metode Simpleks dengan Software POM-QM

Dari hasil iterasi dengan software POM-QM diperoleh hasil yang optimal sebagai berikut:

X1 = 2.000 X₂ = 8.000 X3 = 10.000

Banyak pupuk yang harus disediakan di gudang adalah:

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil olahan diatas dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Faktor yang mempengaruhi banyaknya persediaan untuk mendapatkan keuntungan yang optimum adalah kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan.

2. Metode Program Linier dapat membantu perusahaan dalam menghasilkan jumlah persediaan yang optimal, sehingga menghasilkan keuntungan yang optimal bagi perusahaan.

3. Dari hasil analisis diperoleh persediaan yang optimal bagi perusahaan tiap bulan, yaitu pupuk Urea 2.000 packs, Kieserite 8.000 packs, Rock Phosphate 10.000 packs.

4.2. Saran

1. Diharapkan perusahaan dapat menerapkan sistem pengendalian persediaan sehingga segala sumber daya dapat digunakan seoptimal mungkin untuk mendapatkan laba yang lebih maksimal.

2. Pada tugas akhir ini, terdapat dua kendala yang dihadapi perusahaan, yaitu kapasitas penyimpanan dan jumlah permintaan. Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan dengan menggunakan lebih dari dua jenis kendala.

DAFTAR PUSTAKA

Amalia, Rizka. 2004. Optimasi Komposisi Kuantum Produksi dengan Menggunakan Metode Linear Programming (Studi Kasus: PT. Petrokimia Gresik). Surabaya: Tugas Akhir Teknik Industri ITS, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Assauri, S. 1980. Manajemen Produksi dan Operasi. Jakarta: FE UI.

Herjanto, Eddy. 1999. Manajemen Produksi & Operasi. Jakarta: PT Grasindo. Miller, S. J. 2007. An Introduction to Linear Programming. http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/416/currentnotes/Linea rProgramming.pdf. Diakses tanggal 26 Maret 2013.

Nasution, A. H. dan Prasetyawan, Y. 2008. Perencanaan dan Pengendalian Produksi Edisi Pertama. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Nirwansah, Hendi dan Widowati. 2007. Efisiensi Biaya Distribusi Dengan Metode Transportasi. Semarang: Proseding Seminar Nasional Aplikasi Sains dan Matematika Dalam Industri, FMIPA UNDIP.