Model Transportasi - I - Repository UNIKOM

  MODEL TRANSPORTASI - I MATAKULIAH RISET OPERASIONAL Pertemuan Ke-6

  Riani Lubis Jurusan Teknik Informatika Jurusan Teknik Informatika Universitas Komputer Indonesia

  PENGANTARnetwork model.

  Terdapat bermacam-macam

    Network : Network :

  

  Suatu sistem saluran-saluran yang menghubungkan titik titik yang berlainan. titik-titik yang berlainan

   Susunan titik (node) dan garis yang menghubungkan node node. node-node.

  

  Contoh network : jaringan rel kereta api, sistem saluran p p , j pipa, jaringan jalan raya, jaringan penerbangan dll. g j y , j g p g

  

  Banyak masalah jaringan dapat dirumuskan sebagai masalah PL & solusinya diperoleh dengan menggunakan y p g gg metode simpleks.

  

  Salah satu teknik lain yang lebih efisien daripada metode simpleks adalah metode transportasi, karena masalah transportasi adalah salah satu contoh dari model jaringan yang memiliki ciri-ciri yang sama. jaringan yang memiliki ciri ciri yang sama

  

Persoalan Transpotasi (1)

  Persoalan transportasi terpusat pada pemilihan rute Persoalan transportasi terpusat pada pemilihan rute dalam jaringan distribusi produk antara pusat industri dan distribusi gudang atau antara distribusi gudang dan distribusi gudang atau antara distribusi gudang regional dan distribusi pengeluaran lokal.

  

  Pada umumnya, masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan tujuan, dengan dengan permintaan permintaan tertentu, tertentu pada pada biaya biaya transpor minimum. Karena ada satu macam barang, suatu tempat tujuan dapat memenuhi permintaannya suatu tempat tujuan dapat memenuhi permintaannya dari satu atau lebih sumber.

  

Persoalan Transpotasi (2)

  Persoalan transportasi merupakan persoalan linier khusus yang disebut persoalan aliran network. khusus yang disebut persoalan aliran network

   

  Asumsi dasar model transportasi adalah bahwa Asumsi dasar model transportasi adalah bahwa biaya biaya

  transpor pada suatu rute tertentu proporsional dengan banyaknya unit yang dikirimkan. banyaknya unit yang dikirimkan 

  Tujuan dari model transportasi adalah merencanakan Tujuan dari model transportasi adalah merencanakan pengiriman dari sumber-sumber ke tujuan sedemikian

  meminimumkan total biaya transportasi, y p

  rupa untuk p , dengan kendala-kendala :

  

  Setiap p p permintaan tujuan terpenuhi j p

   tidak mungkin mengirim komoditas lebih

  Sumber besar dari kapasitasnya.

  Contoh

  Misal sebuah perusahaan pengalengan mempunyai 3 Misal sebuah perusahaan pengalengan mempunyai 3 pabrik pengalengan (sumber) yang harus melakukan distribusi ke 4 gudang (tujuan). Setiap pabrik memiliki distribusi ke 4 gudang (tujuan). Setiap pabrik memiliki kapasitas produksi tertentu dan setiap gudang memiliki j jumlah permintaan tertentu terhadap produk tersebut. p p p

  Biaya transpor per unit dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang berbeda-beda. Masalah yang g g g g y g timbul adalah menentukan jumlah barang yang harus dikirim dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang dengan tujuan meminimumkan biaya transpor.

   Suatu model transportasi dikatakan seimbang ( g ( balanced

  progam), jika total jumlah antara penawaran ( supply) dan permintaan (demand) sama :

  m n S S D D

  

 

i j

      1 1   i j

   unbalanced program),

  Dan dikatakan tidak seimbang ( jika kapasitas sumber lebih besar dari kapasitas tujuan atau sebaliknya :

  m n m n

  S D atau S D

   i j i j

          1 1 1 1 ijij

  

Perumusan Model Transportasi

Fungsi Tujuan Minimumkan :

  X 1 m m m

  X 1

    j i ij

  S

  X 1

    j i ij

  S

   

    j i ij

   m i j ij D

  X 1

    m i j ij

  D

  X 1

    m i j ij

  D

  S

    i j j 1 1

     n m

     m n j i

  X C Z Minimumkan : Fungsi Balanced program Unbalanced program

     

   j ij ij i

  X C Z 1 1 Fungsi Pembatas Balanced program Unbalanced program

     m n j i

  D S  

   m n j i D S

  D Sn

    i j j 1 1  

  S

  Xn

  S

  X

   n S

  X  

    i j j 1 1  

  X 1 Xij ≥ 0 untuk semua i dan j i = 1, 2, ....., m Jika ada 2 buah sumber & 3 tujuan (m = 2, n = 3), maka : j ( )

SUMBER SUMBER

  TUJUAN TUJUAN D D

  1 S S

  1

  1 D D

  2

  2 S

  2

  2 D

  3 SSS 1 1 2 2 DDDD 1 1 2 2 3 3  

   

  • C
  • C
  • C
  • C
  • C

  12

  X

  11

  12

  13

  = S

  21

  22

  23

  = S

  11

  21

  = D

  22

  F. Pembatas :

  = D

  2

  12

  22

  2 X

  13

  23

  = D

  3 X

  ≥ 0

  X

  ij

  ≥ 0

  X S

  X X

  23 F Pembatas :

  23 X

  F. Tujuan : Minimumkan

  Z = C

  11 X

  11

  12 X

  12

  13 X

  13

  21 X

  21

  22

  22 X

  23

  21

  23

  22

  22

  11

  21

  13

  13

  12

  12

  11

  • X
  • X

1 X

  • X
  • X

2 X

  • X

1 X

  • X
  • X

  Contoh :

  Sebuah perusahaan Negara berkepentingan mengangkut pupuk dari tiga pabrik ke tiga pasar. Kapasitas supply pupuk dari tiga pabrik ke tiga pasar Kapasitas supply ketiga pabrik, permintaan pada ketiga pasar dan biaya transpor per unit adalah sebagai berikut : transpor per unit adalah sebagai berikut :

PASAR PASAR PENAWARAN

  1

  2

  3

  1

  8

  5 6 120 PABRIK

  2

  15

  10

  12

  80

  3

  3

  9

  10

  80 PERMINTAAN 150

  70 60 280

  

Langkah Pemecahan Masalah

Transportasi :

  k ketiga metoda berikut :

1. M Menentukan solusi fisibel awal dengan menggunakan t k l i fi ib l l d

  a. North West Corner Rule (NWCR) / Pokia-Pokaba North West Corner R le (NWCR) / Pokia Pokaba

  b. Least Cost Value (LCV) / Ongkos Terkecil

  c. Vogel Approximation Method (VAM) Vogel Approximation Method (VAM) 2.

  i nilai solusi fisibel terkecil.

  2 Pilih salah satu hasil solusi fisibel awal yang mempunyai Pilih l h t h il l i fi ib l l

  3. Menentukan apakah metoda yang terpilih pada langkah 1

  sudah optimum atau belum, dengan cara menentukan sudah optimum atau belum dengan cara menentukan

  entering variabel. Jika ada perubahan, maka lanjutkan ke langkah 3. Tapi jika tidak ada, maka STOP (berhenti). langkah 3. Tapi jika tidak ada, maka STOP (berhenti).

  4. leaving variabel dari langkah 3 dan

  Menentukan menghitung kembali nilai solusi fisibel yang baru, menghitung kembali nilai solusi fisibel yang baru kemudian kembali ke langkah 3.

  Untuk langkah 3 dan langkah 4, dapat menggunakan salah satu metode di bawah ini : satu metode di bawah ini :

  a. Stepping Stone Method

  b. Multiplier Method

  Metode North West Corner Rule

  Menentukan distribusi dari pojok kiri atas ke pojok kanan Menentukan distribusi dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah tanpa memperhatikan besarnya biaya.

  

  Prosedurnya :

  1 1.

  Mulai pada pojok kiri atas tabel dan alokasikan M l i d j k ki i t t b l d l k ik sebanyak mungkin pada X tanpa menyimpang dari

  11

  kendala penawaran atau permintaan (artinya X kendala penawaran atau permintaan (artinya X

  11

  ditetapkan sama dengan yang terkecil diantara nilai S S dan D atau min(S D ) dan D atau min(S ,D )

  1 1 i j

  2.

  2 Ini akan menghabiskan penawaran pada sumber 1 Ini akan menghabiskan penawaran pada sumber 1

  dan atau permintaan pada tujuan 1. Akibatnya, tidak ada lagi barang yang dapat dialokasikan ke kolom ada lagi barang yang dapat dialokasikan ke kolom atau baris yang telah dihabiskan dan kemudian baris atau kolom itu dihilangkan. Kemudian alokasikan atau kolom itu dihilangkan Kemudian alokasikan sebanyak mungkin ke kotak di dekatnya pada baris atau pindahlah secara diagonal ke kotak berikutnya atau pindahlah secara diagonal ke kotak berikutnya.

  3.

  3 Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua

  penawaran telah dihabiskan dan keperluan permintaan telah dipenuhi. permintaan telah dipenuhi

  50

  20

  60 Caranya : y

  

  Sebanyak mungkin dialokasikan ke X sesuai dengan

  11

  aturan bahwa X adalah y yang g minimum diantara

  11

  11

  [120,150], berarti X = 120. Ini menghabiskan penawaran

  11

  pabrik 1 dan akibatnya, pada langkah selanjutnya baris 1 dihilangkan. dihil k

  

  Karena X = 120, maka permintaan pada tujuan 1 belum

  11

  terpenuhi terpenuhi sebanyak sebanyak

  30. Kotak Kotak di di dekatnya, dekatnya

  30

  X X

  21

  dialikasikan sebanyak mngkin sesuai dengan X = min

  21

  [30,80] [30 80] = 30 Ini menghilangkan kolom 1 pada langkah

  30. Ini menghilangkan kolom 1 pada langkah selanjutnya.

   Kemudian X Kemudian X = min [50,70] = 50, yang menghilangkan min [50,70] 50, yang menghilangkan

  22

  22 baris 2.

  

  X = min [20,80] = 20 [ , ]

  32 

  32

  X = min [60,60] = 60

  33

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (8x120) + (15x30) + (10x50) + (9x20) + (10x60) = 2690

  60 Maka total biaya transpor adalah : Z

  X

  31

  = 0

  X

  33

  = 60

  X

  33

  8X + 5X + 6X + 15X + 10X + 12X + 3X + Z = 8X

  32

  11

  12

  13

  21

  22

  23

  31

  32

  33

  = 20

  23 X

  Solusi fisibel awal dengan 5 variabel basis & 4 variabel Solusi fisibel awal dengan 5 variabel basis & 4 variabel non-basis sbb : Variabel Basis :

  21

  Variabel Nonbasis : Variabel Basis : Variabel Nonbasis :

  X

  11

  = 120

  X

  12

  = 0

  X

  = 30

  22

  X

  13

  = 0

  X

  22

  = 50

  X

  23

  = 0

  • 5X
  • 6X
  • 15X
  • 10X
  • 12X
  • 3X
  • 9X
  • 10X

  Metode Least Cost Value

  Mencapai tujuan minimasi biaya dengan alokasi sistematik pada kotak-kotak sesuai dengan besarnya sistematik pada kotak kotak sesuai dengan besarnya biaya transpor per unit.

   

  Prosedurnya : Prosedurnya : 1.

  Pilih variabel X (kotak) dengan biaya transpor (C )

  ij ij

  terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin. Untuk C terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin Untuk C

  ij

  terkecil, X = minimum [S , D ]. Ini akan

  ij i j

  menghabiskan baris i atau kolom j. menghabiskan baris i atau kolom j 2. Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau tidak dihilangkan), pilih nilai C terisi atau tidak dihilangkan) pilih nilai C terkecil dan terkecil dan

  ij alokasikan sebanyak mungkin.

  3.

3 Lanjutkan proses ini sampai semua penawaran dan Lanjutkan proses ini sampai semua penawaran dan permintaan terpenuhi.

  50

  10

  70 Caranya : y

  

  Langkah pertama dalam metode LCV adalah menyarankan alokasi X y karena C = 3 adalah kotak

  31

  31

  31

  31

  dengan biaya minimum. Jumlah yang dialokasikan adalah X = min [150,80] = 80. Karena alokasi ini [ ]

  31

  31

  menghabiskan penawaran sumber 3 sehingga baris 3 dihapus, dan X maupun X tak layak lagi. Juga,

  32

  3

  33

  33

  permintaan sebanyak 150 pada tujuan 1 dikurangi 80 sehingga sekarang permintaannya tinggal 70.

  

  Alokasi kotak selanjutnya dipilih dari 6 kotak sisanya, Cij Alokasi kotak selanjutnya dipilih dari 6 kotak sisanya, Cij terkecil adalah C = 5 dan X = min [70,120] = 70.

  12

  12

   Alokasi kotak sisanya dibuat dengan cara yang sama. y g y g  

  Jika terdapat nilai C Jika terdapat nilai C terkecil yang sama (kembar), pilih terkecil yang sama (kembar) pilih

  ij ij

  diantara kotak itu secara sembarang. Karena ini hanya merupakan solusi awal yang tidak berpengaruh terhadap merupakan solusi awal yang tidak berpengaruh terhadap solusi optimum, kecuali mungkin memerlukan iterasi yang lebih banyak untuk mencapainya. yang lebih banyak untuk mencapainya.

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (5x70) + (6x50) + (15x70) + (12x10) + (3x80) = 2060

  80 Maka total biaya transpor adalah : Z

  X

  33

  = 0

  X

  31

  = 80

  X

  31

  8X + 5X + 6X + 15X + 10X + 12X + 3X + Z = 8X

  23

  11

  12

  13

  21

  22

  23

  31

  32

  33

  = 10

  32 X

  Solusi fisibel awal dengan 5 variabel basis & 4 variabel Solusi fisibel awal dengan 5 variabel basis & 4 variabel non-basis sbb : Variabel Basis :

  13

  Variabel Nonbasis : Variabel Basis : Variabel Nonbasis :

  X

  12

  = 70

  X

  11

  = 0

  X

  = 50

  21

  X

  22

  = 0

  X

  21

  = 70

  X

  32

  = 0

  • 5X
  • 6X
  • 15X
  • 10X
  • 12X
  • 3X
  • 9X
  • 10X

  Metode Aproksimasi Vogel p g

  

  VAM hampir selalu memberikan suatu solusi awal yang p y g lebih baik dibanding metode NWCR dan seringkali lebih baik daripada metode LCV.

   

  Pada beberapa kasus Pada beberapa kasus, solusi awal yang diperoleh solusi awal yang diperoleh memalui VAM akan menjadi optimum.

  

  VAM melakukan alokasi dalam suatu cara yang akan meminimumkan meminimumkan penalty (opportunity cost) dalam memilih penalty (opportunity cost) dalam memilih kotak yang salah untuk suatu alokasi.

  

Prosedurnya y

1.

  Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom.

  Opportunity cost untuk setiap baris i dihitung dengan O t it t

  t k ti b i i dihit d mengurangkan nilai C terkecil pada baris itu dari nilai C

  ij ij

  satu tingkat lebih besar pada baris yang sama. satu tingkat lebih besar pada baris yang sama

  Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang

  serupa. Biaya-biaya ini adalah p y y p penalty karena tidak y memilih kotak dengan biaya minimum.

2. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai kembar, pilih secara sembarang).

  Alokasikan sebanyak mungkin ke kotak dengan nilai C Al k ik b k ki k k t k d il i C

  ij minimum pada baris atau kolom yang dipilih.

  Untuk Untuk C C terkecil. X terkecil X = minimum [S = minimum [S , D D ] Artinya ]. Artinya

  ij ij i j penalty terbesar dihindari.

  3 3.

  Sesuaikan Sesuaikan penawaran penawaran dan dan permintaan permintaan untuk untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Hilangkan semua semua baris baris dan dan kolom kolom dimana dimana penawaran penawaran dan dan permintaan telah dihabiskan.

4. Jika semua penawaran dan permintaan belum dipenuhi,

  k kembali ke langkah 1 dan hitung lahi b li k l k h 1 d hit l hi opportunity cost t it t yang baru. Jika semua penawaran dan permintaan, solusi awal telah diperoleh. solusi awal telah diperoleh

  Penalty Cost (Baris) Penalty Cost (Baris) 6 – 5 = 1 12 – 10 = 2 9 – 3 = 6

80 Penalty

  terbesar Penalty y 8 – 3 = 5 9 – 5 = 4 10 – 6 = 4 Cost

  (Kolom)

  Penalty Cost (Baris)

  I III

  II

  1

  1

  1

  70

  50

  2

  2

  2

  70

  10

  6 – –

80 Penalty I 5 4 4 y

  Cost

  II 7 5 6 (Kolom) Caranya :

   Langkah pertama dalam metode VAM adalah menghitung opportunity cost (penalty cost) untuk iterasi ke-1 yang

  dilakukan pada setiap baris dan kolom. Setelah itu dipilih dil k k d ti b i d k l S t l h it di ilih opportunity cost yang terbesar.

   Karena sumber 3 memiliki nilai opportunity cost terbesar

  maka disarankan alokasi X maka disarankan alokasi X karena C karena C = 3 adalah kotak = 3 adalah kotak

  31

  31

  dengan biaya minimum jika dibandingkan dengan C

  32

  dan C dan C . Jumlah yang dialokasikan adalah X Jumlah yang dialokasikan adalah X = min min

  33

  33

  31

  31

  [150,80] =

  80. Karena alokasi ini menghabiskan p penawaran sumber 3 sehingga baris 3 dihapus, dan X gg p

  32

  32

  maupun X tak diperhitungkan lagi pada iterasi

  33

  berikutnya. Juga, permintaan sebanyak 150 pada tujuan 1 dikurangi 80 sehingga sekarang permintaannya tinggal 1 dik i 80 hi k i t ti l

  70.

   Pada iterasi ke-2, lakukan perhitungan g opportunity cost y

  dengan mengabaikan kotak yang telah terisi (X )

  31 ataupun yang tidak akan diperhitungkan lagi (X , X ).

  32

  33 Karena pada iterasi ke-2, kolom tujuan 1 yang memiliki opportunity cost terbesar maka disarankan

  mengalokasikan ke kotak X karena C = 8 dengan

  11

  31 alokasi sebesar X = min [70,120] = 70.

  31

 Lakukan iterasi tersebut berulang-ulang g g sampai p

permintaan terpenuhi semua.

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = (8x70) + (6x50) + (10x70) + (12x10) + (3x80) = 1920

  80 Maka total biaya transpor adalah : Z

  X

  33

  = 0

  X

  31

  = 80

  X

  31

  8X + 5X + 6X + 15X + 10X + 12X + 3X + Z = 8X

  23

  11

  12

  13

  21

  22

  23

  31

  32

  33

  = 10

  32 X

  Solusi fisible awal dengan 5 variabel basis & 4 variabel Solusi fisible awal dengan 5 variabel basis & 4 variabel non-basis sbb : Variabel Basis :

  13

  Variabel Nonbasis : Variabel Basis : Variabel Nonbasis :

  X

  11

  = 70

  X

  12

  = 0

  X

  = 50

  22

  X

  21

  = 0

  X

  22

  = 70

  X

  32

  = 0

  • 5X
  • 6X
  • 15X
  • 10X
  • 12X
  • 3X
  • 9X
  • 10X

   Dari pencarian solusi awal dengan ketiga metoda di atas, g g

  diperoleh kesimpulan bahwa biaya awal terkecil adalah 1920 yang diperoleh dari hasil pencarian dengan metoda

  VAM.

  

  Tetapi apakah solusi ini merupakan solusi optimum atau p p p p bukan, belum diketahui. Karena harus dilanjutkan ke langkah 2 untuk mencari solusi optimum.

  

  Setelah solusi layak dasar awal diperoleh, kemudian dilakukan perbaikan untuk mencapai solusi optimum. p p p

  

  Pencarian solusi optimum dapat dilakukan dengan menggunakan metoda menggunakan metoda stepping stone atau metoda stepping stone atau metoda

  multiplier.