LINEAR PROGRAMMING, METODE SIMPLEKS

  

LINEAR PROGRAMMING

METODE SIMPLEKS

  

LANGKAH-LANGKAH METODE SIMPLEKS :

Misalkan contoh kita PT. KEMBANG ARUM Fungsi tujuan : Max : Z = 3X + 4X

  1

  2 Batasan – batasan : 1. 2X + X ≤ 6.000

  1

  2 2. 2X + 3X ≤ 9.000

  1

  2 LANGKAH 1 : MERUBAH BENTUK FUNGSI TUJUAN

Fungsi tujuan dirubah sedemikian rupa, sehingga semua variabel

yang belum diketahui nilainya berada di sebelah kiri tanda = . Misalnya dalam contoh diatas, fungsi tujuan : Maksimum : Z = 3X + 4X

  1

  2 diubah menjadi Maksimum : Z – 3X – 4X = 0

  1

  2 LANGKAH 2 : MERUBAH BENTUK BATASAN- BATASAN

Semua batasan yang mula-mula bertanda lebih kecil atau

sama dengan ( ≤ ) dirubah menjadi tanda persamaan ( = ),

dengan menggunakan suatu tambahan variabel yang

sering disebut sebagai “Variabel Slack”, yang biasanya

diberi simbol “ S “.

  Perubahan tersebut menjadi :

  2X + X ≤ 6.000 dirubah menjadi 2X + X + S = 6.000

  1

  2

  1

  2

  1

  2X + 3X ≤ 9.000 dirubah menjadi 2X + 3X + S = 9.000

  1

  2

  1

  2

  2 LANGKAH 3 : MENYUSUN PERSAMAAN KE DALAM TABEL

  Angka kunci

  VD Z

  X ₁ X S S NK _{2 1 2} Baris kunci

  Z 1 -3 -4 S ₁

  2

  1 1 6.000 S ₂

  2 1 9.000

  LANGKAH 4 : MEMILIH KOLOM KUNCI Pilih kolom yang pada garis Z mempunyai nilai negatif terkecil (pailng negatif).

  LANGKAH 5 : MEMILIH BARIS KUNCI baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah / mengadakan perbaikan. Untuk menentukannya terlebih dahulu harus kita cari indeks tiap-tiap baris dengan cara sebagai berikut :

  nilai pada kolom NK indeks baris  nilai pada kolom kunci LANGKAH 5 : MEMILIH BARIS KUNCI : Indeks : 6.000 / 1 = 6.000 9.000 / 3 = 3.000

Kemudian kita pilih baris kunci, yaitu baris yang

mempunyai indeks positif terkecil, yaitu baris batasan

kedua (indeks batasan pertama 6.000 dan batasan

kedua hanya 3.000). Kemudian baris kunci ini kita beri

tanda (dilingkari) agar lebih mudah mengingatnya.

  

Kita lihat ada angka yang masuk dalam kolom kunci

dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci sebesar 3. LANGKAH 6 : MERUBAH NILAI-NILAI BARIS KUNCI Mula-mula kita ubah dulu nilai-nilai baris kunci dengan membagi semua angkanya dengan angka kunci. Jadi semua angka pada baris kunci itu kita bagi 3, disamping itu variabel dasarnya kita ganti dengan variabel yang kolomnya terpilih sebagai kolom kunci, dalam contoh kita variabel X . ₂ VD Z

  X ₁ X S S NK _{2 1 2} Z

  1 -3 -4 S ₁

  2

  1 1 6.000 Dibagi 3

  S ₂

  2

  3 1 9.000

  VD Z

  X ₁ X S S NK _{2 1 2} Z

  S ₁ S 2/3 ₂ 1 1/3 3.000 LANGKAH 7 : MENGUBAH NILAI DILUAR BARIS KUNCI Nilai baru dari baris-baris yang bukan merupakan baris kunci dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut : Untuk baris Z pada tabel dapat dihitung sebagai berikut :

  Nilai Baris Baru

  = Nilai Baris Lama

  Koefisien Pada Kolom Kunci

  Nilai Baru Baris Kunci

  X _

• 3 -4
• ( -4 ) 2/3

  1 1/3 3.000

  Nilai baru baris kunci

• 1/3 1 4/3 12.000

  Koefisien angka pada kolom kunci

  Nilai baris lama Nilai baris baru

• ( 1 ) 2/3

  1 1 6.000 S ₂

  X 2/3 1 1/3 3.000

  Z 1 -1/3 4/3 12.000 S ₁ 4/3 1 -1/3 3.000

  X ₁ X ₂ S ₁ S ₂ NK

  VD Z

  3 1 9.000

  2

  2

  Untuk baris batasan pertama sebagai berikut :

  Z 1 -3 -4 S ₁

  X ₁ X ₂ S ₁ S ₂ NK

  VD Z

  4/3 1 -1/3 3.000 Tabel I nilai lama dan tabel II nilai baru (setelah diperbaiki sekali) :

  1 1/3 3.000

  1 1 6.000

  2

  I II LANGKAH 8 : MELANJUTKAN PERBAIKAN Selama masih ada nilai negatif pada baris Z ulangilah langkah perbaikan mulai dari langkah ke-3 sampai dengan langkah ke-7 sampai diperoleh pemecahan optimal. Kalau sudah tidak ada nilai pada baris Z yang negatif berarti alokasi itu sudah optimal.

  Nilai baru dari baris Z menjadi :

• 1/3

  4/3 12.000

• ( -1/3 ) 1 3/4 -1/4 2.250

  ¼ 5/4 12.750 Nilai baru baris batasan pertama :

  2/3 1 1/3 3.000

• ( 2/3 ) 1 3/4 -1/4 2.250 1 -1/2 1/2 1.500

  VD Z

  X ₂ 2/3 1 1/3 3.000

  I II

  X ₂ 1 -1/2 1/2 1.500

  X ₁ 1 3/4 -1/4 2.250

  Z 1 1/4 5/4 12.750

  X ₁ X ₂ S ₁ S ₂ NK

  VD Z

  Z 1 -1/3 4/3 12.000 S ₁ 4/3 1 -1/3 3.000

  X ₁ X ₂ S ₁ S ₂ NK

  X ₁ X ₂ S ₁ S ₂ NK

  VD Z

  3 1 9.000

  2

  1 1 6.000 S ₂

  2

  Z 1 -3 -4 S ₁

  III

  

Pada bagian III dari tabel di atas ternyata dalam bari

Z sudah tidak memiliki negatif lagi, berarti tabel ini

sudah optimal.

  Arti dari hasil pemecahan optimal ini sebagai berikut : Produk pertama dihasilkan 2.250 unit (X = 2.250)

  1 Produk kedua dihasilkan 1.500 unit (X = 1.500)

  2 Sumbangan terhadap laba sebesar Rp. 12.750,- (Z = 12.750) LATIHAN 1: Suatu pabrik automotive menghasilkan dua macam kendaraan dengan kualitas berbeda, yaitu type BEBAS EMISI dan type HEMAT BAHAN BAKAR. Untuk menghasilkan kedua macam kendaraan tersebut digunakan tiga macam spare part yang sama yaitu spare part A, B dan C. kebutuhan spare part untuk menghasilkan tiap satuan produk sebagai berikut :

  Type Kebutuhan

  Spare part A Spare part B Spare part C BEBAS EMISI

  3

  2

  2 HEMAT BB

  2

  4

  4 Maks tersedia

  30

  42

  80 Permintaan dianggap cukup bisa menyerap semua produk yang dihasilkan. Sumbangan terhadap laba tiap satuan kendaraan type BEBAS EMISI $ 5.000 sedangkan type HEMAT BAHAN BAKAR $ 10.000. perusahaan akan menentukan jumlah tiap type yang dihasilkan agar bisa memaksimalkan laba. Selesaikanlah persoalan diatas dengan metode simpleks ! LATIHAN 2 :

Suatu perusahaan menghasilkan 2 macam produk, yaitu

produk A dan produk B. kedua produk itu dibuat

melalui dua mesin (mesin I dan mesin II). Untuk

menghasilkan 100 unit produk A harus dikerjakan di

mesin I selama 3 jam dan di mesin II selama 4 jam;

sedang untuk menghasilkan 100 unit produk B harus

dikerjakan di mesin I selama 2 jam dan di mesin II

selama 5 jam. Kapasitas kerja maksimum untuk mesin I

12 jam dan mesin II juga 12 jam. Sumbangan terhadap

laba untuk setiap 100 buah produk A sebesar Rp. 3.000

dan untuk produk B sebesar Rp. 3.500. berapakah

jumlah produk A dan produk B yang seharusnya

dihasilkan agar memperoleh laba maksimum ?

  LATIHAN 3 :

Suatu perusahaan menghasilkan dua macam produk,

dengan menggunakan bakan baku J , K dan L.

kebutuhan akan bahan baku setiap unit produk sebagai

berikut :

  

Kebutuhan bahan baku / unit

Bahan baku Maks. Tersedia

  Produk I Produk II J 3 kg 2 kg 42 kg

  K 2 kg 4 kg 30 kg L 2 kg 4 kg 48 kg

  Sumbangan thd Rp. 12,- Rp. 8,- laba

  Hitunglah kombinasi jumlah produk yang bisa memaksimumkan laba perusahaan ! LATIHAN 4 : Perusahaan mempunyai anggaran produksi sebesar $ 2000 dan jam kerja maksimum 665 jam per hari. Maksimum permintaan tiap hari 200 unit untuk jam dinding, 300 unit radio, dan 150 unit toater. Keuntungan maksimum tiap unit produk adalah $ 15 untuk jam dinding, $ 20 untuk radio, dan $ 12 untuk toaster. Tentukan produksi optimal agar keuntungan maksimum !

  Kebutuhan sumber daya Produk

  Biaya/unit Jam/unit Jam dinding

  8

  2 Radio

  10

  3 Toaster

  5

  2 LATIHAN 5 :

Sebuah industri kerajinan kulit membuat tas yang

terdiri dari jenis A dan B. keuntungan masing-masing

jenis tas adalah $ 400 dan $ 200 dolar per unit. Industri

mendapat pesanan dari sebuah toko sebesar 30 (A dan

B) buah per bulan. Suplai bahan kulit paling sedikit 80

lembar per bulan, dan industri kerajinan ini harus

memesan paling tidak 80 lembar per bulan. Setiap

barang A memerlukan 2 lembar kulit sedangkan barang

B membutuhkan 8 lembar. Dari pengalaman

sebelumnya industri ini tidak bisa membuat barang

jenis A lebih dari 20 buah per bulan. Mereka ingin

mengetahui berapa jumlah masing-masing jenis A dan

B yang harus dibuat supaya keuntungan yang didapat

maksimum. Tentukan model program liniernya dan

selesaikan persoalan dengan metode simpleks.!