LEMBAR KERJA SISWA 1. Judul Materi Pokok

LEMBAR KERJA SISWA
1. Judul (Materi Pokok)

: Penggunaan Integral Tentu Untuk Menghitung Volume
Benda Putar

2. Mata Pelajaran

: Matematika

3. Kelas / Semester

: XII / 1

4. Waktu

: 4 x 45 menit

5. Standar Kompetensi

: 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah.

6. Kompetensi Dasar

: 1.3. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di
bawah kurva dan volum benda putar

7. Indikator

: 1.3.2. Menghitung volume benda putar mengelilingi
sumbu X.
1.3.3. Menghitung volume benda putar mengelilingi
sumbu Y.

.
8. Petunjuk Belajar (bagi peserta didik)
a. Baca buku paket Matematika yang berkaitan dengan

luas daerah y ang dibatasi oleh dua

kurva

b. Baca seksama LKS sebelum anda melakukan interaksi dengan program
c. Lakukan menurut langkah-langkah yang telah disajikan.
9. Informasi :
1. Perputaran mengelilingi sumbu X
Perhatikan gambar :

Y
y=f(x)

x=a

x=b

X

Jika pada waktu itu menentukan luas , bagian kecil yang dibuat berupa persegi panjang kecil,
pada volume benda putar ini bagian kecil yang dibuat berupa silinder-silinder kecil.

LKS Integral (volume benda putar)

Hal. 1

y = f (x)

x

Volume silinder = p r2 t = p y2 x
Oleh karena benda pejal dibagi menjadi silinder
sampai dengan x = b.

-silinder kecil maka pada interval x = a

x b

ð y 2 Äx

V=
x a

Jika diambil x

0 (silinder semakin banyak)
b

ð y 2 Äx

V = Lim
Äx

0

x a

Ditulis dalam notasi integral
b

b

V = p y 2 dx atau V = p { f (x) }2 dx
a

a

10. Langkah Kerja
Tugas ---1. Salin dan lengkapilah
Daerah yang diarsir pada gambar diputar 3600 mengelilingi sumbu X. Tentukan volumenya.
y = f (x)

Y

3

0

b

X

......
2

Vol = p y dx = p
a

........ dx = p ...........
.......

.....
.....

= p ......... (.............)
= ......... p satuan volume.
Tugas ---2. Salin dan lengkapilah
0
Tentukan volume dari daerah D yang diputar 360 mengelilingi sumbu X.

y = 3x - x 2
Batas integrasi
y=0
LKS Integral (volume benda putar)

Hal. 2

.............. = 0
.....(........) = 0
x = .... atau x = ..... inilah batas-batas a dan b
........

........

(.............. ) 2 dx

y 2 dx = p

Volume = p

........

........
........

=p

(......................)dx
........

= p ............................

.....
......

= p ............................ (.......................)
= p (.....)
= ..... p. satuan volume
Penilaian
Penilaian kognitif : tes tertulis
Bentuk instrumen : soal uraian
Instrumen :
Kerjakan soal-soal dibawah ini
1. Tentukan volume benda putar daerah yang diarsir berikut jika diputar 360

sumbu X
a.
b.

Y
0

y = 2x

Y

X

0

2

c.

mengelilingi

x2 +y 2 = 16

X

d.

Y
0

y = -x2+ 1

X

Y
0

y 2 = 8x

2

X

2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang batas
diputar 360o mengelilingi sumbu X.
a.
y = 3x + 1, sumbu X, x = 1 dan x = 2,
b.
y = x2 ---4 dan sumbu X
c.
d.

o

-batasnya dibawah ini

y = x 3 , sumbu X dan x = 2.
2
2
4x + 9y = 36 dan sumbu X.

LKS Integral (volume benda putar)

Hal. 3

2. Perputaran Mengelilingi sumbu Y
Analog dengan cara menentukan volume jika daerah diputar360
maka untuk perputaran sekeliling sumbu Y adalah :

o

mengelilingi sumbu X,

Y

b
x = g (y)

Y
y = f (x)

a

X
b

ð x 2 Äy .

Volume = Lim
Äy

o

a
b

b
2

Jika ditulis dalam notasi integral : V = p x dy atau V = p { f (y)}2 dy
a

a

Contoh 1
o
Daerah diarsir diputar 360 mengelilingi sumbu Y, tentukan volumenya !

Y
y = x2
5

0

X

5

5
2

Jawab :

V = p x dy = p ...... dy
0

=p

0

1
.......
2

5

=p
0

1
. 5......2
2

1
......
2

= .......... p satuan volume
Contoh 2.
o
Daerah diarsir diputar 360 mengelilingi sumbu Y, tentukan volumenya !
Y
y= x
2

0

X

Keterangan :
Nyatakan menjadi fungsi Y, y =
LKS Integral (volume benda putar)

x

Hal. 4

y2 = x, jadi f (y) = y2
2

2

2
2 2

Vol = p f (y) dy = p (y ) dy = p y 4 dy
2

0

0

0

2

= p .... y .....

0

= p .... 2 ..... 0
= .....p satuan volume.

Latihan Uji Kompetensi
1. Tentukan volume daerah yang diarsir berikut jika diputar 360o mengelilingi sumbu Y.
a.

c.

b.
Y

Y

d.
Y

y = 2x
x+y = 3

3

0

1
0

X

0

X

y2 = x - 1

X

1
0 x2 +y2 = 4

X

2. Hitung volume benda putar daerah yang batas
-batasnya ditentukan berikut ini jika
diputar 360o mengelilingi sumbu Y
a.
y = x ---1, sumbu X, sumbu Y dan garis y = 2.
b.
y = 2x2, sumbu Y dan garis y =8.
2
c.
y = x ---4, sumbu Y, garis y = 0 dan y = 2
d.
y = 9 ---y2, y = ---3 dan y = 3
3. Volume Benda Putar dari Daerah Antara Dua Kurva Yang Diputar Terhadap Sumbu
X
Perhatikan gambar :

Y

E

D

D

F

C

A

0

x=a

y1 = f(x)
y 2 = g(x)

B

X

x=b

Daerah yang dibatasi kurva y 1 = f(x), y 2 = g(x), garis x = a, dan garis x = b diputar 360
mengelilingi sumbu X.
Volume Benda Putar = Volume putaran ABDE ---Volume putaran ABCF
b

o

b

= p f (x) 2 dx --- g (x) 2 dx
a

a

b

= p f (x) 2 - g (x) 2 dx
a

Jadi volume benda putar yang dibatasi y1 = f(x), y2 = g(x), garis x = a, dan garis x = b adalah :
LKS Integral (volume benda putar)

Hal. 5

b

b

V = p ((y1 ) 2 - (y 2 ) 2 ) dy atau V = p f (x) 2 - g (x) 2 dx
a

a

Contoh 1
o
Tentukan volume daerah yang diarsir jika diputar 360 mengelilingi sumbu X.
Y
y = x2
y2 = x

X

0
1
2

Volume

2

= p y1 - y 2 dx
0

1

= p ..... - (.....2 ) 2 dx
0
1

= p ....... - .......4 dx
0
1

= p ............. ........... 0
= p (.....................) .....
= p ....... .......
= ......... p satuan volume.
Contoh 2
o
Tentukan volume daerah yang diarsir jika diputar 360 mengelilingi sumbu X.
y=x

Y

y = x2

X

0

Batas integrasi merupakan perpotongan kedua kurva.
y=x
Jadi : Batas bawah x = 0
2
y=x
Batas atas x = 1
0 = x ---x2
0 = x (1---x)
x = 0 dan x = 1
1

1
2

2

1
2

Volume = p y1 - y 2 dx = p x - ( x ) dx = p (x 2 - x 4 ) dx
0

= p ....x .... ....x

0

2 2

0

.... 1
0
....

= p (....1.... ....1 ) 0
= …. p .

LKS Integral (volume benda putar)

Hal. 6

Latihan Uji Kompetensi
1. Tentukan volume daerah yang diarsir berikut jk diputar 360o mengelilingi sumbu X.
a.
b.
Y

Y
y = x2

x2 + y2 = 4

0 y= -x2 +2

X

0

X

c.

d.
Y

Y
x2 + y2 = 25

x2 + y2 =1
9 4
0 x2 +y 2= 16

X

0

X

2. Tentukan volume benda putar daerah yang batas -batasnya seperti berikut jk diputar 360 o
mengelilingi sumbu X.
a.
y = 2x, y = x + 1 dan sumbu Y
2
b.
y = x dan y = 2x
c.
y = 2 + x2 dan y = 10 ---x2
d.
y = x2 dan y = 4x ---x2

4. Volume Benda Putar Dari Daerah Antara Dua Kurva Yang Diputar Terhadap Sumbu
Y.
Daerah yang dibatasi kurva x 1 = f(y) dan x 2 = g(y) garis y = a dan garis y = b yang diputar
360o mengelilingi sumbu Y.
Analog den gan mentukan volume benda putar daerah dua kurva yang diputar mengelilingi
sumbu X, untuk yang mengelilingi sumbu Y.
b

Vol = p x 1

b
2

2

x 2 dy atau V = p f(y) 2 g(y) 2 dy

a

a

Contoh 1
o
Tentukan volumenya, jika daerah yang diarsir diputar 360 mengelilingi sumbu Y
Y
y = 2x
y = x2

X
Penyelesaian
Nyatakan dalam fungsi y untuk kedua fungsi tersebut
x2 = y
y = x2
1
y = 2x
x= y
2
LKS Integral (volume benda putar)

Hal. 7

Batas integrasi potongkan kedua kurva
x2 = y
1
x2 = y 2
4
1
0 = y --- y 2
4
1
0 = y(1 --- y )
4
y = 0 atau y = 4

Jadi. Batas bawah y = 0
batas atas y = 4

4

4

x 2 ) dy =

1
y ( y) 2 dy
2
0

1
y ( y) 2 dy =
4
0

....y ..... .....y ....

Volume =

(x 1

2

2

0
4

=

4
0

= (....4..... .....4 .... ) 0
= ..... .
Latihan uji Kompetensi
1. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir diputar 360o mengelilingi
sumbu Y.
b.
c.
d.
a.
Y

Y

Y

Y

y = 2x
3

y=x

y 2= - x + 2

x2
9

y2 = x

y2 + x2 = 4

y2
1
4

X

X

X

X

2. Hitung volume benda putar daerah yang batas-batasnya seperti berikut jika diputar 360o
mengelilingi sumbu Y.
a.
y = 2x , y = x + 1 , dan sumbu Y
b.
y2 = 4x dan x = 1
c.
y2 = x dan y = x2
2
2
d.
x + y = 9 dan x + y = 3

LKS Integral (volume benda putar)

Hal. 8