Penerapan Metode Cutting Plane Pada Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Program linier merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber
daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan, seperti memaksimumkan
keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier banyak diterapkan dalam
masalah ekonomi, militer dan sosial. Program linier berkaitan dengan penjelasan
suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika yang terdiri dari
sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
Program linier merupakan instrumen pengambilan keputusan yang
berkaitan dengan pengalokasian sumber daya dalam mencapai tujuan tertentu.
Sumber daya berupa uang, tenaga kerja, material, mesin, fasilitas, ilmu
pengetahuan, teknologi, keahlian, waktu dan ruang. Sumber daya ini sifatnya
terbatas. Dengan demikian, program linier berperan sebagai alat untuk membantu
dalam pengambilan keputusan manajemen dengan cara mengidentifikasi
kombinasi sumber daya yang tersedia sehingga tujuan yang diinginkan dapat
tercapai dengan optimal.
Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan
(variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila
terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi,
sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk
menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih. Kedua metode ini sampai
sekarang masih sangat popular dan masih mengalami perkembangan, salah
satunya menggunakan logika fuzzy.
Semua masalah dalam dunia nyata erat hubungannya dengan masalah
manusia, yang mengandung ketidakpastian (Purba,2012). Dari kebutuhan untuk
menggambarkan keadaan dunia nyata yang tidak pasti ini muncul istilah fuzzy
Universitas Sumatera Utara
2
yang pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh dari Universitas
California di Berckeley pada tahun 1965. Teori ini dapat digunakan untuk
menangani ketidakpastian dalam masalah dunia nyata. Teori ini memperkenalkan
yang keanggotaannya dinyatakan dengan derajat keanggotaan tertentu dalam
selang tertutup antara 0 dan 1. Program linier fuzzy adalah program linier yang
dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter
fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy. Tujuan dari program linier fuzzy adalah mencari
solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi
objektif dan kendala. Solusi tersebut berbentuk himpunan fuzzy yang memiliki
derajat kebenaran tertentu pada selang [0,1] (Purba, 2012).
Hasil yang diperoleh dari penyelesaian yang menggunakan program linier
fuzzy sering kali menghasilkan nilai yang berbentuk pecahan sementara satuan
yang ditetapkan misalkan adalah satuan unit dalam suatu perancangan produksi.
Hal ini tentu tidak relevan karena satuan unit tidak mungkin bernilai pecahan.
Oleh karena itu, diperlukan suatu metode pembulatan untuk menghasilkan nilai
yang integer dari hasil perolehan program linier fuzzy tersebut. Metode
pembulatan yang akan digunakan penulis adalah metode pembulatan cutting
plane. Berdasarkan latar belakang tersebut maka penulis memilih judul tugas akhir
“Penerapan Metode Cutting Plane pada Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy”.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tulisan tersebut, maka rumusan masalah dalam tulisan
ini adalah bagaimana menentukan hasil bilangan yang integer pada program linier
fuzzy dengan cutting plane.
Universitas Sumatera Utara
3
1.3. Batasan Masalah
Untuk menghindari meluasnya masalah dalam tulisan ini, maka permasalahan
dibatasi sebagai berikut:
1. Penelitian ini terfokus pada masalah program bilangan integer.
2. Penelitian ini terfokus pada pembulatan hasil yang berbentuk desimal.
1.4. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan hasil bilangan yang integer dan tetap
optimal dengan cutting plane
1.5. Kontribusi Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Untuk menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang
operasi riset yang berhubungan dengan program linier fuzzy bagi penulis
dan pembaca.
2. Sebagai bahan pertimbangan untuk penulis dan pembaca agar dapat
mempelajari dan mengembangkan ilmu matematika dalam berbagai
permasalahan serta aplikasinya.
1.6. Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam tulisan ini, penulis mengambil beberapa
pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian tulisan ini.
Dalam logika fuzzy pemetaan input ke derajat keanggotaanya digambarkan
sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang
Universitas Sumatera Utara
4
baik untuk mendekati suatau konsep yang kurang jelas. Ada dua keadaan
himpunan fuzzy yang linier. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai
kodomain yang memiliki derajat keanggotaan nol (0) bergerak kekanan menuju
nilai domaini yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi ( Kusumadewi &
Purnomo, 2010).
Fuzzy linaearr programming menggabungkan antara model pemrograman
linier biasa dan konsep logika fuzzy sebagai salah satu cara pengambilan
keputusan
dalam
menentukan
jumlah
produk
yang
optimal
dengan
mempertimbangkan keterbatasan sumber daya produksi (Suantio, Rambe &
Siregar, 2013).
Fuzzy Linier Programming merupakan modifikasi dari teori Linier
Programming digabung dengan Fuzzy Logic di mana hasilnya akan lebih kecil
jika dibandingkan dengan hasil pada metode Linier Programming. Dengan
menerapkan Fuzzy Linier Programming dalam menentukan tingkat produksi
maksimum dianggap dapat membantu untuk memetakan suatu input ke dalam
suatu output tanpa mengabaikan faktor-faktor yang ada. Dengan metode ini
diharapkan nantinya dapat membantu dalam proses pengambilan keputusan yang
tepat yang mana Fuzzy Logic dapat digunakan dalam pemecahan masalah program
linier tersebut. Hal ini merupakan syarat mutlak untuk dapat digunakan dalam
Fuzzy Linier Programming (Wanayumini, 2012).
Penyelesaian program linier secara klasik dianggap kurang tepat lagi, hal
ini disebabkan penyelesaian program linier secara klasik tidak melibatkan asumsiasumsi yang ada padahal model yang terbentuk dalam dunia nyata selalu terbentuk
dengan asumsi-asumsi yang ada. Penyelesaian program linier secara logika fuzzy
akan memberikan hasil yang lebih baik jika dibandingkan dengan penyelesaian
program linier secara klasik (Purba, 2012).
Metode Cutting Plane membahas masalah pemrograman linier yang
dipecahkan, yaitu dengan mengabaikan kondisi integer . Misalnya, tabel optimal
terakhir untuk program linier diketahui. Pilih sembarang baris tabel optimal
simpleks yang dalam kolom bi memuat pecahan. Misalkan baris ke-i adalah baris
yang terpilih, kemudian pisahkan bi dan a ij menjadi bagian yang bulat dan bagian
pecah. Kemudian dibuat kendala Gomory sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
5
−
Keterangan :
=1
=−
adalah variabel slack cutting plane ke n; fi adalah bagian
pecahan dari bi, fij adalah koefisien variabel non basis,wj adalah variabel non
basis.
Ide dari metode cutting plane adalah kendala terhadap masalah pada saat
tertentu sehingga diperoleh masalah program linier dengan sebuah solusi yang
optimal dengan hasil bilangan integer. Hal pertama yang dilakukan pada metode
ini adalah dengan menyelesaikan persamaan dengan program linier biasa, apabila
diperoleh penyelesaian bilangan integer dan merupakan hasil yang optimal maka
proses dihentikan. Jika tidak maka akan ditambahakan sebuah kendala kedalam
masalah dan diselesaikan kembali dengan program linier biasa, apabila belum
menghasilkan solusi yang integer, maka dilakukan lagi penambahan kendala
sampai hasil yang diperoleh adalah bilangan integer (Paul R Thie, 1938).
1.7. Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah
:
1. Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya
yang berhubungan dengan program linier fuzzy dan metode cutting plane.
2. Membahas definisi program linier, program bilangan bulat dan
menjelaskan fuzzy.
3. Membahas program linier fuzzy serta pembulatannya menggunakan
metode cutting plane.
4. Menyelesaikan ilustrasi numerik dari kasus pembulatan program linier
fuzzy menggunakan metode cutting plane.
Universitas Sumatera Utara
6
5. Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang
telah diselesaikan.
Universitas Sumatera Utara
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Program linier merupakan metode matematika dalam mengalokasikan sumber
daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan, seperti memaksimumkan
keuntungan dan meminimumkan biaya. Program linier banyak diterapkan dalam
masalah ekonomi, militer dan sosial. Program linier berkaitan dengan penjelasan
suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematika yang terdiri dari
sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
Program linier merupakan instrumen pengambilan keputusan yang
berkaitan dengan pengalokasian sumber daya dalam mencapai tujuan tertentu.
Sumber daya berupa uang, tenaga kerja, material, mesin, fasilitas, ilmu
pengetahuan, teknologi, keahlian, waktu dan ruang. Sumber daya ini sifatnya
terbatas. Dengan demikian, program linier berperan sebagai alat untuk membantu
dalam pengambilan keputusan manajemen dengan cara mengidentifikasi
kombinasi sumber daya yang tersedia sehingga tujuan yang diinginkan dapat
tercapai dengan optimal.
Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan
(variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila
terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi,
sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk
menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih. Kedua metode ini sampai
sekarang masih sangat popular dan masih mengalami perkembangan, salah
satunya menggunakan logika fuzzy.
Semua masalah dalam dunia nyata erat hubungannya dengan masalah
manusia, yang mengandung ketidakpastian (Purba,2012). Dari kebutuhan untuk
menggambarkan keadaan dunia nyata yang tidak pasti ini muncul istilah fuzzy
Universitas Sumatera Utara
2
yang pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh dari Universitas
California di Berckeley pada tahun 1965. Teori ini dapat digunakan untuk
menangani ketidakpastian dalam masalah dunia nyata. Teori ini memperkenalkan
yang keanggotaannya dinyatakan dengan derajat keanggotaan tertentu dalam
selang tertutup antara 0 dan 1. Program linier fuzzy adalah program linier yang
dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter
fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy. Tujuan dari program linier fuzzy adalah mencari
solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi
objektif dan kendala. Solusi tersebut berbentuk himpunan fuzzy yang memiliki
derajat kebenaran tertentu pada selang [0,1] (Purba, 2012).
Hasil yang diperoleh dari penyelesaian yang menggunakan program linier
fuzzy sering kali menghasilkan nilai yang berbentuk pecahan sementara satuan
yang ditetapkan misalkan adalah satuan unit dalam suatu perancangan produksi.
Hal ini tentu tidak relevan karena satuan unit tidak mungkin bernilai pecahan.
Oleh karena itu, diperlukan suatu metode pembulatan untuk menghasilkan nilai
yang integer dari hasil perolehan program linier fuzzy tersebut. Metode
pembulatan yang akan digunakan penulis adalah metode pembulatan cutting
plane. Berdasarkan latar belakang tersebut maka penulis memilih judul tugas akhir
“Penerapan Metode Cutting Plane pada Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy”.
1.2. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tulisan tersebut, maka rumusan masalah dalam tulisan
ini adalah bagaimana menentukan hasil bilangan yang integer pada program linier
fuzzy dengan cutting plane.
Universitas Sumatera Utara
3
1.3. Batasan Masalah
Untuk menghindari meluasnya masalah dalam tulisan ini, maka permasalahan
dibatasi sebagai berikut:
1. Penelitian ini terfokus pada masalah program bilangan integer.
2. Penelitian ini terfokus pada pembulatan hasil yang berbentuk desimal.
1.4. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mendapatkan hasil bilangan yang integer dan tetap
optimal dengan cutting plane
1.5. Kontribusi Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Untuk menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang
operasi riset yang berhubungan dengan program linier fuzzy bagi penulis
dan pembaca.
2. Sebagai bahan pertimbangan untuk penulis dan pembaca agar dapat
mempelajari dan mengembangkan ilmu matematika dalam berbagai
permasalahan serta aplikasinya.
1.6. Tinjauan Pustaka
Sebagai sumber pendukung teori dalam tulisan ini, penulis mengambil beberapa
pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian tulisan ini.
Dalam logika fuzzy pemetaan input ke derajat keanggotaanya digambarkan
sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang
Universitas Sumatera Utara
4
baik untuk mendekati suatau konsep yang kurang jelas. Ada dua keadaan
himpunan fuzzy yang linier. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai
kodomain yang memiliki derajat keanggotaan nol (0) bergerak kekanan menuju
nilai domaini yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi ( Kusumadewi &
Purnomo, 2010).
Fuzzy linaearr programming menggabungkan antara model pemrograman
linier biasa dan konsep logika fuzzy sebagai salah satu cara pengambilan
keputusan
dalam
menentukan
jumlah
produk
yang
optimal
dengan
mempertimbangkan keterbatasan sumber daya produksi (Suantio, Rambe &
Siregar, 2013).
Fuzzy Linier Programming merupakan modifikasi dari teori Linier
Programming digabung dengan Fuzzy Logic di mana hasilnya akan lebih kecil
jika dibandingkan dengan hasil pada metode Linier Programming. Dengan
menerapkan Fuzzy Linier Programming dalam menentukan tingkat produksi
maksimum dianggap dapat membantu untuk memetakan suatu input ke dalam
suatu output tanpa mengabaikan faktor-faktor yang ada. Dengan metode ini
diharapkan nantinya dapat membantu dalam proses pengambilan keputusan yang
tepat yang mana Fuzzy Logic dapat digunakan dalam pemecahan masalah program
linier tersebut. Hal ini merupakan syarat mutlak untuk dapat digunakan dalam
Fuzzy Linier Programming (Wanayumini, 2012).
Penyelesaian program linier secara klasik dianggap kurang tepat lagi, hal
ini disebabkan penyelesaian program linier secara klasik tidak melibatkan asumsiasumsi yang ada padahal model yang terbentuk dalam dunia nyata selalu terbentuk
dengan asumsi-asumsi yang ada. Penyelesaian program linier secara logika fuzzy
akan memberikan hasil yang lebih baik jika dibandingkan dengan penyelesaian
program linier secara klasik (Purba, 2012).
Metode Cutting Plane membahas masalah pemrograman linier yang
dipecahkan, yaitu dengan mengabaikan kondisi integer . Misalnya, tabel optimal
terakhir untuk program linier diketahui. Pilih sembarang baris tabel optimal
simpleks yang dalam kolom bi memuat pecahan. Misalkan baris ke-i adalah baris
yang terpilih, kemudian pisahkan bi dan a ij menjadi bagian yang bulat dan bagian
pecah. Kemudian dibuat kendala Gomory sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
5
−
Keterangan :
=1
=−
adalah variabel slack cutting plane ke n; fi adalah bagian
pecahan dari bi, fij adalah koefisien variabel non basis,wj adalah variabel non
basis.
Ide dari metode cutting plane adalah kendala terhadap masalah pada saat
tertentu sehingga diperoleh masalah program linier dengan sebuah solusi yang
optimal dengan hasil bilangan integer. Hal pertama yang dilakukan pada metode
ini adalah dengan menyelesaikan persamaan dengan program linier biasa, apabila
diperoleh penyelesaian bilangan integer dan merupakan hasil yang optimal maka
proses dihentikan. Jika tidak maka akan ditambahakan sebuah kendala kedalam
masalah dan diselesaikan kembali dengan program linier biasa, apabila belum
menghasilkan solusi yang integer, maka dilakukan lagi penambahan kendala
sampai hasil yang diperoleh adalah bilangan integer (Paul R Thie, 1938).
1.7. Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah
:
1. Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya
yang berhubungan dengan program linier fuzzy dan metode cutting plane.
2. Membahas definisi program linier, program bilangan bulat dan
menjelaskan fuzzy.
3. Membahas program linier fuzzy serta pembulatannya menggunakan
metode cutting plane.
4. Menyelesaikan ilustrasi numerik dari kasus pembulatan program linier
fuzzy menggunakan metode cutting plane.
Universitas Sumatera Utara
6
5. Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang
telah diselesaikan.
Universitas Sumatera Utara