Metode Penyelesaian Program Fuzzy Integer Linier Dengan Fungsi Keanggotaan Linier

(1)

SKRIPSI

NURUL FEBRINA TAMBUNAN

050803005

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

(2)

PERSETUJUAN

Judul : METODE PENYELESAIAN PROGRAM FUZZY

INTEGER LINIER DENGAN FUNGSI KEANGGOTAAN LINIER.

Kategori : SKRIPSI

Nama : NURUL FEBRINA TAMBUNAN

Nomor Induk Mahasiswa : 050803005

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

Medan, Oktober 2009 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Djakaria Sebayang Prof. Dr. Herman Mawengkang NIP 19511227 198031 002 NIP 19461128 1974031 001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua.

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP 19640109 198803 1004

(3)

PERNYATAAN

METODE PENYELESAIAN PROGRAM FUZZY INTEGER LINIER DENGAN FUNGSI KEANGGOTAAN LINIER

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Oktober 2009-

NURUL FEBRINA TAMBUNAN 050803005

(4)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan karunia-Nya, sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang telah ditetapkan.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dan membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini, ucapan terima kasih saya sampaikan kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang. selaku pembimbing I dan Bapak Drs. Djakaria Sebayang selaku pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada saya sehingga skripsi ini dapat saya selesaikan.

2. Ibu Dra. Elly Rosmaini, M.Si. dan Bapak Drs. H. Haludin Panjaitan selaku dosen penguji saya.

3. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc. dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Sc. selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika.

4. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

5. Semua Dosen pada Departemen Matematika FMIPA USU, pegawai di FMIPA USU

6. Seluruh teman di jurusan Matematika khususnya stambuk 2005, serta sahabat– sahabatku: Devi, Lia, Nenna, Rima, Yuni, Sundari, Radhi, Santri dan terutama Andika yang selama ini telah memberikan semangat, dorongan dan saran dalam pengerjaan skripsi ini.

7. Kedua orang tua serta adik-adik saya yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang diperlukan.

Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Allah SWT.

(5)

ABSTRAK

Asumsi kepastian nilai – nilai parameter, dalam pengambilan keputusan yang dimodelkan dengan program linier, dalam prakteknya sering sulit untuk dipenuhi. Ketidakpastian yang muncul kadang diakibatkan oleh suatu kebijakan yang intuitif dan subjektif. Untuk memecahkan dan mengakomodasi ketidakpastian seperti tersebut, akan digunakan program linier fuzzy. Dan biasanya solusi yang diperoleh berupa bilangan riil. Dengan menerapkan metode program fuzzy integer linier, sebuah permasalahan akan dibagii menjadi dua Program integer linier kemudian diselesaikan dengan metode percabangan dan pembatasan sehingga kesimpulan yang didapat adalah solusi optimal berupa bilangan bulat.

(6)

ABSTRACT

In practice, the certainess assumption for parameters in linear programming are difficult to pullfield. The uncertainties are sometimes coming from subjective and intuitive policies. To solve and accommodate these problems, will be use Fuzzy linear programming. And usually solution is real number. By applying method Fuzzy integer linear programming, a problems will divided in two Integer linear programming and then finished with method branch and bound so the conclusion is got optimal solution in integer.

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN ii

PERNYATAAN iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR ix

Bab 1 PENDAHULUAN 1

1.1Latar Belakang 1

1.2Perumusan Masalah 2

1.3Tinjauan Pustaka 2

1.4Tujuan Penelitian 4

1.5Kontribusi Penelitian 4

1.6Metode Penelitian 4

Bab 2 LANDASAN TEORI 5

2.1 Teori Himpunan Fuzzy 5

2.2 Fuzzy Set 7

2.3 Fuzzy Set Operation 8

2.4 Sistem Fuzzy 9

2.5 Fungsi Keanggotaan (Membership Function) 10

2.6 Program Linier 14

2.7 Fuzzy Linier Programming 25

2.8 Permasalahan Linier Fuzzy 27

Bab 3 PEMBAHASAN 29

3.1 Program Integer 29

3.2 Model Dasar 29

3.3 Percabangan (Branching) 30

3.4 Pembatasan (Bounding) 30

3.5 Fuzzy Integer Linier Programming 33

3.6 Contoh Numerik 34

Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN 43

4.1 Kesimpulan 43

4.2 Saran 44

(8)

viii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Bentuk Tabel Simpleks 18

Tabel 2.2 Bentuk tabel awal simpleks sebelum pivoting 20 Tabel 2.3 Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting 22

Tabel 2.4 Tabel simpleks untuk iterasi 1 23

Tabel 2.5 Tabel simpleks untuk iterasi 2 24

Tabel 2.6 Tabel simpleks untuk iterasi 3 25

Tabel 3.1 Tabel simpleks untuk iterasi 1 35

Tabel 3.2 Tabel simpleks untuk iterasi 2 36

Tabel 3.3 Tabel simpleks untuk iterasi 3 36

Tabel 3.4 Tabel simpleks untuk iterasi 1 39

Tabel 3.5 Tabel simpleks untuk iterasi 2 39

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar : Nilai keanggotaan muda, parobaya, dan tua 6

Gambar : Representasi linier naik 11

Gambar : Representasi linier turun 12

Gambar : Representasi kurva segitiga 12

(10)

ABSTRAK

(11)

ABSTRACT

(12)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam pemodelan program linier (PL) salah satu asumsi dasar adalah asumsi kepastian, yaitu setiap parameter, data-data dalam pemodelan PL, yang terdiri dari koefisisen-koefisien fungsi tujuan , konstanta-konstanta sebelah kanan dan koefisien-koefisien teknologis, diketahui secara pasti, Liebermann. Tetapi dalam praktek, asumsi ini jarang dipenuhi. Sebab, kebanyakan model PL dirumuskan untuk memilih suatu tindakan atau keputusan di waktu yang akan datang. Jadi, parameter-parameter yang akan dipakai didasarkan atas suatu prediksi mengenai kondisi masa datang. Karena ketidakpastian tersebut, biasanya dilakukan analisa kepekaan setelah didapat penyelesaian optimal. Tujuannya adalah untuk mengetahui parameter-parameter yang sensitif, untuk mencoba mengestimasinya dengan lebih baik, dan kemudian memilih suatu pemecahan yang tetap atau lebih baik untuk nilai-nilai yang mungkin dimiliki oleh parameter-parameter sensitif tersebut. Untuk pengambilan keputusan dari permasalahan yang semakin kompleks, kadang-kadang tingkat ketidakpastian yang timbul terlalu kompleks untuk dapat dilakukan analisa kepekaan. Misalnya adalah ketidakpastian yang disebabkan oleh kekurang-jelasan dalam penentuan nilai-nilai parameter, hal ini terutama dipengaruhi oleh faktor subjektif dan intuitif yang domain.

Teori himpunan fuzzy, yang dikembangkan oleh L. Zadeh pada pertengahan tahun 60-an, telah banyak berhasil dalam menangani masalah pengambilan keputusan dalam lingkungan kabur atau tidak pasti karena faktor subjektif ataupun karena intuitif, Bellman dan Zadeh.

(13)

Dalam pengambilan keputusan dengan model PL, ketidakpastian karena faktor subjektif dapat diakomodasi dan dipecahkan dengan teori himpunan fuzzy. Persoalan program linier fuzzy yang timbul secara alami pada aplikasi-aplikasi dunia nyata, banyak diantaranya yang menginginkan variabel keputusannya hanya berupa bilangan cacah, sebagai contoh diterapkan dalam studi kelayakan pada pabrik-pabrik dan bidang produksi material. Dengan adanya syarat cacah untuk nilai variabel keputusan, maka permasalahan ini disebut Fuzzy Integer Linier Programming (program integer linier fuzzy) yang dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus pada fungsi keanggotaan linier.

Dengan latar belakang inilah maka penulis memilih judul “ Metode Penyelesaian Program Fuzzy Integer Linier dengan Fungsi Keanggotaan Linier ”.

1.2 Perumusan Masalah

Yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan permasalahan dalam program fuzzy integer linier dengan fungsi keanggotaan linier, dalam hal ini dibatasi pada bilangan kabur segitiga (triangular fuzzy number).

1.3 Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, maka penulis mengggunakan beberapa pustaka antara lain :

Winston, W.L, 2003. Operations Research: Applications and Algorithms, menyatakan bahwa bentuk umum model program linier adalah sebagai berikut:

Maksimumkan : Z =c₁x₁+c₂x₂+...+c_jx_j (minimumkan)

Kendala : a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a₁_ix_j ≤b₁ 2 2

2 22 1

21x a x ... a x b

(14)

3 ⋮ ⋮ ⋮ j j ij i

i x a x a x b a₁ ₁+ ₂ ₂ +...+ ≤ x_i ≥0 (i=1,2,...,n) Dimana:

x = Variabel keputusan ke-j. j

c = Koefisien fungsi objektif (KFO) dari variabel keputusan ke-j.

a = Koefisien teknologi dari variabel keputusan ke-j pada kendala ke-i.

b = Koefisien ruas kanan pada kendala ke-i i = 1,2,…,m (m = jumlah variabel keputusan) dan j = 1,2,…,n (n = jumlah kendala).

Sri Kusumadewi, 2002. Analisa & desain sistem fuzzy menggunakan toolbox matlab menyatakan bahwa bentuk umum fuzzy linier programming adalah:

Maksimumkan _j

n j jx c Z

∑

= = 1 ~

Kendala _j _i

ijx b a~ ~ 1

≤

∑

( i = 1,2,…,m) 0

≥ j

x ( j = 1,2,…,n) Dimana c~ , _j a~ dan _ij b~_j semuanya adalah bilangan fuzzy.

International Journal Of Contemporary Mathematical Sciences, Fuzzy Integer Linier Programming.(diakses 10 Maret 2009) menyatakan bahwa bentuk umum dari program integer linier fuzzy adalah sebagai berikut:

Min C X~ t

s. AX~ =H

( ) (

T = −b+br,b−br

)

_X~* ≥₀_,_X~∈_I_._S⌢_._Tn

Dimana A∈ℜmxn,C∈ℜn dan T STm

⌢ ⌢

(15)

Itu berarti bahwa, jika

( )

c;w adalah solusi maka w adalah bilangan integer.

1.4 Tujuan Penelitian.

Secara umum tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyelesaikan masalah program fuzzy integer linier dengan fungsi keanggotaan linier.

1.5 Kontribusi Penelitian.

Dengan mengadakan penulisan ini, penulis berharap dapat menambah referensi bagi pembaca dan pengambil keputusan dalam menyelesaikan program fuzzy integer linier dengan fungsi keanggotaan linier.

1.6 Metode Penelitian.

Penelitian ini bersifat studi literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah-1 : Menjelaskan definisi fungsi keanggotaan linier pada fuzzy

Langkah-2 : Menjelaskan prosedur untuk mereduksi program integer linier fuzzy menjadi dua problema yang singkat dalam program integer linier Langkah-3 : Menyelesaikan contoh numerik permasalahan dalam program fuzzy

(16)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Himpunan Fuzzy

Dalam kebanyakan jenis pemikiran setiap harinya, orang – orang menggunakan crisp set untuk mengelompokan sesuatu. Menjadi anggota dari crisp set adalah seluruhnya berhubungan atau tidak sama sekali. Seorang wanita dikatakan hamil ataupun tidak, ia tidak pernah “hamil sebagian” atau “sedikit hamil”.

Berpikir dengan crisp set menjadikan segala sesuatunya lebih sederhana, karena sesuatu bisa merupakan anggota dari suatu crisp set atau tidak. Crisp set dapat digunakan untuk merepresentasikan gambaran pengertian hitam dan putih. Seringkali juga, saat sesuatu itu merupakan anggota dari sebuah crisp set maka ia kemudian (pada waktu yang sama) bukan merupakan anggota dari crisp set manapun. Kembali hal ini menyederhanakan penggunaan logika dengan proses pemikiran semacam ini. Konstruksi linguistik yang menggambarkan jenis pemikiran ini dapat benar – benar berguna, terutama saat kategori crisp digunakan.

Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item x dalam suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan µ A[x], memiliki 2 kemungkinan, yaitu :

• µA[1], yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau

• µA[0], yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.

(17)

Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat dari contoh dibawah ini :

Dari gambar diatas dapat dijelaskan bahwa:

• Apabila seseorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan MUDA (µMUDA[34]=1);

• Apabila seseorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µMUDA[35]=0);

• Apabila seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK MUDA (µMUDA[35-1hr]=0);

• Apabila seseorang berusia 35 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µPAROBAYA[35]=1);

• Apabila seseorang berusia 34 tahun, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µPAROBAYA[34]=0);

• Apabila seseorang berusia 55 tahun, maka ia dikatakan PAROBAYA (µPAROBAYA[55]=1);

• Apabila seseorang berusia 35 tahun kurang 1 hari, maka ia dikatakan TIDAK PAROBAYA (µPAROBAYA[35-1hr]=0);

Dari sini bisa dikatakan bahwa pemakaian himpunan crisp untuk menyatakan umur sangat tidak adil, adanya perubahan kecil saja pada suatu nilai mengakibatkan perbedaan kategori yang cukup signifikan. Oleh karena itu digunakanlah himpunan fuzzy untuk mengantisipasi hal tersebut.

(18)

2.2 Fuzzy Set

Logika fuzzy lahir berdasarkan fenomena – fenomena alam yang serba tidak tepat dan samar ditinjau dari cara berpikir manusia, dimana pada kenyataannya tidak ada suatu kondisi atau pernyataan yang tepat 100% benar atau 100% salah. Untuk mempresentasikan nilai ketidakpastian, Prof. Lotfi A. Zadeh mengembangkan suatu teori berdasarkan conventional set yang disebut fuzzy set (himpunan fuzzy). Logika fuzzy memberikan nilai yang spesifik pada setiap nilai dengan menentukan fungsi keanggotaan (membership function) bagi tiap nilai input dari proses fuzzy (crisp input) dan derajat keanggotaan (degree of membership) yaitu menyatakan derajat dari crisp input sesuai membership function antara 0 sampai 1.

Menurut Prof. Lotfi A Zadeh, fuzzy set adalah sebuah kelas dari obyek dengan serangkaian kesatuan dari grades of membership (nilai keanggotaan). Sebuah set dikarakterisasikan oleh sebuah fungsi keanggotaan (karakteristik) yang memberikan tiap obyek sebuah nilai keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1. Gagasan pencantuman (inclusion), penyatuan (union), persimpangan (intersection), pelengkap (complement), hubungan (relation), kecembungan (convexity), dan sebagainya diberikan pada set tersebut, dan berbagai macam sifat dari pemikiran ini dalam konteks dari fuzzy set dibangun. Secara khusus, dalil untuk fuzzy set cembung dibuktikan tanpa perlu fuzzy set terputus.

Aturan umum untuk teori fuzzy set dituliskan sebagai berikut:

dimana n merupakan jumlah kemungkinan.

Untuk lebih jelasnya mengenai himpunan fuzzy dapat dilihat pada contoh persoalan dibawah ini:

(19)

Dengan adanya himpunan fuzzy memungkinkan seseorang untuk dapat masuk kedalam 2 himpunan yang berbeda, MUDA dan PAROBAYA, PAROBAYA dan TUA, dan sebagainya. Seberapa besar eksistensinya dalam himpunan tersebut dapat dilihat pada nilai keanggotaannya. Dari gambar diatas, dapat dilihat bahwa :

• Seseorang yang berumur 40 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µMUDA[40] = 0,25; namun dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan µPAROBAYA[40] = 0,5.

• Seseorang yang berumur 50 tahun, termasuk dalam himpunan MUDA dengan µMUDA[50] = 0,25; namun dia juga termasuk dalam himpunan PAROBAYA dengan µPAROBAYA[50] = 0,5.

Kalau pada himpunan crisp, nilai keanggotaan hanya ada 2 kemungkinan, yaitu 0 atau 1, pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan terletak pada rentang 0 sampai 1. apabila x memiliki nilai keanggotaan fuzzy µA[x] = 0 berarti x tidak menjadi anggota himpunan A, demikian pula apabila x memiliki nilai keanggotaan fuzzy µA[x] = 1 berarti x menjadi anggota penuh pada himpunan A.

2.3 Fuzzy Set Operation

Fuzzy set operation adalah operasi yang dilakukan pada fuzzy set. Operasi – operasi ini merupakan generalisasi dari operasi crisp set. Terdapat lebih dari satu generalisasi yang mungkin. Operasi – operasi yang paling banyak digunakan secara luas disebut standard fuzzy set operations. Terdapat tiga operasi yaitu :

a) Fuzzy Union.

Fungsi keanggotaan dari Union dari dua fuzzy set A dan B dengan fungsi keanggotaan µA dan µB berturut – turut ditetapkan sebagai maksimum dari dua fungsi keanggotaan tersendiri. Ini disebut standar maksimum.

(

)

max ,

A B A B

(20)

b) Fuzzy Intersection.

Fungsi keanggotaan dari Intersection dari dua fuzzy set A dan B dengan fungsi keanggotaan µA dan µB berturut – turut ditetapkan sebagai minimum dari dua fungsi keanggotaan tersendiri. Ini disebut standar minimum.

(

)

min ,

A B A B

µ _∩ = µ µ .

c) Fuzzy Complements.

Fungsi keanggotaan dari Intersection dari sebuah fuzzy set A dengan fungsi keanggotaan µ_A ditetapkan sebagai negasi dari fungsi keanggotaan yang ditentukan. Ini disebut standar negasi.

A µ

µ _' =1− . 2.4 Sistem Fuzzy

Ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami system fuzzy, yaitu:

a. Variabel fuzzy

Variabel fuzzy merupakan variabel yang hendak dibahas dalam suatu system fuzzy. Contoh : umur, temperature, permintaan, dsb.

b. Himpunan fuzzy

Himpunan fuzzy merupakan suatu grup yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy.

c. Semesta Pembicaraan

Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif maupun negatif. Adakalanya nilai semesta pembicaraan ini tidak dibatasi batas atasnya.

(21)

Contoh:

• Semesta pembicaraan untuk variabel umur: [0, +∞) • Semesta pembicaraan untuk variabel temperature : [0, 40] d. Domain

Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang di ijinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Seperti halnya semesta pembicaraan, domain merupakan himpunan bilangan real yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai domain dapat berupa bilangan positif maupun negatif. Contoh domain himpunan fuzzy:

• MUDA = [0, 45] • PAROBAYA = [35, 55] • TUA = [45, +∞).

2.5 Fungsi Keanggotaan (Membership Function).

Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukan pemetaan titik – titik input data kedalam nilai keanggotaannya (sering juga disebut dengan derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan.

Representasi Linier

Pada representasi linier, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas.

(22)

Ada 2 keadaaan himpunan fuzzy yang linier. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi.

Representasi Linier Naik :

Fungsi keanggotaan :

[ ]

( ) ( )

b

x

b

x

a

x

b

x

a

x

≥

≤











=

−

=

;

1 /

0 µ

Kedua, merupakan kebalikan yang pertama. Garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah.

(23)

Representasi linier Turun :

Fungsi keanggotaan :

[ ]

(

) (

)

b

x

b

x

a

b

x

b

x

≥

≤







=

−

=

;

0 /

µ

Representasi Kurva Segitiga

Kurva Segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis (linier) seperti terlihat pada gambar.

(24)

Fungsi keanggotaan :

[ ]

(

) (

)

(

) (

)

c x atau c x b b x a a x b c x b a b a x x ≥      ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − − = − − = = ; / ; / ; 0 µ

Representasi Kurva Trapesium

Kurva Trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1 ( Gambar ).

Fungsi keanggotaan :

[ ]

(

) (

)

(

) (

)

d x atau d x c x b b x a a x c d x d a b a x X ≥ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤        − − = = − − = = ; / ; 1 ; / ; 0 µ

(25)

2.6 Program linier

Sebelum mengarah pada bagaimana fuzzy dibuat untuk kekurangan pada linier programming, sebaiknya terlebih dahulu mengetahui apa itu optimasi.

Optimasi.

Optimasi adalah sarana untuk mengekspresikan model matematika yang bertujuan memecahkan masalah dengan cara terbaik. Untuk tujuan bisnis, hal ini berarti memaksimalkan keuntungan dan efisiensi serta meminimalkan kerugian, biaya atau resiko. Hal ini juga berarti merancang sesuatu untuk meminimalisasi bahan baku atau memaksimalisasi keuntungan. Adapun keinginan untuk memecahkan masalah dengan model optimasi secara umum sudah digunakan pada banyak aplikasi.

Program Linier.

Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat diambil contoh bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi: mesin, tenaga kerja, bahan mentah, dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.

Pada masa modern sekarang, program linier masih menjadi pilihan dalam upaya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal. Dalam memecahkan masalah di atas, Program linier menggunakan model matematis. Sebutan “linier” berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi-fungsi linier. Dalam Program linier dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan (objective function) dan fungsi-fungsi batasan (constraint function). Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuan/sasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya

(26)

minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.

Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi:

1. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.

2. Alternatif perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan; misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.

3. Sumber daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas

4. Perumusan kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam apa yang disebut model matematika.

5. Keterkaitan peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.

(27)

Model Dasar

Model dasar program linier dapat dirumuskan sebagai berikut:

Carilah nilai-nilai X₁,X₂,…,X_n_{yang dapat menghasilkan berbagai} kombinasi optimum (maksimum atau minimum) dari:

) . ( 2 2 1 1 tujuan fungsi X C X C X C

Z = + +…+ _n _n

(2.1)

Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala-kendala atau syarat-syarat ikatan sebagai berikut:

1 1

2 12 1

11X a X a X atau b

a + +…+ _n _n ≤ ≥

2 2

2 22 1

21X a X a X atau b

a + +…+ _n _n ≤ ≥

⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮

m n

mn m

m X a X a X atau b

a + +…+ ≤ ≥

2 2 1

1 (2.2)

dan bahwa: X_j ≥0,untuk j=1,2,…,n _(2.3) Keterangan:

C Parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah pengambilan keputusan dalam funsi tujuan.

= j

X Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan (yang ingin dicari; yang tidak diketahui).

= ij

a Koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan (kegiatan yang bersangkutan) dalam kendala ke-i.

b Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang bersangkutan; disebut pula konstanta atau “nilai sebelah kanan” dari kendala ke-i.

Z Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan; suatu fungsi tujuan.

(28)

Asumsi – asumsi program linier

1. Linieritas

Asumsi ini menginginkan agar perbandingan antara input yang satu dengan input lainnya, atau untuk suatu input dengan output besarnya tetap dan terlepas (tidak tergantung) pada tingkat produksi.

2. Proposionalitas

Asumsi ini menyatakan bahwa jika peubah pengambilan keputusan, X _j berubah maka dampak perubahannya akan menyebar dalm proposi yang sama terhadap fungsi tujuan, C_jX_j, dan juga pada kendalanya, a_ijX_j.

3. Aditivitas

Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimisasi (koefisien peubah pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan) merupakan jumlah dari nilai individu-individu C dalam model PL tersebut. _j

4. Divisibilitas

Asumsi ini menyatakan bahwa peubah-peubah pengambilan keputusan X_j, jika diperlukan dapat dibagi ke dalam pecahan-pecahan.

5. Deterministik

Asumsi ini menghendaki agar semua parameter dalam PL (yaitu nilai – nilai j

C , a , dan ij bi) tetap dan dikehendaki atau ditentukan secara pasti.

Metode Simpleks

Apabila suatu masalah Linier Programming hanya mengandung dua kegiatan (variabel-variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi,

(29)

sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih.

Masalah Program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel-tabel.

Tabel 2.1 Bentuk tabel simpleks

C

C1 … Ck … Cn

Variabel Basis

Harga Basis

1 B

X …

X Jawab

Basis 1

X C_B₁ a₁₁ …

a1 … a1n b ₁

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

X C_Br a_r₁ …

a …

a _b_r

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

X C_Bm a_m₁ …

a …

mn a

m b =

− j j C

Z imbalan Zj −Cj … Zk −Ck … Zn −Cn cBb

Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan kedalam model matematik persamaan linier, caranya sebagai berikut:

1. Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan.

Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah kelayakan (feasible) maka model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artificial

(30)

variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol kepada setiap koefisien C nya. Batasan dapat di modifikasi sebagai berikut:

a. Untuk batasan bernotasi

( )

≤ dapat dimodifikasikan kepada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack ke dalam nya.

b. Untuk batasan bernotasi ≥ atau

( )

= diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Jika persoalan maksimal maka dibuat –M sebagai harga, dan jika persoalan minimal dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

Penambahan variabel slack dan variabel buatan (artificial variabel) pada tiap batasan (constrain) untuk persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut:

Maksimalkan:

∑

+ = = − = m m i i j n j

jx M B c

1 1

(2.4)

Dengan batasan :

1 1 , , 2 , 1

,i m

b x x

a _j _i _i n

ij + = = …

∑

(untuk batasan bernotasi ≤ ) (2.5)

2 1 1 1 , , 1

,i m m m

b B x

a _j _i _i n

ij + = = + +

∑

… _{(untuk batasan bernotasi = )} _(2.6)

m m m i b B x x

a _j _i _i _i n

ij , 1 2 1 ,

1 … + + = = + −

∑

(untuk batasan bernotasi ≥ ) (2.7)

0 ≥ j

x , xi ≥0, Bi ≥0, bi ≥0 untuk semua harga i dan j

n j

(31)

2. Menyusun persamaan – persamaan di dalam tabel awal simpleks.

Tabel 2.2 Bentuk tabel awal simpleks sebelum pivoting

c c₁ c_r c_m c_j c_k Variabel Basis Harga Basis 1 B x … Br

x …

x Jawab Basis 1

x c_B₁ 1 … ₀ … ₀ …

a₁ …

k a₁ 1 b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Br

x c_Br 0 … 1 … 0 … rj a … rk a r b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Bm

x c_Bm 0 … 0 … 1 …

mj a … mk a m b imbalan c

z_j − _j = 0 0 0 z_j −c_j z_k −c_k _c _b B

Langkah – langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel simpleks adalah sebagai berikut:

Langkah 1 : Mengecek nilai optimal imbalan.

Untuk persoalan maksimal : z_k −c_k = minimal {z_j −c_j : j∈R}. Jika k

k c

z − ≥0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.

Untuk persoalan minimal : z_k −c_k = maksimal {z_j −c_j : j∈R}. Jika k

k c

z − ≤0 maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal.

Harga – harga imbalan (zj −cj) dapat diperoleh dengan rumus :

j ij m j Bi j

c

a

c

z

−

=

∑

−

(32)

Untuk : c_j = Harga dari semua variabel dalam z . =

a Koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan.

= Bi

c Harga dari variabel.

Langkah 2 : Menentukan variabel yang akan masuk dalam basis.

Untuk persoalan maksimal jika terdapat beberapa z_j−c_j ≤0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan z_j −c_j terkecil, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk kedalam basis. Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa z_j −c_j ≥0 maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan z_j−c_j terbesar, dan variabel yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis.

Langkah 3 : Menentukan variabel yang akan keluar dari basis.

Menetapkan variabel yang keluar dari basis yaitu :

imum

m i rk

r a

min

1≤≤ =

   

 

>0 : _ik ik

a a

Variabel yang sehubungan dengan baris pivot yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis.

Langkah 4 : Menyusun tabel simpleks baru.

Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat dicari dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen pivot, Koefisien – koefisien baris pivot baru dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

rk rj a a

(33)

Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

ik rk rj ij a a a

a − − (2.10)

Langkah 5 : Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru.

Jika imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, jika belum optimal maka kembali kepada langkah 2.

Tabel 2.3 Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting

c c₁ c_r c_m c_j c_k

Variabel Basis Harga Basis 1 B

x … x _Br … x_Bm …

x … x _k Jawab Basis

1 B

x c_B₁ 1 … rk

rj a

− … 0 …

k rk rj j a a a a₁ − ₁

… 0 r rk k _b a a b 1 1− ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Br

x c_Br 0 … rk a

1 … 0 …

rk rj a

a … 1

rk r a b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Bm

x cBm 0

…

rk mk a

− … 1 …

mk rk rj mj a a a a − … 0 r k mk m b a a b 1 − imbalan c

z_j− _j = 0

rk k k

a z

c − 0

₍

₎

(

k k

)

rk rj j

j z c

y y c

z − − − 0

(

)

rk r k k B a b c z b

(34)

Contoh 2.1

Maksimumkan : z=3x₁+4x₂ Kendala 2x1+x2 ≤6

9 3 2x₁+ x₂ ≤

x , x2≥0 Solusi :

Maksimumkan z=3x₁+4x₂+0x₃+0x₄

Kendala 2x₁+x₂ +x₃+0x₄ =6

9 0

2x1+ x2+ x3 +x4 = 0 , , , ₂ ₃ ₄ 1 x x x ≥ x

Model diatas dapat dibawa ke bentuk tabel simpleks sebagai berikut :

Tabel 2.4 Tabel simpleks untuk iterasi 1

Basis C 3 4 0 0 B

x x 2 x 3 x 4

x 0 2 1 1 0 6

x 0 2 3 0 1 9

j j c

z − -3 -4 0 0 0

Dari tabel 2.4 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai j

j c

z − masih bernilai < 0 (masih mengandung harga negatif). Harga z_j−c_j terkecil dari tabel diatas adalah -4, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel

x , kolom variabel x₂ menjadi kolom pivot, harga x₂ maksimal yang diperkenankan adalah :

(35)

      = = = 3 3 9 ; 6 1 6 2 Min x

Harga x₂ =3 adalah nilai terkecil (positif) sehubungan dengan variabel x₄, sehingga variabel yang meninggalkan basis ialah x₄, kemudian digantikan dengan variabel x₂, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 2.5 Tabel simpleks untuk iterasi 2

Basis C 3 4 0 0 B

x x₂ x₃ x₄ 3

x 0 1,3333 0 1 -0,3333 3

x 4 0,6667 1 0 0,3333 3

j j c

z − -0,3333 0 0 1,3333 12

Dari tabel 2.5 diatas, maka tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai zj−cj masih bernilai < 0 (masih mengandung harga negatif). Harga zj−cj terkecil dari tabel diatas adalah -0,3333, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel x , kolom variabel ₁ x menjadi kolom pivot, harga ₁ x maksimal yang ₁ diperkenankan adalah :

      = =

= 4,5

6667 , 0 3 ; 25 , 2 333 , 1 3 1 Min x

Harga x₁ =2,25 adalah nilai terkecil (positif) sehubungan dengan variabel x , ₃ sehingga variabel yang meninggalkan basis ialah x₃, kemudian digantikan dengan variabel x₁, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 2.6 Tabel simpleks untuk iterasi 3

Basis C 3 4 0 0 B

(36)

x 3 1 0 0,75 -0,25 2,25

x 4 0 1 -0,5 0,5 1,5

j j c

z − 0 0 0,25 1,25 12,75

Dari tabel 2.6 tidak ada lagi z_j −c_j<0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal:

25 , 2 1=

x ; x₂ =1,5 ; z=12,75

2.7 Fuzzy Linier Programming.

Pada Fuzzy Linier Programming, bentuk persamaan akan mengalami sedikit perubahan sebagai berikut :

• Bentuk imperatif pada fungsi obyektif tidak lagi benar-benar “maksimum” atau “minimum”, karena adanya beberapa hal yang perlu mendapat pertimbangan dalam suatu sistem.

• Tanda ≤ (pada batasan) dalam kasus maksimasi dan tanda ≥ (pada batasan) dalam kasus minimasi tidak lagi bermakna crisp secara matematis, namun sedikit mengalami pelanggaran makna. Hal ini juga disebabkan karena adanya beberapa yang perlu dipertimbangkan dalam sistem yang mengakibatkan batasan tidak dapat didekati secara tegas.

(37)

Defenisi 3.1

Sepasang fungsi T =

(

( ) ( )

r,u r

)

, 0≤r≤1, disebut fuzzy number jika dan hanya jika mengikuti kebutuhan :

(1). u

( )

r adalah batas kontinu sebelah kiri fungsi tidak turun

[ ]

0,1 (2). u

( )

r adalah batas kontinu sebelah kiri fungsi tidak naik

[ ]

0,1 (3). u

( )

r dan u

( )

r kontinu kanan pada 0

(4). u

( ) ( )

r ≤u r , 0≤r ≤1

dimanau

( )

r =wr+

(

c−w

)

dan u

( )

r =−wr +

(

c+w

)

, 0≤r ≤1. yang mana

( )

T Core c

R w

c, ∈ , = dan w=W

( )

T ≥0.

( )

c w

T = , disebut Symmetric Triangular Fuzzy Number (STFN). Andaikan ST menjadi himpunan dari STFN. Bilangan crisp direpresentasikan dengan u

( ) ( )

r =u r =α,

1 0≤r≤ Teorema 3.1

Jika T =

(

c₁,w₁

)

,U =

(

c₂,w₂

)

adalah STFNs, k∈R,X ∈STdan A adalah sebuah matrik maka :

1. T =Ujika dan hanya jika c₁ =c₂dan w₁ =w₂ 2. T +U =

(

c₁+c₂,w₁+w₂

)

3. kT =

(

kc₁,kw₁

)

(38)

Defenisi 3.2

Andaikan T =

(

c₁,w₁

)

,U =

(

c₂,w₂

)

anggota SFTNs. katakan T <~Ujika dan hanya jika:

1. c₁ <c₂ atau 2. c₁ =c₂ dan w₁ <w₂

Dan T ≤~Ujika dan hanya jika T <~U atau T =U.

2.8 Permasalahan Linier Fuzzy.

Berdasarkan program linier fuzzy :

Min CX~

Kendala AX~ =b~ 0 ~ ~ , ~

≥ ∈ST X

X (2.11)

Yang mana m n n

A∈ℜ × , ∈ℜ dan b~ adalah sebuah vektor fuzzy triangular. Sekarang bagi persoalan (2.11) menjadi 2 permasalahan.

Min CX~

Kendala AX =Core(b) 0

≥

X (2.12)

(39)

Min CY

Kendala AY =W(b) 0 ≥ Y

Dimana , _i.

i ij

ij a C c

A = = (2.13)

Teorema 3.2

X~ adalah solusi yang layak dari permasalahan (2.11) jika dan hanya jika

( )

Core

X = ~ adalah solusi yang layak dari permasalahan (2.12) dan Y =W

( )

X~ adalah solusi dari permasalahan (2.13).

Teorema 3.3

* ~

X adalah solusi optimal dari permasalahan (2.11) jika dan hanya jika

( )

* ~

X Core

X = adalah solusi optimal dari permasalahan (2.12) dan Y*=W

( )

X~* adalah solusi optimal dari permasalahan (2.13).

Teorema 3.4

Permasalahan (2.11) adalah tidak layak jika dan hanya jika permasalahan (2.12) adalah tidak layak atau permasalahan (2.13) adalah tidak layak.

Teorema 3.5

Jika permasalahan (2.11) menjadi layak kemudian permasalahan (2.11) mempunyai solusi optimal tak terbatas jika dan hanya jika permasalahan (2.12) mempunyai solusi optimal tak terbatas atau permasalahan (2.13) mempunyai solusi optimal tak terbatas. Pembuktian semua teorema dibuktikan oleh T. Allahviranloo.

(40)

Bab 3 PEMBAHASAN

3.1 Program Integer.

Program integer atau dikenal dalam bahasa Inggris dengan integer programming merupakan bentuk khusus atau variasi dari program linier atau program nonlinier, di mana satu atau lebih dari peubah – peubahnya dalam vektor penyelesaiannya memiliki nilai – nilai bukan pecahan atau angka bulat yang disebut integer

Suatu peubah disebut integer, jika peubah tersebut hanya diperkenankan memiliki nilai – nilai integer yang terletak di antara batas yang tetap (fixed bounds). Misalnya, jika peubah X hanya dapat memiliki nilai – nilai -1, 0, 1, dan 2; maka disebut nilai – nilai integer yang terletak di antara selang -1 dan +2.

3.2 Model Dasar

Model umum dari suatu program integer adalah sebagai berikut : Optimumkan (maksimumkan atau minimumkan)

j n

i jX C Z

∑

(3.1)

Syarat ikatan :

j n

i ijX a

∑

≤ atau ≥b_i (3.2)

Dan Xj ≥0 i=1,2, ,m (3.4) j

(41)

3.3 Percabangan (Branching)

Jika aproksimasi pertama mengandung variabel yang tidak bulat, katakanlahx_j*, maka i₁< x_j*<i₂, di mana i₁ dan i₂ adalah dua bilangan bulat tak negatif yang berturutan. Dari sini kemudian dibentuk dua program bilangan bulat yang baru dengan cara memperluas program bilangan bulat semula dengan kendala x_j ≤i₁ atau kendala

2 i

x_j ≥ . Proses ini disebut pencabangan (branching), yang mempunyai efek mempersempit daerah layak sedemikian rupa sehingga mengeliminasi pemecahan bilangan tak bulat bagi x dari tinjauan selanjutnya tetapi masih tetap _j mempertahankan semua pemecahan bilangan bulat yang mungkin terhadap persoalan yang semula.

3.4 Pembatasan (Bounding)

Anggaplah bahwa fungsi obyektifnya akan dimaksimumkan. Proses pencabangan akan terus dilakukan hingga diperoleh sebuah pendekatan pertama yang bulat (yang mana adalah suatu pemecahan bilangan bulat). Nilai dari obyektif bagi pemecahan bilangan bulat yang pertama ini menjadi suatu batas terbawah bagi persoalan ini dan semua program yang aproksimasi pertamanya, bulat atau pun tidak, menghasilakan nilai – nilai dari fungsi obyektif yang lebih kecil daripada batas terbawah ini diabaikan.

Pencabangan ini terus berlanjut dari program – program yang memiliki aproksimasi pertama tak bulat yang memberikan nilai – nilai fungsi obyektif yang lebih besar daripada batas terbawah. Jika dalam proses percabangan ini, ditemukan sebuah pemecahan bilangan bulat baru, yang nilai fungsi obyektifnya lebih besar daripada batas terbawah yang ditinjau, maka nilai dari fungsi obyektif itu menjadi batas terbawah yang baru. Program yang menghasilkan batas terbawah yang lama selanjutnya diabaikan, begitu pula program – program yang pendekatan – pendekatan pertamanya memberikan nilai – nilai fungsi obyektif yang lebih kecil daripada batas terbawah yang baru ini. Proses pencabangan ini terus berlanjut hingga tidak ada bagi program – program dengan pendekatan pertama tak-bulat yang ditinjau. Pada tahap ini, pemecahan batas terbawahnya adalah pemecahan optimal bagi program bilangan

(42)

bulat yang sama. Jika fungsi obyektifnya hendak diminimumkan, maka prosedurnya tetap sama, kecuali bahwa yang digunakan adalah batas teratas (upper bounds).

Contoh 3.1:

Maksimumkan : z=3x₁+4x₂

Kendala 2x₁+x₂ ≤6 9 3 2x₁+ x₂ ≤

x dan x₂ bulat tak negatif

Dengan mengabaikan persyaratan bilangan bulat, diperoleh 5

, 1 , 25 , 2 ₂* *

1 = x =

x dengan _z* =12,75

sebagai pemecahan program linier yang bersangkutan. Karena x lebih jauh menyimpang dibandingkan dengan ₂* x , maka ₁* yang akan digunakan untuk membentuk cabang – cabang adalah x2 ≤1 dan x2 ≥2.

Program 2 Program 3

Maksimumkan: z=3x₁+4x₂ maksimumkan: z=3x₁+4x₂ Kendala: 2x₁+x₂ ≤6 kendala: 2x₁+x₂ ≤6

2x₁+3x₂ ≤9 2x₁+3x₂ ≤9 1

2 ≤

x x₂ ≥2

x dan x₂ bulat tak negatif x₁ dan x₂ bulat tak negatif

Aproksimasi pertama bagi program 2 adalah x₁* =2,5, x₂* =1 dengan 5

, 11 * ₌

z . Aproksimasi pertama program 3 adalah x₁* =1,5, x₂* =2 dengan 5

, 12 * =

z . Karena program 2 dan 3 memiliki aproksimasi pertama yang tak-bulat, maka dapat dibentuk percabangan dari salah satunya. Pilih program 3 karena memiliki

(43)

harga fungsi obyektif yang terbesar (mendekati optimal). Disini 1<x₁* <2 sehingga program – program yang barunya adalah:

Program 4 Program 5

Maksimumkan: z=3x₁+4x₂ maksimumkan: z=3x₁+4x₂ Kendala: 2x₁+x₂ ≤6 kendala: 2x₁+x₂ ≤6

2x₁+3x₂ ≤9 2x₁+3x₂ ≤9 2

2 ≥

x x₂ ≥2

1 1 ≤

x x₁ ≥2

x dan x bulat tak negatif ₂ x dan ₁ x bulat tak negatif ₂

Ternyata tidak ada pemecahan bagi program 5, sedangkan program 4 adalah 1

* 1 =

x ,

3 7 * 2 =

x , dengan z* =12,33. Percabangan dapat dilanjutkan dari program 2 ataupun program 4. Dipilih program 4 karena memiliki nilai z yang terbesar. Disini

2< x₂* < maka program yang barunya adalah

Program 6 program 7

Maksimumkan: z=3x₁+4x₂ maksimumkan: z=3x₁+4x₂ Kendala: 2x₁+x₂ ≤6 kendala: 2x₁+x₂ ≤6

2x₁+3x₂ ≤9 2x₁+3x₂ ≤9 2

2 ≥

x x₂ ≥2

1 1 ≤

x , x₂ ≤2 x₁ ≤1, x₂ ≥3

(44)

Pemecahan bagi program 6 adalah x₁* =1, x₂* =2 dengan z* =11. Karena ini berbentuk pemecahan bilangan bulat, maka z = 11 menjadi suatu batas terbawah bagi persoalan ini. Dengan demikian, setiap program yang menghasilkan suatu nilai-z yang lebih kecil daripada 11 akan dikesampingkan. Pendekatan pertama bagi program 7 adalah x₁* =0, x₂* =3 dengan z* =12. Karena hasil ini berbentuk pemecahan bilangan bulat dengan nilai-z yang lebih besar daripada batas terbawah sebelumnya, maka z* =12 menjadi batas terbawah baru, dan program 6 dikesampingkan. Dengan demikian, cabang ini memberikan pemecahan optimal bagi program 1 : x₁* =0,

3 * 2 =

x dengan z* =12.

3.5 Fuzzy integer linier programming

Pada bagian ini Fuzzy Integer Linier Programming (FILP) akan dibagi menjadi dua Integer Linier Programmng (ILP).

n T S I X b X A X C X Kendala Min . . ~ ~ ~ , 0 ~ * ∈ =      ≥ (3.6)

dimana A∈ℜm×n,C∈ℜn dan b~ adalah sebarang vektor bilangan fuzzy. Persamaan FILP yang baru:

n T S I X T X A X C X Kendala Min . . ~ ~ ~ , 0 ~ * ∈ =      ≥ (3.7)

(45)

Persamaan (3.6) mengurangi persamaan (3.7), berdasarkan dua permasalahan tersebut maka :

( )

n T S I X T Core X A X C X Kendala Min . . ~ ~ ~ , 0 ~ * ∈ =      ≥ (3.8)

Dimana _A∈ℜm×n_,_C∈ℜn_dan_T∈_S_._Tm_{dan elemen ke t}_Core

( )

_T _{adalah inti dari} elemen ke i dari T.

Dan

( ) (

)

n T S I X br b br b T H X A X C X Kendala Min . . ~ , ~ ~ , 0 ~ * ∈ − + − = =      ≥ (3.9)

Dimana A∈ℜm×n,C∈ℜn dan T∈S.Tm dan H

( )

T =T−Core

( )

T . Ini berarti bahwa, jika

( )

c;w adalah solusi dari (3.9) maka w adalah bilangan integer.

Catatan bahwa :

( )

(

H T

)

=Core

( )

T −Core

(

Core

( )

)

=Core

( )

T −Core

( )

T =0

Core .

3.6 Contoh Numerik :

Untuk memudahkan pemahaman prinsip penyelesaian program fuzzy integer linier dengan menggunakan teknik branch and bound, diambil contoh sebagai berikut :

Max 7~x₁+9~x₂

Kendala −x~₁+3~x₂ +~x₃ =

(

1+5r,11−5r

)

+ 2 1 ~ ~

7x x x~4 =

(

30+5r,40−5r

)

0 ~ , ~ , ~ , ~ 4 3 2

1 x x x ≥ x

Z x x x

(46)

Solusi :

Terlebih dahulu persoalan diatas dibagi menjadi dua Program linier yaitu : Permasalahan 1

Max 7x₁+9x₂

Kendala −x₁+3x₂ +x₃ =6 +

+ 2 1

7x x x₄ =35 0

, , , ₂ ₃ ₄ 1 x x x ≥ x

Z x x x

x₁, ₂, ₃, ₄∈

Dengan menggunakan metode simpleks persoalan tersebut dapat di selesaikan sebagai berikut :

Tabel 3.1 Tabel simpleks untuk iterasi 1

Basis C 7 9 0 0 -M -M B

x x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ 5

x -M -1 3 1 0 1 0 6 6

x -M 7 1 0 1 0 1 35

j j c

z − -6M-7 -4M-9 -M -M 0 0 -41M

Dari tabel 3.1 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai j

j c

z − masih bernilai < 0 (masih mengandung harga negatif). Harga zj−cj terkecil dari tabel diatas adalah -6M-7, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel x₁, kolom variabel x₁ menjadi kolom pivot, harga x₁ maksimal yang diperkenankan adalah :

      = − = − = 5 7 35 ; 6 1 6 1 Min x

Harga x₁ =5 adalah nilai positif terkecil sehubungan dengan variabel x , sehingga ₆ variabel yang meninggalkan basis ialah x , kemudian digantikan dengan variabel ₆ x , ₁ maka tabel simpleks yang baru adalah :

(47)

Tabel 3.2 Tabel simpleks untuk iterasi 2

Basis C 7 9 0 0 -M -M B

x x2 x3 x4 x5 x6 5

x -M 0 3,1429 1 0,1429 1 0,1429 11

x 7 1 0,1429 0 0,1429 0 0,1429 5

j j c

z − 0 -3,1429M-7,9997 -M -0,1429M+1,0003 0 0,8571M+1,0003 -11M+5

Dari tabel 3.2 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai j

j c

z − masih bernilai < 0 (masih mengandung harga negatif). Harga z_j−c_j terkecil dari tabel diatas adalah -3,1429M-7,9997 , sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel x₂, kolom variabel x₂ menjadi kolom pivot, harga x₂ maksimal yang diperkenankan adalah :

   

 

= =

= 35

1429 , 0

5 ; 5 , 3 1429 , 3

11 2 Min x

Harga x₂ =3,5 adalah nilai positif terkecil sehubungan dengan variabel x₅, sehingga variabel yang meninggalkan basis ialah x₅, kemudian digantikan dengan variabel x₂, maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 3.3 Tabel simpleks untuk iterasi 3

Basis C 7 9 0 0 -M -M B

x x2 x3 x4 x5 x6 2

x 9 0 1 0,3182 0,0455 0,3182 0,0455 3,5

x 7 1 0 -0,0455 0,1364 -0,0455 0,1364 4,5 j

j c

z − 0 0 2,453 1,3643 2,5453+M 1,3643+M 63

Dari tabel 3.3 tidak ada lagi z_j −c_j<0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal: x₁* =4,5; x₂* =3,5; x₃* =x₄* =x₅* =x₆* =0; dan z=63

(48)

Agar permasalahan fuzzy ini mempunyai solusi yang bernilai integer, maka akan digunakan metode branch and bound :

Maksimumkan : 7x₁+9x₂

Kendala −x₁+3x₂ +x₃ =6 +

+ 2 1

7x x x4 =35

x , x , ₂ x dan ₃ x bulat tak negatif ₄

Dengan mengabaikan persyaratan bilangan bulat, diperoleh x₁* =4,5; 5

, 3 * 2 =

x ; 6* 0

* 5 * 4 *

3 =x =x =x =

x dengan z=63 sebagai pemecahan program linier yang bersangkutan. Karena x lebih jauh menyimpang dibandingkan dengan ₂* x , ₁* maka yang akan digunakan untuk membentuk cabang – cabang adalah 3<x*2 <4

Program 2 Program 3

Maksimumkan: 7x₁+9x₂ maksimumkan: 7x₁+9x₂

Kendala: −x₁+3x₂+x₃ =6 kendala: −x₁+3x₂+x₃ =6

7x₁+x₂ + x₄ =35 7x₁+x₂ + x₄ =35

3 * 2 ≤

x x2* ≥4

x , x , ₂ x dan ₃ x bulat tak negatif ₄ x , ₁ x , ₂ x dan ₃ x bulat tak negatif ₄

Aproksimasi pertama bagi program 2 adalah x₁* =4,5714; x₂* =3; 5714

, 1 * 3 =

x ; x₄* =x₅* =x₆* =0 dengan z=59. Aproksimasi pertama program 3 adalah tidak mempunyai solusi yang layak. Karena program 2 memiliki aproksimasi pertama yang tak-bulat, maka dapat dibentuk percabangan yang baru.. Disini

(49)

Program 4 Program 5

Maksimumkan: 7x₁+9x₂ maksimumkan: 7x₁+9x₂

Kendala: −x₁+3x₂+x₃ =6 kendala: −x₁+3x₂+x₃ =6 7x₁+x₂ + x₄ =35 7x₁+x₂ + x₄ =35

3 * 2 ≤

x x₂* ≥4

1 * 3 ≤

x x₃* ≥2

x , x , ₂ x dan ₃ x bulat tak negatif ₄ x , ₁ x , ₂ x dan ₃ x bulat tak negatif ₄

Ternyata tidak ada pemecahan bagi program 5, sedangkan program 4 adalah 4

* 1 =

x ; x₂* =3; x₃* =1; x₄* =4dengan z* =55. Karena ini berbentuk pemecahan bilangan bulat, maka z = 55 menjadi suatu batas terbawah bagi persoalan ini. Dengan demikian, setiap program yang menghasilkan suatu nilai-z yang lebih kecil daripada 55 akan dikesampingkan. Dengan demikian, cabang ini memberikan pemecahan optimal bagi program 1 : x1* =4; 3

* 2 =

x ; x3* =1; 4 * 4 =

x dengan z* =55. Dengan

menggunakan metode branch and bound di dapat solusi integer 4 3 1 4 X

      =_{ }    

Permasalahan 2

Max 7y₁+9y₂

Kendala y₁+3y₂ +y₃ =5 +

+ 2 1

7y y y₄ =5 0

, , , ₂ ₃ ₄ 1 y y y ≥ y

Z y y y

(50)

Dengan menggunakan metode simpleks persoalan tersebut dapat di selesaikan sebagai berikut :

Tabel 3.4 Tabel simpleks untuk iterasi 1

Basis C 7 9 0 0 -M -M B

y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 5

y -M 1 3 1 0 1 0 5

y -M 7 1 0 1 0 1 5

j j c

z − -8M-7 -4M-9 -M -M 0 0 -10M

Dari tabel 3.4 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai j

j c

z − masih bernilai < 0 (masih mengandung harga negatif). Harga z_j−c_j terkecil dari tabel diatas adalah -8M-7, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel y , kolom variabel ₁ y menjadi kolom pivot, harga ₁ y maksimal yang ₁ diperkenankan adalah :

   

 

= =

= 0,7143

7 5 ; 5 1 5 1 Min y

Harga y₁ =0,7143 adalah nilai positif terkecil sehubungan dengan variabel y , ₆ sehingga variabel yang meninggalkan basis ialah y , kemudian digantikan dengan ₆ variabel y , maka tabel simpleks yang baru adalah : ₁

Tabel 3.5 Tabel simpleks untuk iterasi 2

Basis C 7 9 0 0 -M -M B

y y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ y ₆

y -M 0 2,8571 1 -0,1429 1 -0,1429 4,2857

y 7 1 0,1429 0 0,1429 0 0,1429 0,7143

j j c

(51)

Dari tabel 3.5 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai j

j c

z − masih bernilai < 0 (masih mengandung harga negatif). Harga z_j−c_j terkecil dari tabel diatas adalah 2,8571M-7,9997, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel y , kolom variabel ₂ y menjadi kolom pivot, harga ₂ y maksimal ₂ yang diperkenankan adalah :

   

 

= =

= 0,5

1429 , 0

7143 , 0 ; 5 , 1 8571 , 2

2857 , 4 2 Min y

Harga y₂ =0,5 adalah nilai positif terkecil sehubungan dengan variabel y , sehingga ₅ variabel yang meninggalkan basis ialah y , kemudian digantikan dengan variabel ₅ y , ₂ maka tabel simpleks yang baru adalah :

Tabel 3.6 Tabel simpleks untuk iterasi 3

Basis C 7 9 0 0 -M -M B

y y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ y ₆

y 9 0 1 0,35 -0,05 0,35 -0,05 1,5

y 7 1 0 -0,05 0,15 -0,05 0,15 0,5

j j c

z − 0 0 2,8 0,6 2,8+M 0,6+M 17

Dari tabel 3.3 tidak ada lagi z_j −c_j<0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal: y₁* =0,5; y₂* =1,5; y₃* = y₄* = y₅* = y₆* =0; dan z=17

Agar permasalahan fuzzy ini mempunyai solusi yang bernilai integer, maka akan digunakan metode branch and bound :

(52)

Maksimumkan : 7y₁+9y₂

Kendala y₁+3y₂+ y₃ =5 +

+ 2 1

7y y y₄ =5

y , y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄

Dengan mengabaikan persyaratan bilangan bulat, diperoleh y₁* =0,5; 5

, 1 * 2 =

y ; y₃* = y₄* = y₅* = y₆* =0 dengan z=17 sebagai pemecahan program linier yang bersangkutan. Karena y lebih jauh menyimpang dibandingkan dengan ₂*

* 1

y , maka yang akan digunakan untuk membentuk cabang – cabang adalah 2

1< y*2 <

Program 2 Program 3

Maksimumkan: 7y₁+9y₂ maksimumkan: 7y₁+9y₂

Kendala: y₁+3y₂ +y₃ =5 kendala: y₁+3y₂ +y₃ =5 7y₁+ y₂ + y₄ =5 7y₁+ y₂ + y₄ =5

1 * 2 ≤

y y₂* ≥2

y , y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄ y , ₁ y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄

Aproksimasi pertama bagi program 2 adalah y₁* =0,5714; y₂* =1; 4286

, 1 * 3 =

y ; 6* 0

* 5 *

4 = y = y =

y dengan z=13. Aproksimasi pertama program 3 adalah tidak mempunyai solusi yang layak. Karena program 2 memiliki aproksimasi pertama yang tak-bulat, maka dapat dibentuk percabangan yang baru.. Disini

(53)

Program 4 Program 5

Maksimumkan: 7y₁+9y₂ maksimumkan: 7y₁+9y₂

Kendala: y₁+3y₂ +y₃ =5 kendala: y₁+3y₂ +y₃ =5 7y₁+ y₂ + y₄ =5 7y₁+ y₂ + y₄ =5

1 * 2 ≤

y y₂* ≥2

0 * 1 ≤

y y₁* ≥1

y , y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄ y , ₁ y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄

Ternyata tidak ada pemecahan bagi program 5, sedangkan program 4 adalah 0

* 1 =

y ; y₂* =1; y3* =2; 4 * 4 =

y dengan _z* =9

. Karena ini berbentuk pemecahan bilangan bulat, maka z = 9 menjadi suatu batas terbawah bagi persoalan ini. Dengan demikian, setiap program yang menghasilkan suatu nilai-z yang lebih kecil daripada 9 akan dikesampingkan. Dengan demikian, cabang ini memberikan pemecahan optimal bagi program 1 : y₁* =0; y₂* =1; y₃* =2; y₄* =4 dengan z* =9. Dengan

menggunakan metode branch and bound di dapat solusi integer 0 1 2 4 Y       =_{ }    

. Oleh karena

itu

( )

(

)

(

)

(

)

* 4, 4 2 , 4 1, 3 , 8 r r X r r r r     + −   =_ _ − −   −    

(54)

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diperoleh dari uraian di atas adalah sebagai berikut:

1. Dengan membagi 2 persoalan fuzzy ke dalam bentuk program integer linier maka di dapat solusi yang optimal berupa bilangan bulat atau integer.

2. Penggunaan metode branch and bound dalam persoalan ini, memudahkan untuk menghasilkan solusi integer yang diinginkan

3. Dengan program fuzzy integer linier penyelesaian optimal dapat diperoleh untuk masalah-masalah yang muncul dalam parameter-parameter fuzzy yang terlibat dalam program linier.

4. Program fuzzy integer linier mampu memenuhi kebutuhan matematis yang ada dalam dunia nyata.

(55)

4.2 Saran

1. Untuk memecahkan masalah program fuzzy integer linier dapat digunakan dengan berbagai metode program integer lainnya seperti algoritma gomory agar mendapat hasil bilangan bulat.

2. Program fuzzy integer linier dapat digunakan dalam menyelesaikan berbagai masalah alokasi sumber daya seperti dalam bidang manufakturing, pemasaran, keuangan, produksi material, dan lain sebagainya.

(1)

Dari tabel 3.5 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai j

j c

      = =

= 0,5

1429 , 0 7143 , 0 ; 5 , 1 8571 , 2 2857 , 4 2 Min y

Tabel 3.6 Tabel simpleks untuk iterasi 3

Basis C 7 9 0 0 -M -M B

y y ₂ y ₃ y ₄ y ₅ y ₆

y 9 0 1 0,35 -0,05 0,35 -0,05 1,5

y 7 1 0 -0,05 0,15 -0,05 0,15 0,5

j j c

z − 0 0 2,8 0,6 2,8+M 0,6+M 17

Dari tabel 3.3 tidak ada lagi z_j −c_j<0, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal: y₁* =0,5; y₂* =1,5; y₃* = y₄* = y₅* = y₆* =0; dan z=17

Agar permasalahan fuzzy ini mempunyai solusi yang bernilai integer, maka akan digunakan metode branch and bound :

(2)

Maksimumkan : 7y₁+9y₂

Kendala y₁+3y₂+ y₃ =5

+ 2

7y y y₄ =5

y , y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄

Dengan mengabaikan persyaratan bilangan bulat, diperoleh y₁* =0,5; 5

, 1 * 2 =

y ; y₃* = y₄* = y₅* = y₆* =0 dengan z=17 sebagai pemecahan program linier yang bersangkutan. Karena y lebih jauh menyimpang dibandingkan dengan ₂*

* 1

y , maka yang akan digunakan untuk membentuk cabang – cabang adalah 2

1< y*2 <

Program 2 Program 3

Maksimumkan: 7y₁+9y₂ maksimumkan: 7y₁+9y₂

Kendala: y₁+3y₂ +y₃ =5 kendala: y₁+3y₂ +y₃ =5

7y₁+ y₂ + y₄ =5 7y₁+ y₂ + y₄ =5

1 * 2 ≤

y y₂* ≥2

y , y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄ y , ₁ y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄

Aproksimasi pertama bagi program 2 adalah y₁* =0,5714; y₂* =1; 4286

, 1 * 3 =

y ; 6* 0

* 5 *

4 = y = y =

y dengan z=13. Aproksimasi pertama program 3 adalah tidak mempunyai solusi yang layak. Karena program 2 memiliki aproksimasi pertama yang tak-bulat, maka dapat dibentuk percabangan yang baru.. Disini

(3)

Program 4 Program 5

Maksimumkan: 7y₁+9y₂ maksimumkan: 7y₁+9y₂

Kendala: y₁+3y₂ +y₃ =5 kendala: y₁+3y₂ +y₃ =5

7y₁+ y₂ + y₄ =5 7y₁+ y₂ + y₄ =5

1 * 2 ≤

y y₂* ≥2

0 * 1 ≤

y y₁* ≥1

y , y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄ y , ₁ y , ₂ y dan ₃ y bulat tak negatif ₄

Ternyata tidak ada pemecahan bagi program 5, sedangkan program 4 adalah 0

* 1 =

y ; y₂* =1; y3* =2; 4 * 4 =

y dengan _z* =9

menggunakan metode branch and bound di dapat solusi integer 0 1 2 4 Y       =_{ }    

. Oleh karena

itu

( )

(

)

(

)

(

)

* 4, 4 2 , 4 1, 3 , 8 r r X r r r r     + −   =_ _ − −   −    

(4)

Bab 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diperoleh dari uraian di atas adalah sebagai berikut:

1. Dengan membagi 2 persoalan fuzzy ke dalam bentuk program integer linier maka di dapat solusi yang optimal berupa bilangan bulat atau integer.

2. Penggunaan metode branch and bound dalam persoalan ini, memudahkan untuk menghasilkan solusi integer yang diinginkan

3. Dengan program fuzzy integer linier penyelesaian optimal dapat diperoleh untuk masalah-masalah yang muncul dalam parameter-parameter fuzzy yang terlibat dalam program linier.

4. Program fuzzy integer linier mampu memenuhi kebutuhan matematis yang ada dalam dunia nyata.

(5)

4.2 Saran

1. Untuk memecahkan masalah program fuzzy integer linier dapat digunakan dengan berbagai metode program integer lainnya seperti algoritma gomory agar mendapat hasil bilangan bulat.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Allahviranloo, T. dan Shamsolkotabi, K.H. Diakses tanggal 10 maret 2009. Fuzzy integer linier programming problems. International Journal Of Contemporary Mathematical Scienes.

Bellman, R.E. dan L.A.Zadeh. 1970. Decision making in a Fuzzy Environment, Journal of Management Science, vol.17(4), 141-164.

Bronson, Richard. 1996. Teori dan Soal-soal Operations Research. Bandung: Erlangga.

Hosseinzadeh Lotfi, F. Diakses tanggal 22 Juni 2009. Finding the Minimize Summation for Location of Facility in a Convex Set with Fuzzy Data. Applied Mathematical Sciences.

Kusumadewi, Sri. 2002. Analisa & Desain Sistem Fuzzy Menggunakan Toolbox Matlab. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Liebermann, G.J. dan F.S Hillier. 2004. Introduction to Operations Research. Eighth Ed, McGraw-Hill.

Nasendi, B.D. dan Effendi Anwar. 1985. Program Linier dan Variasinya, Jakarta:P.T. Gramedia.

Susanto, S, Suryadi, D, Adianto, H dan Aritonang, YMK,. 2006. “Pemodelan Pemograman Linier dengan Koefisien Fungsi Objektif Berbentuk Bilangan Kabur Segitiga dan Kendala Kabur Beserta Usulan Solusinya” . Jurnal Teknik Industri Vol.8 no. 1, Universitas Katolik Parahyangan.

Winston, W.L,. 2003. Operations Research: Applications and Algorithms, edisi-4, Internasional Thomson Publishing, Belmont, California.