Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy Menggunakan Metode Branch and Bound

SKRIPSI

ENDANG JULIANA TAMPUBOLON

110803042

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

PEMBULATAN HASIL PROGRAM LINIER FUZZY MENGGUNAKAN

METODE BRANCH AND BOUND

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

ENDANG JULIANA TAMPUBOLON

110803042

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

i

PERSETUJUAN

Judul : Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy

Menggunakan Metode Branch and Bound

Kategori : Skripsi

Nama : Endang Juliana Tampubolon

Nomor Induk Mahasiswa : 110803042

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam

(FMIPA) Universitas Sumatera Utara

Disetujui di Medan, Juni 2015 Komisi Pembimbing:

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si. Dr. Esther SM Nababan, M.Sc

NIP. 19460404 197107 1 001 NIP. 19610318 198711 2 001

Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si. NIP. 196209011988031002

ii

PERNYATAAN

PEMBULATAN HASIL PROGRAM LINIER FUZZY MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND BOUND

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2015

Endang Juliana Tampubolon 110803042

iii

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dan Maha Penyayang, dengan limpahan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy

Menggunakan Metode Branch and Bound.

Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Esther SM Nababan, M.Sc. dan Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si. selaku pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan telah meluangkan waktunya selama penulisan skripsi ini. Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si. dan Ibu Asima Manurung, S.Si.,M.Si. selaku penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan Departemen Matematika, serta seluruh sivitas akademika di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada kedua orang tua penulis Ayahanda Nimrot Tampubolon dan Ibunda Riwati Manullang yang selalu mendoakan, memberi semangat dan bantuan baik secara moril maupun material kepada penulis sejak awal perkuliahan hingga selesai skripsi ini. Kepada saudara-saudari penulis yaitu Brando Hernandes Tampubolon, Makmur Miduk Tampubolon, Okta Emelia Tampubolon dan Putra Novando Tampubolon dan seluruh keluarga besar yang terus mendukung dan mendoakan penulis.

Terima kasih kepada sahabat-sahabat penulis, Anak Jendral 2011, abang dan kakak stambuk 2008, adik stambuk 2012, adik stambuk 2013, adik-adik stambuk 2014, rekan-rekan di Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA USU dan kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan dorongan yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yang Maha Esa.

Medan, Juni 2015 Penulis

iv

PEMBULATAN HASIL PROGRAM LINIER FUZZY MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND BOUND

ABSTRAK

Program linier fuzzy adalah program linier yang dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy. Tujuan dari program linier fuzzy adalah mencari solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif dan kendala. Solusi tersebut berbentuk himpunan fuzzy yang memiliki derajat keanggotaan tertentu pada selang [0,1]. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan suatu permasalahan program linier yang akan diselesaikan menggunakan logika fuzzy. Namun sering kali hasil yang diperoleh berupa nilai yang berupa pecahan. Untuk mengatasi masalah tersebut, penulis menggunakan metode branch and bound untuk membulatkan hasil yang telah diperoleh karena tidak mungkin satuan unit berupa pecahan. Metode branch and bound merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier yang menghasilkan penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (integer). Solusi pembulatan yang dihasilkan lebih kecil dari solusi yang dihasilkan sebelum dilakukan pembulatan.

v

INTEGERING THE RESULT OF FUZZY LINEAR PROGRAMMING USING BRANCH AND BOUND METHOD

ABSTRACT

Fuzzy linear programming is a linear programming that expressed by objective function and constraint function that has fuzzy parametres and fuzzy inequation. The purpose of fuzzy linear programming is to find the solution that can be accepted with criteria that expressed on objective funtion and constraints. The solution is on fuzzy set that has the membership degree on interval [0,1]. A linear programming problem that solved by fuzzy logic is shown in this paper. But the decimal obtained solution is often. To solve the problem, the writer use the branch and bound method to integering the obtained solution since decimal unit is not possible. Branch and bound method is a method to solve the linear programming problem with an integer solution is obtained. The integering obtained solution is less than the before integering obtained solution.

vi

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan i

Pernyataan ii

Penghargaan iii

Abstrak iv

Abstract v

Daftar Isi vi

Daftar Tabel viii

Daftar Gambar ix

Daftar Lampiran x

Bab 1. Pendahuluan

1.1. Latar Belakang 1

1.2. Perumusan Masalah 3

1.3. Batasan Masalah 3

1.4. Tinjauan Pustaka 3

1.5. Tujuan Penelitian 5

1.6. Kontribusi Penelitian 5

1.7. Metodologi Penelitian 5

Bab 2. Landasan Teori

2.1. Program Linier 6

2.1.1. Persyaratan Penyelesaian Program Linier 7

2.1.2. Model Umum Matematik Program Linier 7

2.1.3. Karakteristik Program Linier 8

2.1.4. Metode Simpleks 8

2.2. Program Bilangan Bulat 11

2.2.1. Metode Penyelesaian Program Bilangan Bulat 12 2.2.1.1. Metode Pembulatan (Rounding Method) 13

2.2.1.2. Metode Branch and Bound 13

2.3. Fuzzy 15

2.3.1. Alasan Digunakannya Logika Fuzzy 15

2.3.2. Himpunan Fuzzy 16

2.3.3. Fungsi Keanggotaan 18

2.3.3.1. Representasi Linier 18

2.3.3.2. Representasi Kurva Segitiga 20

2.3.3.3. Representasi Kurva Trapesium 20

Bab 3. Pembahasan

3.1. Program Linier Fuzzy 22

3.2. Algoritma Branch and Bound 26

3.3. Langkah Penyelesaian Pembulatan Program Linier

vii

Bab 4. Kesimpulan dan Saran 69

4.1. Kesimpulan 69

4.2. Saran 69

Daftar Pustaka 70

viii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman Tabel

Tabel 2.1. Bentuk Tabel Simpleks 10

Tabel 3.1. Bentuk tabulasi permasalahan 29

Tabel 3.2. Iterasi 0 untuk = 0 = 1 ₃₁

Tabel 3.3. Iterasi 1 untuk = 0 = 1 ₃₂

Tabel 3.4. Iterasi 2 untuk = 0 = 1 ₃₂

Tabel 3.5. Iterasi 3 untuk = 0 = 1 ₃₃

Tabel 3.6. Iterasi 4 untuk = 0 = 1 ₃₃

Tabel 3.7. Iterasi 0 untuk = 1 = 0 ₃₄

Tabel 3.8. Iterasi 1 untuk = 1 = 0 ₃₄

Tabel 3.9. Iterasi 2 untuk = 1 = 0 ₃₅

Tabel 3.10. Iterasi 3 untuk = 1 = 0 ₃₅

Tabel 3.11. Tabulasi tiap node 65

Tabel 3.12. Perbandingan Solusi Non-Fuzzy dengan Solusi Fuzzy 67 Tabel 3.13. Perbandingan Solusi Sebelum dan Sesudah Pembulatan 68

ix

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman Gambar

Gambar 2.1. Representasi Linier 19

Gambar 2.2. Representasi Linier Turun 19

Gambar 2.3. Kurva Segitiga 20

Gambar 2.4. Kurva Trapesium 21

Gambar 3.1. Fungsi Keanggotaan 25

Gambar 3.2. Fungsi Keanggotaan dari Fungsi Tujuan 36

Gambar 3.3. Fungsi Keanggotaan dari Batasan-1 36

Gambar 3.4. Fungsi Keanggotaan dari Batasan-2 37

Gambar 3.5. Fungsi Keanggotaan dari Batasan-3 37

x

Nomor Judul Halaman Lamp

iv

PEMBULATAN HASIL PROGRAM LINIER FUZZY MENGGUNAKAN METODE BRANCH AND BOUND

ABSTRAK

Program linier fuzzy adalah program linier yang dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy. Tujuan dari program linier fuzzy adalah mencari solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif dan kendala. Solusi tersebut berbentuk himpunan fuzzy yang memiliki derajat keanggotaan tertentu pada selang [0,1]. Dalam tulisan ini akan ditunjukkan suatu permasalahan program linier yang akan diselesaikan menggunakan logika fuzzy. Namun sering kali hasil yang diperoleh berupa nilai yang berupa pecahan. Untuk mengatasi masalah tersebut, penulis menggunakan metode branch and bound untuk membulatkan hasil yang telah diperoleh karena tidak mungkin satuan unit berupa pecahan. Metode branch and bound merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier yang menghasilkan penyelesaian dalam bentuk bilangan bulat (integer). Solusi pembulatan yang dihasilkan lebih kecil dari solusi yang dihasilkan sebelum dilakukan pembulatan.

v

INTEGERING THE RESULT OF FUZZY LINEAR PROGRAMMING USING BRANCH AND BOUND METHOD

ABSTRACT

Fuzzy linear programming is a linear programming that expressed by objective function and constraint function that has fuzzy parametres and fuzzy inequation. The purpose of fuzzy linear programming is to find the solution that can be accepted with criteria that expressed on objective funtion and constraints. The solution is on fuzzy set that has the membership degree on interval [0,1]. A linear programming problem that solved by fuzzy logic is shown in this paper. But the decimal obtained solution is often. To solve the problem, the writer use the branch and bound method to integering the obtained solution since decimal unit is not possible. Branch and bound method is a method to solve the linear programming problem with an integer solution is obtained. The integering obtained solution is less than the before integering obtained solution.

1.1. Latar Belakang

Program linier merupakan suatu cara yang lazim digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Persoalan pengalokasian akan muncul apabila seseorang digaruskan untuk memilih atau menentukan tingkat aktivitas yang akan dilakukannya, dimana masing-masing aktivitas membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas (Mustafa & Parkhan, 1999)

Sejak diperkenalkan di akhir dasawarsa 1940-an, program linier telah terbukti merupakan salah satu alat operasi riset yang efektif. Keberhasilannya berakar dari keluwesannya dalam menjabarkan berbagai siruasi kehidupan nyata seperti dibidang: militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan bahkan ilmu sosial dan perilaku. Di samping itu, tersedianya program komputer yang sangat efisien untuk memecahkan masalah-masalah program linier yang sangat luas merupakan faktor penting bagi tersebarnya penggunaan teknik ini (Mustafa & Parkhan, 1999)

Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber yang terbatas secara optimum. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal. Program linier saat ini masih menjadi pilihan utama dalam meyelesaikan masalah tersebut. Logika fuzzy dapat digabungkan untuk pada program linier ini bertujuan

untuk memasukan asumsi-asumsi yang belum dimuat dalam program linear (Purba, 2012).

Apabila suatu masalah program linier hanya mengandung dua kegiatan (variabel keputusan) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih. Kedua metode ini sampai sekarang masih sangat popular dan masih mengalami perkembangan di antara salah satunya menggunakan logika fuzzy. Semua masalah dalam dunia nyata erat hubungannya dengan masalah manusia, yang mengandung ketidakpastian (Purba, 2012).

Dari kebutuhan untuk menggambarkan keadaan dunia nyata yang tidak pasti ini muncul istilah fuzzy, yang pertama kali diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh dari Universitas California di Berkeley pada tahun 1965. Teori ini dapat digunakan untuk menangani ketidakpastian dalam masalah dunia nyata. Teori ini memperkenalkan yang keanggotaannya dinyatakan dengan derajat keanggotaan tertentu dalam selang tertutup antara 0 dan 1. Program linier fuzzy adalah program linier yang dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter fuzzy dan ketidaksamaan fuzzy. Tujuan dari program linier fuzzy adalah mencari solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif dan kendala. Solusi tersebut berbentuk himpunan fuzzy yang memiliki derajat kebenaran tertentu pada selang [0,1] (Purba, 2012).

Perolehan hasil yang telah diselesaikan mengunakan program linier fuzzy

sering kali menghasilkan nilai yang berbentuk pecahan sementara satuan yang ditetapkan misalkan adalah satuan unit dalam suatu perancangan produksi. Hal ini tentu tidak relevan karena satuan unit tidak mungkin bernilai pecahan. Oleh karena itu, diperlukan suatu metode pembulatan untuk menghasilkan nilai yang

integer dari hasil perolehan program linier fuzzy tersebut. Metode pembulatan yang akan digunakan penulis adalah metode pembulatan branch and bound.

1.2. Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, perumusan masalah dari tulisan ini adalah bagaimana penerapan metode branch and bound pada pembulatan program linier

fuzzy.

1.3. Batasan Masalah

Pencarian solusi dalam pembulatan program linier fuzzy menggunakan metode

branch and bound diselesaikan menggunakan software POM-QM.

1.4. Tinjauan Pustaka

Sebagai sumber pendukung teori dalam penulisan ini, penulis mengambil beberapa pustaka yang memberikan kontribusi dalam penyelesaian penulisan ini.

Pada program linier fuzzy akan dicari suatu nilai Z yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan fuzzy (Kusumadewi & Purnomo, 2010).

Fuzzy linear programming menggabungkan antara model pemrograman linear biasa dan konsep logika fuzzy sebagai salah satu cara pengambilan keputusan dalam menentukan jumlah produk yang optimal dengan mempertimbangkan keterbatasan sumber daya produksi (Suantio, Rambe & Siregar, 2013).

Fuzzy Linear Programming merupakan modifikasi dari teori Linier Programming di gabung dengan Fuzzy Logic di mana hasilnya akan lebih kecil jika dibandingkan dengan hasil pada metode Linear Programming. Dengan menerapkan Fuzzy Linear Programming dalam menentukan tingkat produksi maksimum dianggap dapat membantu untuk memetakan suatu input ke dalam suatu output tanpa mengabaikan faktor-faktor yang ada. Dengan metode ini diharapkan nantinya dapat membantu dalam proses pengambilan keputusan yang tepat. Yang mana Fuzzy Logic dapat digunakan dalam pemecahan masalah program linier tersebut. Hal ini merupakan syarat mutlak untuk dapat digunakan dalam Fuzzy LinearProgramming (Wanayumini, 2012).

Penyelesaian program linier secara klasik dianggap kurang tepat lagi, hal ini disebabkan penyelesaian program linier secara klasik tidak melibatkan asumsi-asumsi yang ada padahal model yang terbentuk dalam dunia nyata selalu terbentuk dengan asumsi-asumsi yang ada. Penyelesaian program linier secara logika fuzzy akan memberikan hasil yang lebih baik jika dibandingkan dengan penyelesaian program linier secara klasik (Purba, 2012).

Metode branch and bound adalah suatu metode pencarian solusi yang ditransformasikan dalam bentuk pohon percabangan dan pembatasan. Metode ini mula-mula dipakai oleh A. H. Land dan A. G. Doig pada tahun 1960. Metode

branch and bound merupakan suatu metode yang paling umum digunakan untuk mencari solusi optimal pada masalah optimasi kombinatorial seperti penjadwalan proyek. Branch and bound terdiri atas tiga bagian utama, yaitu batas bawah, strategi pencarian, dan percabangan. Baik program linier maupun program nonlinier dapat diselesaikan dengan metode branch and bound (Siagian, 2006)

Metode branch and bound sering digunakan untuk menyelesaikan suatu problema program linier integer karena hasil yang diperoleh dalam penyelesaian optimal lebih teliti dan lebih baik dari metode lainnya. Kelemahan pokok metode ini adalah prosedur untuk mencapai hasil yang optimal sangat panjang (Sitorus, 1997).

1.5. Tujuan Penulisan

Penelitian ini bertujuan untuk membulatkan hasil yang diperoleh dari penyelesaian program linier fuzzy menggunakan metode branch and bound.

1.6. Kontribusi Penelitian

Tulisan ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai:

1. Referensi utama atau sebagai bahan rujukan untuk melakukan penelitian tentang pembulatan program linier fuzzy lebih lanjut.

2. Bahan pertimbangan dalam mengambil keputusan yang berkaitan dengan aplikasi pembulatan program linier fuzzy.

1.7. Metodologi Penelitian

Penelitian yang penulis lakukan adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Mencari literatur dari beberapa buku, jurnal, situs dan karya tulis lainnya yang berhubungan dengan program linier fuzzy dan metode branch and bound.

2. Menjelaskan definisi program linier, program bilangan bulat serta metode penyelesaiannya dan menjelaskan fuzzy.

3. Menjelaskan definisi dari program linier fuzzy serta pembulatannya menggunakan metode branch and bound.

4. Menyelesaikan ilustrasi numerik dari kasus pembulatan program linier fuzzy

menggunakan metode branch and bound.

5. Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang telah diselesaikan.

2.1. Program Linier

Program linier disusun oleh George B. Dantzig tahun 1947 pada saat memimpin

Air Force Statistical Control’s Combat Analysis Branch di Pentagon. Saat Dantzig menganalisis masalah perencanaan Air Force dia menyadari dapat merumuskan sistem ketidaksamaan linier. Hal di atas merupakan awal pemberian nama untuk teknik “program dan struktur linier”, yang belakangan ini disederhanakan menjadi program linier (Taylor, 2001).

Program linier merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas sumber-sumber organisasi. Kata sifat linier digunakan untuk menunjukkan fungsi-fungsi matematik yang digunakan dalam bentuk linier dalam arti hubungan langsung dan persis proporsional. Program menyatakan penggunaan teknik matematika tertentu. Jadi program linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis menggunakan model matematis dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan optimum terhadap persoalan (Aminuddin, 2005).

Program linier adalah suatu teknik penyelesaian optimal atas suatu problema keputusan dengan cara menentukan terlebih dahulu fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) dan kendala-kendala yang ada ke dalam model matematik persamaan linier. Program linier sering digunakan dalam penyelesaian problema-problema alokasi sumber daya, seperti dalam bidang

manufacturing, pemasaran, keuangan, personalia, administrasi, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997).

2.1.1. Persyaratan Penyelesaian Program Linier

Syarat-syarat yang harus dipenuhi dalam merumuskan suatu problema keputusan ke dalam model matematik persamaan linier adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997):

1. Tujuan

Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi tujuan.

2. Alternatif Perbandingan

Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan, misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.

3. Sumber Daya

Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas. 4. Perumusan Kuantitatif

Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif sesuai dengan yang disebut dalam model matematika.

5. Keterkaitan Peubah

Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.

2.1.2. Model Umum Matematik Program Linier

Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematik sebagai berikut (Sitorus, 1997):

Optimumkan:

= ∑ untuk = 1, 2, 3, … , Kendala:

≥ 0 untuk = 1, 2, 3, … , Keterangan:

= Fungsi tujuan

= Variabel keputusan

= Nilai kontribusi dari variabel keputusan

= Koefisien teknologi dari variabel keputusan dalam kendala ke- = Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-

2.1.3. Karakteristik Program Linier

Karakteristik-karakteristik dalam program linier yang biasa digunakan untuk memodelkan suatu masalah dan memformulasikannya secara matematik, yaitu (Siswanto, 2006):

1. Variabel Keputusan

Variabel keputusan adalah variabel yang secara lengkap menguraikan keputusan-keputusan yang akan dibuat.

2. Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan merupakan suatu hubungan linier dari variabel keputusan yang berupa fungsi maksimum atau minimum.

3. Fungsi Kendala

Fungsi kendala merupakan batasan-batasan dalam penyelesaian program linier yang harus diperhatikan. Kendala diekspresikan dalam persamaan dan pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya dalam suatu masalah.

2.1.4. Metode Simpleks

Cara yang paling sederhana unrtuk menyelesaikan permasalahan program linier adalah dengan pendekatan grafikal. Namun cara tersebut hanya bisa diterapkan untuk program linier dengan dua variabel keputusan. Pada kenyataannya sebagian

besar permasalahan program linier mempunyai lebih dari dua variabel keputusan. Hal ini tentu sulit untuk menerapkan pendekatan grafikal untuk memperoleh penyelesaian dari permasalahan tersebut.

Oleh karena itu, pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks. Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah feasible (ruang sousi) menuju titik ekstrim yang optimum.

Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program linier dengan metode simpleks (Handayani, 2014):

1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah kelayakan (feasible) maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan (artifisial variabel) pada tiap batasan (constraint) serta memberi harga nol pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut:

a. Untuk batasan bernotasi ≤ diubah ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack.

b. Untuk batsan bernotasi ≥ atau = diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan penalty M (M bilangan positif yang sangan besar) sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar (Big M method).

Tabel 2.1. Bentuk Tabel Simpleks ...

Basis Variabel

Basis

Harga

Basis ...

...

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

! ! ! ... ! !

− − ... −

3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai # − $ yang paling positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai # − $ yang paling negatif untuk kasus minimasi.

4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,

5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci.

6. Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.

a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan elemen cell.

b. Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara:

Baris lama – (nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru) c. Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel.

7. Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris # − $ sudah tidak ada lagi yang bernilai positif (untuk kasus maksimasi) atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif (untuk kasus minimasi) berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.

2.2. Program Bilangan Bulat

Program bilangan bulat ialah persoalan program linier di mana pemecahan optimalnya harus menghasilkan bilangan bulat. Dengan kata lain dari antara berbagai bilangan bulat diharuskan mencari nilai-nilai variabel yang fisibel dan membuat fungsi tujuan optimum. Ada beberapa persoalan program linier yang solusinya tidak masuk akal jika solusi yang dihasilkan berupa bilangan pecahan. Diadalam persoalan ekonomi sering kali djumpai variabel-variabel yang nilainya harus positif misalnya produksi mobil, produksi kapal terbang, jumlah jembatan, jumlah gedung, kebutuhan tenaga kerja, jumlah penganggur, jumlah ternak, dan lain sebagainya. Dalam persoalan ini bilangan-bilangan pecahan tidak mempunyai arti (Supranto, 1983).

Program bilangan bulat merupakan suatu model program linier yang khusus digunakan untuk menyesuaikan suatu problem program linier di mana nilai-nilai variabel-variabel keputusan dalam penyelesaian optimal harus merupakan bilangan bulat. Persyaratan bahwa nilai variabel keputusan harus bulat mengingat nilai tidak mungkin dalam bilangan pecahan, seperti rumah, pabrik, tugas, dan lain sebagainya (Sitorus, 1997). Pada saat menggunakan program linier biasa sering dijumpai solusi yang berupa bilangan pecahan kadang diasumsikan bahwa nilai tersebut dapat dibulatkan ke nilai bilangan bulat terdekat. Metode ini tidak akan menyebabkan kesulitan, jika contohnya hasil yang didapat = 8,4 paku dibulatkan menjadi = 8 paku, mengingat harga paku hanya beberapa sen saja perbuahnya. Akan tetapi, jika masalah yang dihadapi adalah mempertimbangkan produksi suatu jet pesawat dan solusi yang dihasilkan adalah

= 7,4 jet, maka pembulatan dapat mempengaruhi keuntungan bermiliar-miliar dolar. Dalam hal ini maka program bilangan bulat hadir menyelesaikan permasalahan sedemikian rupa sehingga suatu solusi bilangan bulat optimal dijamin tercapai (Taylor, 2001).

Program bilangan bulat memiliki model matematika yang sama dengan model program linier pada umumnya hanya saja ditambah batasan bahwa variabelnya harus bilangan bulat sebagai berikut (Syahputra, 2012):

maks/min: Z = 1 kendala: 1 1

!

≤, =, ≥

≥ 0 adalah bilangan bulat di mana: = fungsi tujuan

= koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi tujuan = variabel keputusan

= koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala = sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala

Berdasarkan jenis keputusan yang akan diperoleh persoalan integer programming dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu (Ritonga, 2015):

1. Pemrograman bilangan bulat murni (pure integer programming), yaitu merupakan pemrograman bilangan bulat di mana semua nilai variabel keputusan haruslah bilangan bulat.

2. Pemrograman bilangan bulat campuran (mixed integer programming), yaitu merupakan pemrograman bilangan bulat di mana nilai variabel keputusannya bernilai bilangan bulat dan variabel yang lainya bernilai bilangan desimal atau pecahan.

3. Pemrograman bilangan bulat biner (binary integer programming), yaitu nilai variabel keputusannya adalah bilangan biner (0 atau 1). Dalam aplikasi sehari-hari, masalah binary integer programming menyangkut masalah pengambilan keputusan, di mana jika solusi yang didapat berupa angka 1 berarti menyatakan “ya” atau angka 0 berarti menyatakan “tidak”.

2.2.1. Metode Penyelesaian Program Bilangan Bulat

Metode penyelesaian program linier pada umumnya adalah menggunakan metode pembulatan (rounding method), dan metode branch and bound.

2.2.1.1. Metode Pembulatan (Rounding Method)

Metode ini sangat sederhana dan cepat dalam menyelesaikan program bilangan bulat. Sebelum metode ini diterapkan, maka terlebih dahulu dicari penyelesaian dari problema dengan menggunakan metode program linier biasa, yaitu metode grafik. Selanjutnya, metode ini diterapkan dengan cara melakukan pembulatan hasil nilai variabel keputusan (bilangan pecahan) yang diperoleh dari metode grafik tersebut (Sitorus, 1997).

Kelemahan utama metode ini ialah bahwa hasil pembulatan yang dilakukan dapat menyimpang jauh dari penyelesaian optimal bilangan bulat sesungguhnya dalam penyelesaiannya dianggap tidak layak apabila hasilnya lebih besar daripada penyelesaaian optimal bilangan bulat atau penyelesaian optimal pecahan (metode grafik). Hasil penyelesaian optimal metode pembulatan tidak akan pernah nilai optimalnya lebih besar daripada hasil yang diperoleh dari metode grafik biasa (pecahan). Hal ini disebabkan bahwa adanya persyaratan pembulatan yang tidak boleh keluar dari daerah kelayakan (metode pembulatan) dan tambahan kendala (metode pembulatan), yang kesemuanya mengakibatkan luas daerah kelayakan bertambah kecil (Sitorus, 1997).

2.2.1.2 Metode Branch and Bound

Metode ini sering digunakan untuk menyelesaikan masalah program bilangan bulat karena hasil yang diperoleh dalam penyelsaian optimal lebih teliti dan lebih baik dari kedua metode lainnya. Kelemahan pokok metode ini adalah prosedur untuk mencapai hasil yang optimal sangat panjang (Sitorus, 1997).

Prosedur penyelesaian problema megoptimalkan proram linier bilangan bulat dengan metode ini adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997):

Masalah yang dihadapi diselesaikan lebih dahulu menggunkan metode simpleks atau menggunakan metode grafik sampai diperoleh hasil yang optimal.

Langkah 2: Pemeriksaan Penyelesaian Optimal

Hasil optimal pada langkah 1 diperiksa apakah variabel keputusan yang diperoleh bernilai integer atau pecahan. Apabila semua nilai variabel keputusan yang dihasilkan telah bernilai integer maka solusi optimal telah tercapai. Apabila tidak maka proses iterasi dilanjutkan.

Langkah 3: Penyusunan Subproblema (Branching)

Apabila penyelesaian optimal belum tercapai, maka problema tersebut dimodifikasi ke dalam dua subproblema dengan memasukkan kendala baru ke masing-masing subproblema tersebut.

Langkah 4: Penentuan Nilai Batas (Bounding)

Hasil optimal yang diperoleh dengan metode program linier biasa merupakan nilai batas atas bagi setiap subproblema. Sedangkan hasil optimal dengan penyelesaian integer merupakan nilai batas bawah bagi masing-masing subproblema. Selanjutnya apabila subproblema yang memiliki batas atas yang lebih rendah dari batas bawah yang berlaku, maka subproblema tersebut tidak perlu dianalisis lagi. Apabila dalam penyelesaian integer menghasilkan hasil yang sama atau lebih baik daripada nilai batas atas dari setiap problema, maka penyelesaian optimal integer telah tercapai. Apabila tidak, maka subproblema yang memiliki nilai batas atas yang terbaik dipilih selanjutnya menjadi subproblema baru. Proses iterasi kembali pada langkah 2 sehingga demikian seterusnya.

Ternyata cara ini tidak saja hanya dapat digunakan untuk program bilangan bulat, tetapi juga dapat digunakan untuk program matematika yang lain yaitu untuk menyelesaikan pencarian nilai biaya paling minimum dari suatu

perjalanan yang terdapat pada persoalan pedagang keliling atau Travelling Salesman Problem (TSP) (Simarmata, 2015).

2.3. Fuzzy

Istilah fuzzy lahir dari gagasan seorang guru besar pada University of California, Berkeley, Amerika Serikat, Prof. Lotfi Asker Zadeh. Sejak tahun 1960 Zadeh telah merasa bahwa sistem analisis matematika tradisional yang dikenal sampai saat itu bersifat terlalu eksak sehingga tidak dapat berfungsi dalam banyak masalah dunia nyata yang seringkali amat kompleks. Pada akhirnya di tahun 1965 Zadeh mempublikasikan karangan ilmiahnya berjudul “Fuzzy Set”. Terobosan baru yang deperkenalkan oleh Zadeh ini telah memperluas konsep himpunan klasik menjadi himpunan fuzzy yang dapat mempresentasikan nilai-nilai ketidakpastian yang ditemui dalam kehidupan nyata (Handayani, 2014).

Menurut Zadeh, himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah sebuah kelas dari obyek dengan serangkaian kesatuan dari nilai keanggotaan. Sebuah set dikarakterisasikan oleh sebuah fungsi keanggotaan yang memberikan tiap obyek sebuah nilai keanggotaan yang rentang nilainya antara 0 dan 1. Pada teori himpunan fuzzy, peranan derajat keanggotaan sebagai penentu keberadaan elemen dalam suatu himpunan sangatlah penting. Nilai keanggotaan atau derajat keanggotaan atau membership function menjadi cirri utama dari penalaran dengan logika fuzzy tersebut (Kusumadewi & Purnomo, 2010).

2.3.1. Alasan Digunakannya Logika Fuzzy

Menurut Cox (1994), ada beberapa alasan mengapa orang menggunakan logika

1. Konsep logika fuzzy mudah dimengert. Karena logika fuzzy menggunakan dasar teori himpunan, maka konsep matematis yang mendasari penalaran

fuzzy tersebut cukup mudah dimengerti.

2. Logika fuzzy sangat fleksibel, artinya mampu beradaptasi dengan perubahan-perubahan, dan ketidakpastian yang menyertai permasalahan.

3. Logika fuzzy memiliki toleransi terhadap data yang tidak tepat. Jika diberikan sekelompok data yang cukup homogen, dan kemudian ada beberapa data yang “eksklusif”, maka logika fuzzy memiliki kemampuan untuk menangani data eksklusif tersebut.

4. Logika fuzzy mampu memodelkan fungsi-fungsi nonlinier yang sangat kompleks.

5. Logika fuzzy dapat membangun dan mengaplikasikan pengalaman-pengalaman para pakar secara langsung tanpa harus melalui proses pelatihan. Dalam hal ini, sering dikenal dengan nama Fuzzy Expert Systems menjadi bagian terpenting.

6. Logika fuzzy dapat bekerjasama dengan teknik-teknik kendali secara konvensional. Hal ini umumnya terjadi pada aplikasi di bidang teknik mesin maupun teknik elektro.

7. Logika fuzzy didasarkan pada bahasa alami. Logika fuzzy menggunakan bahasa sehari-hari sehingga mudah dimengerti.

2.3.2. Himpunan Fuzzy

Pada himpunan tegas (crisp), nilai keanggotaan suatu item dalam suatu himpunan A, yang sering ditulis dengan :_; , memiliki dua kemungkina yaitu (Kusumadewi & Purnomo, 2010):

• Satu (1), yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan, atau

• Nol (0), yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan.

a. Linguistik, yaitu penamaan suatu grup yang mewakili suatu keadaan atau kondisi tertentu dengan menggunakan bahasa alami, seperti: muda, parobaya, tua.

b. Numeris, yaitu suatu nilai (angka) yang menunjukkan ukuran dari suatu variabel seperti: 40, 25, 50, dsb.

Misalkan diketahui klasifikasi sabagai berikut: MUDA < <= < 35 @ ℎ<

SETENGAH BAYA 35 ≤ < <= ≤ 55 @ ℎ< TUA < <= > 55 @ ℎ<

Dengan menggunakan pendekatan crisp, amatlah tidak adil untuk menetapkan nilai SETENGAH BAYA. Pendekatan ini bisa saja dilakukan untuk hal-hal yang bersifat diskontinu. Misalkan umur klasifikasi 55 tahun dan 56 tahun sangat jauh berbeda, umur 55 tahun termasuk SETENGAH BAYA, sedangkan umur 56 tahun sudah termasuk TUA. Demikian pula untuk kategori TUA dan MUDA. Dengan demikian pendekatan crisp ini sangat tidak cocok untuk diterapkan pada hal-hal yang bersifat kontinu, seperti umur. Selain itu, untuk menunjukkan suatu nilai kebenaran 0 dan 1, dapat digunakan nilai pecahan, dan menunjuk 1 atau nilai yang dekat dengan 1 untuk umur 45 tahun, kemudian perlahan menurun menuju 0 untuk umur di bawah 35 tahun dan di atas 55 tahun (Sihotang, 2011).

Ada beberapa hal yang perlu diketahui dalam memahami sistem fuzzy, yaitu (Kusumadewi & Purnomo, 2010):

a. Variabel fuzzy

Variabel fuzzy merupakan variabel yang hendak dibahas dalam suatu sistem fuzzy. Contoh: umur, temperature, permintaan, dsb.

b. Himpunan fuzzy

Himpunan fuzzy merupakan suatu grup yang mewakili suatu kondisi atau keadaan tertentu dalam suatu variabel fuzzy.

Semesta pembicaraan adalah keseluruhan nilai yang diperbolehkan untuk dioperasikan dalam suatu variabel fuzzy. Semesta pembicaraan merupakan himpunan bilangan ril yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai semesta pembicaraan dapat berupa bilangan positif maupun negatif.

d. Domain

Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang diizinkan dalam semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam sutu himpunan fuzzy. Sepertinya semesta pembicaraan, domain merupakan himpunan bilangan ril yang senantiasa naik (bertambah) secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai domain dapat berupa bilangan positif maupun negatif.

2.3.3. Fungsi Keanggotaan

Fungsi keanggotaan adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik

input data ke dalam nilai keanggotaannya (sering juga disebut dengan derajat keanggotaan) yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan (Kusumadewi & Purnomo, 2010).

2.3.3.1 Representasi Linier

Pada representasi linier, pemetaan input ke dearajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas. Ada dua keadaan himpunan

memiliki derajat keanggotaan nol (0) bergerak ke kanan menuju nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi (Kusumadewi & Purnomo, 2010).

Representasi Linier Naik

Gambar 2.1 Representasi Linier Naik Fungsi keanggotaan:

:C D = E − / −0;

1; ; G

≤ ≤ ≤

≥

Representasi Linier Turun

Fungsi Keanggotaan:

:C D = H − / − ;_0; ≤ ≤_≥ G

2.3.3.2 Representasi Kurva Segitiga

Kurva segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis (linier).

Gambar 2.3. Kurva Segitiga Fungsi keanggotaan:

:C D = E − / − ; 0;

− / − ;G

≤ @ < ≥ ≤ ≤ ≤ ≤

2.3.3.3. Representasi Kurva Trapesium

Kurva trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.

Gambar 2.4. Kurva Trapesium Fungsi keanggotaan:

:C D = I

0;

− / − ; 1;

J − / J − ;

≤ @ < ≥ J ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ J

3.1. Program Linier Fuzzy

Program linier merupakan salah satu model yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi. Pada program linier, permasalahan dimodelkan secara tetap denga menggunakan parameter-parameter yang umum digunakan. Pada program linier, keberadaan data dan formulasi yang digunakan juga sudah bersifat tertentu, pasti dan tidak menimbulkan ambiguitas (Kusumadewi, 2010). Salah satu contoh model program linier klasik adalah:

Maksimumkan:

=

Dengan batasan:

≤ ≥ 0

Dengan , ∈ , ∈ , ∈ (3.1)

Atau

Minimumkan:

=

Dengan batasan:

≥ ≥ 0

Dengan , ∈ , ∈ , ∈ (3.2)

, dan adalah bilangan-bilangan crisp (tegas), tanda ≤ pada kasus maksimasi dan tanda ≥ pada kasus minimasi juga bermakna crisp (tegas), demikian juga perintah “maksimumkan” atau “minimumka” merupakan bentuk imperatif tegas.

Jika diasumsikan bahwa keputusan program linier akan dibuat pada lingkungan fuzzy, maka bentuk (3.1) dan (3.2) akan mengalami sedikit perubahan, yaitu:

1. Bentuk imperatif pada fungsi objektif tidak lagi benar-benar “maksimum” atau “minimum”, karena adanya beberapa hal yang perlu mendapat pertimbangan dalam suatu sistem.

2. Tanda ≤ (pada batasan) dalam kasus maksimasi dan tanda ≥ (pada batasan) dalam kasus minimasi tidak lagi bermakna crisp secara matematis, namun sedikit mengalami pelanggaran makna. Hal ini juga disebabkan karena adanya beberapa yang perlu dipertimbangkan dalam sistem yang mengakibatkan batasan tidak dapat didekati secara tegas.

Program linier fuzzy adalah program linier yang dinyatakan dengan fungsi objektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter fuzzy dan ketidaksamaan

fuzzy. Tujuan dari program linier fuzzy adalah mencari solusi yang dapat diterima berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif dan kendala. Solusi tersebut berbentuk himpunan fuzzy yang memiliki derajat kebenaran tertentu pada selang [0,1].

Pada program linier fuzzy, akan dicari suatu nilai yang merupakan nilai yang merupakan fungsi objektif yang akan dioptimasikan sedemikian hingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan menggunakan himpunan

fuzzy. Sehingga untuk kasus maksimasi (3.1) akan diperoleh: Tentukan sedemikian hingga:

≥ ≤

Dan untuk kasus minimasi (3.2) akan diperoleh:

≤ ≥

≥ 0 (3.4)

Yang dapat dibawa menjadi suatu bentuk seperti dibawah:

≤

≥ 0 (3.5)

Dengan:

= ; dan

= untuk kasus maksimasi Atau

= ; dan

= untuk kasus minimasi

Tiap-tiap baris/batasan (0,,1,2,…, m) akan dipresentasikan dengan sebuah himpunan fuzzy, dengan fungsi keanggotaan pada himpunan ke-i adalah _{! !} . Fungsi keanggotaan untuk model keputusan himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai:

"#$% = min!) !# ! %* (3.6)

Tentu saja diharapkan, kita akan mendapatkan solusi solusi terbaik, yaitu suatu solusi dengan nilai keanggotaan yang paling besar, dengan demikian solusi sebenarnya adalah:

Dari sini terlihat bahwa _{! !} = 0 jika batasan ke-i benar-benar dilanggar. Sebaliknya, _{! !} = 1 jika batasan ke-i benar-benar dipatuhi (sama halnya dengan batasan bernilai tegas). Nilai _! akan naik secara monoton pada selang [0,1], yaitu:

!# ! % = 0

1; ∈ #0,1%;

0; 1

2345 ! ≤ !

2345 ! < ! ≤ ! + 8!

2345 ! > !+ 8!

(3.8)

3 = 0,1,2, … , <

Gambar 3.1. menunjukkan fungsi keanggotaan tersebut

Gambar 3.1. Fungsi Keanggotaan

!# % = =

1;

1 −?@ A@

B@ ;

0;

1 2345 2345 _! < !_! ≤≤ !_! + 8_!

2345 ! > ! + 8!

(3.9)

3 = 0,1,2, … , <

Dengan 8_! adalah toleransi interval yang diperbolehkan untuk melakukan pelanggaran dengan baik pada fungsi objektif maupun batasan. Dengan mensubstitusikan akan diperoleh:

Dari gambar dapat dilihat bahwa, semakin besar nilai domain, akan memiliki nilai keanggotaan yang cenderung semakin kecil. Sehingga untuk mencari nilai

E − FG dapat dihitung sebagai E = 1 − G, dengan:

! + G8! = HF5I 45J5J 5G5I5J 4K − 3 (3.11)

Dengan demikian akan diperoleh bentuk program linier baru sebagai berikut Maksimumkan : E

Dengan batasan : E8_!+ _! ≤ _!+ 8_!; 3 = 0,1,2, … , <

≥ 0 (3.12)

3.2. Algoritma Branch and bound

Branch and bound adalah suatu metode yang membagi (divide) dan memilih yang tepat mengurangi masalah asli menjadi satu problema lebih kecil dari subpersoalan dan kemudian secara berulang memecahkan masalah subpersoalan tersebut sehingga dengan menambahkan kendala-kendala baru ruang lingkup penyelesaian semakin sempit dan mempercepat pemecahan masalah.

Ada tiga komponen dalam algoritma ini, yaitu:

1. Fungsi Pembatas (Bounding): fungsi yang disediakan subspace dari ruang solusi dengan batas rendah untuk nilai solusi terbaik yang diperoleh dalam

subspace.

Metode dalam bounding ada dua, yaitu:

a. Metode Upper bounding: suatu metode untuk menentukan suatu batas atas pada solusi optimal.

b. Metode lower bounding: suatu metode untuk menentukan suatu batas bawah dari fungsi objektif.

2. Strategi Pencarian: suatu strategi untuk menyeleksi tiap-tiap node yang dihasilkan dan mendapatkan node yang optimum.

3. Metode Percabangan (Branching): suatu metode yang diaplikasikan jika

subspace setelah diperiksa tidak dapat dibatalkan, karena itu pembagian

subspace kedalam dua atau lebih subspace untuk diperiksa dalam sub rangkaian iterasi.

3.3. Langkah Penyelesaian Pembulatan Program Linier Fuzzy Menggunakan Metode Branch and bound

Langkah-langkah yang dilakukan adalah: 1. Langkah 1

Pada langkah ini, kasus yang diselesaikan menggunakan metode simpleks pada program linier biasa dengan mencari solusi pada G = 0 dan G = 1. 2. Langkah 2

Pada langkah ini, dibentuk program linier biasa menjadi bentuk program linier fuzzy menggunakan metode simpleks.

3. Langkah 3

Dari hasil yang telah diperoleh pada langkah 2 jika hasilnya tidak berupa bilangan bulat maka akan dilakukan pembulatan menggunakan metode

branch and bound hingga diperoleh solusi optimal berupa bilangan bulat.

3.4. Ilustrasi Numerik Pembulatan Program Linier Fuzzy dengan Menggunakan Metode Branch and bound

Cotoh kasus diambil dari buku Kusumadewi (2010) dengan modifikasi.

Sebuah perusahaan kecil memproduksi 4 jenis produk yang berbeda yang masing-masing membutuhkan 3 macam bahan baku, yaitu A, B, dan C. Produk tersebut dikerjakan melalui 2 proses pengerjaan manual, yaitu Proses I, dan Proses II. Setiap unit produk I membutuhkan 10 ons bahan baku A, 6 ons bahan baku B, dan

12 ons bahan baku C. Setiap unit produk II membutuhkan 8 ons bahan baku A, 10 ons bahan baku B, dan 12 ons bahan baku C. Setiap unit produk III membutuhkan 12 ons bahan baku A, 8 ons bahan baku B, dan 15 ons bahan baku C. Setiap unit produk IV membutuhkan 14 ons bahan baku A, 12 ons bahan baku B, dan 13 ons bahan baku C. Akibat keterbatasan gudang bahan baku dan dana yang ada, bahan baku yang disediakan tiap minggu adalah sebesar 240 kg bahan baku A, 18 kg bahan baku B, dan 25 kg bahan baku C. Namun demikian pihak perusahaan masih memungkinkan adanya penambahan bahan baku A hingga 60 kg, bahan baku B hingga 20 kg dan bahan baku C hingga 50 kg, asalkan dengan penambahan sedikit saja, keuntungan yang diperoleh perusahaan akan bertambah.

Setiap unit Produk I membutuhkan waktu 4 jam pada proses I, dan 2 jam pada proses II. Setiap unit produk II membutuhkan waktu 3 jam pada proses I dan 4 jam pada proses II. Setiap unit produk II membutuhkan waktu 5 jam pada proses I dan 3 jam pada proses II. Setiap unit produk II membutuhkan 6 jam pada proses I dan 5 jam pada proses II. Jumlah karyawan pada proses I sebanyak 18 orang, sedangkan pada proses II sebanyak 20 orang. Perusahaan bekerja dengan 1 shift, mulai pukul 08.00 sampai pukul 16.00 dengan istirahat selama 1 jam mulai pukul 12.00 hingga 13.00, selama 6 hari kerja dalam 1 minggu.

Keuntungan per unit untuk produk I adalah sebesar Rp 4.000,-, keuntungan per unit produk II adalah sebesar Rp 6.000,-, keuntungan per unit produk III sebesar Rp 5.500,- dan keuntungan per unit produk IV adalah sebesar Rp 7.000,-. Informasi bagian pemasaran menyatakan bahwa berapa pun jumlah produk yang dibuat perusahaan, akan terserap seluruhnya oleh pasar.

Berdasarkan kondisi tersebut, berapakah keuntungan maksimum yang bisa diperoleh oleh perusahaan ?

Penyelesaian: Langkah 1.

Menyelesaikan persoalan menggunakan program linier biasa.

Dalam penyelesaian kasus ini, selanjutnya satuan bahan baku dinyatakan dalam ons. Jam kerja karyawan per minggu dapat dihitung:

• Pada proses I ditetapkan karyawan sejumlah 18 orang, dengan jam kerja selama 7 jam selama 6 hari per minggu. Maka jam kerja per minggu pada proses I adalah : 18 7 6 = 756 25<.

• Pada proses II ditetapkan karyawan sejumlah 20 orang, dengan jam kerja selama 7 jam selama 6 hari minggu. Maka jam kerja per minggu pada proses II adalah : 20 7 6 = 840 25<.

Penambahan bahan baku yang diperbolehkan (toleransi) pada setiap bahan baku: • Pada bahan baku I penambahan bahan baku yang diperbolehkan maksimal

60 kg = 600 ons.

• Pada bahan baku II penambahan bahan baku yang diperbolehkan maksimal 20 kg = 200 ons.

• Pada bahan baku III penambahan bahan baku yang diperbolehkan maksimal 50 kg = 500 ons.

Kasus ini dapat ditabulasikan sebagai berikut:

Tabel 3.1. Bentuk tabulasi permasalahan

Sumber Produk Kapasitas ( ons)

I II III IV Maksimum Toleransi

Bahan Baku A 10 8 12 14 2400 600

Bahan Baku B 6 10 8 12 1800 200

Bahan Baku C 12 12 15 13 2500 500

Jam Proses I 4 3 5 6 756 0

Jam Proses II 2 4 3 5 840 0

Keuntungan/unit 4000 6000 5500 7000

Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, langkah yang dilakukan adalah merumuskan karakteristik pada program linier biasa, yaitu:

1. Menentukan variabel keputusan • _Q : Produk I,

• _R : Produk II, • _S : Produk III,

• _T : Produk IV,

2. Merumuskan fungsi tujuan

Fungsi tujuan dari permasalahan ini adalah memaksimalkan keuntungan dari tiap produk yang akan diproduksi, yakni produk I, produk II, produk III dan produk IV sehingga dapat dirumuskan menjadi:

= 4000 Q + 6000 R+ 5500 S+ 7000 T

3. Merumuskan fungsi kendala

• Fungsi kendala pada bahan baku A

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2400 + 600 G

• Fungsi kendala pada bahan baku B

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1800 + 200 G

• Fungsi kendala pada bahan baku C

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2500 + 500 G

• Fungsi kendala berdasarkan jam kerja karyawan per minggu pada proses I

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

• Fungsi kendala berdasarkan jam kerja karyawan per minggu pada proses II

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q + 6000 R+ 5500 S+ 7000 T

Kendala:

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1800 + 200 G

12 Q+ 12 R+ 15 S + 13 T ≤ 2500 + 500 G

4 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 _Q+ 4 _R+ 3 _S+ 5 _T ≤ 840

Q, R, S ≥ 0

Untuk G = 0 E = 1 , maka bentuk diatas menjadi:

Maksimumkan: 4000 _Q+ 6000 _R+ 5500 _S + 7000 _T Kendala : 10 _Q+ 8 _R+ 12 _S+ 14 _T ≤ 2400

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1800

12 _Q+ 12 _R+ 15 _S+ 13 _T ≤ 2500

4 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

Q, R, S ≥ 0

Dapat diselesaikan menggunakan metode simpleks sebagai berikut: Tabel 3.2. Iterasi 0 untuk G = 0 5J E = 1

Basis 4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

IQ 0 10 8 12 14 1 0 0 0 0 2400

IR 0 6 10 8 12 0 1 0 0 0 1800

IS 0 12 12 15 13 0 0 1 0 0 2500

IT 0 4 3 5 6 0 0 0 1 0 756

IV 0 2 4 3 5 0 0 0 0 1 840

W− W -4000 -6000 -5500 -7000 0 0 0 0 0 0

Variabel masuk : _T Variabel keluar : I_T

Tabel 3.3. Iterasi 1 untuk G = 0 5J E = 1

Basis 4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

IQ 0 0,6667 1 0,3333 0 1 0 0 -2,333 0 636

IR 0 -2,0 4 -2,0 0 0 1 0 -2 0 288

IS 0 3,3333 5,5 4,1667 0 0 0 1 -2,1667 0 862

T 7000 0,6667 0,5 0,8333 1 0 0 0 0,1667 0 126

IV 0 -1,3333 1,5 -1,1667 0 0 0 0 -0,833 1 210

W− W 666,6666 -2500 333,333 0 0 0 0 0 0 882000

Variabel masuk : _R Variabel keluar : I_R

Tabel 3.4. Iterasi 2 untuk G = 0 5J E = 1

Basis

4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

IQ 0 1,1667 0 0,8333 0 1 -0,25 0 -1,833 0 564

R 6000 -0,5 1 -0,5 0 0 0,25 0 -0,5 0 72

IS 0 6,0833 0 6,9167 0 0 -0,625 1 0,5833 0 466

T 7000 0,9167 0 1,0833 1 0 -0,125 0 0,4167 0 90

IV 0 -0,583 0 -0,4167 0 0 -0,375 0 -0,0833 1 102

W− W -583,33 0 -916,667 0 0 625 0 -83,333 0 1062000

Variabel masuk : _S Variabel keluar : I_S

Tabel 3.5. Iterasi 3 untuk G = 0 5J E = 1

Basis 4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

IQ 0 0,4337 0 0 0 1 -0,0843 -0,1205 -1,9036 0 507,8554

R 6000 -0,0602 1 0 0 0 0,1506 0,0723 -0,4578 0 105,6867

S 5500 0,8795 0 0 0 0 -0,1988 0,1446 0,0843 0 67,3735

T 7000 -0,0361 0 1 1 0 0,0904 -0,1566 0,3253 0 17,012

IV 0 -0,2169 0 0 0 0 -0,4578 0,0602 -0,0482 1 130,0723

W − W 222,8916 0 0 0 0 442,7711 132,5301 -6,0241 0 1123758,45 Variabel masuk : I_T

Variabel keluar : _T

Tabel 3.6. Iterasi 4 untuk G = 0 5J E = 1

Basis

4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

IQ 0 0,2222 0 0 5,8519 1 0,4444 -1,037 0 0 607,4074

R 6000 -0,1111 1 0 1,4074 0 0,2778 -0,1481 0 0 129,6296

S 5500 0,8889 0 0 -0,2593 0 -0,2222 0,1852 0 0 62,3735

IT 0 -0,1111 0 1 3,0741 0 0,2778 -0,4815 1 0 17,012

IV 0 -0,222 0 0 0,1481 0 -0,4444 0,037 0 1 130,0723

W− W 222,8916 0 0 18,5185 0 444,4444 129,6296 0 0 1124074

Karena baris _W − _W ≥ 0, maka persoalan diatas telah optimal dengan _XYZ =

1124074 untuk _Q = 0, _R = 129,6296, _S = 62,963 dan _T = 0. Dengan

menggunakan software POM-QM diperoleh hasil yang sama dengan _XYZ =

1124074 untuk _Q = 0, _R = 129,6296, _S = 62,963 dan _T = 0 (Penyelesaian

menggunakan software POM-QM terlampir pada Lampiran 1). Untuk G = 1 E = 0 , maka bentuk diatas menjadi:

Maksimumkan: 4000 _Q+ 6000 _R+ 5500 _S + 7000 _T Kendala : 10 _Q+ 8 _R+ 12 _S+ 14 _T ≤ 3000

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 2000

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 3500

4 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

Q, R, S ≥ 0

Dapat diselesaikan menggunakan metode simpleks sebagai berikut: Tabel 3.7. Iterasi 0 untuk G = 1 5J E = 0

Basis 4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

IQ 0 10 8 12 14 1 0 0 0 0 3000

IR 0 6 10 8 12 0 1 0 0 0 2000

IS 0 12 12 15 13 0 0 1 0 0 3500

IT 0 4 3 5 6 0 0 0 1 0 756

IV 0 2 4 3 5 0 0 0 0 1 840

W− W -4000 -6000 -5500 -7000 0 0 0 0 0 0

Variabel masuk : _T Variabel keluar : I_T

Tabel 3.8. Iterasi 1 untuk G = 1 5J E = 0

Basis 4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

IQ 0 0,6667 1 0,3333 0 1 0 0 -2,3333 0 1236

IR 0 -2,0 4 -2,0 0 0 1 0 -2 0 488

IS 0 3,3333 5,5 4,1667 0 0 0 1 -2,1667 0 1862

T 7000 0,6667 0,5 0,8333 1 0 0 0 0,1667 0 126

IV 0 -1,3333 1,5 -1,1667 0 0 0 0 -0,8333 1 210

Variabel masuk : _R Variabel keluar : I_R

Tabel 3.9. Iterasi 2 untuk G = 1 5J E = 0

Basis

4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

I_Q 0 1,1667 0 0,8333 0 1 -0,25 0 -1,8333 0 1114

R 6000 -0,5 1 -0,5 0 0 0,25 0 -0,5 0 122

IS 0 4,5833 0 6,9167 0 0 -0,625 1 -0,9167 0 1191

T 5500 0,9167 0 1,0833 1 0 -0,125 0 0,4167 0 65

IV 0 -0,5833 0 -0,4167 0 0 -0,375 0 -0,0833 1 27

W − W -583,3333 0 -916,6667 0 0 625 0 83,3333 0 1187000 Variabel masuk : _S

Variabel keluar : _T

Tabel 3.10. Iterasi 3 untuk G = 1 5J E = 0

Karena baris _W − _W ≥ 0, maka persoalan diatas telah optimal dengan _XYZ =

1242000 untuk _Q = 0, _R = 152, _S = 60 dan _T = 0. Dengan menggunakan

Basis 4000 6000 5500 7000 0 0 0 0 0

Q R S T IQ IR IS IT IV

IQ 0 0,4615 0 0 -0,7692 1 -0,1538 0 -2,1538 0 1064

R 6000 -0,0769 1 0 0,4615 0 0,1923 0 -0,3077 0 152

IS 0 0 0 0 -6,3846 0 -0,5769 1 -2,0769 0 776

S 5500 0,8462 0 1 0,9231 0 -0,1154 0 -0,3846 0 60

IV 0 -0,2308 0 0 0,3846 0 -0,4231 0 0,0769 1 52

software POM-QM diperoleh hasil yang sama dengan _XYZ = 1242000 untuk

Q = 0, R = 152, S = 60 dan T = 0 (Penyelesaian menggunakan software

POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Langkah 2.

Menyelesaikan persoalan dengan mengubah model menjadi program linier fuzzy. Dari kedua hasil untuk G = 0 dan G = 1, dapat ditentukan nilai 8_., yaitu hasil pengurangan dari nilai pada saat G = 1 dengan pada saat G = 0.

Maka 8_\ = 1242000 − 1124074 = 117926

Fungsi keanggotaan tiap-tiap persamaan terlihat pada gambar

Gambar 3.2. Fungsi Keanggotaan dari fungsi tujuan

Gambar 3.4. Fungsi Keanggotaan dari Batasan-2

Gambar 3.5. Fungsi Keanggotaan dari Batasan-3

Akhirnya dapat dibentuk model program linier fuzzy sebagai berikut: Maksimumkan: E

Kendala: − 117926E + 4000 _Q+ 6000 _R+ 5500 _S+ 7000 _T ≥ 1124074

600E + 10 Q+ 8 R + 12 S + 14 T ≤ 3000

200E + 6 Q+ 10 R + 8 S + 12 T ≤ 2000

1000E + 12 Q+ 12 R+ 15 S + 13 T ≤ 3000

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

E, Q, R, S, T ≥ 0

Didapatkan solusi E = 0,5317; _Q = 0; _R = 131,5483; _S = 72,271, _T = 0 dengan nilai = 1186780,3 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Nilai untuk setiap batasan: • Batasan-1

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T, disubstitusi dengan hasil yang diperoleh

Q = 0; R = 131,5483; S = 72,271, T = 0

10 0 + 8 131,5483 + 12 72,271 + 14 0 = 1919,6384

• Batasan-2

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T, disubstitusi dengan hasil yang diperoleh Q =

0; R = 131,5483; S = 72,271; T = 0

6 0 + 10 131,5483 + 8 72,271 + 12 0 = 1893,651

• Batasan-3

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T, disubstitusi dengan hasil yang diperoleh

Q = 0; R = 131,5483; S = 72,271; T = 0

12 0 + 12 131,5483 + 15 72,271 + 13 0 = 2662,6446

• Batasan-4

4 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T, disubstitusi dengan hasil yang diperoleh _Q =

0; R = 131,5483; S = 72,271, T = 0

4 0 + 3 131,5483 + 5 72,271 + 6 0 = 755,999

• Batasan-5

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T, , disubstitusi dengan hasil yang diperoleh Q =

2 0 + 4 131,5483 + 3 72,271 + 5 0 = 743,0062

Derajat keanggotaan untuk setiap batasan:

• Batasan-1 : _Q# _Q$% = 1 (karena 1919,6384 < 2400) • Batasan-2 : _R# _R$% =R... Q]^S,_VQ

R.. = 0,5317

• Batasan-3 : _S# _S$% =S... R__R,_TT_

V.. = 0,6747

Dengan menggunakan program linier biasa (G = 0), keuntungan maksimum akan diperoleh jika produk II diproduksi sebanyak 129,6296 unit, produk III diproduksi sebanyak 62,963 unit dan tidak memproduksi produk I dan produk IV dengan keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 1.124.074,-.

Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan bahan baku bahwa: • Pada bahan baku A dibutuhkan sebanyak

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T dengan _Q = 0, _R = 129,6296, _S = 62,963 dan

T = 0.

10 0 + 8 129,6296 + 12 62,963 + 14 0 = 1792,5928 ons.

• Pada bahan baku B dibutuhkan sebanyak

6 _Q+ 10 _R+ 8 _S+ 12 _T dengan _Q = 0, _R = 129,6296, _S = 62,963 dan

T = 0.

6 0 + 10 129,6296 + 8 62,963 + 12 0 = 1800 ons.

• Pada bahan baku C dibutuhkan sebanyak

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T dengan Q = 0, R = 129,6296, S = 62,963

dan _T = 0.

12 0 + 12 129,6296 + 15 62,963 + 13 0 = 2500

Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan jam proses bahwa: • Lama waktu pada proses I selama

4 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T dengan _Q = 0, _R = 129,6296, _S = 62,963 dan

T = 0.

4 0 + 3 129,6296 + 5 62,963 + 6 0 = 703,7038 menit.

• Lama waktu pada proses I selama

2 _Q+ 4 _R+ 3 _S+ 5 _T dengan _Q = 0, _R = 129,6296, _S = 62,963 dan

T = 0.

2 0 + 4 129,6296 + 3 62,963 + 5 0 = 707,4074menit.

Apabila digunakan program linier fuzzy (E = 0,5317) keuntungan maksimum akan diperoleh jika produk II diproduksi sebanyak 131,5483 unit, produk III diproduksi sebanyak 72,271 unit dan tidak memproduksi produk I dan produk IV dengan keuntungan yang diperoleh sebesar Rp 1.186.780,3, lebih banyak Rp 62.706,3.

Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan bahan baku bahwa: • Pada bahan baku A dibutuhkan sebanyak

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T dengan Q = 0; R = 131,5483; S =

72,271, T = 0

10 0 + 8 131,5483 + 12 72,271 + 14 0 = 1919,6384 ons.

• Pada bahan baku B dibutuhkan sebanyak

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 Tdengan _Q = 0; _R = 131,5483; _S =

72,271, T = 0

6 0 + 10 131,5483 + 8 72,271 + 12 0 = 1893,651 ons.

• Pada bahan baku C dibutuhkan sebanyak

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T dengan _Q = 0; _R = 131,5483; _S =

72,271, T = 0

Dengan kondisi di atas diperoleh dari kendala berdasarkan jam proses bahwa: • Lama waktu pada proses I selama

4 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T dengan Q = 0; R = 131,5483; S = 72,271, T = 0

4 0 + 3 131,5483 + 5 72,271 + 6 0 = 755,999 menit.

• Lama waktu pada proses I selama

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T dengan Q = 0; R = 131,5483; S = 72,271, T = 0

2 0 + 4 131,5483 + 3 72,271 + 5 0 = 743,0062 menit.

Hasil diatas mengharuskan perusahaan menambah bahan baku B sebanyak 93,651 ons dari 1800 ons yang mutlak bisa disediakan dan menambah bahan baku C sebanyak 162,6446 ons dari 2500 ons yang mutlak bisa disediakan.

Nilai E = 0,5317 mengandung pengertian bahwa E − FG untuk setiap himpunan yang digunakan untuk mengimplementasikan setiap batasan sebesar 0,5137. Dengan kata lain, skala terbesar G = 1 − 0,5317 = 0,4683 digunakan untuk menentukan besarnya penambahan terbesar dari setiap batasan yang diizinkan seperti dibawah ini:

• Pada batasan-1, penambahan bahan baku A diizinkan hingga 600 ons, pada kenyataannya penambahan yang dibutuhkan maksimal hanya sebesar

0,4683 600 = 280,98 ons.

• Pada batasan-2, penambahan bahan baku B diizinkan hingga 200 ons, pada kenyataannya penambahan yang dibutuhkan maksimal hanya sebesar

0,4683 200 = 93,6 ons.

• Pada batasan-1, penambahan bahan baku A diizinkan hingga 500 ons, pada kenyataannya penambahan yang dibutuhkan maksimal hanya sebesar

0,4683 500 = 234,15 ons.

Membulatkan hasil yang diperoleh menggunakan metode branch and bound. Setelah diperoleh hasil pengerjaan program linier fuzzy langkah selanjutnya adalah membulatkan nilai produk yang optimal dari hasil yang diperoleh karena tidak mungkin produk yang akan diproduksi bernilai pecahan. Metode pembulatan yang digunakan adalah metode branch and bound. Dapat dilihat bahwa hasil optimal yang diperoleh adalah _Q = 0; _R = 131,5483; _S = 72,271, _T = 0 dengan nilai = 1186780,3. Batasan ditambahkan sesuai dengan batasan maksimal yang telah diperoleh dari penyelesaian program linier fuzzy, yaitu:

• Batasan-1

10 _Q+ 8 _R+ 12 _S+ 14 _T ≤ 2400 + 280,98 = 2680,98

• Batasan-2

6 Q+ 10 R + 8 S + 12 T ≤ 1800 + 93,6 = 1893,6

• Batasan-3

12 _Q+ 12 _R + 15 _S + 13 _T ≤ 2500 + 234,15 = 2734,15

Langkah pencabangan yang dilakukan sebagai berikut:

Node 1.

Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 _Q+ 6000 _R + 5500 _S+ 7000 _T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1186754,0 dengan _Q = 0; _R =

131,5483; ; S = 72,2769; T = 0 (Penyelesaian menggunakan software

POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Node 2

Menambah kendala baru _R ≤ 131 dari model pada node 1. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185767,0 dengan _Q = 0; _R = 131; _S =

71,2; T = 1,1667 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir

pada Lampiran 1).

Node 3

Menambah kendala baru _R ≥ 132 dari model pada node 1. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 _Q+ 4 _R+ 3 _S+ 5 _T ≤ 840

R ≥ 132

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1186350 dengan _Q = 0; _R = 132; _S =

71,7; T = 1,1667 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir

pada Lampiran 1).

Node 4

Menambah kendala baru _S ≤ 71 dari model pada node 1. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 _Q+ 8 _R+ 12 _S+ 14 _T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 _Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≤ 71

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185700 dengan _Q = 0,2; _R = 131; _S =

71; T = 1,2 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Node 5

Menambah kendala baru _S ≥ 72 dari model pada node 2. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 _Q+ 12 _R+ 15 _S+ 13 _T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≥ 72

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185500 dengan _Q = 0; _R = 131; _S =

72; T = 0,5 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 6

Menambah kendala baru _S ≤ 71 dari model pada node 3. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

S ≤ 71

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1186230,0 dengan _Q = 0,9333; _R =

132; S = 71; T = 1,2 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM

terlampir pada Lampiran 1).

Node 7

Menambah kendala baru _S ≥ 72 dari model pada node 3. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 _Q+ 6000 _R + 5500 _S+ 7000 _T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

S ≥ 72

Q, R, S, T ≥ 0

Tidak ada solusi yang fisibel (Penyelesaian menggunakan POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Node 8

Menambah kendala baru _T ≤ 1 dari model pada node 4. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≤ 71

T ≤ 1

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185500 dengan _Q = 0,5; _R = 131; _S =

71; T = 1 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 9

Menambah kendala baru _T ≥ 2 dari model pada node 4. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

T ≥ 2

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185062,0 dengan _Q = 0; _R =

130,6154; S = 70,4306; T = 2 (Penyelesaian menggunakan software

POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Node 10

Menambah kendala baru _T ≤ 0 dari model pada node 5. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≥ 72

T ≤ 0

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185300 dengan _Q = 0; _R = 131; _S =

72,6; T = 0 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 11

Menambah kendala baru _T ≥ 1 dari model pada node 5. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≥ 72

T ≥ 1

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185300 dengan _Q = 0; _R = 131; _S =

72; T = 1 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 12

Menambah kendala baru _Q ≤ 0 dari model pada node 6. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

Q ≤ 0

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185860 dengan _Q = 0; _R = 132,56; _S =

71; T = 0 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Node 13

Menambah kendala baru _Q ≥ 1 dari model pada node 6. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

S ≤ 71

Q ≥ 1

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1186225 dengan _Q = 1; _R = 132; _S =

70,95; T = 0 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 14

Menambah kendala baru _Q ≤ 0 dari model pada node 8. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≤ 71

T ≤ 1

Q ≤ 0

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1183500 dengan _Q = 0; _R = 131; _S =

71; T = 1 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Node 15

Menambah kendala baru _Q ≥ 1 dari model pada node 8. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

S ≤ 71

T ≤ 1

Q ≥ 1

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185300 dengan _Q = 1; _R = 131; _S =

70; T = 1 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 16

Menambah kendala baru _R ≤ 130 dari model pada node 9. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 _Q+ 6000 _R + 5500 _S+ 7000 _T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≤ 71

T ≥ 2

R ≤ 130

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1183933,0 dengan _Q = 0; _R = 130; _S =

69; T = 3,333 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Node 17

Menambah kendala baru _R ≥ 131 dari model pada node 9. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 _Q+ 12 _R+ 15 _S+ 13 _T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≤ 71

T ≥ 2

R ≥ 131

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1184725 dengan _Q = 0; _R = 131; _S =

69,95; T = 2 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 18

Menambah kendala baru _S ≤ 72 dari model pada node 10. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≥ 72

T ≤ 0

S ≤ 72

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1183000 dengan _Q = 0,75; _R = 131; _S =

72; T = 0 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Node 19

Menambah kendala baru _S ≥ 73 dari model pada node 10. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 _Q+ 10 _R+ 8 _S+ 12 _T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≤ 131

S ≥ 72

T ≤ 0

S ≥ 73

Tidak menghasilkan solusi yang fisibel (Penyelesaian menggunakan software

POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Node 20

Menambah kendala baru _R ≤ 132 dari model pada node 12. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

S ≤ 71

Q ≤ 0

R ≤ 132

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185767 dengan _Q = 0; _R = 132; _S =

71; T = 0,4667 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 21

Menambah kendala baru _R ≥ 133 dari model pada node 12. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

S ≤ 71

Q ≤ 0

R ≥ 133

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185475 dengan _Q = 0; _R = 133; _S =

70,45; T = 0 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 22

Menambah kendala baru _S ≤ 70 dari model pada node 13. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 _Q+ 12 _R+ 15 _S+ 13 _T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

S ≤ 71

S ≤ 70

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1186067 dengan _Q = 2,2667; _R =

132; S = 70; T = 0 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir

pada Lampiran 1).

Node 23

Menambah kendala baru _S ≥ 71 dari model pada node 13. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

S ≤ 71

Q ≥ 1

S ≤ 70

Q, R, S, T ≥ 0

Tidah diperoleh solusi yang fisibel (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada Lampiran 1).

Node 24

Menambah kendala baru _Q ≤ 2 dari model pada node 22. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

2 Q+ 4 R+ 3 S+ 5 T ≤ 840

R ≥ 132

S ≤ 71

Q ≥ 1

S ≤ 70

Q ≤ 2

Q, R, S, T ≥ 0

Diperoleh solusi dengan _XYZ = 1185960 dengan _Q = 2; _R = 132,16; _S =

70; T = 0 (Penyelesaian menggunakan software POM-QM terlampir pada

Lampiran 1).

Node 25

Menambah kendala baru _Q ≥ 3 dari model pada node 22. Sehingga permasalahan diatas dapat dituliskan sebagai berikut: Maksimumkan:

= 4000 Q+ 6000 R + 5500 S+ 7000 T

Kendala:

10 Q+ 8 R+ 12 S+ 14 T ≤ 2680,98

6 Q+ 10 R+ 8 S+ 12 T ≤ 1893,6

12 Q+ 12 R+ 15 S+ 13 T ≤ 2734,15

2 Q+ 3 R+ 5 S+ 6 T ≤ 756

77

Penyelesaian pada Node 17.

Penyelesaian pada Node 18.

Penyelesaian pada Node 21.

79

Penyelesaian pada Node 23.

Penyelesaian pada Node 24.

Penyelesaian pada Node 27.

81

Penyelesaian pada Node 29.

Penyelesaian pada Node 30.