Penerapan Metode Cutting Plane Pada Pembulatan Hasil Program Linier Fuzzy
PENERAPAN METODE CUTTING PLANE PADA
PEMBULATAN HASIL PROGRAM
LINIER FUZZY
SKRIPSI
SAHATA SIANTURI
120803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PENERAPAN METODE CUTTING PLANE PADA
PEMBULATAN HASIL PROGRAM
LINIER FUZZY
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
SAHATA SIANTURI
120803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Penerapan Metode Cutting Plane Pada Pembulatan
Hasil Program Linier Fuzzy.
: Skripsi
: Sahata Sianturi
: 120803054
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di
Medan, Juli 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Gim Tarigan, M.Si
NIP. 19550202 198601 1 001
Drs. Pengarapen Bangun, M.Si
NIP. 19560815 198503 1 005
Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si.
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENERAPAN METODE CUTTING PLANE PADA PEMBULATAN HASIL
PROGRAM LINIER FUZZY
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2016
SAHATA SIANTURI
120803054
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus dengan kasih dan
berkatNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul
Penerapan Metode Cutting Plane Pada Pembulatan hasil Program Linier Fuzzy.
Terima kasih juga penulisa sampaikan kepada :
1. Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku pembimbing 1 dan Bapak
Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah membimbing
penulis selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, M.IT dan Drs. Marihat Situmorang, M. Kom
selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang
membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si
selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU
Medan.
4. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M. S selaku Dekan FMIPA USU serta
seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA USU.
5. Ayahanda Manangkap Sianturi dan Ibunda Selly Sihombing serta abang
dan kaka saya yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan
kepada penulis.
6. Teman-teman grup “Sama Wisuda” yaitu Mega, Agustina, Goklim, Oka,
Willy, Daniel, Purnomo, Artha, Ayen, Fransiskus, Desi, dan Yosephin
atas motivasi, nasehat, semangat dan bantuannya kepada penulis.
7. Teman-teman mahasiswa matematika stambuk 2012 dan teman-teman
lainnya yang membantu penulis dalam menyempurnakan tulisan ini.
iii
Universitas Sumatera Utara
PENERAPAN METODE CUTTING PLANE PADA PEMBULATAN HASIL
PROGRAM LINIER FUZZY
ABSTRAK
Program linear fuzzy merupakan program linear dengan fungsi objektif yang akan
dioptimisasikan sehingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan
menggunakan himpunan fuzzy. Tujuan dari program linear fuzzy adalah mencari
solusi yang optimal berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif
dan kendala. Parogram linear fuzzy dapat diaplikasikan pada pengoptimalan
produksi barang tertentu. Namun sering kali hasil yang diperoleh berupa nilai
yang berbentuk desimal padahal satuan unit tidak mungkin berupa pecahan, untuk
mengatasi masalah tersebut, penulis memilih metode cutting plane untuk
membulatkan hasil yang berupa desimal tersebut. Meode cutting plane merupakan
suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan program linear bilangan bulat
dengan penambahan kendala baru yang disebut gomory. Solusi yang dihasilkan
setelah pembulatan lebih kecil dibandingkan dengan solusi sebelum dilakukan
pembulatan.
Kata Kunci: Pembulatan, Program linear fuzzy, Metode cutting plane.
iv
Universitas Sumatera Utara
APPLICATION OF CUTTING PLANE METHOD ON INTEGERING THE
RESULT OF FUZZY LINIER PROGRAMMING
ABSTRACT
Fuzzy linear programming is a linear programming with objective function that
will be optimizationed so that submit on constraints witch modeled using by
fuzzy set. The purpose of fuzzy linear programming is to find the solution that can
be accepted with criteria that expressed on objective function and constraint.
Fuzzy linear programming can be applicated on optimizing of certain goods. But
the decimal obtained solution is often however decimal unit is not possible, to
solve the problem, the writer use the cutting plane method to integering the
obtained decimal solution. Cutting plane method is a method that used to solve the
integer linear programming with the addition of new constraint called gomory.
The integering obtained solution is less than before integering obtained solution.
Keywords: Integering, Fuzzy Linear Programming, Cutting Plane method.
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
x
BAB 1
PENDAHULUAN
1. 1 Latar Belakang
1. 2 Perumusan Masalah
1. 3 Batasan Masalah
1. 4 Tujuan Penelitian
1. 5 Kontribusi Penelitian
1. 6 Tinjauan Pustaka
1. 7 Metodologi Penelitian
1
1
2
3
3
3
3
5
BAB 2
LANDASAN TEORI
2. 1 Program Linier
2. 1. 1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier
2. 1. 2 Model Umum Matematik Program Linier
2. 1. 3 Karakteristik Program Linier
2. 1. 4 Metode Simpleks
2. 2 Program Bilangan Bulat
2.2.1. Metode Pembulatan (Rounding Method)
2.2.2 Metode Branch and Bound
2.2.3 Metode Cutting Plane
2.3 Fuzzy
2.3.1 Alasan Penggunaan Logika Fuzzy
2.3.2 Himpunan Fuzzy
2.3.3 Fungsi Keanggotaan
2.3.3.1 Representasi Linier
2.3.3.2 Representasi Kurva Segitiga
2.3.3.3 Representasi Kurva Trapesium
7
7
7
8
10
11
13
15
15
17
17
18
19
20
21
22
23
vi
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Program Linier Fuzzy
3.2 Penggunaan Metode Cutting Plane
3.3 Ilustrasi Numerik Pembulatan Program Linear Fuzzy
dengan Menggunakan Metode Cutting Plane
24
24
28
31
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4. 1 Kesimpulan
4. 2 Saran
51
51
51
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
52
53
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel
Tabel 2.1
Tabel 3.1
Tabel 3.2
Tabel 3.3
Tabel 3.4
Tabel 3.5
Tabel 3.6
Tabel 3.7
Tabel 3.8
Tabel 3.9
Tabel 3.10
Tabel 3.11
Tabel 3.12
Tabel 3.13
Tabel 3.14
Tabel 3.15
Tabel 3.16
Tabel 3.17
Tabel 3.18
Tabel 3.19
Judul
Halaman
Bentuk Tabel Simpleks
Solusi Optimum Masalah Program Linear
Bentuk integer dan noninteger
Penambahan Kendala Gomory
Bentuk Tabulasi Permasalahan
Iterasi 0 untuk = ݐ0
Iterasi 1 untuk = ݐ0
Iterasi 2 untuk = ݐ0
Iterasi 3 untuk = ݐ0
Iterasi 0 untuk = ݐ1
Iterasi 1 untuk = ݐ1
Iterasi 2 untuk = ݐ1
Iterasi 3 untuk = ݐ1
Iterasi ke-4 hasil optimal dengan program linear fuzzy
Penambahan kendala gomory pertama pada Tabel 3.13.
Iterasi ke -1 penambahan kendala gomory pertama
Penambahan kendala gomory ke-2 pada Tabel 3.15
Iterasi ke- 1 penambahan kendala gomory kedua
Perbandingan Solusi Non-Fuzzy dengan Solusi Fuzzy
Perbandingan Solusi Sebelum dan Sesudah Pembulatan
11
27
28
29
31
34
34
34
35
36
36
37
37
46
47
47
48
49
50
51
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
Gambar 2.1
Gambar 2.2
Gambar 2.3
Gambar 2.4
Gambar 3.1
Gambar 3.2
Gambar 3.3
Gambar 3.4
Gambar 3.5
Judul
Representasi Linier Naik
Representasi Linier Turun
Representasi Kurva Segitiga
Representasi Kurva Trapesium
Fungsi Keanggotaan
Fungsi Keanggotaan dari fungsi tujuan
Fungsi Keanggotaan dari Batasan-1
Fungsi Keanggotaan dari Batasan-2
Fungsi Keanggotaan dari Batasan-3
Halaman
20
21
21
22
26
38
39
39
39
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
No Lampiran
Lampiran 1
Judul Lampiran
Halaman
Penyelesaian dengan menggunakan Software POM – QM
54
x
Universitas Sumatera Utara
PEMBULATAN HASIL PROGRAM
LINIER FUZZY
SKRIPSI
SAHATA SIANTURI
120803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PENERAPAN METODE CUTTING PLANE PADA
PEMBULATAN HASIL PROGRAM
LINIER FUZZY
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar
Sarjana Sains
SAHATA SIANTURI
120803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2016
Universitas Sumatera Utara
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: Penerapan Metode Cutting Plane Pada Pembulatan
Hasil Program Linier Fuzzy.
: Skripsi
: Sahata Sianturi
: 120803054
: Sarjana (S1) Matematika
: Matematika
: Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
(FMIPA) Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di
Medan, Juli 2016
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Gim Tarigan, M.Si
NIP. 19550202 198601 1 001
Drs. Pengarapen Bangun, M.Si
NIP. 19560815 198503 1 005
Disetujui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si.
NIP. 19620901 198803 1 002
i
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENERAPAN METODE CUTTING PLANE PADA PEMBULATAN HASIL
PROGRAM LINIER FUZZY
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Juli 2016
SAHATA SIANTURI
120803054
ii
Universitas Sumatera Utara
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus dengan kasih dan
berkatNya penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan judul
Penerapan Metode Cutting Plane Pada Pembulatan hasil Program Linier Fuzzy.
Terima kasih juga penulisa sampaikan kepada :
1. Bapak Drs. Pengarapen Bangun, M.Si selaku pembimbing 1 dan Bapak
Drs. Gim Tarigan, M.Si selaku pembimbing 2 yang telah membimbing
penulis selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Dr. Syahriol Sitorus, M.IT dan Drs. Marihat Situmorang, M. Kom
selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan saran yang
membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si
selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA-USU
Medan.
4. Bapak Dr. Kerista Sebayang, M. S selaku Dekan FMIPA USU serta
seluruh civitas akademika di lingkungan FMIPA USU.
5. Ayahanda Manangkap Sianturi dan Ibunda Selly Sihombing serta abang
dan kaka saya yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan
kepada penulis.
6. Teman-teman grup “Sama Wisuda” yaitu Mega, Agustina, Goklim, Oka,
Willy, Daniel, Purnomo, Artha, Ayen, Fransiskus, Desi, dan Yosephin
atas motivasi, nasehat, semangat dan bantuannya kepada penulis.
7. Teman-teman mahasiswa matematika stambuk 2012 dan teman-teman
lainnya yang membantu penulis dalam menyempurnakan tulisan ini.
iii
Universitas Sumatera Utara
PENERAPAN METODE CUTTING PLANE PADA PEMBULATAN HASIL
PROGRAM LINIER FUZZY
ABSTRAK
Program linear fuzzy merupakan program linear dengan fungsi objektif yang akan
dioptimisasikan sehingga tunduk pada batasan-batasan yang dimodelkan dengan
menggunakan himpunan fuzzy. Tujuan dari program linear fuzzy adalah mencari
solusi yang optimal berdasarkan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi objektif
dan kendala. Parogram linear fuzzy dapat diaplikasikan pada pengoptimalan
produksi barang tertentu. Namun sering kali hasil yang diperoleh berupa nilai
yang berbentuk desimal padahal satuan unit tidak mungkin berupa pecahan, untuk
mengatasi masalah tersebut, penulis memilih metode cutting plane untuk
membulatkan hasil yang berupa desimal tersebut. Meode cutting plane merupakan
suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan program linear bilangan bulat
dengan penambahan kendala baru yang disebut gomory. Solusi yang dihasilkan
setelah pembulatan lebih kecil dibandingkan dengan solusi sebelum dilakukan
pembulatan.
Kata Kunci: Pembulatan, Program linear fuzzy, Metode cutting plane.
iv
Universitas Sumatera Utara
APPLICATION OF CUTTING PLANE METHOD ON INTEGERING THE
RESULT OF FUZZY LINIER PROGRAMMING
ABSTRACT
Fuzzy linear programming is a linear programming with objective function that
will be optimizationed so that submit on constraints witch modeled using by
fuzzy set. The purpose of fuzzy linear programming is to find the solution that can
be accepted with criteria that expressed on objective function and constraint.
Fuzzy linear programming can be applicated on optimizing of certain goods. But
the decimal obtained solution is often however decimal unit is not possible, to
solve the problem, the writer use the cutting plane method to integering the
obtained decimal solution. Cutting plane method is a method that used to solve the
integer linear programming with the addition of new constraint called gomory.
The integering obtained solution is less than before integering obtained solution.
Keywords: Integering, Fuzzy Linear Programming, Cutting Plane method.
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
x
BAB 1
PENDAHULUAN
1. 1 Latar Belakang
1. 2 Perumusan Masalah
1. 3 Batasan Masalah
1. 4 Tujuan Penelitian
1. 5 Kontribusi Penelitian
1. 6 Tinjauan Pustaka
1. 7 Metodologi Penelitian
1
1
2
3
3
3
3
5
BAB 2
LANDASAN TEORI
2. 1 Program Linier
2. 1. 1 Persyaratan Penyelesaian Program Linier
2. 1. 2 Model Umum Matematik Program Linier
2. 1. 3 Karakteristik Program Linier
2. 1. 4 Metode Simpleks
2. 2 Program Bilangan Bulat
2.2.1. Metode Pembulatan (Rounding Method)
2.2.2 Metode Branch and Bound
2.2.3 Metode Cutting Plane
2.3 Fuzzy
2.3.1 Alasan Penggunaan Logika Fuzzy
2.3.2 Himpunan Fuzzy
2.3.3 Fungsi Keanggotaan
2.3.3.1 Representasi Linier
2.3.3.2 Representasi Kurva Segitiga
2.3.3.3 Representasi Kurva Trapesium
7
7
7
8
10
11
13
15
15
17
17
18
19
20
21
22
23
vi
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Program Linier Fuzzy
3.2 Penggunaan Metode Cutting Plane
3.3 Ilustrasi Numerik Pembulatan Program Linear Fuzzy
dengan Menggunakan Metode Cutting Plane
24
24
28
31
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4. 1 Kesimpulan
4. 2 Saran
51
51
51
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
52
53
vii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Tabel
Tabel 2.1
Tabel 3.1
Tabel 3.2
Tabel 3.3
Tabel 3.4
Tabel 3.5
Tabel 3.6
Tabel 3.7
Tabel 3.8
Tabel 3.9
Tabel 3.10
Tabel 3.11
Tabel 3.12
Tabel 3.13
Tabel 3.14
Tabel 3.15
Tabel 3.16
Tabel 3.17
Tabel 3.18
Tabel 3.19
Judul
Halaman
Bentuk Tabel Simpleks
Solusi Optimum Masalah Program Linear
Bentuk integer dan noninteger
Penambahan Kendala Gomory
Bentuk Tabulasi Permasalahan
Iterasi 0 untuk = ݐ0
Iterasi 1 untuk = ݐ0
Iterasi 2 untuk = ݐ0
Iterasi 3 untuk = ݐ0
Iterasi 0 untuk = ݐ1
Iterasi 1 untuk = ݐ1
Iterasi 2 untuk = ݐ1
Iterasi 3 untuk = ݐ1
Iterasi ke-4 hasil optimal dengan program linear fuzzy
Penambahan kendala gomory pertama pada Tabel 3.13.
Iterasi ke -1 penambahan kendala gomory pertama
Penambahan kendala gomory ke-2 pada Tabel 3.15
Iterasi ke- 1 penambahan kendala gomory kedua
Perbandingan Solusi Non-Fuzzy dengan Solusi Fuzzy
Perbandingan Solusi Sebelum dan Sesudah Pembulatan
11
27
28
29
31
34
34
34
35
36
36
37
37
46
47
47
48
49
50
51
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Gambar
Gambar 2.1
Gambar 2.2
Gambar 2.3
Gambar 2.4
Gambar 3.1
Gambar 3.2
Gambar 3.3
Gambar 3.4
Gambar 3.5
Judul
Representasi Linier Naik
Representasi Linier Turun
Representasi Kurva Segitiga
Representasi Kurva Trapesium
Fungsi Keanggotaan
Fungsi Keanggotaan dari fungsi tujuan
Fungsi Keanggotaan dari Batasan-1
Fungsi Keanggotaan dari Batasan-2
Fungsi Keanggotaan dari Batasan-3
Halaman
20
21
21
22
26
38
39
39
39
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR LAMPIRAN
No Lampiran
Lampiran 1
Judul Lampiran
Halaman
Penyelesaian dengan menggunakan Software POM – QM
54
x
Universitas Sumatera Utara