DIMENSI PARTISI PADA GRAF CLOSED HELM, GRAF Wn × Pm, DAN GRAF Cm ⊙ K1;n.

DIMENSI PARTISI PADA GRAF CLOSED HELM, GRAF
Wn × Pm , DAN GRAF Cm ⊙ K1,n

oleh
RARAS TRI PUSPITANINGRUM
M0111067

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2015

i

ABSTRAK
Raras Tri Puspitaningrum, 2015. DIMENSI PARTISI PADA GRAF
CLOSED HELM , GRAF Wn × Pm , DAN GRAF Cm ⊙ K1,n . Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Misal G adalah graf dengan himpunan vertex V (G) = {v1 , v2 , . . . , vn } dan
himpunan edge E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Jika G merupakan graf terhubung dengan S ⊆ V (G) dan vertex v ∈ V (G), maka jarak antara v dengan S adalah
d(v, S) = min{d(v, x)|x ∈ S}. Misalkan terdapat k partisi dengan himpunan terurut Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } dari himpunan vertex V (G), representasi v terhadap
Π adalah r(v|Π) dengan r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )). Jika representasi setiap v ∈ V (G) terhadap Π berbeda, maka Π disebut partisi pembeda dari
V (G). Partisi pembeda dengan kardinalitas minimum dari V (G) disebut dimensi
partisi dari G dan dinotasikan dengan pd(G). Dalam penelitian ini ditentukan
dimensi partisi pada graf closed helm (CHn ), graf Wn × Pm , dan graf Cm ⊙ K1,n .
Kata Kunci : Dimensi partisi, partisi pembeda, graf closed helm, graf Wn × Pm ,
graf Cm ⊙ K1,n .

iii

ABSTRACT
Raras Tri Puspitaningrum, 2015. PARTITION DIMENSION OF CLOSED
HELM GRAPH, Wn × Pm GRAPH, AND Cm ⊙ K1,n GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Let G be a graph with vertex set V (G) = {v1 , v2 , . . . , vn } and edge set
E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. If G is a connected graph with S ⊆ V (G) and vertex v ∈ V (G), then the distance between v and S is d(v, S) = min{d(v, x)|x ∈
S}. Let k be the number of partition and Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } is an ordered
set of vertex set V (G), the representation of v with respect to Π is r(v|Π) =
{d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )}. If the representation of each v ∈ V (G) with

respect to Π are distinc, then Π is called a resolving partition of V (G). The minimum cardinality of resolving partition of V (G) is called a partition dimension of
G and denoted by pd(G). In this research, we determine the partition dimension
of a closed helm graph, Wn × Pm graph, and Cm ⊙ K1,n graph.

Keywords : Partition dimension, resolving partition, closed helm graph, Wn ×
Pm graph, Cm ⊙ K1,n graph.

iv

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk
ibu, bapak, dan kakak-kakak saya
yang selalu menyertakan nama saya dalam tiap do’a nya.

v

MOTO

Setiap pria dan wanita sukses adalah pemimpi-pemimpi besar.

Mereka berimajinasi tentang masa depan mereka, berbuat sebaik
mungkin dalam setiap hal, dan bekerja setiap hari menuju visi
jauh ke depan yang menjadi tujuan mereka. (Brian Tracy)

vi

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,
Segala puji bagi Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-Nya, sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu dihaturkan
kepada Nabi Muhammad SAW. Penulis menyadari bahwa terwujudnya skripsi
ini berkat dukungan dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis
menghaturkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam
penulisan skripsi ini, terutama kepada
1. Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai Pembimbing I
yang telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini,
2. Supriyadi Wibowo, M.Si yang telah memberikan bimbingan dalam penulisan skripsi ini, dan
3. Dwi Wahyu Hidayat dan Oktaria Linda Danisa yang sering berbagi ilmu

mengenai dimensi partisi.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, Oktober 2015

Penulis

vii

Daftar Isi

I

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRACT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI

4

2.1

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1

Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.3

Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.4

Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

viii

III METODE PENELITIAN

16

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

17

4.1

Dimensi Partisi pada Graf Closed Helm . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.2

Dimensi Partisi pada Graf Wn × Pm . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4.3

Dimensi Partisi pada Graf Cm ⊙ K1,n . . . . . . . . . . . . . . . .

23

V PENUTUP

28

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

DAFTAR PUSTAKA

29

ix

Daftar Gambar

2.1

Graf G

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3

(a) Graf G (b) Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4

(a) Graf P2 dan P3 , (b)P2 ∪ P3 , (c) P2 + P3 , (d) P2 × P3 , dan (e)
P2 ⊙ P3

2.5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

(a) Graf wheel (Wn ) (b) Graf helm (Hn ) dan (c) Graf closed helm
(CHn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.6

Graf Wn × Pm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.7

Graf Cm ⊙ K1,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.8

Graf helm H5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

x

DAFTAR NOTASI

G

:

graf G

u, v

:

vertex

e

:

edge

V (G)

:

himpunan vertex dari graf G

E(G)

:

himpunan edge dari graf G

|V (G)|

:

banyaknya vertex dari graf G (order )

|E(G)|

:

banyaknya edge dari graf G (size)

degv

:

degree vertex vi dari graf G

d(u, v)

:

jarak dari vertex u ke v pada graf G

d(v, S)

:

jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G

e(u)

:

eksentrisitas vertex u

diam(G)

:

diameter dari graf G

G

:

komplemen dari graf G

∪

:

operasi union

+

:

operasi join

×

:

operasi product

⊙

:

operasi korona

⊆

:

himpunan bagian

∈

:

anggota

⌈⌉

:

pembulatan ke atas (ceiling)

⌊⌋

:

pembulatan ke bawah (flooring)

Si

:

kelas partisi ke-i

Π

:

partisi pembeda

|Π|

:

kardinalitas dari partisi pembeda

xi

r(v|Π) :

representasi jarak setiap vertex v terhadap Π

pd(G)

:

dimensi partisi pada graf G

Pm

:

graf lintasan ber-order m

Cm

:

graf cycle ber-order m

K1,n

:

graf bipartit lengkap ber-order 1 + n

Wn

:

graf wheel ber-order n + 1

CHn

:

graf closed helm ber-order 2n + 1

xii