DIMENSI PARTISI PADA GRAF FLOWER, GRAF 3-FOLD WHEEL, DAN GRAF (Km × Pn) ⊙ K1.

DIMENSI PARTISI PADA GRAF FLOWER, GRAF 3-FOLD
WHEEL, DAN GRAF (Km × Pn ) ⊙ K1

oleh
OKTARIA LINDA DANISA
M0111064

SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2015

i

ABSTRAK
Oktaria Linda Danisa, 2015. DIMENSI PARTISI PADA GRAF FLOWER
GRAF 3-FOLD WHEEL, DAN GRAF (Km × Pn ) ⊙ K1 . Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Misal G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) = {v1 , v2 , . . . ,
vn } dan himpunan edge E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Himpunan vertex V (G) dibagi
menjadi beberapa partisi, yaitu S1 , S2 , ..., Sk . Notasikan Π sebagai suatu himpunan terurut dari k-partisi, ditulis Π = {S1 , S2 , ..., Sk }. Misalkan terdapat suatu
vertex v di G, maka representasi v terhadap Π didefinisikan sebagai jarak dari
vertex v ke tiap partisi pada Π, ditulis r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), ..., d(v, Sk )).
Jika setiap vertex di G mempunyai representasi yang berbeda terhadap Π, maka Π dikatakan sebagai partisi pembeda dari G. Kardinalitas minimum dari
k-partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G, dinotasikan dengan pd(G). Dalam penelitian ini ditentukan dimensi partisi pada graf flower,
graf 3-fold wheel, dan graf (Km × Pn ) ⊙ K1 .

Kata kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf flower, graf 3-fold wheel,
graf (Km × Pn ) ⊙ K1 .

iii

ABSTRACT
Oktaria Linda Danisa, 2015. ON THE PARTITION DIMENSION OF
FLOWER GRAPH, 3-FOLD WHEEL GRAPH, AND (Km × Pn ) ⊙ K1 GRAPH.
Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Let G be a connected graph with set of vertices V (G) = {v1 , v2 , . . . , vn }
and set of edges E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Set of vertices V (G) is partitioned

into some partitions, which are S1 , S2 , ..., Sk . Denote Π as an ordered set of kpartition Π = {S1 , S2 , ..., Sk }. Let v be a vertex in G, then the representation v
with respect to Π is defined as the distance from vertex v to each partition in Π,
is written r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), ..., d(v, Sk )). If the representation r(v|Π)
are distinct for every vertex v in G, then Π is said to be resolving partition of G.
The minimum cardinality of resolving k-partition of V (G) is called a partition
dimension of G, denoted by pd(G). In this research we determine the partition
dimension of flower graph, 3-fold wheel graph, and (Km × Pn ) ⊙ K1 graph.

Keywords : Partition dimension, resolving partition, flower graph, 3-fold wheel
graph, (Km × Pn ) ⊙ K1 graph.

iv

MOTO

Yakinlah ada sesuatu yang menantimu selepas banyak kesabaran
(yang kau jalani) yang akan membuatmu terpana hingga kau lupa
betapa pedihnya rasa sakit.
-Ali bin Abi Thalib-

v

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk
ibu, ayah, dan kedua kakak saya yang selalu memberi semangat hingga karya ini
dapat terselesaikan dengan baik dan terima kasih atas cinta kasih dan
pengorbanan yang telah diberikan kepada saya.

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat
dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini banyak mengalami kesulitan, namun berkat
bantuan, bimbingan, dan dukungan dari berbagai pihak kesulitan-kesulitan dapat
terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih
kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini, terutama
kepada
1. Bapak Prof. Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc., Ph.D. sebagai pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan

maupun materi sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini,
2. Bapak Drs. Muslich, M.Si. sebagai Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi ini, dan
3. Dwi Wahyu Hidayat dan Raras Tri Puspitaningrum sebagai teman diskusi
dalam materi dimensi partisi.
Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca.

Surakarta, Oktober 2015

Penulis

vii

DAFTAR ISI

I

HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ABSTRACT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

PENDAHULUAN

1

1.1

Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

II LANDASAN TEORI

4

2.1

Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.1

Pengertian Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2.2

Operasi pada Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2.3

Kelas-Kelas Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.4

Dimensi Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

viii

III METODE PENELITIAN

16

IV HASIL DAN PEMBAHASAN

17

4.1

Dimensi Partisi pada Graf Flower . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.2

Dimensi Partisi pada Graf 3-Fold Wheel . . . . . . . . . . . . . .

20

4.3

Dimensi Partisi pada Graf (Km × Pn ) ⊙ K1 . . . . . . . . . . . . .

24

V PENUTUP

30

5.1

Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5.2

Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

DAFTAR PUSTAKA

31

ix

DAFTAR GAMBAR

2.1

Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2

Graf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

(a) Graf G, (b) Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

(a) P3 dan P3 , (b) P3 ∪ P3 , (c) P3 + P3 , (d) P3 × P3 , dan (e) P3 ⊙ P3 10

2.5

(a) Graf wheel Wn , (b) Graf helm Hn , dan (c) Graf flower F ln . .

11

2.6

Graf wheel Wn (kiri) dan graf 3-fold wheel Wn (kanan) . . . . . .

12

2.7

Graf (Km × Pn ) ⊙ K1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.8

Graf G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

x

DAFTAR NOTASI

G

:

graf G

H

:

graf H

u, v

:

vertex

e

:

edge

V (G)

:

himpunan vertex dari graf G

E(G)

:

himpunan edge dari graf G

|V (G)|

:

banyaknya vertex dari graf G (order )

|E(G)|

:

banyaknya edge dari graf G (size)

degvi

:

degree vertex vi dari graf G

d(u, v)

:

jarak dari vertex u ke v pada graf G

d(v, S)

:

jarak dari vertex v terhadap himpunan bagian S pada graf G

e(u)

:

eksentrisitas vertex u

diam(G)

:

diameter dari graf G

G

:

komplemen dari graf G

∪

:

operasi union

+

:

operasi join

×

:

operasi product

⊙

:

operasi korona

⊂

:

himpunan bagian

∈

:

anggota

⌈⌉

:

pembulatan ke atas (ceiling)

⌊⌋

:

pembulatan ke bawah (flooring)

Si

:

kelas partisi ke-i

|Si |

:

kardinalitas dari kelas partisi ke-i

Π

:

partisi pembeda

|Π|

:

kardinalitas dari partisi pembeda

r(v|Π)

:

representasi jarak setiap vertex v terhadap Π
xi

pd(G) :

dimensi partisi pada graf G

Pn

:

graf lintasan ber-order n

Kn

:

graf lengkap ber-order n

Cn

:

graf cycle ber-order n

Kr,s

:

graf bipartit lengkap ber-order r + s

Wn

:

graf wheel ber-order n + 1

G2n

:

graf gear ber-order 2n + 1

Hn

:

graf helm ber-order 2n + 1

SFn

:

graf sunflower ber-order 2n + 1

fn

:

graf friendship ber-order 2n + 1

F ln

:

graf flower ber-order 2n + 1

Wn3

:

graf 3-fold wheel ber-order n + 3.

xii