Dimensi partisi pada graf Cm ? Kn, graf Cm[Pn], dan graf t-Fold wheel MizanArtikel
DIMENSI PARTISI PADA GRAF Cm ∗ Kn , GRAF Cm [Pn ], DAN
GRAF t-FOLD WHEEL
Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Misal G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) = {v1 , v2 , . . . ,
vn } dan himpunan edge E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Himpunan vertex V (G) dibagi menjadi
beberapa partisi, yaitu S1 , S2 , . . . , Sk . Untuk setiap vertex v ∈ V (G) dan k-partisi terurut
Π = {S1 , S2 , . . . , Sk }, representasi v terhadap Π adalah r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . ,
d(v, Sk )), dengan d(v, Si ) merupakan jarak dari vertex v ke tiap partisi pada Π. Himpunan Π dikatakan sebagai partisi pembeda dari G jika setiap vertex di G mempunyai
representasi yang berbeda terhadap Π. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda
terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang dinotasikan dengan pd(G). Dalam
penelitian ini ditentukan dimensi partisi pada kelas graf Cm ∗ Kn , graf Cm [Pn ], dan graf
t-fold wheel.
Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf Cm ∗ Kn , graf Cm [Pn ], graf t-fold
wheel.
1. Pendahuluan
Teori graf merupakan kajian ilmu matematika yang banyak digunakan untuk
menyatakan persoalan dalam kehidupan nyata agar lebih mudah dimengerti dan
diselesaikan. Konsep graf dapat diterapkan pada masalah transportasi, jejaring
sosial, penentuan rute terdekat, dan lain-lain. Suatu graf terdiri dari titik-titik yang
dihubungkan oleh garis. Titik-titik yang disebut vertex direpresentasikan sebagai
objek diskrit, sedangkan garis yang disebut edge merupakan penghubung antar objek
diskrit tersebut.
Dimensi partisi adalah salah satu topik dalam teori graf yang banyak dipelajari. Misalkan di Indonesia terdapat beberapa pulau besar dan terdapat beberapa
kota pada pulau tersebut. Kota-kota tersebut dikelompokkan menjadi beberapa kelompok dengan ketentuan setiap kota hanya boleh menempati tepat satu kelompok.
Jika terdapat minimal dua kota yang memiliki jarak minimum yang sama terhadap semua kelompok, maka pembagian kelompok diatur kembali sehingga diperoleh
jarak minimum tiap kota berbeda. Banyaknya kelompok yang dibuat seminimal
mungkin dinamakan dimensi partisi.
Menurut Chartrand et al. [2], misalkan G adalah graf yang memiliki himpunan vertex V (G), maka V (G) dapat dibagi menjadi beberapa himpunan partisi S.
1
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
Himpunan Π dengan S ∈ Π disebut himpunan pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasi berbeda terhadap Π, dan Π merupakan himpunan
dari k-partisi yang terurut. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap
V (G) adalah dimensi partisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(G).
Banyak peneliti yang telah meneliti dimensi partisi untuk kelas-kelas graf tertentu. Pada tahun 2007, Tomescu et al. [6] meneliti rumus dimensi partisi pada
graf wheel dan pada tahun 2015, Hidayat [5] meneliti rumus dimensi partisi pada
graf double cones. Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari
dimensi partisi pada graf t-fold wheel karena graf double cones merupakan graf 2fold wheel. Pada tahun 2012, Asmiati [1] meneliti dimensi partisi pada graf bintang
dan pada tahun 2016, Dewi [4] meneliti rumus dimensi partisi pada graf Cm ∗2 Kn .
Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari dimensi partisi pada
graf Cm ∗ Kn . Penulis tertarik untuk meneliti graf Cm [Pn ] karena graf dengan operasi komposisi masih belum banyak yang meneliti terutama untuk bidang dimensi
partisi.
2. Dimensi Partisi
Berikut ini diberikan definisi dan lema menurut Chartrand et al. [3].
Definisi 2.1. Misalkan G adalah graf terhubung. Untuk suatu subhimpunan S
pada V (G) dan suatu vertex v pada G, jarak antara v dan S didefinisikan sebagai d(v, S) = min{d(v, x)|x ∈ S}. Selanjutnya, untuk suatu k-partisi terurut
Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } pada V (G) dan suatu vertex v pada G, representasi v terhadap Π didefinisikan sebagai r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )). Himpunan Π
disebut partisi pembeda jika r(v|Π) berbeda, untuk setiap v ∈ V (G). Kardinalitas
minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang
dinotasikan dengan pd(G).
Lema 2.1. Misalkan Π partisi pembeda dari graf G dengan u, v ∈ V (G). Jika
d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka u dan v termuat pada kelas
partisi yang berbeda.
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , . . . , Sk }, dengan u dan v termuat pada kelas partisi yang sama pada Π, misal Si , maka d(u, Si ) = d(v, Si ) = 0. Diketahui bahwa
d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka d(u, Sj ) = d(v, Sj ) untuk 1 ≤ j ̸= i ≤ k sehingga r(u|Π) = r(v|Π) dan Π bukan merupakan partisi
pembeda.
2
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
Lema 2.2. Misal G adalah graf terhubung, maka
(1) pd(G) = 2 jika dan hanya jika G = Pn untuk n ≥ 2, dan
(2) pd(G) = n jika dan hanya jika G = Kn .
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗Kn .
Graf Cm ∗Kn adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex atau menggabungkan
satu vertex dari graf Cm dan satu vertex graf Kn menjadi satu vertex yaitu vertex
x. Vertex x juga merupakan vertex yang dimiliki oleh Cm dan Kn .
Teorema 3.1. Misalkan Cm ∗ Kn dengan m, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf Cm dan graf Kn , maka
pd(Cm ∗ Kn ) = n.
Bukti. Misalkan graf Cm ∗ Kn dengan m, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf Cm dan graf Kn dan V (Cm ∗ Kn ) = V (Cm ) ∪ V (Kn ) dengan
V (Cm ) = {u1 , u2 , ..., um−1 , x} dan V (Kn ) = {v1 , v2 , ..., vn−1 , x}. Selanjutnya, ditunjukkan graf Cm ∗ Kn memiliki dimensi partisi pd(Cm ∗ Kn ) = n. Untuk setiap
u, v, x ∈ V (Cm ∗ Kn ), dipilih partisi pembeda Π = {S1 , S2 , ..., Sn }, dengan
S1 = {u1 , u2 , ..., um−2 }
S2 = {um−1 , x, vn−1 }
Si = {vi−2 }, dengan 3 ≤ i ≤ n
Diperoleh jarak untuk setiap vertex di V (Cm ) terhadap Π
r(uk |Π)
= (0, k, k + 1, k + 1, ..., k + 1), 1 ≤ k ≤ ⌊ m2 ⌋
r(uk |Π)
= (0, m − k − 1, m − k + 1, m − k + 1, ..., m − k + 1), ⌊ m2 ⌋ < k ≤ m − 2
r(um−1 |Π) = (1, 0, 2, 2, ..., 2).
Jarak setiap vertex di V (Kn ) terhadap Π
0, untuk Si ∈ Π, 3 ≤ i ≤ n
d(vi−2 , Sj ) =
1, untuk S2 ∈ Π
2, untuk S1 ∈ Π,
untuk 1 ≤ j ≤ n dengan r(vi |Π) = (d(vi , S1 ), d(vi , S2 ), ..., d(vi , Sn )), r(vn−1 |Π) =
(2, 0, 1, 1, ..., 1) dan r(x|Π) = (1, 0, 1, 1, ..., 1). Setiap vertex mempunyai representasi
yang berbeda terhadap Π. Oleh karena itu, Π = {S1 , S2 , ..., Sn } adalah partisi
pembeda pada graf Cm ∗ Kn dengan n elemen.
Akan ditunjukkan graf Cm ∗ Kn memiliki pd(Cm ∗ Kn ) ≥ n. Andaikan Π
adalah partisi pembeda pada graf Cm ∗ Kn dengan pd(Cm ∗ Kn ) < n. Hal ini
mengakibatkan untuk setiap vertex v ∈ V (Cm ∗ Kn ) memiliki representasi yang
3
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
berbeda. Jika dipilih Π = {S1 , S2 , ..., Sn−1 } partisi pembeda maka terdapat suatu
kelas partisi yang memuat dua vertex vi dan vj dengan 1 ≤ i ̸= j ≤ n − 1. Jelas
bahwa d(vi , w) = d(vj , w) dengan w ∈ V (Cm ∗ Kn ) − {vi , vj } sehingga vertex vi dan
vj termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Akibatnya terdapat vertex x ∈ V (Cm ∗
Kn ) dan vertex vi termuat dalam kelas partisi yang sama dengan r(x|Π) = r(vi |Π)
dan Π = {S1 , S2 , ..., Sn−1 } bukan partisi pembeda sehingga pd(Cm ∗ Kn ) ≮ n. Hal
ini kontradiksi dengan pengandaian, sehingga pd(Cm ∗ Kn ) ≥ n.
Selanjutnya, jika terdapat partisi pembeda dengan n elemen dan lebih dari
sama dengan n elemen, maka dipilih nilai minimumnya, sehingga |Π| = n. Jadi,
pd(Cm ∗ Kn ) = n untuk m, n ≥ 3.
3.2. Dimensi Partisi pada Graf Cm [Pn ].
Graf Cm [Pn ] diperoleh dari hasil operasi komposisi graf Cm dengan graf Pn .
Graf Cm [Pn ] dengan m ≥ 3, n ≥ 2 dengan himpunan vertex V (Cm [Pn ]) = V (Cm ) ×
V (Pn ) dengan V (Cm ) = {u1 , u2 , ..., um } dan V (Pn ) = {v1 , v2 , ..., vn } serta dimisalkan himpunan vertex V (Cm [Pn ]) = {u11 , u12 , ..., u1n , u21 , u22 , ..., u2n , ..., um1 , um2 ,
..., umn }.
Lema 3.1. Misalkan graf Cm [Pn ], dengan m ≥ 3 dan n ≥ 2. Jika Sn = {unn },
maka {umn |m ̸= n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda untuk setiap n.
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misalkan
Sn = {unn }, diperoleh d(umb , unn ) = d(umc , unn ), dengan m ̸= n dan 1 ≤ b, c ≤ n.
Berdasarkan Lema 2.1, {umn |m ̸= n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda
untuk setiap n.
Teorema 3.2. Misalkan Cm [Pn ], m ≥ 3, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi komposisi
dari graf Cm dan Pn , maka
4 ≤ pd(Cm [Pn ]) ≤ 2n − 2
dengan ”=” dicapai hanya jika n = 2, m ≥ 4 dan n > 4, m = 4.
Bukti. Misalkan pd(Cm [Pn ]) = k dan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf
Cm [Pn ]. Ditentukan batas bawah dan batas atas dimensi partisi pada graf Cm [Pn ].
(1) Batas bawah
Dipilih n terkecil (n = 2) sehingga pd(Cm [Pn ]) memiliki nilai terkecil.
• Untuk m = 3 dan n = 2
Diberikan graf Cm [Pn ] dengan m = 3 dan n = 2. Setiap vertex dalam
C3 [P2 ] adjacent dengan vertex lainnya sehingga C3 [P2 ] ∼
= K6 . Berdasarkan Lema 2.2 diperoleh pd(C3 [P2 ]) = 6.
4
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
• Untuk m ≥ 4 dan n = 2
Misal Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misalkan
S1 = {u11 } dan S2 = {u22 }, berdasarkan Lema 3.1 diperoleh {um1 |m ̸=
1} dan {um2 |m ̸= 2} termuat dalam kelas partisi yang berbeda misal
S3 = {um1 |m ̸= 1} dan S4 = {um2 |m ̸= 2} sehingga pd(Cm [P2 ]) = 4,
m ≥ 4.
Jadi, diperoleh batas bawah pd(Cm [Pn ]) ≥ 4.
(2) Batas atas
Dipilih m = 4 karena memiliki sifat-sifat berikut
d(uab , ude ) = d(u(a+2)b , ude ), a ̸= d ̸= a + 2
d(uab , uac ) = d(u(a+2)e , uac ), |b − e| ≥ 2
d(uab , ude ) = d(uac , ude ), 1 ≤ a, d ≤ m, 1 ≤ b, c, e ≤ n
0, untuk b = c
d(uab , uac ) =
1, untuk |b − c| = 1
2, untuk |b − c| ≥ 2.
Misal Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misal S1 =
{u12 }, S2 = {u22 }, S3 = {u32 }, dan S4 = {u42 }, berdasarkan sifat-sifat
tersebut dapat dibentuk kelas-kelas partisi sebagai berikut
S5 = {u13 , u14 , u23 , u24 , u31 , u41 }
S6 = {u33 , u34 , u43 , u44 , u11 , u21 }
Si = {u1( i+1 +1) , u2( i+1 +1) }, i ganjil dan 6 < i ≤ k
2
2
Si = {u3( i +1) , u4( i +1) }, i genap dan 6 < i ≤ k.
2
2
Jelas untuk 6 < i maka n > 4. Oleh karena itu,
|Π| = k (dengan k dicapai ketika i maksimum)
= 2n − 2
sehingga pd(C4 [Pn ]) = 2n − 2, n > 4.
Jadi, diperoleh batas atas pd(Cm [Pn ]) ≤ 2n − 2.
3.3. Dimensi Partisi pada Graf t-fold wheel .
Menurut Wallis [7], graf t-fold wheel diperoleh dari join Cn dengan komplemen
Kt , dituliskan sebagai Wnt = Cn + Kt . Misal graf Wnt dan V (Wnt ) = V (Cn ) ∪ V (Kt )
dengan V (Cn ) = {vj |1 ≤ j ≤ n} dan VKt = {ui |1 ≤ i ≤ t}. Graf Wnt memiliki order
|V (Wnt )| = n + t.
Lema 3.2. Misalkan Wnt adalah graf t-fold wheel dengan n ≥ 3 dan t ≥ 1, Π partisi
pembeda dari Wnt dan {ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ V (Kt ) pada Wnt . Jika d(u1 , v) = d(u2 , v) =
... = d(ut , v) untuk setiap v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, maka vertex {ui |1 ≤ i ≤ t}
termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap i.
5
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Andaikan
{ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ V (Wnt ) termuat pada kelas partisi yang sama pada Π yaitu
{ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ Sa , untuk suatu 1 ≤ a ≤ k maka d(u1 , Sa ) = d(u2 , Sa ) = ... =
d(ut , Sa ) = 0. Diketahui bahwa d(u1 , v) = d(u2 , v) = ... = d(ut , v) untuk setiap
v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t} sehingga r(u1 |Π) = r(u2 |Π) = ... = r(ut |Π) dan Π
bukan partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian dan berdasarkan
Lema 2.1, {ui |1 ≤ i ≤ t} termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap
i.
Lema 3.3. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Jika vertex
∑
ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t, maka ti=1 |Si | ≤ t2k−t untuk k > t.
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Misalkan ui ∈ Si
dengan 1 ≤ i ≤ t dan sembarang vertex v ∈ S1 − {u1 }. Diperoleh representasi r(u1 |Π) = (0, 1, 1, ..., 1) atau r(u1 |Π) = (0, 2, 1, ..., 1), r(u2 |Π) = (1, 0, 1, ..., 1),
r(u3 |Π) = (1, 1, 0, 1, ..., 1), ..., dan r(v|Π) = (0, ..., ). Diameter graf Wnt adalah 2
sehingga elemen pada r(v|Π) dari v ∈ S1 − {u1 } selain posisi pertama dapat diisi
dengan angka 1 dan 2. Terdapat paling tidak t − 1 angka 1 pada representasi selain
posisi pertama karena d(v, Sj ) = 1, dengan 1 < j ≤ t. Oleh karena itu, k − t posisi
pada representasi vertex v ∈ S1 dapat diisi paling banyak k − t angka 2 dan sisanya
k−t
k−t
k−t
diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak (k−t
0 )+( 1 )+( 2 )+...+(k−t ) representasi yang berbeda dari semua vertex v ∈ S1 − {u1 }. Selanjutnya, vertex u1 memiliki
∑k−t k−t
representasi tunggal sehingga diperoleh |S1 | ≤ 1+ j=0
( ). Jika setiap Si memuat
∑k−t k−t
∑t j
∑k−t k−t
vertex v maka |S1 | ≤ j=0 ( j ). Jadi, diperoleh i=1 |Si | ≤ t j=0
( j ) = t2k−t
untuk k > t.
Lema 3.4. Misalkan Π = {S1 , S2 , S3 , . . . , Sk } partisi pembeda pada graf Wnt . Jika
∑
vertex ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t, maka kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)2k−t−1 untuk k > t.
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , S3 , . . . , Sk } partisi pembeda pada graf Wnt . Pandang
kelas partisi selain Si dengan 1 ≤ i ≤ t. Misalkan vertex ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t,
dan vertex w ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t} termuat pada kelas partisi St+1 , maka
representasi dari w adalah r(w|Π) = (1, 1, ..., 1, 0, ...). Oleh karena itu, k−t−1 posisi
pada representasi dari vertex w ∈ St+1 dapat diisi dengan paling banyak k − t − 1
)+
)+(k−t−1
angka 2 dan sisanya diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak (k−t−1
1
0
k−t−1
... + (k−t−1 ) representasi yang berbeda dari semua vertex w ∈ St+1 yang memuat
∑
k−t−1
angka 1. Jadi diperoleh kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)((k−t−1
) + (k−t−1
) + ... + (k−t−1
)) =
0
1
k−t−1
(k − t)2
untuk k > t.
6
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
Teorema 3.3. Jika Wnt adalah graf t-fold wheel untuk n ≥ 3, maka
n+t
)⌉.
t
Bukti. Misalkan pd(Wnt ) = k dan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt .
Ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi pada graf Wnt .
t ≤ pd(Wnt ) ≤ t + 1 + ⌈2 log(
• Batas bawah
Misalkan Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } partisi pembeda dari graf t-fold wheel Wnt ,
dengan n < t. Berdasarkan Lema 3.2 diperoleh ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t.
Jika terdapat v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, dengan n < t, d(vj , ui ) = 1,
dan d(ua , ub ) = 2, dengan 1 ≤ j ≤ n 1 ≤ a, b ≤ i, maka setiap Si memuat
paling banyak satu vertex vn . Terdapat t kelas partisi pembeda, sehingga
pd(Wnt ) = t, dengan n < t.
Akan ditunjukkan bahwa pd(Wnt ) > t, dengan n ≥ t. Andaikan Π =
{S1 , S2 , . . . , Sk } partisi pembeda dari graf t-fold wheel Wnt , dengan n ≥ t
dan pd(Wnt ) ≤ t. Berdasarkan Lema 3.2 diperoleh ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t.
Jika terdapat v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, dengan n ≥ t, d(v, ui ) = 1, dan
d(ua , ub ) = 2, dengan 1 ≤ j ≤ n dan 1 ≤ a, b ≤ i maka terdapat Si memuat
paling sedikit satu vertex v. Jika setiap Si memuat paling sedikit satu vertex v, misal vi ∈ Si , maka r(vi |Π) = r(ui |Π) dan Π bukan partisi pembeda.
Jika terdapat Si yang memuat lebih dari satu vertex v, misal vc , vd ∈ Sa ,
dengan 1 ≤ c, d ≤ n dan 1 ≤ a ≤ i, maka r(vc |Π) = r(vd |Π) dan Π bukan
partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian sehingga paling
tidak terdapat vertex v termuat dalam kelas partisi St+p , dengan p ≥ 1 dan
berakibat pd(Wnt ) > t, untuk n ≥ t.
Jadi pd(Wnt ) ≥ t.
• Batas atas
∑
Berdasarkan Lema 3.3 didapatkan ti=1 |Si | ≤ t2k−t dan berdasarkan Lema
∑
3.4 didapatkan kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)2k−t−1 untuk k > t. Jelas a < n dengan
3 ≤ a < n dan 3 < t ≤ n jika dan hanya jika pd(Wat ) ≤ pd(Wnt ). Jika
pd(Wnt ) = k, dengan n ≥ t maka pd(Wat ) ≤ k. Karena k > t, k > 3 dan
pd(Wat ) ≥ t, maka terdapat pd(Wat ) = k − 1. Ambil a sedemikian sehingga
pd(Wat ) = k − 1 berakibat
a+t < n+t
∑k−1
∑t
i=1 |Si | +
j=t+1 |Sj | ≤ n + t
k−t−1
t2
+ (k − t − 1)2k−t−2 ≤ n + t, karena pd(Wat ) = k − 1
7
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
(k + t − 1)2k−t−2
(2t)2k−t−2
t2k−t−1
k
Sehingga diperoleh
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
≤ n+t
≤ n + t, karena k > t
≤ n+t
).
≤ t + 1 +2 log( n+t
t
t
2
)⌉.
pd(Wn ) ≤ t + 1 + ⌈ log( n+t
t
4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan, yaitu dimensi partisi dari graf
Cm ∗ Kn tertera dalam Teorema 3.1, dimensi partisi dari graf Cm [Pn ] tertera dalam
Teorema 3.2, dan dimensi partisi dari graf Wnt tertera dalam Teorema 3.3.
Pustaka
[1] Asmiati, Partition Dimension of Amalgamation of Stars, Bulletin of Mathematics Vol 04 no.
2 (2012), 161-167.
[2] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, On the Partition Dimension of a Graph, Congress
Numer. 131 (1998), 55-66.
[3] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, The Partition Dimension of a Graph, Aequation
Math. 55 (2000), 45-54.
[4] Dewi, M. P. K., Dimensi Partisi dari Graf Lollipop, Graf Generalized Jahangir, dan Graf
Cm ∗2 Kn , Tugas Akhir, FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2016.
[5] Hidayat, D. W., Dimensi Partisi pada Beberapa Kelas Graf, Tugas Akhir, FMIPA Universitas
Sebelas Maret, Surakarta, 2015.
[6] Tomescu, I., I. Javaid, and Slamin, On the Partition Dimension and Connected Partition
Dimension of Wheels, Ars Combin. 84 (2007), 311-317.
[7] Wallis, W. D., Magic Graph, Birkh¨
auser, Basel, Berlin, 2001.
8
2017
GRAF t-FOLD WHEEL
Mizan Ahmad, Tri Atmojo Kusmayadi
Program Studi Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sebelas Maret
Abstrak. Misal G adalah graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) = {v1 , v2 , . . . ,
vn } dan himpunan edge E(G) = {e1 , e2 , . . . , en }. Himpunan vertex V (G) dibagi menjadi
beberapa partisi, yaitu S1 , S2 , . . . , Sk . Untuk setiap vertex v ∈ V (G) dan k-partisi terurut
Π = {S1 , S2 , . . . , Sk }, representasi v terhadap Π adalah r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . ,
d(v, Sk )), dengan d(v, Si ) merupakan jarak dari vertex v ke tiap partisi pada Π. Himpunan Π dikatakan sebagai partisi pembeda dari G jika setiap vertex di G mempunyai
representasi yang berbeda terhadap Π. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda
terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang dinotasikan dengan pd(G). Dalam
penelitian ini ditentukan dimensi partisi pada kelas graf Cm ∗ Kn , graf Cm [Pn ], dan graf
t-fold wheel.
Kata Kunci: Dimensi partisi, partisi pembeda, graf Cm ∗ Kn , graf Cm [Pn ], graf t-fold
wheel.
1. Pendahuluan
Teori graf merupakan kajian ilmu matematika yang banyak digunakan untuk
menyatakan persoalan dalam kehidupan nyata agar lebih mudah dimengerti dan
diselesaikan. Konsep graf dapat diterapkan pada masalah transportasi, jejaring
sosial, penentuan rute terdekat, dan lain-lain. Suatu graf terdiri dari titik-titik yang
dihubungkan oleh garis. Titik-titik yang disebut vertex direpresentasikan sebagai
objek diskrit, sedangkan garis yang disebut edge merupakan penghubung antar objek
diskrit tersebut.
Dimensi partisi adalah salah satu topik dalam teori graf yang banyak dipelajari. Misalkan di Indonesia terdapat beberapa pulau besar dan terdapat beberapa
kota pada pulau tersebut. Kota-kota tersebut dikelompokkan menjadi beberapa kelompok dengan ketentuan setiap kota hanya boleh menempati tepat satu kelompok.
Jika terdapat minimal dua kota yang memiliki jarak minimum yang sama terhadap semua kelompok, maka pembagian kelompok diatur kembali sehingga diperoleh
jarak minimum tiap kota berbeda. Banyaknya kelompok yang dibuat seminimal
mungkin dinamakan dimensi partisi.
Menurut Chartrand et al. [2], misalkan G adalah graf yang memiliki himpunan vertex V (G), maka V (G) dapat dibagi menjadi beberapa himpunan partisi S.
1
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
Himpunan Π dengan S ∈ Π disebut himpunan pembeda dari graf G jika setiap vertex di G mempunyai representasi berbeda terhadap Π, dan Π merupakan himpunan
dari k-partisi yang terurut. Kardinalitas minimum dari k-partisi pembeda terhadap
V (G) adalah dimensi partisi pada graf G yang dinotasikan dengan pd(G).
Banyak peneliti yang telah meneliti dimensi partisi untuk kelas-kelas graf tertentu. Pada tahun 2007, Tomescu et al. [6] meneliti rumus dimensi partisi pada
graf wheel dan pada tahun 2015, Hidayat [5] meneliti rumus dimensi partisi pada
graf double cones. Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari
dimensi partisi pada graf t-fold wheel karena graf double cones merupakan graf 2fold wheel. Pada tahun 2012, Asmiati [1] meneliti dimensi partisi pada graf bintang
dan pada tahun 2016, Dewi [4] meneliti rumus dimensi partisi pada graf Cm ∗2 Kn .
Penelitian tersebut menjadi acuan bagi penulis untuk mencari dimensi partisi pada
graf Cm ∗ Kn . Penulis tertarik untuk meneliti graf Cm [Pn ] karena graf dengan operasi komposisi masih belum banyak yang meneliti terutama untuk bidang dimensi
partisi.
2. Dimensi Partisi
Berikut ini diberikan definisi dan lema menurut Chartrand et al. [3].
Definisi 2.1. Misalkan G adalah graf terhubung. Untuk suatu subhimpunan S
pada V (G) dan suatu vertex v pada G, jarak antara v dan S didefinisikan sebagai d(v, S) = min{d(v, x)|x ∈ S}. Selanjutnya, untuk suatu k-partisi terurut
Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } pada V (G) dan suatu vertex v pada G, representasi v terhadap Π didefinisikan sebagai r(v|Π) = (d(v, S1 ), d(v, S2 ), . . . , d(v, Sk )). Himpunan Π
disebut partisi pembeda jika r(v|Π) berbeda, untuk setiap v ∈ V (G). Kardinalitas
minimum dari k-partisi pembeda terhadap V (G) disebut dimensi partisi dari G yang
dinotasikan dengan pd(G).
Lema 2.1. Misalkan Π partisi pembeda dari graf G dengan u, v ∈ V (G). Jika
d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka u dan v termuat pada kelas
partisi yang berbeda.
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , . . . , Sk }, dengan u dan v termuat pada kelas partisi yang sama pada Π, misal Si , maka d(u, Si ) = d(v, Si ) = 0. Diketahui bahwa
d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w ∈ V (G) − {u, v}, maka d(u, Sj ) = d(v, Sj ) untuk 1 ≤ j ̸= i ≤ k sehingga r(u|Π) = r(v|Π) dan Π bukan merupakan partisi
pembeda.
2
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
Lema 2.2. Misal G adalah graf terhubung, maka
(1) pd(G) = 2 jika dan hanya jika G = Pn untuk n ≥ 2, dan
(2) pd(G) = n jika dan hanya jika G = Kn .
3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗Kn .
Graf Cm ∗Kn adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex atau menggabungkan
satu vertex dari graf Cm dan satu vertex graf Kn menjadi satu vertex yaitu vertex
x. Vertex x juga merupakan vertex yang dimiliki oleh Cm dan Kn .
Teorema 3.1. Misalkan Cm ∗ Kn dengan m, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf Cm dan graf Kn , maka
pd(Cm ∗ Kn ) = n.
Bukti. Misalkan graf Cm ∗ Kn dengan m, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi amalgamasi vertex dari graf Cm dan graf Kn dan V (Cm ∗ Kn ) = V (Cm ) ∪ V (Kn ) dengan
V (Cm ) = {u1 , u2 , ..., um−1 , x} dan V (Kn ) = {v1 , v2 , ..., vn−1 , x}. Selanjutnya, ditunjukkan graf Cm ∗ Kn memiliki dimensi partisi pd(Cm ∗ Kn ) = n. Untuk setiap
u, v, x ∈ V (Cm ∗ Kn ), dipilih partisi pembeda Π = {S1 , S2 , ..., Sn }, dengan
S1 = {u1 , u2 , ..., um−2 }
S2 = {um−1 , x, vn−1 }
Si = {vi−2 }, dengan 3 ≤ i ≤ n
Diperoleh jarak untuk setiap vertex di V (Cm ) terhadap Π
r(uk |Π)
= (0, k, k + 1, k + 1, ..., k + 1), 1 ≤ k ≤ ⌊ m2 ⌋
r(uk |Π)
= (0, m − k − 1, m − k + 1, m − k + 1, ..., m − k + 1), ⌊ m2 ⌋ < k ≤ m − 2
r(um−1 |Π) = (1, 0, 2, 2, ..., 2).
Jarak setiap vertex di V (Kn ) terhadap Π
0, untuk Si ∈ Π, 3 ≤ i ≤ n
d(vi−2 , Sj ) =
1, untuk S2 ∈ Π
2, untuk S1 ∈ Π,
untuk 1 ≤ j ≤ n dengan r(vi |Π) = (d(vi , S1 ), d(vi , S2 ), ..., d(vi , Sn )), r(vn−1 |Π) =
(2, 0, 1, 1, ..., 1) dan r(x|Π) = (1, 0, 1, 1, ..., 1). Setiap vertex mempunyai representasi
yang berbeda terhadap Π. Oleh karena itu, Π = {S1 , S2 , ..., Sn } adalah partisi
pembeda pada graf Cm ∗ Kn dengan n elemen.
Akan ditunjukkan graf Cm ∗ Kn memiliki pd(Cm ∗ Kn ) ≥ n. Andaikan Π
adalah partisi pembeda pada graf Cm ∗ Kn dengan pd(Cm ∗ Kn ) < n. Hal ini
mengakibatkan untuk setiap vertex v ∈ V (Cm ∗ Kn ) memiliki representasi yang
3
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
berbeda. Jika dipilih Π = {S1 , S2 , ..., Sn−1 } partisi pembeda maka terdapat suatu
kelas partisi yang memuat dua vertex vi dan vj dengan 1 ≤ i ̸= j ≤ n − 1. Jelas
bahwa d(vi , w) = d(vj , w) dengan w ∈ V (Cm ∗ Kn ) − {vi , vj } sehingga vertex vi dan
vj termuat dalam kelas partisi yang berbeda. Akibatnya terdapat vertex x ∈ V (Cm ∗
Kn ) dan vertex vi termuat dalam kelas partisi yang sama dengan r(x|Π) = r(vi |Π)
dan Π = {S1 , S2 , ..., Sn−1 } bukan partisi pembeda sehingga pd(Cm ∗ Kn ) ≮ n. Hal
ini kontradiksi dengan pengandaian, sehingga pd(Cm ∗ Kn ) ≥ n.
Selanjutnya, jika terdapat partisi pembeda dengan n elemen dan lebih dari
sama dengan n elemen, maka dipilih nilai minimumnya, sehingga |Π| = n. Jadi,
pd(Cm ∗ Kn ) = n untuk m, n ≥ 3.
3.2. Dimensi Partisi pada Graf Cm [Pn ].
Graf Cm [Pn ] diperoleh dari hasil operasi komposisi graf Cm dengan graf Pn .
Graf Cm [Pn ] dengan m ≥ 3, n ≥ 2 dengan himpunan vertex V (Cm [Pn ]) = V (Cm ) ×
V (Pn ) dengan V (Cm ) = {u1 , u2 , ..., um } dan V (Pn ) = {v1 , v2 , ..., vn } serta dimisalkan himpunan vertex V (Cm [Pn ]) = {u11 , u12 , ..., u1n , u21 , u22 , ..., u2n , ..., um1 , um2 ,
..., umn }.
Lema 3.1. Misalkan graf Cm [Pn ], dengan m ≥ 3 dan n ≥ 2. Jika Sn = {unn },
maka {umn |m ̸= n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda untuk setiap n.
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misalkan
Sn = {unn }, diperoleh d(umb , unn ) = d(umc , unn ), dengan m ̸= n dan 1 ≤ b, c ≤ n.
Berdasarkan Lema 2.1, {umn |m ̸= n} termuat dalam kelas partisi yang berbeda
untuk setiap n.
Teorema 3.2. Misalkan Cm [Pn ], m ≥ 3, n ≥ 3 adalah graf hasil operasi komposisi
dari graf Cm dan Pn , maka
4 ≤ pd(Cm [Pn ]) ≤ 2n − 2
dengan ”=” dicapai hanya jika n = 2, m ≥ 4 dan n > 4, m = 4.
Bukti. Misalkan pd(Cm [Pn ]) = k dan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf
Cm [Pn ]. Ditentukan batas bawah dan batas atas dimensi partisi pada graf Cm [Pn ].
(1) Batas bawah
Dipilih n terkecil (n = 2) sehingga pd(Cm [Pn ]) memiliki nilai terkecil.
• Untuk m = 3 dan n = 2
Diberikan graf Cm [Pn ] dengan m = 3 dan n = 2. Setiap vertex dalam
C3 [P2 ] adjacent dengan vertex lainnya sehingga C3 [P2 ] ∼
= K6 . Berdasarkan Lema 2.2 diperoleh pd(C3 [P2 ]) = 6.
4
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
• Untuk m ≥ 4 dan n = 2
Misal Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misalkan
S1 = {u11 } dan S2 = {u22 }, berdasarkan Lema 3.1 diperoleh {um1 |m ̸=
1} dan {um2 |m ̸= 2} termuat dalam kelas partisi yang berbeda misal
S3 = {um1 |m ̸= 1} dan S4 = {um2 |m ̸= 2} sehingga pd(Cm [P2 ]) = 4,
m ≥ 4.
Jadi, diperoleh batas bawah pd(Cm [Pn ]) ≥ 4.
(2) Batas atas
Dipilih m = 4 karena memiliki sifat-sifat berikut
d(uab , ude ) = d(u(a+2)b , ude ), a ̸= d ̸= a + 2
d(uab , uac ) = d(u(a+2)e , uac ), |b − e| ≥ 2
d(uab , ude ) = d(uac , ude ), 1 ≤ a, d ≤ m, 1 ≤ b, c, e ≤ n
0, untuk b = c
d(uab , uac ) =
1, untuk |b − c| = 1
2, untuk |b − c| ≥ 2.
Misal Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Cm [Pn ]. Misal S1 =
{u12 }, S2 = {u22 }, S3 = {u32 }, dan S4 = {u42 }, berdasarkan sifat-sifat
tersebut dapat dibentuk kelas-kelas partisi sebagai berikut
S5 = {u13 , u14 , u23 , u24 , u31 , u41 }
S6 = {u33 , u34 , u43 , u44 , u11 , u21 }
Si = {u1( i+1 +1) , u2( i+1 +1) }, i ganjil dan 6 < i ≤ k
2
2
Si = {u3( i +1) , u4( i +1) }, i genap dan 6 < i ≤ k.
2
2
Jelas untuk 6 < i maka n > 4. Oleh karena itu,
|Π| = k (dengan k dicapai ketika i maksimum)
= 2n − 2
sehingga pd(C4 [Pn ]) = 2n − 2, n > 4.
Jadi, diperoleh batas atas pd(Cm [Pn ]) ≤ 2n − 2.
3.3. Dimensi Partisi pada Graf t-fold wheel .
Menurut Wallis [7], graf t-fold wheel diperoleh dari join Cn dengan komplemen
Kt , dituliskan sebagai Wnt = Cn + Kt . Misal graf Wnt dan V (Wnt ) = V (Cn ) ∪ V (Kt )
dengan V (Cn ) = {vj |1 ≤ j ≤ n} dan VKt = {ui |1 ≤ i ≤ t}. Graf Wnt memiliki order
|V (Wnt )| = n + t.
Lema 3.2. Misalkan Wnt adalah graf t-fold wheel dengan n ≥ 3 dan t ≥ 1, Π partisi
pembeda dari Wnt dan {ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ V (Kt ) pada Wnt . Jika d(u1 , v) = d(u2 , v) =
... = d(ut , v) untuk setiap v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, maka vertex {ui |1 ≤ i ≤ t}
termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap i.
5
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Andaikan
{ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ V (Wnt ) termuat pada kelas partisi yang sama pada Π yaitu
{ui |1 ≤ i ≤ t} ∈ Sa , untuk suatu 1 ≤ a ≤ k maka d(u1 , Sa ) = d(u2 , Sa ) = ... =
d(ut , Sa ) = 0. Diketahui bahwa d(u1 , v) = d(u2 , v) = ... = d(ut , v) untuk setiap
v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t} sehingga r(u1 |Π) = r(u2 |Π) = ... = r(ut |Π) dan Π
bukan partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian dan berdasarkan
Lema 2.1, {ui |1 ≤ i ≤ t} termuat pada kelas partisi yang berbeda untuk setiap
i.
Lema 3.3. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Jika vertex
∑
ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t, maka ti=1 |Si | ≤ t2k−t untuk k > t.
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt . Misalkan ui ∈ Si
dengan 1 ≤ i ≤ t dan sembarang vertex v ∈ S1 − {u1 }. Diperoleh representasi r(u1 |Π) = (0, 1, 1, ..., 1) atau r(u1 |Π) = (0, 2, 1, ..., 1), r(u2 |Π) = (1, 0, 1, ..., 1),
r(u3 |Π) = (1, 1, 0, 1, ..., 1), ..., dan r(v|Π) = (0, ..., ). Diameter graf Wnt adalah 2
sehingga elemen pada r(v|Π) dari v ∈ S1 − {u1 } selain posisi pertama dapat diisi
dengan angka 1 dan 2. Terdapat paling tidak t − 1 angka 1 pada representasi selain
posisi pertama karena d(v, Sj ) = 1, dengan 1 < j ≤ t. Oleh karena itu, k − t posisi
pada representasi vertex v ∈ S1 dapat diisi paling banyak k − t angka 2 dan sisanya
k−t
k−t
k−t
diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak (k−t
0 )+( 1 )+( 2 )+...+(k−t ) representasi yang berbeda dari semua vertex v ∈ S1 − {u1 }. Selanjutnya, vertex u1 memiliki
∑k−t k−t
representasi tunggal sehingga diperoleh |S1 | ≤ 1+ j=0
( ). Jika setiap Si memuat
∑k−t k−t
∑t j
∑k−t k−t
vertex v maka |S1 | ≤ j=0 ( j ). Jadi, diperoleh i=1 |Si | ≤ t j=0
( j ) = t2k−t
untuk k > t.
Lema 3.4. Misalkan Π = {S1 , S2 , S3 , . . . , Sk } partisi pembeda pada graf Wnt . Jika
∑
vertex ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t, maka kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)2k−t−1 untuk k > t.
Bukti. Misalkan Π = {S1 , S2 , S3 , . . . , Sk } partisi pembeda pada graf Wnt . Pandang
kelas partisi selain Si dengan 1 ≤ i ≤ t. Misalkan vertex ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t,
dan vertex w ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t} termuat pada kelas partisi St+1 , maka
representasi dari w adalah r(w|Π) = (1, 1, ..., 1, 0, ...). Oleh karena itu, k−t−1 posisi
pada representasi dari vertex w ∈ St+1 dapat diisi dengan paling banyak k − t − 1
)+
)+(k−t−1
angka 2 dan sisanya diisi dengan angka 1. Terdapat paling banyak (k−t−1
1
0
k−t−1
... + (k−t−1 ) representasi yang berbeda dari semua vertex w ∈ St+1 yang memuat
∑
k−t−1
angka 1. Jadi diperoleh kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)((k−t−1
) + (k−t−1
) + ... + (k−t−1
)) =
0
1
k−t−1
(k − t)2
untuk k > t.
6
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
Teorema 3.3. Jika Wnt adalah graf t-fold wheel untuk n ≥ 3, maka
n+t
)⌉.
t
Bukti. Misalkan pd(Wnt ) = k dan Π = {S1 , S2 , ..., Sk } partisi pembeda dari graf Wnt .
Ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi partisi pada graf Wnt .
t ≤ pd(Wnt ) ≤ t + 1 + ⌈2 log(
• Batas bawah
Misalkan Π = {S1 , S2 , . . . , Sk } partisi pembeda dari graf t-fold wheel Wnt ,
dengan n < t. Berdasarkan Lema 3.2 diperoleh ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t.
Jika terdapat v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, dengan n < t, d(vj , ui ) = 1,
dan d(ua , ub ) = 2, dengan 1 ≤ j ≤ n 1 ≤ a, b ≤ i, maka setiap Si memuat
paling banyak satu vertex vn . Terdapat t kelas partisi pembeda, sehingga
pd(Wnt ) = t, dengan n < t.
Akan ditunjukkan bahwa pd(Wnt ) > t, dengan n ≥ t. Andaikan Π =
{S1 , S2 , . . . , Sk } partisi pembeda dari graf t-fold wheel Wnt , dengan n ≥ t
dan pd(Wnt ) ≤ t. Berdasarkan Lema 3.2 diperoleh ui ∈ Si dengan 1 ≤ i ≤ t.
Jika terdapat v ∈ V (Wnt ) − {ui |1 ≤ i ≤ t}, dengan n ≥ t, d(v, ui ) = 1, dan
d(ua , ub ) = 2, dengan 1 ≤ j ≤ n dan 1 ≤ a, b ≤ i maka terdapat Si memuat
paling sedikit satu vertex v. Jika setiap Si memuat paling sedikit satu vertex v, misal vi ∈ Si , maka r(vi |Π) = r(ui |Π) dan Π bukan partisi pembeda.
Jika terdapat Si yang memuat lebih dari satu vertex v, misal vc , vd ∈ Sa ,
dengan 1 ≤ c, d ≤ n dan 1 ≤ a ≤ i, maka r(vc |Π) = r(vd |Π) dan Π bukan
partisi pembeda. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian sehingga paling
tidak terdapat vertex v termuat dalam kelas partisi St+p , dengan p ≥ 1 dan
berakibat pd(Wnt ) > t, untuk n ≥ t.
Jadi pd(Wnt ) ≥ t.
• Batas atas
∑
Berdasarkan Lema 3.3 didapatkan ti=1 |Si | ≤ t2k−t dan berdasarkan Lema
∑
3.4 didapatkan kj=t+1 |Sj | ≤ (k − t)2k−t−1 untuk k > t. Jelas a < n dengan
3 ≤ a < n dan 3 < t ≤ n jika dan hanya jika pd(Wat ) ≤ pd(Wnt ). Jika
pd(Wnt ) = k, dengan n ≥ t maka pd(Wat ) ≤ k. Karena k > t, k > 3 dan
pd(Wat ) ≥ t, maka terdapat pd(Wat ) = k − 1. Ambil a sedemikian sehingga
pd(Wat ) = k − 1 berakibat
a+t < n+t
∑k−1
∑t
i=1 |Si | +
j=t+1 |Sj | ≤ n + t
k−t−1
t2
+ (k − t − 1)2k−t−2 ≤ n + t, karena pd(Wat ) = k − 1
7
2017
Dimensi Partisi pada Graf Cm ∗ Kn , Graf Cm [Pn ], dan Graf t-fold wheel
(k + t − 1)2k−t−2
(2t)2k−t−2
t2k−t−1
k
Sehingga diperoleh
M. Ahmad, T. A. Kusmayadi
≤ n+t
≤ n + t, karena k > t
≤ n+t
).
≤ t + 1 +2 log( n+t
t
t
2
)⌉.
pd(Wn ) ≤ t + 1 + ⌈ log( n+t
t
4. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan, yaitu dimensi partisi dari graf
Cm ∗ Kn tertera dalam Teorema 3.1, dimensi partisi dari graf Cm [Pn ] tertera dalam
Teorema 3.2, dan dimensi partisi dari graf Wnt tertera dalam Teorema 3.3.
Pustaka
[1] Asmiati, Partition Dimension of Amalgamation of Stars, Bulletin of Mathematics Vol 04 no.
2 (2012), 161-167.
[2] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, On the Partition Dimension of a Graph, Congress
Numer. 131 (1998), 55-66.
[3] Chartrand, G., E. Salehi, and P. Zhang, The Partition Dimension of a Graph, Aequation
Math. 55 (2000), 45-54.
[4] Dewi, M. P. K., Dimensi Partisi dari Graf Lollipop, Graf Generalized Jahangir, dan Graf
Cm ∗2 Kn , Tugas Akhir, FMIPA Universitas Sebelas Maret, Surakarta, 2016.
[5] Hidayat, D. W., Dimensi Partisi pada Beberapa Kelas Graf, Tugas Akhir, FMIPA Universitas
Sebelas Maret, Surakarta, 2015.
[6] Tomescu, I., I. Javaid, and Slamin, On the Partition Dimension and Connected Partition
Dimension of Wheels, Ars Combin. 84 (2007), 311-317.
[7] Wallis, W. D., Magic Graph, Birkh¨
auser, Basel, Berlin, 2001.
8
2017