MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE.

(1)

MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika

Oleh

JaelaniRahman 0800299

DEPARTEMEN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

Markov Switching Autoregressive

Oleh Jaelani Rahman

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Juni 2015

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.

(3)

LEMBAR PENGESAHAN

MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE

Oleh: JaelaniRahman

0800299

DisetujuidanDisahkanOleh Pembimbing I

Dra.EntitPuspita, M.Si. NIP. 196704081994032002

Pembimbing II

Drs. H. MamanSuherman, M.Si. NIP. 195202121974121001

Mengetahui,

KetuaDepartemenPendidikanMatematika

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003

(4)

MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE

Oleh: JaelaniRahman ABSTRAK

Runtun waktu ialah himpunan observasi yang dicatat berurut berdasarkan waktu. Tujuan dari metode runtun waktu ialah menemukan model yang sesuai sehingga didapatkan hasil peramalan yang baik. Salah satu model runtun waktu yang telah dikenal adalah

Autoregressive. Pada data ekonomi sering terjadi perubahan struktur yang di akibatkan oleh

perubahan kebijakan pemerintah, krisis ekonomi, perang dan model Autoregressive belum mampu menjelaskan perubahan struktur tersebut. Perubahan struktur biasanya ditandai dengan adanya perubahan dramatis. Markov Switching Autoregressive adalah salah satu model yang dapat digunakan jika pada data ditemui adanya perubahan struktur. Model dengan perubahan struktur ialah model dengan parameter yang berubah-ubah dalam periode waktu tertentu. Ide dasar dari Markov Switching Autoregressive ialah membuat model yang dinamis seiring denga nberubahnya data. Perubahan yang terjadi pada data seringkali dipengaruhif aktor-faktor yang tidak dapat diamati secara langsung. Markov Switching

Autoregressive adalah salah satu model alternatif untuk memodelkan data yang dipengaruhi

variable tidak teramati. Dalam literatur variable tidak teramati tersebut disebut state atau disimbolkan dengan �_� , dimana �_� mengikuti rantai Markov. Nilai tukar rupiah terhadap dollar mengalami perubahan dramatis pada periode 1997-1998 dan perubahan tersebut dapat terjadi kembali di masa yang akan datang. Penyebab terjadinya perubahan pada nilai tukar tersebut juga seringkali tidak dapat diamati secara langsung. Estimasi parameter dengan menggunakan maksimum likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritma

ExpectationMaximization. Dalam pendugaan parameter menggunakan software Eviews dan

Oxmetrics 7. Chow test menangkap adanya perubahan struktur pada data nilai tukar dollar terhadap rupiah November 1995 sampai Maret 2015 dan model yang sesuai adalah MSAR(3,1).

Kata kunci: runtunwaktu, Autoregressive, perubahanstruktur, Markov Switching Autoregressive

(5)

MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE

By: JaelaniRahman

ABSTRACT

Time Series is a set of observations generated sequentially in time. The purpose of time series method is to find an appropriate modelto get goodforecastingresults. One of time series model has been known is Autoregressive. In Economic data often occurs structural change is

influenced by government policy, economic crisis, war and autoregressive hasn’t been able

to explain that structural change. Structural change is usually characterized by a dramatic change. Markov Switching Autoregressive is a model that can be used if in data is found structural change. The basic idea of Markov Switching Autoregressive is to create dynamic model to follow changes in data. Changes indata are ofteninfluenced byfactorsthat can’t beobserved directly. Markov Switching Autoregressive is one of alternative model for modeling data thatinfluenced byunobservablevariables. In the literature, unobserved variables is called state or symbolized by �_�, where �_� follow a Markov Chain. In the period 1997-1998 the exchange rate of rupiah to US Dollar occur dramatic change and that changes can be happen again in the future and the cause of dramatic change often cannot be observed directly. Parameters estimation are using maximum likelihood and calculation using Expectation Maximization. Parameters estimation with Eviews and Oxmetrics 7 software. Chow test capture in the exchange rate of Dollar to Rupiah from November 1996 until March 2015 occur structural change and appropriate model is MSAR(3,1)

(6)

DAFTAR ISI

ABSTRAK ... i

KATA PENGANTAR ... iii

UCAPAN TERIMA KASIH ... iv

DAFTAR ISI ... v

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... x

DAFTAR SIMBOL ... xi

BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 3

1.3 Batasan Masalah... 3

1.4 Tujuan Penulisan ... 3

1.5 Manfaat Penulisan ... 3

BAB 2 LANDASAN TEORI ... 4

2.1 Konsep Runtun Waktu ... 4

2.2 Konsep Stasioneritas ... 5

2.3 Fungsi Autokerelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial ... 6

2.3.1 Fungsi Autokorelasi ... 6

2.3.2 Fungsi Autokorelasi Parsial ... 7

2.4 Proses White Noise ... 8

2.5 Metode Runtun Waktu Box-Jenkins ... 8

2.5.1 Model Runtun Waktu untuk Data Stasioner ... 9

2.5.1.1 Proses Autoregressive (AR) ... 9

2.5.1.2 Proses Moving Average (MA) ... 14

2.5.1.2 Proses Campuran (ARMA) ... 14

2.5.2 Model Data Nonstasioner ... 15

2.6 Pembentukan Model... 16

2.6.1 Kestasioneran Data ... 16

(7)

2.6.3 Estimasi Parameter ... 17

2.6.4 Verifikasi Model ... 17

2.6.5 Peramalan ... 18

2.7 Uji Perubahan Struktur ... 19

2.8 Teori Peluang ... 20

2.7.1 Ruang Sampel ... 20

2.7.2 Pengertian Peluang ... 20

2.7.3 Peluang Bersyarat... 20

2.8 Rantai Markov ... 21

2.9 Vektor ... 21

2.10 Reducible Rantai Markov ... 22

2.11 Vektor Eigen ... 22

2.12 Rantai Markov Ergodic ... 23

2.13 Vektor Peluang Steady State ... 23

BAB 3MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE ... 25

3.1 Model Markov Switching Autoregressive ... 25

3.2 Estimasi Parameter ... 27

3.3 Uji Nonlinearitas ... 32

3.5 Peramalan ... 33

BAB 4STUDI KASUS ... 35

4.1 Deskripsi Data ... 35

4.2 Uji Stasioneritas ... 36

4.3 Pembentukan Model Box-Jenkins... 38

4.3.1 Identifikasi Model ... 38

4.3.2 Estimasi Parameter ... 39

4.4 Pemodelan Markov Switching Autoregressive ... 41

4.4.1 Uji Perubahan Struktur ... 41

4.4.2 Uji Bai-Perron ... 41

4.4.3 Estimasi Parameter ... 43

4.4.4 Uji Nonlinearitas ... 45

(8)

BAB 5 PENUTUP ... 49

5.1 Kesimpulan ... 49

5.2 Saran ... 50

DAFTAR PUSTAKA ... 51

LAMPIRAN ... 53

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 4.1 ADF Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah ... 36

Tabel 4.2 ADF Data Return ... 37

Tabel 4.3 Estimasi Parameter AR(1)... 39

Tabel 4.4 Estimasi Parameter MA(1) ... 40

Tabel 4.5 Estimasi Parameter ARMA(1,1)... 40

Tabel 4.6 Uji Perubahan Struktur ... 41

Tabel 4.7 Identifikasi Waktu Breaks ... 42

Tabel 4.8 Estimasi Parameter ... 43

Tabel 4.9 Peluang Transisi ... 44

Tabel 4.10 Nilai Ramalan Return ... 46

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 4.1 Plot Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah ... 35

Gambar 4.2 Plot Return Dollar Terhadap Rupiah ... 37

Gambar 4.3 Plot fak dan fakp data return ... 38

Gambar 4.4 Plot Bai Perron ... 42

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1 Autokovarian AR(1) ... 53

Lampiran 2 Inferensi Peluang Pemulusan Peluang regime ... 55

Lampiran 3 Peluang Transisi m-Periode kedepan Markov 2 state ... 56

Lampiran 4 Data Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah ... 59

Lampiran 5 Data Return Nilai Tukar Dollar Terhadap Rupiah... 61

Lampiran 6 Output Oxmetrics ... 64

Lampiran 7 Klasifikasi regime ... 65

(12)

DAFTAR SIMBOL

: Mean/ rata-rata : Langkah ke-k : White Noise : Varians dari

: Autokovariansi lag ke-k

: Estimasi autokovariansi lag ke-k : Autokorelasi lag ke-k

: Estimasi autokorelasi lag ke-k : Autokorelasi parsial lag ke-k : Parameter Autoregressive : Parameter Moving Average : Operator Backshift

: Operator differensi : Nilai eigen

: Forecast probabilities : Inference probabilities : Smoothed probabilities

(13)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Model Autoregressive Moving Average (ARMA) adalah salah satu model yang sangat populer dan sering digunakan dalam pemodelan data runtun waktu. Model ARMA merupakan campuran model Autoregressiveyang mengasumsikan data sekarang dipengaruhi oleh data sebelumnya dan Moving Average yang mengasumsikan data sekarang dipengaruhi oleh nilai residual data sebelumnya. Sedangkan runtun waktu adalah susunan observasi yang dicatat berurut berdasarkan waktu. Model ARMA diperkenalkan oleh George Edward Pelham Box dan Gwilym Meirion Jenkins (1976).Oleh karena itu pembentukan model ARMA juga sering disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. Pada data runtun waktuekonomi seringkali terjadi perubahan strukturyang diakibatkan oleh krisis keuangan, perang dan perubahan kebijakan pemerintah. Perubahan struktur adalah perubahan pola yang terjadi pada data runtun waktu. Model ARMA belum mampu untuk menjelaskan perubahan struktur yang terjadi pada data runtun waktu.Terdapat beberapa model untuk mengatasi masalah tersebut diantaranya Threshold Autoregressive (TAR), Self Exciting Threshold Autoregressive (SETAR) dan Markov Switching Autoregressive (MSAR).

Model TAR dan SETAR memungkinkan adanya pergeseran model seiring terjadinya perubahan pola pada data runtun waktu. Namun model TAR dan SETAR tidak mempertimbangkan peluang untuk bertahan dalam satu model atau berpindah ke model lainnya. Hamilton (1989) memperkenalkan Markov Switching Autoregressive, pada model Markov Switching Autoregressiveselain dapat menjelaskan perubahan struktur, model ini juga mempertimbangkan peluang untuk bertahan pada satu model atau berpindah ke model yang lain.Perubahan struktur pada data ekonomi misalnya karena krisis keuangan dapat terulang kembali di masa depan dan tidak diketahui kapan akan terjadi lagi. Berdasarkan data masa lalu dengan model Markov Switching Autoregressive dapat diketahui

(14)

berapa peluang dari keadaan normal berubah ke keadaan krisis ataupun sebaliknya, yang sangat berguna salah satunya untuk sistem peringatan dini.

Perubahan pola pada data dalam Markov Switching Autoregressive dianggap dipengaruhi oleh peubah acak diskrit tak teramati St yang biasa disebut state atau regime, dimana peubah acak diskrit St diasumsikan mengikuti rantai Markov orde pertama. Markov Switching Autoregressive merupakan penggabungan model Autoregressive dengan rantai Markov. Rantai Markov adalah suatu metode yang mempelajari sifat-sifat suatu variabel pada masa sekarang yang didasarkan pada sifat-sifatnya di masa lalu dalam usaha menaksir sifat-sifat variabel tersebut di masa yang akan datang (Siagian, 2006). Suatu rantai Markov dikatakan berorde satu jika nilai suatu state pada periode tertentu hanya bergantung pada state satu periode sebelumnya. Penerapan model Markov Switching Autoregressive telah dilakukan pada beberapa data ekonomi seperti Groos National Product oleh Hamilton (1989), Composite index oleh Leslie (2001), Exchange rate oleh Masoud (2012).

Kurs atau exchange rate adalah perbandingan nilai mata uang suatu negara dengan negara lain. Krisis ekonomi pada periode 1997-1998 ditandai dengan menurunnya nilai tukar rupiah terhadap dollar secara dramatis. Penurunan nilai tukar rupiah ini berdampak besar pada perekonomian Indonesia, beberapa pengaruh dengan adanya penurunan tersebut adalah membengkaknya utang luar negeri serta naiknya harga barang-barang impor dan berkembang dengan lumpuhnya sendi-sendi ekonomi di Indonesia. Perilaku perubahan pola dari exchange rate yang menurun tajam dapat terulang kembali di masa depan dan tidak diketahui kapan akan terjadi lagi. Perubahan perilaku tersebut dapat dianggap dipengaruhi oleh suatu variable acak takt eramati St. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk memodelkan data nilai tukar dollar terhadap rupiah dengan Markov Switching Autoregressive dalam bentuk skripsi.

(15)

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah bagaimana penerapan model Markov Switching Autoregressive pada data nilai tukar dollar terhadap rupiah beserta peramalannya.

1.3 Batasan Masalah

Dalam skripsi dalam yang akan dibahas adalah switching dalam parameter autoregressive dan jug akonstanta, dengan data yang dipergunakan adalah data bulanan rata-rata nilai tukar dollar terhadap rupiah dari November 1995 sampai Maret 2015 yang diperoleh dari data The University of British Columbia, Canada pada situsnya http://fx.sauder.ubc.ca/data.html.

1.4 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah mengimplementasikan model Markov Switching Autoregressive pada data nilai tukar dollar terhadap rupiah serta untuk meramal nilai tukar dollar terhadap rupiah di masa yang akan datang.

1.5 Manfaat Penulisan 1.5.1 Manfaat Teoritis

Manfaat penulisan skripsi ini secara teoritis adalah memperluas pengetahuan dalam ragam pemodelan runtun waktu.

1.5.2 Manfaat Praktis

Model Markov Switching Autoregressive dapat digunakan sebagai early warning systematau sistem peringatan dini terhadap kondisi ekonomi yang dapat dijadikan bahan pertimbangan juga informasi bagi pihak yang berkepentingan.

(16)

BAB III

MARKOV SWITCHING AUTOREGRESSIVE (MSAR)

3.1 Model Markov Switching Autoregressive

Model runtun waktu Markov Switching Autoregressive adalah salah satu model runtun waktu yang merupakan perluasan dari model Autoregressive (AR).Ide dasar dari model ini adalah membuat model yang dinamis seiring dengan terjadinya perubahan pola data. Perubahan pola data dianggap dipengaruhi oleh peubah acak diskrit tak teramati St yang biasa disebut state atau regime, dimana peubah acak diskrit St diasumsikan mengikuti rantai Markov orde pertama. Suatu rantai Markov dikatakan berorde satu jika nilai suatu state pada periode tertentu hanya bergantung pada state satu periode sebelumnya. Sebagai contoh, pada kasus hanya dua regime, Stdapat diasumsikan memiliki nilai 1 dan 2, sehingga model dengan AR(1) adalah sebagai berikut

= {�_� , + � , − + � , jika =

, + � , − + � , jika = yang bisa disederhanakan sebagai berikut

= � ,��+ � ,�� − + � .

Karena regime saat ini yaitu St hanya tergantung pada regime satu periode sebelumnya St-1. Oleh karena itu, model dilengkapi dengan mendefinisikan peluang transisi dari satu state ke state lainnya,

� = | − = = �

(17)

koleksi peluang transisi dapat dituliskan dalam matriks transisi P

� = [�_� �_{� ]}

dimana � + � = dan � + � = .

Peluang tak bersyarat proses berada pada tiap regimeyaitu � = untuk = , , berdasarkan persamaan (2.35) dan (2.36) untuk model Markov Switching dua state memiliki peluang tak bersyarat sebagai berikut:

� = = _{− � − � , .}− � � = = − �

− � − � . .

Multiple Regimes

Markov switching Autoregressive dengan m regimesdi definisikan sebagai berikut

= � , ��+ � , �� − + … + ��, �� −�+ � , jika = .

dimana � ~ . . �. � , �

= , ⋯ , , dengan peluang transisi

� = � = | − = , , = , … , ,

� ≥ untuk i, j = 1, . . . , m dan ∑ ₌ � = untuk semua i=1, . . . , m

Langkah-langkah untuk membentuk model Markov Switching Autoregressive yaitu: 1. Memodelkan data dengan proses AR yang sesuai

a. Membuat plot runtun waktu untuk melihat kestasioneran data.Apabila data belum stasioner lakukan penyelisihan (differencing) dan atau transformasi data.

(18)

c. Mengestimasi parameter dari model AR yang dipilih 2. Uji Perubahan Struktur

3. Estimasi parameter dari model MarkovSwicthing Autoregressive 4. Uji nonlinearitas

5. Gunakan model untuk tujuan peramalan.

3.2 Estimasi Parameter

Parameter dalam model Markov Switching dapat diestimasi menggunakan teknik maksimum likelihood. Namun, dikarenakan kenyataan bahwa proses Markov Sttidak terobservasi, masalah estimasinya tidaklah standar. Tujuan dari prosedur estimasi tidak hanya untuk mendapatkan estimasi parameter dalam model autoregressive dalam state yang berbeda dan peluang transisi dari satu state ke state yang lain, tetapi juga untuk mendapatkan perkiraan state yang terjadi pada tiap titik sample.

Markov Switching 2 regime

= {_�� , + � , − + … + ��, −� + � jika =

, + � , − + … + ��, −� + � jika = . dapat disederhanakan

= � , �+ � , � − + … + ��, � −� + � .

di bawah asumsi � berdistribusi normal, fungsi kepadatan peluang dari dengan syarat dan � ₋ adalah berdistribusi normal dengan rata-rata � _,_�+ � _,_� ₋ +

⋯ + ��, � −� dan variansi � ,

� | = , � − ; � =

√ ��exp {

− − �′

� } .

dimana = , ₋ , ⋯ , _−� ′ , � = � _, , � _, , ⋯ , �_�, ′ untuk = , dan � adalah vektor yang berisi semua parameter dalam model, � = �′, �′, � , � ,

(19)

� ′_, _�

− menotasikan himpunan observasi sebelumya� − = { − , − , ⋯ , −�}. � dan � sepenuhnya menjelaskan semua peluang transisi, sebagai contoh,

� = − � .

Log likelihoodbersyarat untuk observasi ke , � adalah log dari fungsi kepadatan peluang dari dengan syarat � ₋ yaitu � = � |� ₋ ; � .Fungsi kepadatan dari � |�₋ ; � diperoleh dari fungsi kepadatan bersama dari dan sebagai berikut (Hamilton, 1994)

� |� − ; � = � , = |� − ; � + � , = |� − ; �

= ∑ � , = |� − ; �

= ∑ � | = , � − ; � =

. � = |� − ; � . persamaan kedua pada (3.7) mengikuti hukum dasar dari peluang bersyarat, yang menyatakan bahwa peluang gabungan dari dua kejadian �� yaitu� �� =

� | . � (Van Djick, 2003).

Untuk dapat menghitung fungsikepadatan peluang � |� ₋ ; � pada persamaan (3.7) perlu dihitung peluang regime dengan syarat sejarah dari proses � ₋ yaitu

� = |� − ; � . Pada kenyataannya untuk mengembangkan estimasi maksimum likelihood dari parameter pada model, tiga estimasi berbeda dari peluang pada tiap regime pada saat yang dibutuhkan yaitu estimasi dari peluang proses berada pada regime j pada saat dengan syarat semua observasi sampai − atau �̂_{| −} , dengan syarat semua observasi sampai t atau �̂_| , dengan syarat semua observasi di seluruh sampel atau �̂_| , secara berurutan estimasi ini disebut forecast, inference dan smooth inference dari peluang regime

(20)

Jika regime yang terjadi pada saat − diketahui termasuk himpunan informasi � ₋ ,peramalan optimal dari peluang regime secara sederhana sama dengan peluang transisi dari proses Markov . Secara formal dituliskan sebagai berikut

�̂| − = �. � − .

�̂| − menotasikan vektor peluang bersyarat berukuran × yaitu �̂| − =

(� = |� − ; � , � = |� − ; � )′, � − = , ′ jika = dan �− =

, ′ jika = dan P adalah matriks yang berisi peluang transisi,

� = ( �_{− �} − �_� ) .

Pada praktiknya regime pada saat − tidak diketahui, oleh karena itu disebut tak teramati. Salah satu cara terbaik adalah dengan mengganti �₋ pada (3.8) dengan sebuah estimasi peluang dari masing-masing regime yang terjadi pada saat − dengan syarat observasi sampai − . Notasikan vektor berukuran × berisi inferensi optimal peluang regimeyang terjadi sebagai �̂_{− | −} . Berikan nilai awal �̂ _| dan nilai parameter di dalam �, dapat dihitung peramalan optimal dan inferensi dari peluang regime bersyarat adalah dengan mengiterasi persamaan berikut

�̂| = �̂| − ⊙ �

�′ _�̂ _{| −} _{⊙ �} .

�̂+ | = �. �̂| .

untuk = , ⋯ , , dimana � menotasikan vektor yang berisi fungsi kepadatan peluang pada persamaan (3.6) untuk dua regime, 1adalahvektor berukuran × dari satu dan simbol ⊙ ialah perkalian elemen per elemen. Nilai awal yang diperlukan

�̂ | dapat di ambil dari vektor yang berisi konstanta dengan jumlah satu (Hamilton, 1994).

(21)

Misalkan�̂_| menotasikan vektor yang berisi inferensi pemulusan pada peluang regime yaitu estimasi dari peluang bahwa regime j terjadi pada saat t dengan syarat semua observasi yang mungkin, � = |� ; � . Kim (1993) mengembangkan sebuah algoritma untuk mendapatkan peluang regime ini dari peluang bersyarat �̂_| dan �̂_{+ |}

Inferensi pemulusan peluangregime pada saat tdihitung

�̂| = �̂| ⊙ (�′[�̂+ | ÷ �̂ + | ]) .

dimana ÷ adalah pembagian elemen per elemen. Algoritma berjalan mundur melalui sampel yang dimulai dengan �̂ _| dari (3.10) yang diterapkan pada persamaan (3.12) untuk = − , − , ⋯ , .Secara detail Kim(1993) dan Hamilton(1994), memenuhi rumus (3.12) (Lampiran 2).

Estimasi maksimum likelihood dari peluang transisi adalah sebagai berikut (Hamilton, 1990)

�̂ =∑ = �( = , − = |Ωn; �̂)

∑ = �( − = |Ωn; �̂) , .

dimana �̂ menotasikan estimasi maksimum likelihood dari �. Untuk mendapatkan nilai estimasi dari �̂ dan �̂ harus memenuhi persamaan berikut, bukti lihat Hamilton (1990).

∑( − �̂′ )

�( = |Ωn; �̂) = , = , , . dan

�̂ = ∑ ∑( − �̂′ )

�( = |Ωn; �̂) =

(22)

�̂ adalah estimasi kuadrat terkecil tertimbang dari regresi pada , dengan bobot diberikan oleh akar dari peluang pemulusan dari terjadinyaregime j. Oleh karena itu, estimasi�̂ dapat diperoleh dengan

�̂ = (∑

′)

−

(∑

) .

dimana

= √�( = |Ωn; �̂)

Estimasi Maksimum Likelihood dari variansi residual diperoleh dengan menggunakan (3.15) sebagai rata-rata residual kuadat dari dua regresi kuadrat terkecil tertimbang.

Tempatkan semua elemen bersama-sama, prosedur iteratif untuk mengestimasi parameter dari model Markov Switching. Berikan nilai awal untuk vektor parameter

�̂ , pertama hitung peluang pemulusan regime (smoothed regime probabilities). Selanjutnya peluang pemulusan regime�̂_| dikombinasikan dengan estimasi awal dari peluang transisi �̂ untuk mendapatkan estimasi baru dari peluang transisi �̂ dari (3.13). Akhirnya, (3.16) dan (3.15) dapat digunakan untuk mendapatkan estimasi baru dari parameter autoregressive dan variansi residual. Kombinasikan dengan estimasi baru dari peluang transisi, ini memberikan estimasi baru untuk semua parameter dalam model, �̂ . Iterasi prosedur ini menghasilkan estimasi�̂ , �̂ , ⋯ dan prosedur ini berlanjut sampai konvergensi terjadi, yaitu sampai estimasi di iterasi berikutnya cukup dekat. Prosedur ini merupakan aplikasi dari algoritma Expectation Maximization (EM) yang dikembangkan oleh Dempster, Laird dan Rubin (1977). Setiap iterasi dari prosedur ini meningkatkan nilai dari

(23)

fungsi likelihood, yang menjamin bahwa estimasi akhirnya adalah estimasi Maksimum Likelihood.

Untuk selanjutnya perhitungan akan dilakukan dengan menggunakan software Oxmetrics dan Eviews.

3.3 Uji Nonlinearitas

Persamaan (3.3) sebelumnya dapat dituliskan sebagai

= � , ��+ � , �� − + … + ��, �� −� + � , � =

Pendekatan alami dari uji nonlinearitas adalah mengambil model linear sebagai hipotesis nol dan model regime switching sebagai hipotesis alternatif. Pada kasus model 2 regime, hipotesis nol dapat dinyatakan sebagai kesamaan parameter autoregressive pada kedua regimeyaitu

� = � = � (model linear), dan

� = terdapat minimal satu �_, ≠ �_, = , ⋯ , � (model nonlinear)

� , � merepresentasikan koefisien AR dari model Markov switching pada kedua regime

Tidak semua parameter dalam model tercakup dibawah hipotesis nol, dalam model nonlinear markov switching terdapat parameter gangguan atau nuisance parameter yang tidak teridentifikasi dibawah asumsi hipotesis nol dan tidak hadir dalam model linear, dalam hal ini adalah � atau peluang transisi. Sebagai konsekuensinya teori statistik konvensional tidak dapat diterapkan untuk memperoleh distribusi dari tes statistik hal ini dijelaskan (Davies 1977, 1987) (Garcia 1995) dan (Hansen 1996). Tes statistiknya cenderung memiliki distribusi yang tidak standar, yang seringkali ekspresi analisisnya tidak tersedia. Hanya setelah melakukan estimasi markov switching dapat dilihat hubungan atau relevansi antara model Markov Switching dan model linear AR.

Ketika mengkaji relevansi dari model MSW, pendekatan alami nya adalah menggunakan Likelihood Ratio (LR) statistik, yang menguji hipotesis nol model

(24)

linear melawan hipotesis alternative yaitu model MSW, � = � = � diuji dengan menggunakan tes statistik berikut

LRMSW=

L

MSW -

L

dimana

L

MSW dan

L

AR adalah nilai dari fungsi log likelihood yang berhibungan dengan MSW dan model AR. Dalam kasus dua regime, parameter � dan � yang mendefinisikan peluang transisi dalam model MSW adalah parameter gangguan tak teridentifikasi di hipotesis nol. LR statistik memiliki distribusi yang tidak standar yang tidak dapat dikarakterisasi secara analisis. Nilai kritis (critical value) untuk menentukan signifikansi dari uji statistik harus ditentukan dengan cara simulasi. Struktur dasar dari percobaan simulasi tersebut salah satunya menghasilkan sejumlah besar time series artificial ∗ menurut model dibawah hipotesis nol. Kemudian, estimasi antara AR dan model MSW untuk masing-masing artificial time series dan hitung LR statistik � _��∗ . Tes statistik ini dapat digunakan untuk mendapatkan sebuah perkiraan dari distribusi lengkap dari tes statistik dibawah hipotesis nol, atau sekedar untuk menghitung p-value dari LR statistik untuk time series yang asli. Estimasi model MSW bisa memakan waktu dan prosedurnya menuntut jumlah dalam komputasi (Van Dijk, 2003). Perhitungan selanjutnya menggunakan Pcgive 14 Oxmetrics.

3.4Peramalan

Peramalan adalah salah satu tujuan utama dari pemodelan runtun waktu, hasil peramalan yang baik jika nilai estimasi tidak jauh dari nilai sebenarnya.

Peramalan untuk nilai dari runtun waktu _+ℎ adalah peramalan dari _+ℎ dengan syarat regime pada saat + ℎ, yaitu _+ℎ dikali dengan peramalan dari peluang pada masing-masing regime pada saat + ℎ. Sebagai contoh, peramalan satu langkah ke depan untuk model Markov Switching Autoregressive dengan banyaknya state sebanyak dua adalah sebagai berikut:

(25)

× �[ + | + = , Ω ] ∙ � + = |Ω ; � .

Peramalan dari ₊ dengan syarat regime pada saat + mengikuti langsung dari persamaan (3.5), contoh untuk AR(1)

�[ + | + = , Ω ] = � , + � , ,

dimana

� + = |Ω ; � , = , adalah peramalan optimal peluang regimeyaitu�̂+ |

Matriks peluang transisi m periode kedepan untuk rantai Markov 2 state

� = [

− �

− � − � −

− �

− � − � ]

[ _{� ] [} − − �

− � − �

− �

− � − � ]

= [

− � + � − �

− � − �

− � − � − �

− � − �

− � − � − �

− � − �

− � + � − �

− � − � ]

sebagai contoh jika proses berada pada state 1, peluang m periode berikutnya akanada di state 2 adalah

�{ + = | = } = − � _{− � − �}− � − � ,

(26)

DAFTAR PUSTAKA

Amami, Surya. (2010). Peramalan Pangsa Pasar Kartu GSM dengan Pendekatan Rantai Markov. Skripsi FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan.

Anggraeni, Silvy. (2012). Model Volatilitas Conditional Heteroscedastic Autoregressive Moving Average. Skripsi FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan.

Bergman, U.Michael dan Hansson, Jesper. (2005). “Real Exchange Rate and Switching Regimes”. Journal of International Money and Finance. 24, 121-138.

Box, G.E.P. and Jenkins,G.M. (1976). Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden-Day, California.

Clements, Michael P. dan Krolzig, Hans Martin. (1997). A Comparison of the Forcast Performance of Markov Switching and Threshold Autoregressive models of US GNP.

Djuranovik, Leslie. (2001). Penyusunan Composit Index Indonesia 1983-2000 dan Pemodelan Menggunakan MSAR. Skripsi FMIPA Institut Pertanian Bogor. Bogor: tidak diterbitkan.

Doornik, Jurgen A. (2013). Econometric Analysis with Markov Switching Models. Timberlake.

Ekasari, Yunita. (2012). Model Nilai Tukar Kanada Terhadap Rupiah Menggunakan Markov Switching GARCH. Skripsi FMIPA Universitas Sebelas Maret. Surakarta: tidak diterbitkan.

Frances, Philip Hans dan Dijk, Dick Van. (2003). Non Linear Time Series Models in Empirical Finance. Cambrige University Press.

Hamilton, James D. (1989). “A New Approach to the Economics Analysis of Nonstasionary Time Series and The Business Cycle”. Econometrica. 57, (2), 357-384.

Hamilton, James D. (1990). “Analysis of Time Series Subject to Changes in

Regime”. Journal of Econometrics. 45, 39-70.

Hamilton, James D. (1994). Time Series Analysis. New Jersey: Princeton University Press.

(27)

Mostafaei, Hamid Reza dan Safaei Maryam. (2012). “Point Forecast Markov Switching Model for U.S. Dollar/Euro Exchane Rate”. Sain Malaysiana. 41, (4), 481-488.

Retnowati, Enung. (2011). Pemodelan Smooth Transition Autoregressive. Skripsi FPMIPA UPI. Bandung: tidak diterbitkan.

Soejoeti, Zanzawi. (1987). Analisis Runtun Waktu. Jakarta: Karunika, Universitas Terbuka.

Yarmohammadi, Masoud. Mostafaei, Hamid Reza dan Safaei Maryam. (2012).

“Markov Switching Models for Time Series Data with Dramatic Jumps”.

(1)

�̂ = (∑ =

′) −

(∑ =

) .

dimana

= √�( = |Ωn; �̂) = √�( = |Ωn; �̂)

Estimasi Maksimum Likelihood dari variansi residual diperoleh dengan menggunakan (3.15) sebagai rata-rata residual kuadat dari dua regresi kuadrat terkecil tertimbang.

Tempatkan semua elemen bersama-sama, prosedur iteratif untuk mengestimasi parameter dari model Markov Switching. Berikan nilai awal untuk vektor parameter

(2)

fungsi likelihood, yang menjamin bahwa estimasi akhirnya adalah estimasi Maksimum Likelihood.

Untuk selanjutnya perhitungan akan dilakukan dengan menggunakan software Oxmetrics dan Eviews.

3.3 Uji Nonlinearitas

Persamaan (3.3) sebelumnya dapat dituliskan sebagai

= � , ��+ � , �� − + … + ��, �� −� + � , � =

� = � = � (model linear), dan

� = terdapat minimal satu �_, ≠ �_, = , ⋯ , � (model nonlinear)

� , � merepresentasikan koefisien AR dari model Markov switching pada kedua regime

Ketika mengkaji relevansi dari model MSW, pendekatan alami nya adalah menggunakan Likelihood Ratio (LR) statistik, yang menguji hipotesis nol model

(3)

linear melawan hipotesis alternative yaitu model MSW, � = � = � diuji dengan menggunakan tes statistik berikut

LRMSW=

L

MSW -

L

dimana

L

MSW dan

L

AR adalah nilai dari fungsi log likelihood yang berhibungan

dengan MSW dan model AR. Dalam kasus dua regime, parameter � dan � yang mendefinisikan peluang transisi dalam model MSW adalah parameter gangguan tak teridentifikasi di hipotesis nol. LR statistik memiliki distribusi yang tidak standar yang tidak dapat dikarakterisasi secara analisis. Nilai kritis (critical value) untuk menentukan signifikansi dari uji statistik harus ditentukan dengan cara simulasi. Struktur dasar dari percobaan simulasi tersebut salah satunya menghasilkan sejumlah besar time series artificial ∗ menurut model dibawah hipotesis nol. Kemudian, estimasi antara AR dan model MSW untuk masing-masing artificial time series dan hitung LR statistik � _��∗ . Tes statistik ini dapat digunakan untuk mendapatkan sebuah perkiraan dari distribusi lengkap dari tes statistik dibawah hipotesis nol, atau sekedar untuk menghitung p-value dari LR statistik untuk time series yang asli. Estimasi model MSW bisa memakan waktu dan prosedurnya menuntut jumlah dalam komputasi (Van Dijk, 2003). Perhitungan selanjutnya menggunakan Pcgive 14 Oxmetrics.

3.4Peramalan

Peramalan adalah salah satu tujuan utama dari pemodelan runtun waktu, hasil peramalan yang baik jika nilai estimasi tidak jauh dari nilai sebenarnya.

(4)

× �[ + | + = , Ω ] ∙ � + = |Ω ; � .

Peramalan dari ₊ dengan syarat regime pada saat + mengikuti langsung dari persamaan (3.5), contoh untuk AR(1)

�[ + | + = , Ω ] = � , + � , ,

dimana

� + = |Ω ; � , = , adalah peramalan optimal peluang regimeyaitu�̂+ |

Matriks peluang transisi m periode kedepan untuk rantai Markov 2 state

� = [

− �

− � − � −

− �

− � − � ]

[ _{� ] [} − − �

− � − �

− � − � − � ]