Modul Siap UN Matematika SMA Program MIPA

BAB 10 TRIGONOMETRI A. Sudut Sudut adalah besar daerah yang terbentuk dari perpotongan dua sinar garis. B. Teorema Pythagoras A

  _{2 2 2}

  b  a  c _{2 2}

₂

b a  b  c _{2 2}

₂

c c  b  a

  C B a C.

   Perbandingan Trigonometri

  A

  de depan

  miring

  de 

  sin  

  mi miring pa n sa samping

  cos   

   mi miring

  B C samping de depan

  

  tan  

  sa samping D.

   Tabel Perbandingan Trigonometri di Kuadran I

  α sudut sin α cos α tan α istimewa

  o

  1

  1

  1

  1 o

  3

  3

  30

  2

  2

  3

  1

  1 o

  45

  2

  2

  1

  2

  2

  1

  1 o

  3

  60

  3

  2

  2 o

  90 1 ~ E.

   Menentukan Perbandingan Trigonometri Pada Kuadran Tertentu

  Fungsi Tanda Di Kuadran Trigonometri

  I II

  III

  IV sin + + - -

• cos
• tan

   Pada kuadran II

  o

• – sin(180

   ) = sin o

   ) = – cos – cos(180 o

   ) = – tan – tan(180

   Pada kuadran III

  o

  sin(180  ) = – sin +

  o

• cos(180  ) = – cos

  o

  tan(180  ) = tan +  Pada kuadran IV

  o

  sin(360  ) = – sin –

  o

• – cos(360  ) = cos

  o

  tan(360  ) = – tan –

F. Mengubah Koordinat Cartesius ke Koordinat Kutub (Polar)

  P ( x , y )  P ( r ,  ) _{2 2} Dengan r  x  y y tan   x y

• 1  

   = tan

   

  x

    G.

   Mengubah Koordinat Kutub ke Koordinat Cartesius P ( r ,  )  P ( x , y )

  Dengan x  r cos 

  y  r sin  H.

   Aturan Sinus pada Segitiga

  A Untuk sembarang jenis segitiga berlaku:

  a b c   b sinA sinB sinC c

  C B

  a I.

   Aturan Cosinus pada Segitiga

  A Untuk sembarang jenis segitiga berlaku: _{2 2 2}

  a  b  c 

  2 .b.c. cos A

  b c _{2 2 2} b  a  c  _{2 2 2} 2 .a.c. cos B

  C c  a  b  2 .a.b. cos C B

  a

  dan _{2 2 2}

  b  c  a

  cos A  ₂ 2 bc _{2 2}

  a c b

    cos B  ₂ 2 ac _{2 2}

  a  b  c

  cos C  2 ab

  J. Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri 1).

  sin (A + B) = sin A . cos B + cos A . sin B 2). sin (A – B) = sin A . cos B – cos A . sin B 3). cos (A + B) = cos A . cos B – sin A . sin B 4). cos (A – B) = cos A . cos B + sin A . sin B

  tan A  tan B 5).

  tan (A + B) =

  1  tan A . tan B tan A  tan B

  6). tan (A – B) =

  1  tan A . tan B K.

   Trigonometri Sudut Rangkap 1.

  sin 2A = 2 sin A . cos A

  2

  2

  2. A – sin A cos 2A = cos

  2

  = 1 – 2 sin A

  2

  = 2 cos A – 1

  2 tan A 3.

  tan 2A = ₂

  1  tan A

  L. Luas Segitiga Menggunakan Trigonometri

  A

  c

  B

  1 L = .a.b. sin C

  2 a b

  1 L = .a.c. sin B

  2 C

  1 L = .b.c. sin A

  2 M.

   Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari 1).

  Menentukan besar sudut elevasi dalam kehidupan sehari-hari Sudut elevasi adalah besar sudut dari garis horizontal ke atas.

  Contoh: Budi berdiri 100 m dari sebuah gedung bertingkat. Ia melihat puncak gedung tersebut sehingga

  o

  membentuk sudut 60 . Jika tinggi Budi 150 cm, hitunglah tinggi gedung tersebut! Jawab:

  Jarak Budi ke gedung = 100 m _{o t} tan 60 =

  100 t t

  3 =

  100 o

  60 t = 100 3 100 m

  150 cm Jadi tinggi gedung tersebut = t + tinggi badan Budi

  = ( 100

  

3 

1 , 5 ) m 2).

  Menentukan besar sudut depresi dalam kehidupan sehari-hari Sudut depresi adalah besar sudut dari garis horizontal ke bawah.

  Contoh: Suatu pesawat akan mengebom suatu menara di bawahnya. Jika ketinggian pesawat 500 m dan

  o

  sudut depresi pesawat 60 . Hitunglah jarak horisontal pesawat ke menara! Jawab: _{o s} tan

  60 =

  500 s

  3 =

  o

  60 500 500 m

  s = 500

  3 , jadi jarak pesawat ke menara = 500 3 m s

  Pembahasan Soal-soal: 15 o o 1. tan A  untuk interval 180  A  270 . Nilai cos A adalah ....

  Diketahui

8 Pembahasan:

  depan tanA 

  17

  samping

  15

  15 tanA  A

  8

  8 _{2 2} Panjang sisi miring =

  15 

  8

  = 225 

  64 = 289 = 17 negatif. bernilai cos dan sin sehingga

  III kuadran pada berarti 270 A 180 ^{o o}  

  3 .

  65

   

    

    

  5 ) B A cos( 

  13

  5

  65

  12

  13

  4 .

  5

  sinA.sinB cosA.cosB ) B A cos(   

  4 B tan  

  48

  15 ) B A cos(    

  3 B cos  

  1 c

  2

  o

  60

  1 10  P Q R

  2

  3

  2

  65

  10 

   _{o o} sin30 c sin60

  sinC c sinA a

  Panjang sisi c segitiga tersebut adalah .... cm. Pembahasan:

  4. Diketahui segitiga ABC dengan besar sudut A = ^o 60 , sudut C = ^o 30 , dan panjang sisi a = 10 cm.

  33 ) B A cos(  

  3

  5

  Jadi, cos A =

  2

  2

  2 3 . 3 = PQ .

  3 PQ

  2

  =

  1

  3

  2 PQ =

  PR PQ

  60 maka panjang sisi PQ adalah .... cm Pembahasan: _o 60 sin =

  2 3 cm dan besar sudut R adalah ^o

  2. Diketahui segitiga PQR siku-siku di titik Q. Jika panjang sisi PR adalah

  8 mi sa   

  17

  6 3 = PQ .

  6

  4 B sin 

  12 A tan 

  5

  B sudut tumpul (kuadran II): sin+, cos–, tan–

  5 A cos 

  13

  12 A sin 

  13

  5

  2

  Pembahasan: A sudut lancip (kuadran I): sin+, cos+, tan+

  4 B sin  , A sudut lancip dan B sudut tumpul. Nilai ) B A cos(  adalah ....

  5

  12 A tan  dan

  5

  Jika

  3 3.

  3 ?

  1

  1 3 . c .

  10 

  2

  2

  3 . c

  5 

  2

  2 c 5 . 

  3

  10

  3

  10 c  . 

  3

  3

  3

  3 LATIHAN UN:

  3

  2 1. cos( A  B )  dan cos A.cosB  . Nilai tan A.tanB

  Diketahui sudut A dan sudut B lancip dengan

  4

  3 adalah ....

  1 A. 

  4

  1 B. 

  8

  1 C. 

  12

  1 D.

  12

  1 E.

  8

  1

  

48

  2. tan  tan  dan cos  . cos  , serta , sudut lancip. Nilai  sin(    ) adalah

    

  Diketahui

  3

  

65

....

  63 A.

  65

  33 B.

  65

26 C.

  65

  16 D.

  48

  16 E. kunci

  65  

  4

  3 3. A  B  dan A  B  . Nilai dari sinA sinB adalah ....

  

  Diketahui

  3

  2

  1 A.  6 kunci

  2

  1 B. 

  2

  2

  1 C. 

  6

  4

  1 D.

  6

  4

  1 E.

  6

  2

  1

  4. sin  

  13 dan  sudut lancip. Nilai cos 2  adalah ....

  Diketahui

5 A.

• –1

• –2 B.
• –1 C.

  6

   

     D.

  2

  7 ,

  6

  5 ,

  3

     

   

     C.

  2

  7 ,

  4 ,

  6

  3

     

   

     B.

  2

  4 ,

  3

  5 ,

  3

     

   

  A.

     

  11 ,

  , untuk

  2 2 sin   x x , untuk   x 2  adalah ....

  2

  ,

   

     

   

  2 C.

  ,

  

      

   

     0, B.

  A.

  cos

  6

  Himpunan penyelesaian persamaan

     10.

  2

  5 ,

  3

  11 ,

  6

     

  kunci E.  

    

  2

  7 ,

    x 2  adalah ....

  sin 2 cos   x x

  B.

  A. ²

  1 2  p

  4 ²  p E.

  1

  2 ²  p D.

  1

  kunci C.

   p

  1

  4

   p B. ²

  1

  2

  2 sin adalah ....

  A.

   2 cos sin    . Nilai 

  p

  1 5. Diketahui

  E.

  1  kunci

  25

  D.

  1 

  5

  C.

  1 

  2

  6. Nilai ^{o o}  265 95 cos cos adalah ....

  0 (kunci) D.

  135 315 , kunci 9. Himpunan penyelesaian persamaan

  2 2 sin ²    x x x , untuk ^{o o}  x 360  adalah ....

    ^{o o}

  135 225 , E.

    ^{o o}

  45 D.

  225 ,

    ^{o o}

  135 180 , C.

    ^{o o}

  45 B.

  135 ,

    ^{o o}

  A.

  . 2 cos sin

  1 E.

  2 8. Himpunan penyelesaian persamaan

  1 E.

  2

  2

  1 D.

  C.

  1 

  2

  2

  A. 2  kunci B.

   adalah ....

  63 sin 27 sin 

  2 7. Nilai dari o o ^{o o} 138 102 cos cos

  3

  

  3   

  D. , kunci  

  2

  2   3   

  E. ,  

  2   11. 2 . sin 3 untuk adalah ....

  x    x  2 

  Himpunan penyelesaian dari persamaan

  

  2   

  A. ,  

  3

  3  

   

   

  B. ,  

  3

  6  

   

   

  C. ,  

  3

  2  

  

   5  

  D. ,  

  3

  6   2  

  5  

  E. ,  

  3

  6  

  o o

  12. cos

  2 x  3 sin x  2  dalam  x  360 adalah ....

  Himpunan penyelesaian dari persamaan _{o o} A. 30 ,

  9

    _{o o} B.

  30 ,

  15

    _{o o}

  C. 150 ,

  30

    _{o o o} D.

  30 , 9 , 150

    _{o o o} E.

  30 , 9 ,

  2

  10

    13.

  Perhatikan gambar berikut! D

  o

  45 C

  o o

  60 8 cm

  60 A B

  6 6 cm Panjang ruas garis DC adalah .... cm.

  A.

  2

  57 B.

  2

  61 C.

  2

  63 D.

  10

  3 E.

  12

  3 14. Panjang PR pada gambar di bawah ini adalah .... cm.

  R 8 cm _o Q _o

  30

  45 P A.

2 B.

  2

  2 C.

4 D.

  4

  2 E.

  8

  2

15. Panjang ruas garis BC pada gambar berikut adalah …. cm.

  A 13 cm

  o

  60 C 14 cm B A. 364 B. 183 C. 182 D.

92 E.

  91 16.

  2 13 cm, dan PR = 6 cm. Besar sudut yang Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 8 cm, QR = mengapit ruas garis PQ dan ruas garis PR adalah .... _o A.

  30 _o B.

  45 _o C.

  60 _o D.

  90 _o

  E. 120 _o 17. dengan AB =

  5 2  ABC  45 . Besar sudut ACB adalah .... cm. Diketahui ΔABC _o cm, AC = 10 cm, A.

  30 _o B.

  45 _o C.

  60 _o D.

  90 _o

  E. 120 ₂ 18. cm . Luas segi-12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ....

  A.

  192 kunci B. 172 C. 162 D.

  148 E. 144