Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal

  Teknik Pengintegralan

  Kusbudiono

  Jurusan Matematika

  19 Desember 2011

  

• C, r 6= −1 4.
^R

  = ln |u| + C 5. R e

  =

  u du

  R a

  u

  = e

  u

  du u

  u ^{r +1} r +1

  =

  r du

  R du = u + C 2. R a du = au + C 3. R u

  Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah daftar integral-integral dasar yang telah diurutkan: KONSTANTA, PANGKAT, EKSPONENSIAL 1.

  Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal

• C 6.

  a ^u ln a

• C, a > 0

  

Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal

  FUNGSI-FUNGSI TRIGONOMETRI 7.

  R sin u du = − cos u + C 8. R cos u du = sin u + C

  2 9. u du

  R sec = tan u + C

  2 10. u du

  R csc = − cot u + C 11.

R sec u tan u du = sec u + C 12

  R csc u cot u du = − csc u + C 13. R tan u du = ln | sec u| + C 14. R cot u du = ln | sin u| + C

  

Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal

  FUNGSI-FUNGSI HIPERBOLIK

  R cosh u du = sinh u + C 17. ^R sech u du

  = tanh u + C 18. ^R csch u du

  = − coth u + C 19. ^R sech u tanh u du

  = − sech u + C 20. ^R csch u coth u du

  = − csch u + C

  

Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal

  du u

  a |u|

  (

  −1

  cos

  1 a

  ) + C =

  |u| a

  (

  

−1

  sec

  1 a

  =

  u ² −a ²

  √

  ) + C 23. ^R

  FUNGSI-FUNGSI ALJABAR 21. ^R

  u a

  du

  √

  a ² −u ²

  = sin

  −1

  (

  ) + C 22. ^R

  u

a

  du a ² +u ²

  =

  1 a

  tan

  −1

  (

  ) + C

• a

  a ² −u ² u

  du u

  √

  a ² −u ²

  = −

  1 a

  ln |

  

a +

  √

  | + C 28. ^R

  a +u a −u

  du u

  √

  a ² +u ²

  = −

  1 a

  ln |

  

a +

  √

  a ² +u ² u

  | + C 27. ^R

  ln |

  

Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal

  du

  FUNGSI-FUNGSI ALJABAR 24. ^R

  du

  √

  a ² +u ²

  = ln(u + √

  

u

  2

  2

  ) + C 25. ^R

  √

  1 2a

  u ² −a ²

  = ln |u + √

  u

  2

  − a

  2

  | + C 26. ^R

  du a ² −u ²

  =

  | + C Pengintegraan dengan Metode Substitusi Teorema (Substitusi) Untuk menentukan

  R f (x) dx, kita dapat mensubstitusi

  u

  = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila

  substitusi itu mengubah f

  (x) dx menjadi h(u) du dan apabila H

  sebuah anti turunan h, maka _{Z Z} f h

  (x) dx = (u) du = H(u) + C = H(g(x)) + C Beberapa Integral Trigonometri

  Dengan kesamaan trigonometri dan menggunakan metode substitusi kita akan dapat mengintegralkan banyak bentuk-bentuk trgonometri. Beberapa jenis integral trigonometri yang sering muncul adalah:

  n x dx dan

  R cos

  n

x dx

2.

  R sin

  m x cos n x dx 3.

  R tan

  n x dx dan

  R cot

  n

x dx

4.

  R tan

  m x sec n x dx dan

  R cot

  m x csc n x dx 5.

  R sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan R cos mx cos nx dx Jenis 1: R sin n x dx dan R cos n x dx

  Diperlukan identitas trigonometri: sin

  2 x =

  1

  2 (1 − cos 2x) dan cos

  x

  =

  1

  2 (1 + cos 2x) dan sin

  2 x

  = 1 − cos

  x

  dan cos

  2 x

  = 1 − sin

  2 x

  m n

Jenis 2: R sin x cos x dx

  Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantung pada m dan n adalah ganjil atau genap. _{n ganjil - Gunakan kesamaan terkait cos x = 1 − sin x m ganjil - Gunakan kesamaan terkait sin x = 1 − cos x R sin x cos x dx Prosedur Identitas Terkait m n - Pilihlah faktor dari cos x Substitusi u = sin x - Pilihlah faktor dari sin x 2 2 2 2 m dan n genap - Gunakan kesamaan terkait untuk sin x = (1 − cos 2x) mereduksi pangkat sin x dan cos x cos x = (1 + cos 2x)} - Substitusi u = cos x _{2 2 2 1 2 1}

  n n Jenis 3: R tan x dx dan R cot x dx n m

  Untuk menghitung integral berbentuk R tan x dx dan R sec x dx dimulai dengan rumus integral dasar _Z tan x dx _Z = ln | sec x| + C sec x dx = ln | sec x + tan x| + C Sedangkan untuk perpangkatan yang lebih tinggi dapat direduksi dengan rumus: _{Z Z} n−1 tan n n−2 tan x dx = tan x dx − n _{Z Z} − 1 m−2 sec x tan x m − 2 m m−2

• sec x dx = sec x dx

  m m − 1 − 1

  m n m n Jenis 4: R tan x sec x dx dan R cot x csc x dx

  Identitas trigonometri dan prosedur yang digunakan tergantung pada m dan n adalah ganjil atau genap. Berikut adalah prosedur untuk integran berbentuk

  m n tan x sec x. _{R tan n genap - Gunakan kesamaan terkait sec x = 1 + tan x m ganjil - Gunakan kesamaan terkait tan x = sec x − 1 m n x sec x dx Prosedur Identitas Terkait Substitusi u = tan x - Pilihlah faktor pembagi dari sec x - Pilihlah faktor dari sec x tan x 2 2 2 2 2 m genap dan n ganjil - Gunakan kesamaan terkait untuk tan x = sec x − 1} - Substitusi u = sec x _{- Kemudian gunakan rumus reduksi untuk pangkat sec x mereduksi pangkat dari sec x 2 2}

  2

  2 Dengan pertolongan kesamaan 1 + cot x = csc x prosedur

  diatas dapat disesuaikan untuk menghitung integral berbentuk

  m n x csc x dx.

  R cot

  

Jenis 5: R sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan

R cos mx cos nx dx

  Untuk menghitung integral berbentuk R sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, dan

  R cos mx cos nx dx digunakan rumus-rumus pergandaan jumlahan dari trigonometri dibawah ini: sin mx sin nx

  = −

  1

  2 [cos(m + n)x − cos(m − n)] cos mx cos nx

  =

  1

  2 [cos(m + n)x + cos(m − n)x] sin mx cos nx =

  1

  2 [sin(m + n)x + sin(m − n)x]

  √ n

  Integran yang memuat ax + b

  √ n Apabila didalam integran ada bentuk ax

• b, substitusi √ _n

  u ax = + b dapat merasionalkan integran.

• x

  , √

  kita gunakan masing-masing substitusi sebagai berikut: _{Ekspresi Substitusi Pembatasan θ Kesamaan trigonometri dalam yang diperlukan untuk integran penyederhanaan p a 2 − x 2 x = a sin θ − π 2 ≤ θ ≤ π 2 a 2 − a 2 sin 2 θ = a 2 cos 2 θ p a 2 + x 2 x = a tan θ − π 2 ≤ θ ≤ π 2 a 2 + a 2 tan 2 θ = a 2 sec 2 θ p x 2 − a 2 x = a sec θ 0 ≤ θ ≤ π}

  2

  − a

  2

  x

  dan √

  2

  2

  a

  2

• x

  − x

  2

  a

  √

  2 − a

  2 dan √ x

  2

  2 _, √ a

  2 − x

  Integran yang memuat √

a

  2 ^{(x ≥ a) a 2 sec 2 θ − a 2 = a 2 tan} _{π ≤ θ ≤} ^{2 θ} _{3π 2 (x ≤ −a)} Melengkapkan Menjadi Kuadrat Sempurna

  2 Apabila sebuah bentuk kuadrat x

• Bx + C muncul dibawah akar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadi kuadrat sempurna sebelum kita menggunakan substitusi trionometri.
Pecahan Parsial (x)

  P

  Setiap fungsi rasional dengan derajat pembilang lebih kecil

  Q (x)

  dari pada derajat penyebut dapat dinyatakan sebagai jumlahan

  P

  (x) = F (x) + F (x) + . . . + F (x)

  1 2 n Q

  (x) dimana F (x), F (x), . . . , F (x) fungsi-fungsi rasional dalam

  1 2 n A Ax +B ₁

  bentuk atau _{k 2 k}

  (ax+b) (ax +bx+c)

  Suku-suku F (x), F (x), . . . , F (x) pada sisi kanan persamaan

  1 2 n

  diatas disebut pecahan parsial sedangkan semua sisi kanannya disebut dekomposisi pecahan parsial dari sisi kiri.

  

Mendapatkan bentuk dekomposisi pecahan parsial

  Langkah pertama untuk mendapatkan dekomposisi pecahan

  P (x)

  parsial suatu fungsi rasional yang mempunyai derajat

  Q (x)

  pembilang lebih kecil dari pada derajat penyebut adalah dengan memfaktorkan Q (x), secara lengkap menjadi faktor linier dan faktor kuadratik yang tak dapat difaktorkan lagi, dan mengumpulkan faktor berulang sehingga Q

  (x) dinyatakans ebagai perkalian faktor-faktor yang berbeda dari bentuk

  m 2 m (ax + b) dan (ax + bx + c) . Faktor-faktor Linier

  Jika semua faktor Q (x) linier, maka dekomposisi pecahan

  (x) P

  parsial dapat ditentukan dengan aturan sebagai berikut:

  Q (x) Teorema (Aturan Faktor Linier) m

  

Untuk setiap faktor dalam bentuk , dekomposisi

  (ax + b)

  

pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan

parsial: A A A

  1 2 m

• . . . + +

  2 m ax

• b (ax + b) (ax + b) dengan A , A , . . . , A konstanta yang ditentukan.

  1 2 m Faktor-faktor Kuadratik

  Jika beberapa faktor Q (x) adalah kuadratik yang tidak dapat disederhanakan lagi, maka kontribusi faktor-faktor itu pada

  P (x)

  dekomposisi pecahan parsial dapat ditentukan dengan

  Q (x)

  aturan sebagai berikut:

  Teorema (Aturan Faktor Kuadratik) 2 m

  

Untuk setiap faktor dalam bentuk (ax + bx + c) , dekomposisi

pecahan rasional mengandung jumlahan dari m pecahan parsial:
• B + B + B

  A 1 x

  1 A 2 x

• + . . . + +

  2

  2

  2 2 m ax + bx + c (ax + bx + c) (ax + bx + c)

  , , . . . , , , , . . . , dengan A

  1 A

  2 A m B

  1 B 2 B m konstanta yang ditentukan. Integral yang mencakup pangkat rasional

  Integral yang mengandung pangkat rasional x seringkali dapat disederhanakan dengan substitusi _{n 1}

  

u

  = x dengan n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut dalam pangkat. Tujuan dari substitusi ini adalah untuk mengganti pangkat-pangkat pecahan dengan pangkat bilangan bulat, yang lebih mudah untuk dikerjakan. Contoh: _Z √

  

x

dx

  √ ₃ 1 x

• Jawab:
_{6 1} Digunakan subsitusi u karena 6 adalah KPK dari 2 dan 3. = x

  √

  6

  5 Sehingga didapat x dan dx du. Untuk x, ₁ = u = 6u ₁

  √ √ √ _{3 3 6}

  3

  3 ₆

  2

  2 x , sedangkan untuk x, x .

  = (x ) = u = (x ) = u Sehingga _{Z Z} √

  3 x u

  

5

dx 6u du

  = √ ₃

  2

  1

• 1 x + u _Z

  8

  6u

  du

  =

  1 + u

  6

  6

  4

  2

  6u du = + 6u

  − 6u − 6 +

  2

  1

• u _p

  6

  6

  7

  5

  3

  2 u u

  1 = + 2u + u

  − − 6u + ln |u + | + C

  7 ₁

  5 _{1 1 1}

  6

  6 ₆

  7 ₆

  5 ₆

  3 ₆ = (x ) (x ) + 2(x ) ) + . . .

  − − 6(x

  7

  5 _{1 q 1 6 6}

  2

  ln

  1 ) + + (x )

  |(x | + C

  

Integral yang memuat fungsi-fungsi rasional dalam

sin x dan cos x

  Fungsi yang terdiri dari beberapa jumlahan, selisih, hasilkali, dan hasilbagi berhingga dari sin x dan cos x Contoh:

  2

  5

  sin x x sin x 3 sin x

• 3 cos

  , ,

  2

  cos x 1 x

  1

• 4 sin x + 4 sin x
• cos x − cos
Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu

  Z

  dv v du

  = uv − Integral diatas dimungkinkan untuk memindahkan pengintegralan u dv pada pengintegralan v du yang tergantung pada pemilihan u dan dv yang tepat. Pengintegralan Parsial Integral Tentu

  Z Z

  b b b u dv v du

  = [uv ]

  a − a a