INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR
DAFTAR ISI
Halaman
KelompokMatematika
PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno RuangTopologi , , , ,
7-14 Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN 15-
21 FazrieMulia , Wamiliana , dan Fitriani REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-
27 Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-
33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL) Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-
37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN
38-
41 Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-
44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI
45-
47 Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN
48-
53 Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-
56 PENGGERAK DINAMO Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno
INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR
57-
63
ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAF WRAPPED BUTTERFLY NETWORKS DAN GRAF 64-71
CYCLIC-CUBES
Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani Ring Armendariz
72-
77 Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani PERKALIAN DAN AKAR KUADRAT UNTUK OPERATOR SELF-ADJOINT 78-
81 Yuli Kartika, Muslim Ansori, Fitriani
Kelompok Statistika
T-STUDENT GENERALIZED LAMBDA
APROKSIMASI DISTRIBUSI TERHADAP 82-85
DISTRIBUTION
(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109
EXPECTATION MAXIMIZATION
( ) Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGAN CROSS-OVER 116- 121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122- 126 ZILLMER DAN ILLINOIS Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti
ONE-STAGE TWO-STAGE CLUSTER SAMPLING
KAJIAN RELATIF BIASMETODE DAN 127-130
Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV Tika Wahyuni, Netti Herawati dan Eri Setiawan
PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA 137- 140
DISTRIBUTION
(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari
Kelompok Kimia
TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141- 147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO 2 ) EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148- 153 KALSIUM KARBONAT (CaCO ) DENGAN METODE UNSEEDED EXPERIMENT , 3 Miftasani Suharso dan Buhani
EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154- 160 KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO , 3 ) DENGAN METODE SEEDED EXPERIMENT PutriFebriani Puspita Suharso dan Buhani
IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI ( Dalium indum) 161- 168 SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak TransesterifikasiMinyakSawitdenganMetanoldanKatalisHeterogenBerbasis 169- 175 SilikaSekamPadi(TiO 2 /SiO 2 ) Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176- 182
DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASI PLASTICIZER DALAM 183- 190 SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJI BIODEGRADABLE DENGAN METODE FISIK Yesti Harryzona dan Yuli Darni
KelompokFisika
Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191- 195
Bending Dan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140
Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo
PengaruhKadarCaCO terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196- 3 201 denganDopingPb (BPSCCO-2212) Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka Variasi Kadar CaCO 3 dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202- 207 Doping Pb (BPSCCO-2223) Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO 3 208- 212 Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO dengan Metode 213- 2
218 Pelapisan Celup Dian Yulia Sari dan Posman Manurung Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219- 225 Aluminosilikat 3Al 2 O 3 .2SiO 2 Berbahan Dasar Silika Sekam Padi
Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226- 230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung Uji Fotokatalis Bahan TiO yang ditambahdengan SiO padaZatWarnaMetilenBiru 231- 2 2
236 Violina Sitorus dan Posman Manurung KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B 2 O 3 -SiO 2 BERBASIS 237-
241 SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242- 247 MIKROKONTROLER ATMega8535 Prawoto, Arif Surtono, dan Gurum Ahmad Pauzi ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248- 250 MENGGUNAKAN METODE GPR ( Ground Penetrating Radar ) DAN GEOLISTRIK , R. Wulandari Rustadi dan A. Zaenudin Analisis Fungsionalitas Na2CO3 Berbasis CO2 Hasil Pembakara Tempurung Kelapa 251-256 RizkySastia Ningrum, Simon Sembiring dan Wasinton Simanjuntak
Ruang Topologi , , , , 1 2 3 Anwar Sidik , Muslim Ansori , Amanto 1 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia
2 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia 3 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia
Abstrak
Dalam ruang topologi terdapat sifat yang mengekspresikan seberapa banyak element himpunan yang terlingkupi dalam sebuah himpunan terbuka. Atau dengan lebih khusus lagi, sifat ini menggambarkan seberapa rapat sebuah himpunan bagian tertutup dapat terlingkupi dalam sebuah himpunan terbuka. Ukuran kerapatan inilah yang akan menjadi pemisah antara himpunan bagian satu dengan himpunan bagian yang lain yang disebut aksioma separasi. Yang bila diurutkan berdasarkan angka 0 sampai 4 menunjukkan kenaikan derajat separasinya. Setiap ruang topologi yang memenuhi ke lima aksioma ini akan dibedakan berdasarkan derajat separasinya yaitu , ,
, , yang kemudian memiliki sifat-sifat baru dan terdapat hubungan hereditary dalam tiap tingkatan separasinya. Kata kunci: topologi, ruang topologi, aksioma separasi.
1. Pendahuluan Himpunan dengan metrik disebut ruang
metrik dan dinotasikan dengan . Fungsi Konsep ruang topologi dibangun berdasarkan disebut jarak antara dan . konsep kekonvergenan pada bidang Euclidean yang diperluas menjadi ruang metrik. Dari
2.2 Persekitaran Bola
konsep ruang metrik ini kemudian Himpunan convex dikembangkan definisi ruang topologi. Walaupun didasarkan pada konsep kekonvergenan, ruang disebut bola terbuka dengan jari-jari dan titik topologi secara praktis didefinisikan pusat . berdasarkan konsep himpunan terbuka, persekitaran dan closure, yang secara
2.3 Himpunan Terbuka mendasar mewakili sifat kekonvergenan.
Diberikan merupakan ruang metrik. Himpunan bagian dikatakan terbuka, jika
Dalam penelitian ini penulis akan memaparkan setiap , terdapat bola sedemikian definisi dan teorema-teorema yang membangun hingga ruang topologi , , , , dan sifat-sifat . yang saling mempengaruhi masing-masing tingkatan separasinya.
2. Landasan Teori
2.4 Himpunan Tertutup
Diberikan ruang metrik. Himpunan bagian
2.1 Ruang Metrik
dari dikatakan tertutup di ketika Diberikan sebuah himpunan. Fungsi komplemen adalah himpunan terbuka di
. dikatakan sebagai metrik pada jika untuk
2.5 Topologi
setiap Diberikan merupakan himpunan tak-nol dan 1. . adalah topologi di , jika dan hanya jika 2. jika hanya jika .
1. 3. .
2. dan
3. Jika , maka , atau Diberikan . Titik adherent ke , jika setiap anggota irisan terbatas dari untuk setiap juga merupakan anggota dari .
4. Setiap gabungan dari anggota juga
2.8 Closure Himpunan merupakan anggota .
Closure , dinotasikan dengan , adalah himpunan dari semua titik di adherent ke .
Sifat-Sifat Topologi
1. Irisan dari sebarang kumpulan topologi dari adalah juga merupakan topologi
2.9 Himpunan Tertutup di .
Himpunan dikatakan tertutup jika
2. Gabungan dari topologi belum tentu adalah himpunan terbuka. sebuah topologi.
1. Jika , maka Bukti :
1. Diberikan merupaka kumpulan 2. topologi di .
Jika tertutup, maka terbuka. Setiap memiliki persekitaran , Karena itu sedemikian hingga
Misalkan , dan
Dari persamaan (4) dan (2), diperoleh . Karena , setiap memiliki , sedemikian hingga
Andaikan adalah kumpulan dari himpuan sedemikian hingga Karena itu, terbuka untuk tertutup.
3. Hasil dan Pembahasan
4.1. Ruang-
Oleh karena itu jika adalah
Definisi 4.1.1 Ruang- (Milewski)
kumpulan dari topologi pada maka adalah topologi di .
Ruang dikatakan sebagai ruang , jika untuk dua element berbeda , terdapat
2. Diberikan himpunan persekitaran paling sedikit satu. Yang tidak berisi yang lainnya. dan dua topologi di
Contoh 4.1.1 dan Diberikan . Tunjukkan bahwa merupakan ruang- menggunakan konsep kemudian topologi indiskrit.
Solusi: bukan topologi karena Dalam topologi indiskrit, , tidak dapat membagi 0 dari 1 atau 1 dari 0.
Diketahui himpunan dengan topologi
2.6 Ruang Topologi
. Sehingga, untuk dua titik 0 dan 1, Diberikan berisi himpunan dan topologi terdapat himpunan terbuka {0}, sedemikian di disebut ruang topologi. hingga tetapi
2.7 Titik Adherent
Oleh karena itu, adalah ruang- . Perlu dicatat bahwa setiap ruang metrik adalah ruang- . Contoh 4.1.2 Tunjukkan bahwa ruang pseudometrik bukan merupakan ruang- ? Solusi: Pseudometrik di adalah fungsi , sedemikian hingga
Karena itu , maka . Oleh karena itu maka terbuka dan tertutup.
Bukti:
Teorema 4.2.3 Setiap ruang- terbatas adalah ruang diskrit.
Karena itu dengan definisi himpunan bagian, adalah himpunan terbuka . Karena itu juga merupakan ruang- .
Bukti: Diberikan ruang- dan adalah himpunan bagian dari . Akan ditunjukkan bahwa setiap himpunan bagian singleton dari adalah himpunan tertutup atau dengan cara lain, bahwa adalah himpunan terbuka . Karena adalah ruang- , adalah - terbuka. Namun
Teorema 4.2.2 Setiap himpunan bagian dari ruang- juga merupakan ruang- .
Sebaliknya, andaikan tertutup untuk setiap . Misalkan dengan . Karena himpunan terbuka memuat namun tidak memuat . Dengan cara yang sama adalah himpunan terbuka yang memuat namun tidak memuat . Oleh karena itu, adalah ruang- . Dengan jelas diketahui bahwa setiap ruang- adalah ruang- . Namun, himpunan dengan topologi yang mengandung himpunan terbuka , dan adalah ruang- yang bukan ruang- .
ruang- . Jika dan hanya jika setiap element tunggal himpunan bagian tertutup. Bukti: Misalkan merupakan ruang- dan . Akan ditunjukkan bahwa terbuka. Misalkan maka , berdasarkan axioma himpunan terbuka sedemikian hingga dan
1.
Teorema 4.2.2 Ruang topologi disebut
Berdasarkan definisi, jelas bahwa sebarang ruang- juga merupakan ruang- .
. Himpunan terbuka dan tidak selalu saling lepas. Contoh: Setiap ruang metrik merupakan ruang- , dengan membuktikan bahwa setiap himpunan bagian terbatasnya tertutup. Diketahui bahwa, dalam ruang metrik , kondisi dari sebuah himpunan tertutup. Dapat di ditampilkan oleh implikasi Jadi, setiap ruang metrik adalah ruang- Ada juga ruang topologi yang bukan merupakan ruang- . Sebagai contoh ruang , memuat dua titik dengan topologi , bukan merupakan ruang- . Telah diperlihatkan sebelumnya bahwa setiap ruang metrik dapat dinilai sebagai ruang topologi.
Ruang topologi disebut sebagai ruang- jika untuk setiap dua titik berbeda , masing- masing termuat dalam himpunan terbuka yang tidak saling memuat satu sama lain. Atau dengan kata lain, terdapat persekitaran dari dan dari sedemikian hinga dan
Sebarang persekitaran memuat dan sebarang persekitaran memuat . Oleh karena itu, ruang pseudometrik bukan ruang- . Titik saling unik, namun karena itu, tidak dapat dipisahkan.
2. Untuk setiap . Jadi, memungkinkan untuk dua titik yang tak sama .
4.2 Ruang- Definisi 4.2.1 Ruang-
Diberikan merupakan sebarang himpunan terbatas dan adalah topologi di . Sedemikian hingga adalah ruang- . Ruang adalah , jika dan hanya jika setiap satu titik himpunan bagian dari tertutup. Karena gabungan dua himpunan bagian tertutup adalah tertutup. Dapat disimpulkan bahwa seluruh himpunan bagian dari tertutup. Untuk itu, seluruh himpunan bagian terbuka dan merupakan topologi diskrit.
Bukti: Akan ditunjukkan bahwa ruang- adalah ruang-
Sedemikian hingga dua sifat di bawah ini ekuivalen. 1. adalah titik akumulasi dari .
2. Setiap himpunan terbuka yang memuat memuat takterbatas titik di . Bukti: 1.
2 Misalkan adalah titik akumulasi , dan adalah himpunan terbuka , memuat hanya nilai terbatas dari titik yang berbeda dari . Kemudian adalah himpunan bagian terbatas dari ruang-
, karena itu, himpunan ini tertutup dan terbuka. Diberikan . Maka terbuka, dan tidak memuat titik yang berbeda dari . Karena itu, bukan merupakan titik akumulasi dari .
2.
1 Berdasarkan pada definisi titik akumulasi.
. Misalkan adalah ruang- . Diberikan dan untuk setiap , Terdapat himpunan terbuka , sedemikian hingga dan , jadi dan adalah himpunan terbuka sebagai sebuah gabungan kumpulan dari himpunan terbuka . Karena itu, tertutup dan adalah ruang- . Akan ditunjukkan juga bahwa terdapat ruang- yang bukan merupakan ruang- . Diberikan himpunan , memuat 0 dan seluruh titik , untuk Didefinisikan topologi pada : himpunan yang memuat 1 terbuka, jika dan hanya jika merupakan komplemen dari himpunan terbatas. Himpunan yang tidak memuat titik 1 terbuka, jika merka terbuka dalam hal topologi bilangan real. Karena itu, setiap himpunan yang memuat 0 adalah tak terbatas. Oleh karena itu, titik 0 dan 1 tidak dapat dipisahkan oleh dua himpunan terbuka yang saling bebas. Maka merupakan ruang- namun bukan ruang- .
Teorema 4.2.4 merupakan ruang- .
Diketahui bola terbuka dan , berpusat di dan . Akan ditunjukkan bahwa dan saling lepas.
Jika , maka dan ; karena itu menggunakan pertaksamaan segitiga diperoleh
Namun hasil ini kontradiktif dengan pernyataan bahwa . Karena itu dan saling lepas. Contoh dan termuat secara berurutan pada bola terbuka dan yang saling lepas. Jadi, merupakan ruang- .
Teorema 4.3.1 Setiap ruang- adalah ruang- .
4.3 Ruang- Definisi 4.3.1 Ruang-
Ruang topologi disebut ruang- atau ruang Hausdorff jika untuk setiap dua titik berbeda
Teorema 4.3.2 Himpunan dengan order
topologi merupakan ruang-
. Terdapat persekitaran dari dan dari sedemikian hingga . Contoh: Setiap ruang metrik merupakan ruang- . Diberikan , diketahui bahwa . Bukti: Diberikan mewakili sebarang himpunan terurut oleh . Diberikan S mewakili kumpulan himpunan bagian dalam bentuk atau Untuk semua . membentuk subbasis untuk topologi di , disebut topologi terurut terinduksi oleh <. Akan ditunjukkan bahwa adalah ruang- .
Diberikan mewakili dua titik berbeda. Karena terurut sempurna, dari dapa atau . Misalkan . Maka terdapat dua kemungkinan:
1. Sebuah element ada, sedemikian hingga maka dan Secara berurutan merupakan persekitaran saling bebas dari dan .
2. Tidak ada , sedemikian hingga maka dan
Secara berurutan merupakan persekitaran saling bebas dari dan .
Teorema 4.3.3 jika ruang- dengan
himpunan bagian terbatas dari maka tertutup. Bukti: Diberikan . Akan ditunjukkan bahwa tertutup. Diberikan Kemudian terdapat persekitaran dari , sedemikian hingga Karena itu, dan himpunan terbuka. Jadi, tertutup. Sebarang himpunan bagian ruang Hausdorff tertutup.
Teorema 4.3.4 Jika ruang- , terdapat
, dengan titik cluster dan adalah persekitaran di maka tak terbatas. Bukti: Misalkan, kebalikannya bahwa terbatas. Maka tertutup. Karena itu terbuka, tetapi Maka adalah persekitaran dari . Karena adalah titik cluster dari , maka dan merupakan kontradiksi.
Teorema 4.3.5 Jika merupakan ruang-
maka setiap deret konvergen di memiliki limit unik. Bukti: Diberikan merupakan deret konvergen dengan dua limit , , dimana . Karena ruang- , terdapat himpunan terbuka dan , sedemikian hingga
, , konvergen ke . Maka . demikian juga dengan . Dimana himpunan dan saling bebas. Maka kontradiksi. Oleh karena itu, .
4.4 Ruang Regular Definisi 4.4.1 Ruang Regular
Ruang topologi dikatakan regular jika terdapat himpunan bagian tertutup dan sebarang titik , sedemikian hingga , terdapat himpunan terbuka dan , sedemikian hingga
, , dan Contoh 4.4.1: Diberikan topologi pada himpunan . Diketahui himpunan bagian tertutup dari adalah dan maka memenuhi definisi ruang regular. Disisi lain, bukan merupakan ruang- hingga terdapat himpunan terbatas misalnya yang tidak tertutup.
Teorema 4.4.1 Setiap himpunan bagian ruang regular juga merupakan ruang regular.
Bukti: Diberikan ruang regular dengan sebagai himpunan bagiannya. Diberikan dan mewakili himpunan tertutup dari , sedemikian hingga . Diketahui bahwa jika tidak termuat di closure dari maka tidak termuat di closure dari . Sehingga Dimana adalah closure dari . Ruang regular. Terdapat dua himpunan terbuka dan
, sedemikian hingga , , . Namun dan adalah himpunan terbuka dari . karena dan . Himpunan dan saling lepas karena . Juga karena dan . Maka, juga regular.
Teorema 4.4.2 Ruang- regular jika dan
hanya jika untuk setiap persekitaran terbuka dari setia titik pada , terdapat himpunan terbuka sedemikian hingga Bukti: Diberikan adalah ruang- . Diketahui titik dan himpunan tertutup sedemikian hingga
, maka adalah persekitaran terbuka dari . Oleh karena itu dapat dipilih sebuah himpunan terbuka sedemikian hingga Maka dan adalah himpunan terbuka yang memenuhi definisi 4.5, karena itu regular. Dan sebaliknya, diberikan regular dan adalah persekitran terbuka dari titik dari . Maka terdapat himpunan terbuka dan sedemikian hingga
, , Karena itu , yang berimplikasi Karena tertutup. Maka memenuhi kondisi yang diinginkan.
Bukti: Diberikan menotasikan sebuah ruang- . Akan ditunjukkan bahwa juga merupakan ruang Hausdorff.
Diberikan . Ruang adalah ruang- , oleh karena itu, himpunan tertutup. Karena dan saling beda Karena adalah ruang regular, terdapat dua himpunan terbuka disjoint dan , sedemikian hingga dan Karena itu, dan termasuk dalam dua himpunan terbuka disjoint dan . Sehingga adalah ruang Hausdorff (ruang- ). Berikut ini beberapa sifat ruang- :
Teorema 4.5.1 Sebarang ruang metrik adalah ruang- .
Bukti: Diberikan dinotasikan sebagai ruang metrik dan mewakili sebarang persekitaran
. Terdapat persekitaran bola , sedemikian hingga digunakan sebarang nilai maka dan Karena itu, untuk sebarang dan sebarang persekitaran dari , terdapat persekitaran dari . Sedemikian hingga
Dapat disimpulkan bahwa regular. Karena juga merupakan , sehingga sebarang ruang metrik juga merupakan ruang- .
Teorema 4.5.2 Setiap himpunan bagian dari ruang- juga merupakan ruang- .
Bukti: Diberikan menotasikan himpunan bagian dari ruang- . Diberikan tertutup di dan dan Karena tertutup di .
4.5 Definisi Ruang- Ruang- yang bersifat regular disebut ruang- .
Dimana adalah himpunan bagian tertutup dari . Maka . Ruang bersifat regular, karena itu, terdapat himpunan terbuka dan , sedemikian sehingga Karena itu, ruang regular. Karena adalah himpunan bagian dari ruang- , juga merupakan . Oleh karena itu, adalah regular dan merupakan ruang- , contohnya ruang- .
4.6 Ruang Normal Definisi 4.6.1 Ruang Normal
4.7 Ruang- Definisi 4.7.1 Ruang-
, ,
, dan . Maka
dari ruang- , maka sub ruang juga merupakan ruang- . Bukti: Setiap sub ruang dari ruang- adalah dan juga , maka juga merupakan ruang- . Karena tertutup, himpunan bagian pada tertutup di , jika dan hanya jika tertutup di . Karena itu, jika dan himpunan bagian yang tertutup dan saling lepas, maka juga akan tertutup dan saling lepas di . Sehingga terdapat himpunan terbuka dan , sedemikian hingga
Teorema 4.7.2 Jika adalah himpunan tertutup
. Karena adalah , himpunan singleton tertutup. Himpunan dan tertutup dan disjoint. Karena adalah normal, himpunan terbuka dan ada, sedemikian hingga Untuk itu regular dan .
Bukti: Diberikan menotasikan ruang- . Berdasarkan definisi, normal dan . Misalkan himpunan bagian tertutup dari dan
Teorema 4.7.1 Setiap ruang- juga merupakan ruang- .
Ruang normal yang juga merupakan ruang- disebut ruang- .
Ruang topologi dikatakan normal jika , diberikan sebarang dua himpunan disjoint tertutup dan dari , terdapat himpuanan terbuka disjoint dan , sedemikian hingga dan
Contoh 4.6.1: Sebarang ruang , memuat lebih dari satu titik pada topologi indiskrit adalah ruang normal.
Himpunan tertutup, karena itu, dapat disimpulkan diberikan dan menotasikan himpuanan tertutup. Maka dan terbuka. Terdapat himpuanan terbuka, sedemikian hingga Tetapi, karena , akan dieperoleh
, diperolah dan karena itu, , diperoleh
Diberikan dinotasikan sebagai ruang normal. mewakili sebuah himpunan tertutup dan sebuah himpuanan terbuka, sedemikian hingga Himpuanan tertutup dan dan adalah dua himpuanan tertutup disjoint. Karena itu, himpunan terbuka dan ada, sedemikian hingga Maka
normal jika dan hanya jika, untuk setiap himpunan tertutup dan setiap himpunan terbuka memuat , terdapat himpuanan terbuka , sedemikian hingga Bukti:
Teorema 4.6.1 Sebuah ruang topologi
Sehingga, tidak ada himpunan bagian disjoint tak-kosong dari . Maka ruang ini normal.
. Karena itu, hanya terdapat himpunan tertutup dan karena dan .
Dalam topologi indiskrit terdapat dua himpunan dan .
. Juga kerena , diperoleh Jadi, karena terbuka dan dimana dan adalah himpunan terbuka. Dan dan himpunan bagian saling
7. Setiap ruang- juga merupakan ruang- lepas dari , terbuka di . Karena . memenuhi dan normal, maka juga merupakan
5. Saran ruang- .
Oleh karena prosiding ini hanya membahas hingga topologi ruang- maka perlu ada pembahasan untuk ruang-ruang topologi lain
Sifat Hereditary Ruang-
seperti ruang Tychonoff yang merupakan pengembangan dari ruang regular dan regular Jika merupakan himpunan bagian tertutup dari ruang- , Maka himpunan bagian lengkap. juga merupakan ruang- .
Bukti:
6. Daftar Pustaka
Karena setiap himpunan bagian dari ruang- adalah dan juga merupakan , Milewski, Emil G. 1994. The Topology Problem adalah ruang- . Karena tertutup, himpunan
Solver. Research and Education
bagian dari tertutup di , jika dan hanya jika Association. New jersey. tertutup di . Karena itu, jika dan himpunan bagian disjoint tertutup, maka juga
Munkres, J. 2000. Topology Second Edition. merupakan himpunan tertutup disjoint dari .
Prentice Hall. New Jersey Jadi, himpunan terbuka dari dan ada, sedemikian hingga
Nagata, Jun-Iti. 1968. Modern General dan
Topology. Elsevier Science Publishers.
Jadi Netherlands. dan dan himpunan bagian disjoint
Willard, S. 1970. General Topology. Addison- dari , terbuka di . Karena adalah Wesley. Alberta. dan normal, dan merupakan .
4. Simpulan
Berdasarkan pada pembahasan pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Setiap ruang metrik merupakan ruang- .
2. Setiap ruang metrik merupakan ruang- sehingga ruang- juga merupakan ruang- .
3. Setiap ruang- merupakan ruang- .
4. Jika diketahui ruang- dan himpunan bagian terbatas dari maka tertutup.
5. Jika diketahui ruang- , , adalah titik cluster dari , adalah persekitaran dari maka takterbatas.
6. Setiap ruang- merupakan ruang- sehingga ruang- juga merupakan ruang- , dan .