INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR
DAFTAR ISI
Halaman
KelompokMatematika
PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno RuangTopologi , , , ,
7-14 Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN 15-21 Fazrie Mulia , Wamiliana , dan Fitriani REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-27 Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL) Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN
38-41 Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI
45-47 Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN 48-53 Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56 PENGGERAK DINAMO Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno
INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR
57-63 Pita Rini, Dorrah Aziz, dan Amanto
ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAF WRAPPED BUTTERFLY NETWORKS DAN GRAF 64-71
CYCLIC-CUBES
Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani Ring Armendariz
72-77 Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani PERKALIAN DAN AKAR KUADRAT UNTUK OPERATOR SELF-ADJOINT 78-81 Yuli Kartika, Muslim Ansori, Fitriani
Kelompok Statistika
APROKSIMASI DISTRIBUSI T-STUDENT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA 82-85
DISTRIBUTION (GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAP GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109 ( EXPECTATION MAXIMIZATION ) Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGAN CROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK 122-126 METODE ZILLMER DAN ILLINOIS Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti KAJIAN RELATIF BIASMETODE ONE-STAGE DAN TWO-STAGE CLUSTER SAMPLING 127-130 Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV Tika Wahyuni, Netti Herawati dan Eri Setiawan PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAP GENERALIZED LAMBDA 137-140
DISTRIBUTION (GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari
Kelompok Kimia
TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO
2 )
EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153 KALSIUM KARBONAT (CaCO
3 ) DENGAN METODE UNSEEDED EXPERIMENT ,
Miftasani Suharso dan Buhani EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160 KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO
3 ) DENGAN METODE SEEDED EXPERIMENT ,
PutriFebriani Puspita Suharso dan Buhani
IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI ( Dalium indum) 161-168 SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak TransesterifikasiMinyakSawitdenganMetanoldanKatalisHeterogenBerbasis 169-175 SilikaSekamPadi(TiO
2 /SiO 2 )
Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182
DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASI PLASTICIZER DALAM 183-190 SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJI BIODEGRADABLE DENGAN METODE FISIK Yesti Harryzona dan Yuli Darni
KelompokFisika
Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195
Bending
Dan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140 Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo PengaruhKadarCaCO
3 terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196-201
denganDopingPb (BPSCCO-2212) Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka Variasi Kadar CaCO
3 dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202-207
Doping Pb (BPSCCO-2223) Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO 208-
3
212 Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO
2 dengan Metode 213-218
Pelapisan Celup Dian Yulia Sari dan Posman Manurung
Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225 Aluminosilikat 3Al
2 O 3 .2SiO
2 Berbahan Dasar Silika Sekam Padi
Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung Uji Fotokatalis Bahan TiO
2 yang ditambahdengan SiO 2 padaZatWarnaMetilenBiru 231- 236
Violina Sitorus dan Posman Manurung KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B
2 O 3 -SiO
2 BERBASIS 237-241
SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI
Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring
RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247
MIKROKONTROLER ATMega8535 Prawoto, Arif Surtono, dan Gurum Ahmad Pauzi
ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250
Ground Penetrating Radar
MENGGUNAKAN METODE GPR ( ) DAN GEOLISTRIK
,
R. Wulandari Rustadi dan A. Zaenudin Analisis Fungsionalitas Na2CO3 Berbasis CO2 Hasil Pembakara Tempurung Kelapa 251-256 RizkySastia Ningrum, Simon Sembiring dan Wasinton Simanjuntak
REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN Herlisa Anggraini
∈ Y disebut opera Seperti telah diketahui, teori operator muncul setelah dikenal adanya ruang vektor (ruang linier). Operator linier merupakan fungsi linier dari ruang linier ke ruang linier. Jenis operator yang banyak dikaji saat ini antara lain operator Hilbert-Schmidt. Operator ini berkaitan dengan mekanika kuantum [1]. dan statistika yang terkait dengan reproducing kernel [5]. Melihat sifat dan aplikasinya maka peneliti tertarik untuk mengetahui representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan.
ห
ଶ ǡ
, sehingga A terdefinisi sebagai operator Hilbert-Schmidt. Kata kunci: Operator Hilbert-Schmidt, ruang barisan.
Salah satu cabang ilmu dalam matematika adalah analisis fungsional. Dalam analisis fungsional ada banyak topik yang mengacu pada ruang, misal ruang Hilbert, dalam ruang Hilbert ada beberapa konsep dasar yang perlu diketahui terlebih dahulu yaitu ruang vektor, ruang metrik, ruang bernorma, ruang Banach dan ruang pre-Hilbert. Ruang bernorma merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu norma. Ruang bernorma yang sudah lazim dibicarakan yaitu ruang bernorma yang dilengkapi inner
product (hasil kali dalam). Ruang hasil kali
dalam yang bersifat lengkap disebut sebagai ruang Hilbert ℋ.
Pembicaraan di dalam analisis fungsional ini tidak terlepas dari teori operator. Operator yang dimaksud yaitu operator linier. Misalkan
X dan Y masing – masing adalah ruang
bernorm. Suatu pemetaan T yang mengaitkan setiap unsur pada domain
∈ X dengan unsur tunggal
y
2. Ruang vektor
1 , Muslim Ansori
Berikut akan diberikan beberapa definisi dan teorema dasar yang diperlukan untuk pembahasan selanjutnya.
Definisi 2.1. [3] Diketahui
( ࣰǡ ) grup komutatif dan (
ℱ, ⨁, . ) lapangan dengan elemen identitas 1.
ࣰ disebut ruang vektor (vector space) atas
ℱ jika ada operasi luar * antara keduanya sehingga untuk setiap ݔ א
ࣰdan ߙ א ࣠ menentukan dengan tunggal ߙ כ ݔ א ࣰ yang memenuhi sifat – sifat : (i)
ߙ כ (ݔ ݕ) ൌ ߙ כ ݔ ߙ כ ݕ, (ii)
( ߙ ۩ ߚ) כ ݔ ൌ ߙ כ ݔ ߚ כ ݔ,
(iii) ( ߙǤ ߚ) כ ݔ ൌ ߙ כ (ߚ כ ݔ), (iv)
ͳ כ ݔ ൌ ݔ, untuk setiap ݔǡ ݕ א ࣰ dan ߙǡ ߚ א ࣠.
Fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lain yang banyak digunakan dan mudah dalam memahaminya adalah fungsi linear, yaitu fungsi yang bersifat aditif dan homogen.
= ∑ หܽ
ଶ
‖ܣሺ݁
2 , Amanto
2 Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Lampung, Bandar Lampung, Indonesia
1 Dosen Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Lampung, Bandar Lampung, Indonesia
2 ABSTRAK
Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap (setiap barisan Cauchy didalamnya konvergen). Suatu operator linier
ܣǣ ܪ ՜ ܪ dinamakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal {
݁
} pada ܪ sehingga ‖ܣ‖
ுௌ
= (∑
‖
) ‖
ଶ ∞ ୀଵ
)
భ మ
< ∞. Pendefinisian tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis ortonormal di
ܪ. Pada penelitian kali ini, akan menunjukkan representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan diperoleh dengan mengubah
ܣǣ ܪ ՜ ܪ menjadi ܣǣ ℓ
ଶ
→ ℓ
ଶ
. Hasil penelitian dan pembahasan menunjukkan ∑ ‖ܣ݁
1. Pendahuluan
D(T)
⟨ߙईǡ उ⟩ ൌ ߙ⟨ईǡ उ⟩, (I3)
(ii) Ruang linier ℋ yang dilengkapi dengan suatu inner-product disebut ruang pre-
ℋ × ℋ → ∁ dengan rumus (
ईǡ उሻ א ൈ ՜ ⟨ईǡ उ⟩ ∈ ∁ yang memenuhi sifat-sifat
(I1) ⟨ईǡ उ⟩ = ⟨उǡ ई⟩
തതതതതതതത, (I2)
Definisi 2.2. [3] Diberikan dua ruang vektor
⟨ईǡ उǡ ऊ⟩ = ⟨ईǡ ऊ⟩ + ⟨उǡ ऊ⟩, Untuk setiap
ईǡ उǡ ऊ א dan skalar ߙ, (I4)
⟨ईǡ ई⟩ > 0 jika dan hanya jika ई ് ࣂ (
ࣂ vektor nol), disebut inner-product atau
dot product, atau scalar product pada ℋ.
Hilbert (pre-Hilbert space) atau ruang
Definisi 2.8. [3] Diketahui
inner-product (inner-product space)
ु(ܶ) dan Ըሺܶሻ berada pada ruang vektor atas lapangan yang sama.
1.
ܶ dengan daerah asal ुሺܶሻ dan daerah hasil Ըሺܶሻ adalah suatu operator linear jika memenuhi:
Definisi 2.3. [3] Suatu pemetaan
ݔ א ࣰ.
(ii) ݂ fungsi homogen (homogeneous) ݂(ߙݔ) ൌ ߙ݂(ݔ) untuk setiap ߙ dan vektor
݂(ݔ ݕ) ൌ ݂(ݔ) ݂(ݕ) untuk setiap ݔǡ ݕ א ࣰ, dan
݂ǣ ࣰ ՜ ࣱ disebut fungsi linear jika (i) ݂ fungsi aditif (additive)
ࣰ dan ࣱ, masing – masing atas lapangan ℱ yang sama. Fungsi
ℋ ruang linier (i) Fungsi
2. Untuk semua
- – masing ruang vektor (atas lapangan yang sama), dim(
∗
݁ Barisan {
∞ ୀଵ
} sehingga ݔ ൌ ߙ
ܪ jika untuk setiap vektor ݔ א ܪ terdapat barisan skalar yang tunggal { ߙ
} ؿ ܪ dinamakan basis pada
Barisan vektor { ݁
). Hal ini dimaksudkan agar mempermudah dalam penulisan dan penjelasan sifat – sifat pada ruang H.
( ݔǡ ݔ
∗
( ݔ) selanjutnya ditulis
∗
ൌ ܪ dan ݔ א ܪ, ݔ
∗
א ܪ
∗
Untuk sebarang ݔ
merupakan koleksi semua fungsional linier kontinu pada ܪ.
∗
݁
} ؿ ܪ dengan ‖݁
merupakan ruang ܪ itu sendiri. Ruang
dengan ߜ
} basis pada H, maka untuk setiap ݔ א ܪ ada barisan
} ൟ disebut sistem biortonormal pada H. Jika { ݁
∗
}, { ݁
Selanjutnya, pasangan ൛{݁
= 0 untuk ݉ ് ݊.
= 1 untuk ݉ ൌ ݊ dan ߜ
∗
) ൌ ߜ
∗
ǡ ݁
( ݁
} ؿ ܪ jika
݁
‖ = 1 untuk setiap n dikatakan biortonormal terhadap basis {
ܪ
ଶଵ
ߚ
ଵ
ई ൌ ࣂ, (ࣂ vektor nol) b.
‖ई‖ ≥ 0, untuk setiap ई א ࣥ ‖ई‖ = 0, jika dan hanya jika
Fungsi ई א ࣥ հ ‖ई‖ ∈ ℛ, yang mempunyai sifat-sifat: a.
Definisi 2.5. [3] Diberikan ruang linier ࣥ.
൲ sebaliknya juga berlaku.
… ߙ
ଶ
ߙ
൲ ൮ ߙ
ࣥ dan bilangan nonnegatif ‖ई‖ disebut norma vektor ई.
ǥ ߚ
ଶ
ߚ
ଵ
… … … … ߚ
ଶ
ǥ ߚ
ଶଶ
‖ߙई‖ = |ߙ|. ‖ई‖, untuk setiap skalar ߙ dan ई א ࣥ c. ‖ई उ‖ ≤ ‖ई‖ + ‖उ‖, untuk setiap ईǡ उ א ࣥ, disebut norma (norm) pada
Ruang linear ࣥ yang dilengkapi dengan suatu norma ‖. ‖ disebut ruang bernorma
Ruang dual ܪ atau ܪ
ܪ ke ruang Hilbert ܪ. Ruang Hilbert H dimaksudkan sebagai ruang Hilbert yang mempunyai basis dan elemen-elemen di dalam ܪ yang dinamakan vektor.
Di dalam subbab ini dikonstruksikan apa yang disebut operator Hilbert-Schmidt dari ruang Hilbert
3. Operator Hilbert Schmidt
ݔǡ ݕ א ुሺܶሻ dan skalar ߙ berlaku ܶ(ݔ ݕ) ൌ ܶ(ݔ) ܶሺݕሻ dan
ܶ(ߙݔ) ൌ ߙܶሺݔሻ.
Teorema 2.4. [3] Diketahui
ࣰ dan ࣱ, masing
ࣰ) ൌ ݊ dan dim(ࣱ) ൌ ݉. Setiap fungsi linear ݂ǣ ࣰ ՜ ࣱ menentukan matriks A berukuran
݉ ൈ ݊: ܣ ൌ (ߚ
) ൌ ൮
(norm space) dan dituliskan singkat dengan ሺࣥǡ ‖. ‖) atau ࣥ saja asalkan normanya telah diketahui.
ߚ
ଵଵ
ߚ
ଵଶ
ǥ ߚ
ଵ
ߚ
Definisi 2.7. [3] Ruang Hilbert (Hilbert Space) adalah ruang pre-Hilbert yang
Definisi 2.6. [3] Ruang Banach (Banach Space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang lengkap).
∗
ݕ ൌ ߙ
) ‖
Definisi 3.2 Suatu operator linier
ܣǣ ܪ ՜ ܪ dinamakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal {
݁
} pada ܪ sehingga
‖ܣ‖
ுௌ
ൌ ൭‖ܣሺ݁
ଶ ∞
ୀଵ
ୀଵ
൱
ଵ ଶ
<
∞
Berdasarkan uraian sebelumnya pendefinisian tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis ortonormal di ܪ. Selanjutnya, notasi
ߨሺܪǡ ܪሻ menyatakan koleksi semua operator-HS dari ܪ ke ܪ. Berdasarkan Definisi 3.2 didapatkan beberapa teorema berikut ini
Teorema 3.3. Jika operator linier
ܣ א ߨሺܪǡ ܪሻ dan ܣ
∗
Berdasarkan sifat-sifat di atas selanjutnya didefinisikan pengertian operator Hilbert- Schmidt sebagai berikut.
ଶ ∞
∗
)‖
ൌ ‖⟨ܣ
∗
( ݀
)⟩‖
ଶ ∞
ୀଵ
(3.2) Berdasarkan persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh
‖ܣ(݁
ଶ ∞
)⟩‖
ୀଵ
ൌ ‖⟨ܣ
∗
( ݀
)⟩‖
ଶ ∞
ୀଵ
ൌ ‖⟨ܣ(݀
operator pendamping A maka ‖ܣ
‖
ଶ ∞
൱
ଵ ଶ
ൌ ൭ |ߙ|
ଶ
|⟨ܣ݁ ǡ ݀
⟩|
ଶ ∞
ୀଵ ∞
ୀଵ
ଵ ଶ
ୀଵ
= | ߙ| ൭ |⟨ܣ݁
ǡ ݀
⟩|
ଶ ∞
ୀଵ ∞
ୀଵ
൱
ଵ ଶ
൱
ୀଵ ∞
గ
൭‖ߙܣ(݁
= ‖ܣ‖
గ
Bukti: Sudah dibuktikan pada Teorema 3.1
Teorema 3.4. Jika operator linier
ܣ א ߨሺܪǡ ܪሻ dan ߙ skalar maka‖ߙܣ‖
గ
= | ߙ|‖ܣ‖
గ
Ǣ ߙ skalar
Bukti:
ଶ ∞
)‖
ଶ ∞
ୀଵ
൱
ଵ ଶ
ൌ ൭ |⟨ߙܣ݁
ǡ ݀
⟩|
ୀଵ
)⟩‖
ୀଵ
‖ܣሺ݁
) ‖
ଶ
ൌ ‖ܣ(݀
)‖
ଶ ∞
ୀଵ ∞
Bukti: Karena
‖ܣሺ݁ )
‖
ଶ
= ∑
|⟨ܣ(݁ )
ǡ ݀
⟩|
ଶ ∞ ୀଵ
, maka diperoleh ‖ܣ(݁
} pada H. Jika operator linier ܪ ՜ ܪ maka
} dan { ݀
)‖
) ݁
݁
∞
ୀଵ
Oleh karena itu, jika pasangan ൛{݁
}, { ݁
∗
} ൟ merupakan sistem biortonormal pada H, maka
ݔ ൌ (ݔǡ ݁
∗
∞
ୀଵ
dengan ( ݔǡ ݁
∗
) ൌ ߙ
. Misalkan ܪ ruang
Hilbert dengan norma ∥. ∥= √<∙,∙> diberikan operator linier
ܪ ՜ ܪ.
Teorema 3.1 Diberikan dua basis ortonormal
{ ݁
ଶ
(3.1) Persamaan di atas berlaku untuk sebarang {
ୀଵ ∞
ୀଵ
ൌ ‖⟨ܣ
∗
ሺ݀
) ⟩‖
ଶ ∞
ୀଵ
݁
) ⟩|
} dan { ݀
}. Jadi, jika diambil ݀
ൌ ݁
maka untuk sebarang basis ortonormal { ݀
} berlaku juga ‖⟨ܣ(݀
ଶ ∞
ൌ |⟨ܣ(݁
ǡ ܣ
) ǡ ݀
⟩|
ଶ ∞
ୀଵ ∞
ୀଵ ∞
ୀଵ
ൌ |⟨݁
∗
ሺ݀
ሺ݀
) ⟩|
ଶ ∞
ୀଵ ∞
ୀଵ
ൌ |⟨݁
ǡ ܣ
∗
= | ߙ|‖ܣ‖
Teorema 3.5. Jika atau
ܣǡ ܤ א ߨ ሺܪǡ ܪሻ maka berlaku ∎
‖ܣ‖ ≤ ‖ܣ‖ గ ≤ ‖ܣ‖
- గ గ ‖ܤ‖ గ
‖ܣ ܤ‖
4. Representasi Operator Hilbert Schmidt Bukti: pada Ruang Barisan
Diketahui ܣǡ ܤ א ߨ ሺܪǡ ܪሻ operator ܪ, maka Koleksi semua barisan bilangan dinotasikan
{ } terdapat basis ortonormal pada ݁ ܪ dengan S;
sehingga }
ܵ ൌ ሼݔ ൌ {ݔ ǣ ݔ ∈ ∁}
ଵ ∞
ଶ ଶ
Agar pembicaraan tentang barisan bilangan ) <
ൌ ൬ ‖ ൰ ∞ ‖ܣ‖ గ ‖ܣሺ݁ ு
ୀଵ
lebih terarah, maka diadakan skala pada ܵ. Penskalaan pada ܵ yang banyak dipakai dan adalah dengan cara dibawah ini. Untuk
ଵ setiap bilangan real p dengan
ͳ ∞
∞ ଶ
dibentuk himpunan di dalam
ଶ
ܵ sebagai ) <
ൌ ൬ ‖ ൰ ∞ ‖ܤ‖ గ ‖ܤሺ݁ ு berikut:
ୀଵ ∞
Selanjutnya akan ditentukan
} | <
ℓ ൌ ൝ݔ ൌ {ݔ א ܵǣ |ݔ ∞ൡǤ ଵ
∞ ୀଵ ଶ
ଶ
) ‖
‖ܣ ܤ‖ ൌ ൬ ‖ሺܣ ܤሻሺ݁ ൰
గ ு ୀଵ
Perlu diingat bahwa ܵ, yaitu koleksi semua barisan bilangan, merupakan ruang vektor
ଵ ∞
ଶ
terhadap operasi penjumlahan dan perkalian
ଶ
) ) ൌ ൬ ܤሺ݁ ‖ ൰
‖ሺܣ(݁
ு
scalar. Selanjutnya akan ditunjukkan
ୀଵ
representasi operator Hilbert Schmidt pada Dengan ketidaksamaan segitiga Minkowski ruang barisan. diperoleh
భ ଶ ∞
ଶ Ruang merupakan koleksi barisan
ℓ
మ
) ) ) ) ‖ ‖
- ୀଵ ு ு
≤ ((∑ ‖ܣሺ݁ ‖ܤሺ݁
, … )dengan bilangan ݔ ൌ ሺݔ ǡ ݔ ǡ ݔ
ଵ ଶ ଷ భ భ ଶ ଶ మ మ
) ) ) ) ∞ ‖ ‖
- ு ு ଶ
≤ (∑‖ܣሺ݁ (∑‖ܤሺ݁
| < |ݔ ∞
= ‖ܣ‖ గ ‖ܤ‖
- గ ∎ ୀଵ ଶ
Perkalian dalam atau inner product pada ℓ didefinisikan
Teorema
3.6. Jika
ܣ א ߨ ሺܪǡ ܪሻ maka
∞
berlaku ‖ܣ‖ ≤ ‖ܣ‖ గ
ܽ ǡ ݁ ⟩ ൌ ܽ ǡ ݁ ⟩
⟨݁ ⟨݁
Bukti:
ୀଵ
Karena ܣ א ߨ ሺܪǡ ܪሻ maka untuk setiap {
݁ ǣ ݊ א Գ}.
∞
Misalkan
ଶ
) | ‖ܣ(݁ )‖ ൌ |ܣ(݁ ǡ ݁
ଶ ଶ ୀଵ
, ܣǣ ℓ → ℓ
ଶ ∞
ଶ ∞
| } = { , … ) dan <
ℓ ݔ = (ݔ ǡ ݔ ǡ ݔ ∑ ∞ ଵ ଶ ଷ |ݔ ୀଵ
ଶ ଶ
‖ܣ(݁ )‖ ‖
‖݁
Sehingga
ୀଵ ∞
ଶ
ൌ ‖ܣ(݁ )‖
หܿ
ห
ଶ
|⟨݁
ǡ ݂⟩|
ଶ ǡ
ܥ
ଵ ଶ
ܥ
ଶ ଶ
|⟨݁
ǡ ݂⟩|
ܥ
ଶ
ൌ ܥ
ଵ ଶ
ܥ
ଶ ଶ
‖݂‖
ଶ .
Oleh karena itu, ℓ
ଶ
ൌ ܦ(ܣ) dan ‖ܣ݂‖ ܥ
ଵ
ܥ
ଶ
ଵ ଶ
ଶ .
ܿ
ܥ
ଶ .
Bukti:
Untuk setiap ݂ א κ
ଶ
diperoleh อ ܽ
⟨݁
ǡ ݂⟩
อ
ଶ
ൌ อ ܾ
⟨݁
ൡ
ǡ ݂⟩
อ
ଶ
൝หܾ
ห
ଶ
หܿ
⟨݁
ǡ ݂⟩ห
ଶ
‖݂‖ untuk setiap ݂ א ܦ(ܣ) = ℓ
∎
ܥ
ି
ି1
4
݇
ି1
4
ฬ
2
=
݆
ି1
2
݇
1
2
2 ୀ1
݆
ି1
2
න ݔ
ି1
2
݀ݔ
ൌ ݆
ି1
2
ൣ2√ݔ൧
ൌ ฬ݆
ห
Contoh 2
Matriks ܽ
ൌ ൜݆
ିଵ
݇ ݆ Ͳ ݇ ݆
Diberikan A operator terbatas dan diperoleh ‖ܣ‖ ≤ √6 .
Bukti
Misalkan diambil ܾ
ൌ ܿ
= 0 untuk ݆ ൏ ݇ dan untuk
݇ ݆ ܾ
ൌ ݆
ି1
4
݇
ି1
4
ǡ ܿ
ൌ ݆
ି3
4
݇
1
4 Maka diperoleh
หܾ
ଵ
) dan ‖ܣ‖ ≤
ܽ
… ൪
ஶ ୀଵ
∑ ܽ
ଶ
ݔ
ஶ ୀଵ
∑ ܽ
ଷ
ݔ
ஶ ୀଵ
Maka อ ܽ
ଵ
ݔ
อ
ଶ
อ ܽ
ݔ
อ
ଶ
อ ܽ
ݔ
อ
ݔ
∑ ܽ
ଶ
ଶଶ ܽ ଶଷ
, ℓ
ଶ
ܣ dari ܤሺκ
ଵଵ
ܽ
ଵଶ
ܽ ଵଷ …
ܽ
ଶଵ
ܽ
… ܽ
… ൌ ൦
ଷଵ
⋮ ܽ
ଷଶ
⋮ ܽ
ଷଷ
⋮ … …
ݔ
ଵ
ݔ ଶ ݔ
ଷ
ଶ
- ⋯ Jadi อ ܽ
‖
ଶ ).
ൌ ܾ
Jika ܽ
Contoh 1
|‖ܣ‖| ൌ ܥ. ∎
Karena itu ܣ adalah sebuah operator Hilbert Schmidt, dan
, ℓ
ܿ
ଶ
dan jadi ܣ א ܤሺκ
ଶ
Schmidt. Karena A rapat dan terbatas, diperoleh ܦ(ܣ) ൌ ܦ(ܣ) = ℓ
Oleh karena itu, ܣ adalah operator Hilbert
ଶ
ଵ
ஶ ୀଵ
݇ א Գ Maka operator
∞
<
ଶ ଶ
ൌ ܥ
ଶ
ห
݆ א Գ หܿ
; maka หܾ
∞
<
ଵ ଶ
ൌ ܥ
ଶ
ห
ൌ ܥ
ଶ ǡ
= ⟨ܣǡ ܣ⟩ ‖ܣ݁
ଶ
ଶ
→ ℓ
ଶ
, Jika ∑ หܽ
ଶ
ଶ
ൌ ܥ
< ∞
ஶ ୀଵ Teorema 4.2. Diberikan
ஶ ǡ
, maka operator A terdefinisi sebagai operator Hilbert-Schmidt, dan |‖ܣ‖| ൌ ܥ.
Bukti
Untuk basis { ݁
ǣ ݊ א Գ} diperoleh ‖ܣ‖
ଶ
: ℓ
< ∞
ห
ଷ
ଶ
ൌ หܽ
ஶ ୀଵ
ଶ
ቯ
ᇱ ൱
݁
ଶ
ஶ ୀଵ
ஶ ୀଵ
ൌ ቯ ൭ ܽ ⟨݁ ǡ ݁ ⟩
ݔ
ஶ ୀଵ
อ
ห
ห
2
⟩
∞ ୀ1
ൌ ܽ
diperoleh ‖ܣ‖
2
ൌ ‖ܣ݁
‖
∞
ǡ ݁
ൌ หܽ
2
ି3
ห
2
ି3
2 ǡ
2
1
⟨݁
∞
2
2
≤ 3
Untuk setiap ݇ א Գ dan ݆ א Գ.
Maka diperoleh ܥ
1 ≤ √2 dan ܥ 2 ≤ √3. Jadi ‖ܣ‖ ≤
√6. ∎
5. Kesimpulan
Representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan diperoleh dengan mengubah ܣǣ ܪ ՜ ܪ menjadi ܣǣ ℓ
→ ℓ
dan ∑ ܽ
2
, dengan ℓ
2
= ൛ݔ ൌ {ݔ
} א ܵǣ ∑
|ݔ |
2 ∞ ୀ1
<
∞ൟ
ൡ ൌ ݇
݀ݔ
= 2 หܾ
2
ห
Dan หܿ
≤ 2
2
ห
ඥ݆ ඥ݆
2
൫2ඥ݆൯ =
2
ି1
ൌ ݆
2 ቀ2ඥ݆ − 2ඥ0ቁ
ି1
ൌ ݆
sehingga A terdefinisi sebagai operator Hilbert-Schmidt.
[1] Berkema. 2003. Positive Operator
=
ฬ݆
2
݆
ି3
න ݔ
2
ି3
൝ ݇
2
1
݇
2 ∞ ୀ
ି3
2
ି3
1
݇
=
2
ฬ
4
1
݇
4
DAFTAR PUSTAKA
- lim
≤ 3 หܿ
ି1
ቋ ൌ ݇
௧
√ݔ ൨
1
௧՜∞
2
2 ቊ ݇ ି3
1
ൡ ൌ ݇
݀ݔ
න ݔ
௧՜∞
൝ ݇
Valued Measures and Phase-Space Representasion. Thesis.
Technische Universiteit Eindhoven. [2] Darmawijaya, Soeparna. 2006.
- (−2ሻ lim
Pengantar Analisis Real. UGM.
Yogyakarta. [3] Darmawijaya, Soeparna. 2007.
Pengantar Analisis Abstrak. UGM.
Yogyakarta [4] Kreyszig, Erwin. 1989. Introductory Funtional Analysis with Aplications.
John wiley and Sons. New York. [5] Vito. 2005. Learning from Examples as
Inverse Problem Journal of Machines Learning Research.
6. 883-904.
1
2
- (
- 2
൜ ݇
ି3
݇ ൌ ݇
2
ି2
ൠ ൌ ݇
2
1
ି
݇
2
- 0 + 2
- 2
- 2
൜ ݇
ି3
2
1
ൠ ൌ ݇
2
1
ି
݇
√ݐ
1
௧՜∞
−2) lim
2