18. Modul Limit Fungsi Pak Sukani
LIMIT FUNGSI
a. Limit Fungsi Aljabar
Secara umum bentuk limit ditulis : lim f (x) = f (a)
x a
Jika f (a) = k, maka lim f (x) = k x a Jika f (a) = , maka lim f (x) = 0 x a k k Jika f (a) = , maka lim f (x) = ∞ x a Untuk menentukan nilai dari limit, x diganti dengan a (batas dari limit).Contoh : 1. lim 4x 5 = 4 . 2 + 5 = 13
x
2
2x
3 2 . 3
3
6
3
9
2. lim = = = = 3
x
3 2
3
3
3 x 2
x 4x 5 ( 1 ) 4 ( 1 )
5 1 4
5 3. lim =
x
1 5x 2 2 5 ( 1 )
5
5 x 3x 4 ( ) 3 ( ) 4 4
4 4. lim =
x 2x 2 ( )
f(x)
Jika lim f (x) = 0 dan lim g (x) = 0, sehingga lim maka harus difaktorkan
x a x a x a g(x) atau diuraikan terlebih dahulu.
Contoh : 2 2 x 3x 2 - 2 3 . 2
2 1. lim substitusi langsung : (tidak boleh) 2 x 2 - x
2 x x 2
2 x 3x 2 ( .....)( - 2 )
= (perhatikan angka belakang : berapa kali (-2) lim lim x 2
x
x - 2 x 2 ( 2 ) hasilnya (+2) 2
(-1)) x 3x
- (x 1) . - (x 2)
- lim = x 1 = 2
2
- – 1 = 1
lim lim
x
2 - x 2 - x 2 (x 2) x 2
2
x 3x
10 2. lim = ....
2 x
2
x 5x
6 2 ( 2 ) 3 ( 2 )
10
4 6
10 Substitusi langsung : = = (tidak boleh) 2
( 2 ) 5 ( 2 )
6
4 10
6
2
x 3x 10 (x.....) (x 2) lim = lim
2 x 2 x
2
(x.....) (x 2) x 5x
6 (perhatikan angka belakang : berapa kali (+2) hasilnya (-10) dan berapa kali (+2) hasilnya (+6) (-5) dan (+3))
2
x 3x 10 (x 5 (x 2) (x 5)
2 5
7 lim = lim = lim = = =
- –7
2
2 x 2 x
2 x
(x 3) (x 2) (x 3)
2
3
1 x 5x 3
6 3 x 64 4
64 3. lim
= (tidak boleh) → substitusi langsung : x
4 x
4 4
4
- 4 . 4 + 16 = 16 + 16 + 16 = 48 4.
- –2 Jika (x) f
- – b) atau sebaliknya (a
- – b) sekawannya : (a + b) Contoh : 1.
=
x x x
= )
2 1 ( 1 lim
3 x
x
2
3 x
1
3
1
=
4
1
) 3 ( lim
2
2
3
2
1 lim 3 x
x x .
2
1
1 x x
2 1 )( 3 (
= )
2 1 )( 3 ( 4 )
1 ( lim
3 x
x x x
= )
2
1
x x
2x lim
3x 4x - x 6x 8 - 2x 2 3 2 x lim
= 3 3 2 3 3 3 3 3 2 x
x x
3
x x4 x x
x
8 x 6x x
6 .
= 2 3 2 x
x
3 x
4
1 x 8 x
6 x
2 lim
2 2 3 2 (tidak boleh) f (x) atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi.
4 8 .
Jika
g(x) f(x) lim
f(x) lim x
dan
g(x) lim x
, sehingga
x
3 .
maka harus dibagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya.
Contoh : 1.
3x 4x - x 6x 8 - 2x 2 3 2 x lim
substitusi langsung :
.
=
1 lim 3 x
4 x 64 x 4 x lim 3
5 2
= 3) - (x
6) 5x - (x x lim 2
=
3 6 .
=
= 3) - (x x
3
6
=
a x lim
= 0 dan (x) g a x lim
= 0 dengan f(x) dan g(x) fungsi akar, sehingga g(x) f(x) lim a x
6) 5x - (x x x lim 2
(a + b) sekawannya : (a
= 4
=
4) (x 16) 4x (x . 4) (x 4 x lim 2
= 16) 4x (x
4 x lim 2
2
3x - x 6x 5x - x x lim 2 2 3
3x - x 6x 5x - x x lim 2 2 3
→ substitusi langsung : .
3 .
6 .
5 2 2 3
= (tidak boleh)
maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya.
2 x 2 x 2 x lim
2
2
3
2
1 lim 3 x
x x
substitusi langsung :
2
3
= 2
3
2
1
3
(tidak boleh)
3
2 2.
= 2 + 2
→ substitusi langsung :
2
2
2
2
= (tidak boleh) 2 x 2 x 2 x lim
= 2 x
= 2 x 2 x lim
2 x 2 x lim
.
2 x 2 x
= ) 2 (x
) ( 2 x . 2) (x 2 x lim
2
6
8
- =
4
3 1
-
1
1 x x x 3 2 3 2
3 5
4 3 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 2. lim substitusi langsung : = (tidak boleh) 3 2 3 2
x x x x
2 6
3 x x x 3 2 2 ( ) 6 ( ) 3 ( ) 3 2
3
5
4
5
4 x x x 3 3 3 3 x x 2 3 5 4 x x x
= = lim lim lim 3 2 3 2 x
x x x x x x x x x
6
4 2 6
3
2
6
4
2 x x x 3
3
3 x x 25
4 3
3
3
= = =
6
3
2
2
2
Untuk menjawab soal pilihan ganda :
f(x) Untuk soal : lim maka yang harus dilihat x pangkat terendahnya. x g(x)
Jika ada diatas hasilnya = ∞, jika ada dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan x. 3 2 x - 5x 6x
6
lim = = -2 2
- x x 3x
3
f(x) Untuk soal : lim maka harus dilihat pangkat tertingginya
x
g(x) Jika di atas hasilnya = ∞, jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya = 0 dan jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan x. 2 3 2 3 2
2x 6x - 8 3x 7x 5x 3 3x 6x 4x - 3 -
= = 0 ; = = 3 2 2 = ∞ ; 3
lim lim lim x x 4x - 3x - 1 x 3x 4x 3 - x 2x 7x
2
2
b. Limit Fungsi Trigonometri sin x x sin ax ax
1 atau
1 lim lim lim lim x x x sin x x ax x sin ax tan x x tan ax ax
1 atau
1 lim lim lim lim x x x tan x x ax x tan ax
Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung hasilnya funsi f (x) harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
Contoh :
sin 5x sin 5x
5 5 sin 5x
5
5
1. lim = lim . = . lim = . 1 =
5
3
3
3
x x x 5x 3x 3x
sin 5x
5 atau : lim = x
3 3x sin 4x sin 4x 4x 3x 4x sin 4x 3x
4
2. lim = lim . . = . lim . lim =
x tan 3x x tan 3x 4x 3x 3x x 4x x tan 3x
3 sin 4x
4
atau : lim =
x tan 3x
3 o o
cos 2x cos 2 . 45 cos
90 3. lim = = = = o o o o
1
1
cos x sin x cos 45 sin 45 cos 45 sin
45 x
2
2
4
2
2 fungsi x harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri.
2
2
cos 2x = cos x x = (cos x
- – sin – sin x) (cos x + sin x) cos 2x (cos x sinx) (cos x sin x)
lim = lim = lim (cos x sin x) cos x sin x (cos x sin x) x x x
4
4
4
1
1
o o= cos 45 + sin 45 = 2 + 2 = 2
2
2
o 1 cos 2x1 cos 1
1 4. lim substitusi langsung : (tidak boleh) x o
5x sin x 5 ( ). sin .
f(x) harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri 2 1 (1 2sin x)
1 cos 2x
2 x lim = lim cos 2x = 1 x x 5x sin x 5x sin x 2 2
1 1 2sin x 2sin x
2 sin x sin x
= lim = lim = lim . lim x x
x x
5x sin x 5x sin x
5 x sin x
2
= . 1 . 1
5
2
=
5 Pembahasan soal-soal :
3
x
27 1. lim x 3 = ….
x -
3 A. 9
B. 12
C. 18
D. 21
E. 27 UN 03/04 Jawab : E Penyelesaian : 3 2 x
27 (x 3x 9) . (x 3) - x lim = lim 3 x 3
x - - 3 ( x 3) 2 = lim (x 3x 9) x 3
2
= 3 + 3 . 3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 atau dengan cara diturunkan. 3 2 x
27 3x lim = lim
x 3 x x -
3 3
1
2
= 3 . 3 = 3 . 9 3 = 27
3x 10 x
5
2. lim x 3 = ….
5x 8 x
2
2
3
5
5 A.
B.
C.
D.
E.
∞
5
5
3
2 UN 03/04
Jawab : B Penyelesaian : 3 3 3x 10 x
5 3 3
3
3x 10 x
5
x x x x x lim = lim 3 3
5x 8 x 2 5x 8x
2 3 3 3 x x x
10
5 3 2 3 x x = lim x
8
2 5 2 3 x x
10
5 3
= lim x
8
2 5
3
=
5
=
5
atau dengan cara langsung, yaitu jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka lihat angka didepan x pangkat tertinggi 3 3x 10 x
5
3 x lim = 3
5x 8 x
2
5
2
x 3x
2 3. lim = ….
x
2
x
2 A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. UN 04/05 Jawab : A Penyelesaian :
2
2
x 3x 2 x 3x 2 x
2 lim = lim .
x 2 x
2
x 2 x 2 x
2
(x 2) (x 1) x
2
= lim
x
2 (x 2)
= lim (x 1) x
2 x
2
= (2 2
2 – 1) . = 1 . 0 = 0 1 cos 2x
4. lim = ….
2 x
5x
5
3
2
2 A.
B.
C.
D.
E.
2
2
3
5 UN 04/05
Jawab : D Penyelesaian :
2
1 cos 2x 1 (1 2 sin x) lim = lim
2
2 x x
5x 5x
2
2 sin x = lim
2 x
5x
2 sin x sin x
= . lim . lim
x x 5 x x
2
= . 1 . 1
5
2
=
5
3
2
2x 3x 2x
5
3 x
5. Nilai dari lim = ….
x 4x
7 A. 0
B.
C. 2
D. 3
E. 4 UN 05/06 Jawab : C Penyelesaian : Untuk limit dengan batas x , yang harus diperhatikan adalah pangkat tertingginya.
3
2
2x 3x 2x
5
2
lim = = 2
3 x
1
x 4x
7 6. lim
4 sin 2x . cotg 2x = …. x
A. B.
C. 0
D. 2
E. 4
- –1 UN 05/06 Jawab : E Penyelesaian :
cos 2x
lim 4 sin 2x . cotg 2x cotg 2x = x sin 2x
cos 2x lim 4 sin 2x . = lim 4 cos 2x x x sin 2x o= 4 . cos 0 = 4 . 1 2 = 4 x x
2 7. Nilai lim = .... x 2 2x
1 A. 0 B.
C. 1
D. 2
E.
2 UN 07/08
Jawab : B Penyelesaian : Untuk limit dengan batas tak terhingga, jika pangkat tertinggi antara atas dan bawah sama maka lihat angka yang ada di depan pangkat tertinggi. 2 x x
2
1 x lim = 2
2x 2
2
3x . tan 4x 8. Nilai lim adalah .... x 2
x . sin 3x
5
4
1 A. 4
B. 2 C.
D.
E.
3
3
3 UN 07/08
- –3 B.
- – 3
C. 3
)
1 8.
3
1 E.
2
3 D.
4
B. 2 C.
A. 4
E. 0 7. 2 2 (2 3) ( 4) lim .... (4 3)(2 1) x x x x x
D. 1
B. 6
2 )
A. 9
9 lim 9 x = ….
3
E. 6. x x
D. 8
C. 4
B. 2
A. 0
= ....
2 1 x 6 2x lim 3 x
E. 8 5.
1 4 (
1 3 ( lim 2 3 x
2
5
x
8 3x 5x 2x lim
10. Nilai dari 3 2 2 3 4x 2x
1
5
2 E.
5
3 D.
5
4 C.
5
7 B.
A.
= ....
lim
2 3 2 3 ~ x
5 2 x 3 x
27 E. 3 9. 4 x 3 x
8
3 D.
2
3 C.
4
3 B.
8
A.
x x x = ….
1 D. 4
1 C.
Jawab : D Penyelesaian :
.
3
=
4x 4x tan lim x
.
3x sin 3x lim x
.
3x sin 3x lim x
4 .
3
=
4
4
3 . x 4x tan lim x
. 1 . 1 . 1 =
3
.
3x sin
x
lim x .
3x sin 3x lim x
=
. x 4x tan lim x
3x sin
x
lim x .
3x sin 3x lim x
=
3x sin . x 4x tan . 3x lim 2 2 x
4
3
4
C. 4
1 B.
8
A.
x 16 x x
4 lim ....
E. 9 4. 16
D. 6
4 C. 2
A.
= ….
2 2 x
6 3x 14 5x x lim
E. 0 3.
D. 2
B. 6
4 Soal latihan : 1.
A. 7
= ….
2 2 x
4 2x 3x 16 2x lim
2. Nilai dari
E. 8
D. 6
C. 4
B. 0
A. -2
x x = ….
4 lim 2 2 x
2
= ....
- – 2
- – 2
- –1
4
5 B.
3
A.
= ….
12 x x 2x 3 7x lim 2 2 3 x
1 18.
2
1 E.
3
1 D.
1 C.
5 C.
6
1 B.
8
A.
= ….
1 17. 8 2x x 4 x lim 2 4 x
2
1 E.
4
C. 0 D.
1
4
7
5
2
2 E. 3
1 E.
1 D.
2
4 B. 1 C.
3
A.
= ….
2x 3 5x 4 5x x lim 2 2 x
1 20.
3
3
2 D.
1 D. 2
3
2 C. 2
3
2 B. 1
3
A.
= ….
2 1 3x 2 2x lim 1 x
5 19.
2 E.
1 B.
A.
4
C. 0 D.
D. 4
C. 2
B. 1
A. 0
= ....
2 lim 2 x
12. x tg . x cos
1
2
1 E.
4
1
= ….
4
1 B.
2
A.
= ….
4x sin x 2x 1 - cos lim x
11. Nilai dari
1 E.
4
1 C. 0 D.
5 B.
A.
E. 13. 2 x
x
2 1 x 2 cos
2 B.
4x sin x 2x cos - 1 lim x
16. Nilai dari
D. 0 E.
C. 1
B. 2
A.
= ….
2 x
2 E. 15. x cos . tan x 2 lim
D. 2
2 C. 2
1
lim
2
A.
= ….
4 x
2x cos lim
E. 2 14. sin x x cos
D. 1
C. 0
B. -1
A. -2
= ….
- – 5
- – 3
- – 2
- – 3