Analisis Model Matematika Sistem dan Non
PRAKTIKUM PEMODELAN MATEMATIKA
SOLUSI UNTUK SISTEM PERSAMAAN DAN NONSISTEM DALAM
PEMODELAN MATEMATIKA
Dosen Pengampu:
Dr. Usman Pagalay, M.Si
Oleh:
Nurul anggraeni hidayati
NIM. 14610002
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2017
DAFTAR ISI
1.
Non System ................................................................................................................. 1
1.1 PERSAMAAN YANG UMUM (LOGISTIK) ......................................................... 1
•
Assumption ......................................................................................................... 1
•
Discretization ...................................................................................................... 2
•
Analytical Solution ............................................................................................. 4
•
Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution.............................. 5
1.2 PERSAMAAN LAIN ............................................................................................... 9
•
Discretization .................................................................................................... 10
•
Analytical Solution ........................................................................................... 12
•
Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution............................ 13
2. Sistem............................................................................................................................ 17
2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR ......................................................................... 17
•
Solusi Sistem ..................................................................................................... 18
•
Bidang Fase....................................................................................................... 23
•
Diskritisasi ........................................................................................................ 24
•
Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik ...................................................... 26
2.2 SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR ................................................................ 33
•
Solusi Sistem ..................................................................................................... 33
•
Bidang Fase....................................................................................................... 39
•
Disktitisasi......................................................................................................... 41
•
Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik ...................................................... 43
•
Linearisasi ......................................................................................................... 49
i
1. NON SISTEM
1.1 PERSAMAAN YANG UMUM (LOGISTIK)
Source:
Mathematical Modelling with Case Studies
Using Maple™ and MATLAB®
Third Edition
B.Barnes and G.R. Fulford
Page 78
Exercises 3.10
3.2
Modelling the Spread of the technology.
Models for spread of technology are very similar to the logistic model for
population growth. Let 𝑁(𝑡) be the number of ranchers who have adopted an
improved pasture technology in Uruguay. Then 𝑁(𝑡) satisfies the differential
equation
𝑑𝑁
𝑁
= 𝑎𝑁(1 − )
𝑑𝑡
𝑁𝑇
Where 𝑁𝑇 is the total population of ranchers. It is assumed that the rate of
adoption is proportional to both the number who have adopted the technology and
the fraction of the population of ranchers who have not adopted the technology.
According to Banks (1994), 𝑁𝑇 = 17.015, 𝑎 = 0.49, 𝑁0 = 141
• Assumption
1. Rate of adoption is proportional to both the number who have adopted the
technology and the fraction of the population of ranchers who have not adopted
the technology
𝑑𝑁
𝑁
= 𝑎𝑁(1 − )
𝑑𝑡
𝑁𝑇
1
𝑁 : Number of ranchers who have adopted an improved pasture technology in
Uruguay
𝑁𝑇 : Number of ranchers
Interpretation of the model will be written in Bahasa
Perubahan jumlah peternak yang mengadopsi teknologi padang rumput di
Uruguay terhadap waktu sebanding dengan jumlah peternak yang mengadopsi
teknologi padang rumput di Uruguay sebanyak 𝑎 dan berkurang karena adanya
interaksi jumlah peternak yang mengadopsi teknologi padang rumput tersebut
dengan dirinya sendiri sebanyak 𝑎 dari jumlah keseluruhan peternak. Atau dengan
kata lain bahwa perubahan jumlah peternak yang mengadopsi teknologi padang
rumput di Uruguay mengikuti persamaan logistic dengan laju pertumbuhan 𝑎
dengan daya tampung 𝑁𝑇 .
•
Discretization
➢ Manual
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
lim
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)
= 𝑎𝑁(𝑡) (1 −
)
ℎ
𝑁𝑇
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 𝑎𝑁(𝑡)ℎ (1 −
𝑁(𝑡)
)
𝑁𝑇
2
𝑎(𝑁(𝑡)) ℎ
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 𝑎𝑁(𝑡)ℎ −
𝑁𝑇
2
𝑎(𝑁(𝑡)) ℎ
𝑁(𝑡 + ℎ) = 𝑁(𝑡) + 𝑎𝑁(𝑡)ℎ −
𝑁𝑇
➢ Maple
𝑁𝑛+1
𝑎𝑁𝑛 2 ℎ
= 𝑁𝑛 + 𝑎𝑁𝑛 ℎ −
𝑁𝑇
2
Interpretation of the plot will be written in Bahasa
Dari kurva yang terlihat pada plot di atas, terlihat bahwa model ini memiliki dua
titik keseimbangan sebagai solusi, yakni 𝑁 = 0 dan 𝑁 = 𝑁𝑇 = 141. Dari kurva
tersebut juga dapat ditunjukkan bahwa semakin besar nilai t, jumlah peternak yang
mengadopsi teknologi padang rumput di Uruguay semakin sedikit. Interpretasi ini
juga berlaku untuk semua plot hasil diskritisasi, analitik dan numerik (euler, heun,
dan runge-kutta).
3
•
Analytical Solution
➢ Manual
𝑑𝑁
𝑁
= 𝑎𝑁 (1 − )
𝑑𝑡
𝑁𝑇
𝑁𝑇 − 𝑁
𝑑𝑁
= 𝑎𝑁(
)
𝑁𝑇
𝑑𝑡
∫
∫
𝑁𝑇
𝑑𝑁 = 𝑎 𝑑𝑡
𝑁(𝑁𝑇 − 𝑁)
𝑁𝑇
𝑑𝑁 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡
𝑁(𝑁𝑇 − 𝑁)
1
1
𝑑𝑁 + ∫
𝑑𝑁 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡
𝑁
𝑁𝑇 − 𝑁
ln|𝑁| + ln|𝑁𝑇 − 𝑁| = 𝑎𝑡 + 𝐶
𝑁
= 𝑐1 𝑒 𝑎𝑡
𝑁𝑇 − 𝑁
𝑁 = 𝑐1 𝑒 𝑎𝑡 (𝑁𝑇 − 𝑁)
Substituting the value of 𝑎 and 𝑁𝑇
𝑁 = 𝑐1 𝑒 0.49𝑡 (17.015 − 𝑁)
So general solution is
𝑵(𝒕) = 𝒄𝟏 𝒆𝟎.𝟒𝟗𝒕 (𝟏𝟕. 𝟎𝟏𝟓 − 𝑵(𝒕))
𝑁(0) = 𝑐1 𝑒 0.49𝑡 (17.015 − 𝑁(0))
Substituting the value of 𝑁(0)
141 = 𝑐1 𝑒 0.49×0 (17.015 − 141)
141 = 𝑐1 𝑒 0 (−123.985)
𝑐1 =
141 = 𝑐1 (−123.985)
141
= −1.137234343
−123.985
𝑵(𝒕) = −𝟏. 𝟏𝟑𝟕𝟐𝟑𝟒𝟑𝟒𝟑𝒆𝟎.𝟒𝟗𝒕 (𝟏𝟕. 𝟎𝟏𝟓 − 𝑵(𝒕))
4
➢
•
Maple
Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution
1. Analytical and Euler Method
➢ Metode Euler merupakan metode
➢ Maple
>
>
5
2. Analytical and Heun Method
➢ Manual
➢ Maple
6
7
3. Analytical and Runge-Kutta Method
➢ Manual
➢ Maple
8
•
Interpretation
All of curve using discretization, analytical and numerical solutions are similar.
Computations done by substitution the value of 𝑎 and 𝑁𝑇 , and the curve similar to
general logistical curve.
1.2 PERSAMAAN LAIN
Source:
Differential Equations: a Modeling Approach
Glenn Ledder
Page 107
Exercises 2.5
7
5
𝑑𝑦
=
𝑑𝑡 1 + 5𝑒 −𝑦
Interpretation of the model will be written in Bahasa
9
Perubahan banyaknya populasi y terhadap waktu t mengikuti pertumbuhan
eksponensial dengan laju pertumbuhan 5 dan daya tampung 5.
•
Discretization
➢ Manual
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
5
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡)
=
ℎ
1 + 5𝑒 −𝑦(𝑡)
5
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) =
ℎ
1 + 5𝑒 −𝑦(𝑡)
5ℎ
+ 𝑦(𝑡)
𝑦(𝑡 + ℎ) =
1 + 5𝑒 −𝑦(𝑡)
5ℎ
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +
1 + 5𝑒 −𝑦𝑛
lim
➢ Maple
10
Interpretation of the plot will be written in Bahasa
Dari kurva yang terlihat pada plot di atas, terlihat bahwa semakin bertambahnya
nilai 𝑡, populasi 𝑦 semakin banyak. Selain waktu, pertambahan jumlah populasi 𝑦
juga dipengaruhi oleh laju pertumbuhan dan daya tampung, namun dalam
persamaan ini, laju pertumbuhan dan daya tampung ditetapkan bernilai 5. Kurva
menunjukkan hubungan antara waktu dan banyak populasi 𝑦 terhadap waktu.
Seiring dengan bertambahnya waktu, populasi 𝑦 semakin bertambah dan tidak
ditemukan titik maksimumnya, dimana sampai 𝑡 = 1000 (gambar kurva tidak
disertakan dalam paper), kurva 𝑦(𝑡) masih menunjukkan kenaikan. Interpretasi ini
juga berlaku untuk semua plot hasil diskritisasi, analitik dan numerik (euler, heun,
dan runge-kutta).
11
•
Analytical Solution
➢ Manual
𝑑𝑦
5
=
𝑑𝑡 1 + 5𝑒 −𝑦
1 + 5𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 5 𝑑𝑡
∫ 1 + 5𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 5 𝑑𝑡
𝑦 − 5𝑒 −𝑦 = 5𝑡
𝑦 = 5𝑒 −𝑦 + 5𝑡
➢ Maple
𝑦(𝑡) = 5𝑒 −𝑦(𝑡) + 5𝑡
12
•
Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution
➢ Analytical Solution and Euler Method
>
>
13
➢ Analytical Solution and Heun Method
>
14
➢ Analytical Solution and Runge Kutta Method
15
16
2. SISTEM
2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Source:
Persamaan Differensial Biasa
Model Matematika Fenomena Perubahan
Kartono
Halaman 154
Nomor 12
𝑑𝑥
− 2𝑥 + 3𝑦 = 0
𝑑𝑡
Interpretasi
𝑑𝑦
− 𝑦 + 2𝑥 = 0
𝑑𝑡
Persamaan Pertama
Perubahan banyaknya kandungan zat 𝑥 dalam tubuh terhadap waktu t
sebanding dengan kandungan zat 𝑥 sebanyak 2 satuan dan berkurang karena adanya
kandungan zat 𝑦 sebanyak 3 satuan.
Persamaan Kedua
Perubahan banyaknya kandungan zat 𝑦 dalam tubuh terhadap waktu t
sebanding dengan banyaknya kandungan zat 𝑦 dan berkurang karena adanya
kandungan zat 𝑥 sebanyak 2 satuan.
Dengan syarat awal 𝑥(0) = 8, 𝑦(0) = 3
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 𝑦 − 2𝑥
𝑑𝑡
𝑥̇ = 2𝑥 − 3𝑦
17
𝑦̇ = −2𝑥 + 𝑦
𝑥̇
2 −3 𝑥
) (𝑦 )
( )=(
𝑦̇
−2 1
• Solusi Sistem
➢ Manual
•
Menentukan Nilai Eigen
Dimisalkan matriks 𝐴 = (
Maka det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
2 −3
)
−2 1
1 0
2 −3
)| = 0
)−𝜆(
|(
0 1
−2 1
2−𝜆
−3
|(
)| = 0
−2 1 − 𝜆
(2 − 𝜆)(1 − 𝜆) − (−3)(−2) = 0
(2 − 2𝜆 − 𝜆 + 𝜆2 ) − 6 = 0
𝜆2 − 3𝜆 − 4 = 0
(𝜆 − 4)(𝜆 + 1) = 0
𝜆1 = 4, 𝜆2 = −1
Didapatkan nilai eigen 4 dan -1
•
Menentukan Eigen Vektor
➢ Untuk 𝜆 = 4
(
2−𝜆
−2
(
𝑣1
−3
) (𝑣 ) = 0
2
1−𝜆
−2 −3 𝑣1
)( ) = 0
−2 −3 𝑣2
−2𝑣1 − 3𝑣2 = 0
−2𝑣1 − 3𝑣2 = 0
−2𝑣1 = 3𝑣2
𝑣1 =
3
𝑣 ,𝑣 = 1
−2 2 2
18
3
𝑣1
−
(𝑣 ) = ( 2)
2
1
➢ Untuk 𝜆 = −1
(
2−𝜆
−2
(
𝑣1
−3
) (𝑣 ) = 0
2
1−𝜆
3 −3 𝑣1
) (𝑣 ) = 0
−2 2
2
3𝑣1 − 3𝑣2 = 0
−2𝑣1 + 2𝑣2 = 0
3𝑣1 = 3𝑣2
2𝑣1 = 2𝑣2
𝑣1 = 𝑣2
•
𝑣1
1
(𝑣 ) = ( )
1
2
Solusi Umum
𝑣1
𝑣1
𝑥
(𝑦) = 𝑐1 𝑒 𝜆1 𝑡 (𝑣 ) + 𝑐1 𝑒 𝜆2 𝑡 (𝑣 )
2
2
•
Solusi Khusus
1
𝑥
1
(𝑦) = 𝑐1 𝑒 4𝑡 ( 3) + 𝑐1 𝑒 −1𝑡 ( )
−
1
2
(
1
𝑥(0)
1
) = 𝑐1 𝑒 0 ( 3) + 𝑐1 𝑒 0 ( )
𝑦(0)
−
1
2
1
8
1
( ) = 𝑐1 ( 3) + 𝑐1 ( )
−
3
1
2
Dengan menggunakan cara eliminasi, didapat 𝑐1 = 2, dan 𝑐2 = 6
1
𝑥
1
(𝑦) = 2𝑒 4𝑡 ( 3) + 6𝑒 −1𝑡 ( )
−
1
2
19
Atau dapat juga dituliskan
𝑥(𝑡) = 2𝑒 4𝑡 + 6𝑒 −1𝑡
➢ Maple
𝑦(𝑡) = −3𝑒 4𝑡 + 6𝑒 −1𝑡
20
Atau dengan cara analitik
21
➢ Interpretasi
Kurva dengan garis berwarna kuning menunjukkan kandungan zat 𝑥 dalam
tubuh. Semakin bertambahnya waktu, kandungan zat 𝑥 dalam tubuh semakin
banyak, namun berkurang secara periodik karena adanya zat 𝑦. Namun pada setiap
satuan waktu, banyaknya pertambahan zat 𝑥 lebih banyak daripada berkurangnya
zat 𝑥 karena pengaruh zat 𝑦, sehingga grafik masih menunjukkan kenaikan.
22
Sedangkan kurva dengan garis berwarna hijau menunjukkan kandungan zat 𝑦
dalam tubuh. Terlihat dalam grafik, semakin bertambahnya waktu, kandungan zat
𝑦 semakin berkurang bahkan bernilai minus. Semakin bertambahnya waktu, tubuh
akan kehilangan zat 𝑦 dan akhirnya kekurangan (karena bernilai minus).
Berkurangnya kandungan zat 𝑦 dalam tubuh karena adanya pengaruh zat 𝑥 yang
menyebabkan zat 𝑦 berkurang sebanyak 2 satuan per satuan waktu. Interpretasi ini
juga berlaku untuk semua grafik hasil diskritisasi, analitik, dan numerik (runge
kutta).
•
Bidang Fase
23
➢ Interpretasi Phase Portrait
Dari nilai eigen yang didapat dari cara manual maupun maple,
didapat dua nilai eigen dengan tanda yang berbeda, dimana salah satu nilai
eigennya positif, dan yang lain negative. Dari nilai eigen yang demikian,
maka phase portraitnya akan membentuk saddle/pelana seperti ditunjukkan
dalam grafik diatas dimana dalam hal ini kestabilannya bersifat tidak stabil.
• Diskritisasi
➢ Persamaan Pertama
𝑑𝑥
− 2𝑥 + 3𝑦 = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3𝑦
𝑑𝑡
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
lim
ℎ→0
ℎ
𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡)
= 2𝑥(𝑡) − 3𝑦(𝑡)
ℎ
𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡) = 2𝑥(𝑡)ℎ − 3𝑦(𝑡)ℎ
𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + 2𝑥(𝑡)ℎ − 3𝑦(𝑡)ℎ
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 2𝑥𝑛 ℎ − 3𝑦𝑛 ℎ
➢ Persamaan Kedua
𝑑𝑦
− 𝑦 + 2𝑥 = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 𝑦 − 2𝑥
𝑑𝑡
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
lim
ℎ→0
ℎ
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡)
= 𝑦(𝑡) − 2𝑥(𝑡)
ℎ
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡)ℎ − 2𝑥(𝑡)ℎ
𝑦(𝑡 + ℎ) = 𝑦(𝑡) + 𝑦(𝑡)ℎ − 2𝑥(𝑡)ℎ
➢ Maple
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑦𝑛 ℎ − 2𝑥𝑛 ℎ
24
25
•
Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik
➢ Analitik dan Metode Euler
26
27
➢ Analitik dan Metode Heun
28
29
➢ Analitik dan Metode Runge Kutta
30
31
Dari grafik yang dihasilkan ketiga metode terlihat bahwa error yang paling
kecil adalah metode runge kutta, karena kurva analitik dan hasil metode runge
kutta terlihat bersatu.
32
2.2 SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR
Source:
Different Equation with Boundary-Value Problem
Zill and Cullen
Halaman 518
Interpretasi
𝒅𝑵
= 𝑵(𝟎. 𝟓 − 𝑵 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑷) = 𝟎. 𝟓𝑵 − 𝑵𝟐 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵𝑷
𝒅𝒕
𝒅𝑷
= 𝑷(𝟐 − 𝑷 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵) = 𝟐𝐏 − 𝐏 𝟐 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵𝑷
𝒅𝒕
Persamaan Pertama
Perubahan banyaknya populasi 𝑁 terhadap waktu 𝑡 sebanding dengan
banyaknya populasi 𝑁 sebanyak 0.5 satuan dan berkurang karena adanya interaksi
populasi 𝑁dengan sesamanya sebanyak 1 satuan dan berkurang karena adanya
interaksi populasi 𝑁 dengan populasi 𝑃 sebanyak 0.75 satuan.
Persamaan Kedua
Perubahan banyaknya populasi 𝑃 terhadap waktu 𝑡 sebanding dengan
banyaknya populasi 𝑃 sebanyak 2 satuan dan berkurang karena adanya interaksi
populasi 𝑃 dengan sesamanya sebanyak 1 satuan dan berkurang karena adanya
interaksi populasi 𝑁 dengan 𝑃 sebanyak 0.75 satuan.
• Solusi Sistem
➢ Manual
Dengan syarat awal 𝑁(0) = 2, 𝑃(0) = 2
𝑑𝑁
= 0.5𝑁 − 𝑁 2 − 0.75𝑁𝑃
𝑑𝑡
𝑑𝑃
= 2P − P 2 − 0.75𝑁𝑃
𝑑𝑡
33
𝑁̇ = 𝑁(0.5 − 𝑁 − 0.75𝑃)
𝒋=(
𝑃̇ = 𝑃(2 − 𝑃 − 0.75N)
𝟎. 𝟓 − 𝟐𝑵 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑷
−𝟎. 𝟕𝟓𝑵
)
−𝟎. 𝟕𝟓𝑷
𝟐 − 𝟐𝑷 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵
1. 𝑵 = 𝟎 , 𝑷 = 𝟎
𝒅 𝑵
𝟎. 𝟓
( )=(
𝟎
𝒅𝒕 𝑷
𝟎
)
𝟐
Mencari nilai eigen dan eigen vektor
𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎
𝒓
𝟎. 𝟓 𝟎
[(
)−(
𝟎
𝟎 𝟐
(
𝟎. 𝟓 − 𝒓
𝟎
𝒓𝟏 = 𝟎. 𝟓 ,
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
𝟐 − 𝒓 𝜺𝟐
𝟎
Untuk 𝒓𝟏 = 𝟏
(
𝟎. 𝟓 − 𝟎. 𝟓
𝟎
(
𝟎
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)] ( ) = ( )
𝒓
𝜺𝟐
𝟎
𝒓𝟐 = 𝟐
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
𝟐 − 𝟎. 𝟓 𝜺𝟐
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
𝟏. 𝟓 𝜺𝟐
𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟏. 𝟓𝜺𝟐 = 𝟎
Ambil 𝜺𝟏 = 𝟏, 𝜺𝟐 = 𝟎 → (𝟏𝟎)
Untuk 𝒓𝟐 = 𝟐
(
𝟎. 𝟓 − 𝟐
𝟎
(
−𝟏. 𝟓
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
𝟐 − 𝟐 𝜺𝟐
𝟎
𝟎
𝟎 𝜺𝟏
)( ) = ( )
𝟎 𝜺𝟐
𝟎
−𝟏. 𝟓𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
Ambil 𝜺𝟐 = 𝟏, 𝜺𝟏 = 𝟎 → (𝟎𝟏)
𝒖
𝟏
𝟎
( ) = 𝑪𝟏 ( ) 𝒆𝟎.𝟓𝒕 + 𝑪𝟐 ( ) 𝒆𝟐𝒕
𝒗
𝟎
𝟏
2. 𝑵 = 𝟎, 𝑷 = 𝟐
34
𝒅 𝑵
−𝟏
( )=(
−𝟏.
𝟓
𝒅𝒕 𝑷
𝟎
)
−𝟐
Mencari nilai eigen dan eigen vektor
𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎
−𝟏
[(
−𝟏. 𝟓
(
𝒓
𝟎
)−(
𝟎
−𝟐
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)] ( ) = ( )
𝒓
𝜺𝟐
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
−𝟏 − 𝒓
𝟎
)( ) = ( )
−𝟏. 𝟓 −𝟐 − 𝒓 𝜺𝟐
𝟎
𝒓𝟏 = −𝟏 , 𝒓𝟐 = −𝟐
Untuk 𝒓𝟏 = −𝟏
𝜺𝟏
𝟎
−𝟏 − (−𝟏)
𝟎
(
)( ) = ( )
−𝟏. 𝟓
−𝟐 − (−𝟏) 𝜺𝟐
𝟎
(
𝟎
−𝟏. 𝟓
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
−𝟏 𝜺𝟐
𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
−𝟏. 𝟓𝜺𝟏 − 𝟏𝜺𝟐 = 𝟎
𝟏
Ambil 𝜺𝟏 = 𝟏 → −𝟏𝜺𝟐 = −𝟏. 𝟓 → 𝜺𝟐 = 𝟏. 𝟓, → (−𝟏.𝟓
)
Untuk 𝒓𝟐 = −𝟐
−𝟏 − (−𝟐)
𝟎
(
) (𝜺𝟏 ) = (𝟎𝟎)
−𝟏. 𝟓
−𝟐 − (−𝟐) 𝜺𝟐
(
𝟏
−𝟏. 𝟓
𝟎 𝜺𝟏
) (𝜺 ) = (𝟎𝟎)
𝟐
𝟎
𝟏𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
−𝟏. 𝟓𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
Ambil 𝜺𝟐 = 𝟏 , 𝜺𝟏 = 𝟎 → (𝟎𝟏)
𝒖
𝟏
𝟎
( ) = 𝑪𝟏 (
) 𝒆−𝟏𝒕 + 𝑪𝟐 ( ) 𝒆−𝟐𝒕
𝒗
−𝟏. 𝟓
𝟏
3. 𝑵 = 𝟎. 𝟓, 𝑷 = 𝟎
𝒅 𝑵
−𝟎. 𝟓
( )=(
𝟎
𝒅𝒕 𝑷
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)
𝟏. 𝟔𝟐𝟓
Mencari nilai eigen dan eigen vektor
𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎
−𝟎. 𝟓
[(
𝟎
𝒓
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)−(
𝟎
𝟏. 𝟔𝟐𝟓
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)] ( ) = ( )
𝒓
𝜺𝟐
𝟎
35
(
−𝟎. 𝟓 − 𝒓
𝟎
𝒓𝟏 = −𝟎. 𝟓 ,
𝜺𝟏
𝟎
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)( ) = ( )
𝟏. 𝟔𝟐𝟓 − 𝒓 𝜺𝟐
𝟎
𝒓𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟐𝟓
Untuk 𝒓𝟏 = −𝟎. 𝟓
−𝟎. 𝟓 − (−𝟎. 𝟓)
(
𝟎
(
𝟎
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)( ) = ( )
𝟏. 𝟔𝟐𝟓 − (−𝟎. 𝟐𝟓) 𝜺𝟐
𝟎
𝟎
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓 𝜺𝟏
)( ) = ( )
𝟏. 𝟖𝟕𝟓
𝜺𝟐
𝟎
𝟎𝜺𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟕𝟓𝜺𝟐 = 𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟏. 𝟖𝟕𝟓𝜺𝟐 = 𝟎
Pilih 𝜺𝟏 = 𝟏, → 𝜺𝟐 = 𝟎 → (𝟏𝟎)
Untuk 𝒓𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟐𝟓
(
(
𝜺𝟏
𝟎
−𝟎. 𝟓 − 𝟏. 𝟔𝟐𝟓
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)( ) = ( )
𝟎
𝟏. 𝟔𝟐𝟓 − 𝟏. 𝟔𝟐𝟓 𝜺𝟐
𝟎
𝟎
−𝟐. 𝟏𝟐𝟓 −𝟎. 𝟑𝟕𝟓 𝜺𝟏
)( ) = ( )
𝟎
𝟎
𝜺𝟐
𝟎
−𝟐. 𝟏𝟐𝟓𝜺𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟕𝟓𝜺𝟐 = 𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
Ambil 𝜺𝟐 = 𝟏
𝟎. 𝟑𝟕𝟓 = −𝟐. 𝟏𝟐𝟓𝜺𝟏
𝜺𝟐 =
𝟎.𝟑𝟕𝟓
−𝟐.𝟐𝟏𝟓
= −𝟎. 𝟏𝟕𝟔𝟒𝟕𝟎𝟓𝟖𝟖𝟐 → (−𝟎.𝟏𝟕𝟔𝟒𝟕𝟎𝟓𝟖𝟖𝟐
)
𝟏
𝒖
𝟏
−𝟎. 𝟏𝟕𝟔𝟒𝟕𝟎𝟓𝟖𝟖𝟐 𝟏.𝟔𝟓𝒕
( ) = 𝑪𝟏 ( ) 𝒆−𝟎.𝟓𝒕 + 𝑪𝟐 (
)𝒆
𝒗
𝟎
𝟏
4. 𝑵 = −
𝟏𝟔
𝟕
,𝑷 =
𝟐𝟔
𝟕
𝒅 𝑵
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
( )=(
)
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔 −𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓
𝒅𝒕 𝑷
Mencari nilai eigen dan eigen vektor
𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎
𝒓
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
[(
)−(
𝟎
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔 −𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓
(
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 − 𝒓
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)] ( ) = ( )
𝒓
𝜺𝟐
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
)( ) = ( )
−𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓 − 𝒓 𝜺𝟐
𝟎
(𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 − 𝒓)(−𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓 − 𝒓)
− (𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒(−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔)) = 𝟎
36
Agar lebih cepat, menggunakan matlab didapat hasil berikut
𝒓𝟏 = 𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗 ,
𝒓𝟐 = −𝟐. 𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗
Untuk 𝒓𝟏 = 𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 − 𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗
[(
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔
(𝟎𝟎)
𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
)] (𝜺𝜺𝟏 ) =
𝟐
−𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓 − 𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗
𝟎.𝟖𝟕𝟓𝟖𝟑𝟎𝟐𝟏𝟗𝟎
(𝜺𝜺𝟏 ) = (−𝟎.𝟒𝟖𝟐𝟔𝟏𝟗𝟑𝟒𝟎𝟏
)
𝟐
𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒓𝟐 = −𝟐. 𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 + 𝟐. 𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗
[(
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔
(𝟎𝟎)
(𝜺𝜺𝟏 ) = (−𝟎.𝟒𝟕𝟔𝟏𝟓𝟐𝟓𝟗𝟎𝟗
)
𝟏.𝟒𝟎𝟒𝟏𝟓𝟑𝟗𝟑𝟔
𝟐
𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
)] (𝜺𝜺𝟏 ) =
𝟐
−𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓 + 𝟐. 𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗
𝟎.𝟖𝟕𝟓𝟖𝟑𝟎𝟐𝟏𝟗𝟎
(𝒖𝒗) = 𝑪𝟏 (−𝟎.𝟒𝟖𝟐𝟔𝟏𝟗𝟑𝟒𝟎𝟏
)𝒆𝟏.𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗𝒕 + 𝑪𝟐 (−𝟎.𝟒𝟕𝟔𝟏𝟓𝟐𝟓𝟗𝟎𝟗
)𝒆−𝟐.𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗𝒕
𝟏.𝟒𝟎𝟒𝟏𝟓𝟑𝟗𝟑𝟔
➢ Maple
37
➢ Interpretasi
Kurva berwarna biru muda merupakan kurva yang menunjukkan perubahan
jumlah populasi 𝑃 terhadap waktu 𝑡, dimana pada awal berjalannya waktu sampai
𝑡 = 1, jumlah populasi menurun lalu melalui titik balik dan bertambah sampai
mencapai kestabilan pada saat 𝑡 = 4. Sedangkan kurva berwarna kuning
merupakan kurva yang menunjukkan perubahan jumlah populasi 𝑁 terhadap waktu
𝑡. seiring berjalannya waktu, jumlah populasi 𝑁 terus menurun dengan penurunan
drastis pada awal bertambahnya t, sampai mencapai kestabilan saat 𝑡 = 4.
Berkurangnya jumlah populasi 𝑁 dan 𝑃 terjadi karena adanya interaksi antar
sesamanya atau antar dua populasi tersebut. Nilai awal 𝑁 dan 𝑃 menunjukkan angka
yang sama, yakni 2. Angka ini merupakan hasil skalasisasi banyaknya populasi
sebelumnya. Meski pada waktu 𝑡 = 0 jumlah populasi 𝑁 dan 𝑃 sama, namun
sejalan dengan waktu, populasi 𝑁 dan 𝑃 menunjukkan perubahan jumlah yang
38
berbeda seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, dengan populasi 𝑃 yang lebih
mampu bertahan. Interpretasi ini juga berlaku untuk semua grafik hasil diskritisasi,
linearisasi, dan numerik(euler, heun, runge kutta).
•
Bidang Fase
39
40
➢ Interpretasi
Dari perhitungan sebelumnya, baik secara manual maupun hasil
perhitungan matlab, terdapat beberapa nilai eigen dengan nilai negatif maupun
positif dengan 4 titik tetap. Dari titik tetap pertama, menghasilkan nilai eigen positif
dengan eigen vector 0, jadi menjauhi titik tetap. Dari titik tetap kedua,
menghasilkan nilai eigen positif dan negatif, jadi membentuk saddle. Dari titik tetap
ketiga, menghasilkan nilai eigen negatif, jadi mendekati titik tetap. Dari titik tetap
keempat, menghasilkan nilai eigen positif, jadi membentuk saddle.
• Disktitisasi
➢ Manual
•
Persamaan Pertama
𝑑𝑁
= 𝟎. 𝟓𝑵 − 𝑵𝟐 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵𝑷
𝑑𝑡
𝑓(𝑁 + ℎ) − 𝑓(𝑁)
lim
ℎ→0
ℎ
41
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡)
= 0.5𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡)2 − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)
ℎ
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 0.5𝑁(𝑡)ℎ − 𝑁(𝑡)2 ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ
𝑁(𝑡 + ℎ) = 𝑁(𝑡) + 0.5𝑁(𝑡)ℎ − 𝑁(𝑡)2 ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ
𝑁𝑛+1 = 𝑁𝑛 + 0.5𝑁𝑛 ℎ − 𝑁𝑛 2 ℎ − 0.75𝑁𝑛 𝑃𝑛 ℎ
•
Persamaan Kedua
𝑑𝑁
= 2𝑃 − 𝑃2 − 0.75𝑁𝑃
𝑑𝑡
𝑓(𝑃 + ℎ) − 𝑓(𝑃)
ℎ→0
ℎ
lim
𝑃(𝑡 + ℎ) − 𝑃(𝑡)
= 2𝑃(𝑡) − 𝑃(𝑡)2 − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)
ℎ
𝑃(𝑡 + ℎ) − 𝑃(𝑡) = 2𝑃(𝑡)ℎ − 𝑃(𝑡)2 ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ
𝑃(𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑡) + 2𝑃(𝑡)ℎ − 𝑃(𝑡)2 ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ
➢ Maple
𝑃𝑛+1 = 𝑃𝑛 + 2𝑃𝑛 ℎ − 𝑃𝑛 2 ℎ − 0.75𝑁𝑛 𝑃𝑛 ℎ
42
•
Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik
➢ Analitik dan Metode Euler
43
44
➢ Analitik dan Metode Heun
45
46
➢ Analitik dan Metode Runge Kutta
47
48
Dari grafik yang dihasilkan ketiga metode terlihat bahwa error yang paling
kecil adalah metode runge kutta, karena kurva analitik dan hasil metode runge
kutta terlihat bersatu.
•
Linearisasi
FIXED POINT 1
FIXED POINT 2
49
FIXED POINT 3
FIXED POINT 4
NONLINEAR
50
LINEAR (Dari Fixedpoint 1)
51
LINEAR (Dari Fixedpoint 2)
52
LINEAR (Dari Fixedpoint 3)
53
LINEAR (Dari Fixedpoint 4)
54
Hasil Linearisasi yang paling mendekati adalah hasil linearisasi dari titik
tetap kedua, dengan gambar perbandingan grafik sebagai berikut:
55
SOLUSI UNTUK SISTEM PERSAMAAN DAN NONSISTEM DALAM
PEMODELAN MATEMATIKA
Dosen Pengampu:
Dr. Usman Pagalay, M.Si
Oleh:
Nurul anggraeni hidayati
NIM. 14610002
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM
MALANG
2017
DAFTAR ISI
1.
Non System ................................................................................................................. 1
1.1 PERSAMAAN YANG UMUM (LOGISTIK) ......................................................... 1
•
Assumption ......................................................................................................... 1
•
Discretization ...................................................................................................... 2
•
Analytical Solution ............................................................................................. 4
•
Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution.............................. 5
1.2 PERSAMAAN LAIN ............................................................................................... 9
•
Discretization .................................................................................................... 10
•
Analytical Solution ........................................................................................... 12
•
Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution............................ 13
2. Sistem............................................................................................................................ 17
2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR ......................................................................... 17
•
Solusi Sistem ..................................................................................................... 18
•
Bidang Fase....................................................................................................... 23
•
Diskritisasi ........................................................................................................ 24
•
Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik ...................................................... 26
2.2 SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR ................................................................ 33
•
Solusi Sistem ..................................................................................................... 33
•
Bidang Fase....................................................................................................... 39
•
Disktitisasi......................................................................................................... 41
•
Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik ...................................................... 43
•
Linearisasi ......................................................................................................... 49
i
1. NON SISTEM
1.1 PERSAMAAN YANG UMUM (LOGISTIK)
Source:
Mathematical Modelling with Case Studies
Using Maple™ and MATLAB®
Third Edition
B.Barnes and G.R. Fulford
Page 78
Exercises 3.10
3.2
Modelling the Spread of the technology.
Models for spread of technology are very similar to the logistic model for
population growth. Let 𝑁(𝑡) be the number of ranchers who have adopted an
improved pasture technology in Uruguay. Then 𝑁(𝑡) satisfies the differential
equation
𝑑𝑁
𝑁
= 𝑎𝑁(1 − )
𝑑𝑡
𝑁𝑇
Where 𝑁𝑇 is the total population of ranchers. It is assumed that the rate of
adoption is proportional to both the number who have adopted the technology and
the fraction of the population of ranchers who have not adopted the technology.
According to Banks (1994), 𝑁𝑇 = 17.015, 𝑎 = 0.49, 𝑁0 = 141
• Assumption
1. Rate of adoption is proportional to both the number who have adopted the
technology and the fraction of the population of ranchers who have not adopted
the technology
𝑑𝑁
𝑁
= 𝑎𝑁(1 − )
𝑑𝑡
𝑁𝑇
1
𝑁 : Number of ranchers who have adopted an improved pasture technology in
Uruguay
𝑁𝑇 : Number of ranchers
Interpretation of the model will be written in Bahasa
Perubahan jumlah peternak yang mengadopsi teknologi padang rumput di
Uruguay terhadap waktu sebanding dengan jumlah peternak yang mengadopsi
teknologi padang rumput di Uruguay sebanyak 𝑎 dan berkurang karena adanya
interaksi jumlah peternak yang mengadopsi teknologi padang rumput tersebut
dengan dirinya sendiri sebanyak 𝑎 dari jumlah keseluruhan peternak. Atau dengan
kata lain bahwa perubahan jumlah peternak yang mengadopsi teknologi padang
rumput di Uruguay mengikuti persamaan logistic dengan laju pertumbuhan 𝑎
dengan daya tampung 𝑁𝑇 .
•
Discretization
➢ Manual
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
lim
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)
= 𝑎𝑁(𝑡) (1 −
)
ℎ
𝑁𝑇
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 𝑎𝑁(𝑡)ℎ (1 −
𝑁(𝑡)
)
𝑁𝑇
2
𝑎(𝑁(𝑡)) ℎ
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 𝑎𝑁(𝑡)ℎ −
𝑁𝑇
2
𝑎(𝑁(𝑡)) ℎ
𝑁(𝑡 + ℎ) = 𝑁(𝑡) + 𝑎𝑁(𝑡)ℎ −
𝑁𝑇
➢ Maple
𝑁𝑛+1
𝑎𝑁𝑛 2 ℎ
= 𝑁𝑛 + 𝑎𝑁𝑛 ℎ −
𝑁𝑇
2
Interpretation of the plot will be written in Bahasa
Dari kurva yang terlihat pada plot di atas, terlihat bahwa model ini memiliki dua
titik keseimbangan sebagai solusi, yakni 𝑁 = 0 dan 𝑁 = 𝑁𝑇 = 141. Dari kurva
tersebut juga dapat ditunjukkan bahwa semakin besar nilai t, jumlah peternak yang
mengadopsi teknologi padang rumput di Uruguay semakin sedikit. Interpretasi ini
juga berlaku untuk semua plot hasil diskritisasi, analitik dan numerik (euler, heun,
dan runge-kutta).
3
•
Analytical Solution
➢ Manual
𝑑𝑁
𝑁
= 𝑎𝑁 (1 − )
𝑑𝑡
𝑁𝑇
𝑁𝑇 − 𝑁
𝑑𝑁
= 𝑎𝑁(
)
𝑁𝑇
𝑑𝑡
∫
∫
𝑁𝑇
𝑑𝑁 = 𝑎 𝑑𝑡
𝑁(𝑁𝑇 − 𝑁)
𝑁𝑇
𝑑𝑁 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡
𝑁(𝑁𝑇 − 𝑁)
1
1
𝑑𝑁 + ∫
𝑑𝑁 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡
𝑁
𝑁𝑇 − 𝑁
ln|𝑁| + ln|𝑁𝑇 − 𝑁| = 𝑎𝑡 + 𝐶
𝑁
= 𝑐1 𝑒 𝑎𝑡
𝑁𝑇 − 𝑁
𝑁 = 𝑐1 𝑒 𝑎𝑡 (𝑁𝑇 − 𝑁)
Substituting the value of 𝑎 and 𝑁𝑇
𝑁 = 𝑐1 𝑒 0.49𝑡 (17.015 − 𝑁)
So general solution is
𝑵(𝒕) = 𝒄𝟏 𝒆𝟎.𝟒𝟗𝒕 (𝟏𝟕. 𝟎𝟏𝟓 − 𝑵(𝒕))
𝑁(0) = 𝑐1 𝑒 0.49𝑡 (17.015 − 𝑁(0))
Substituting the value of 𝑁(0)
141 = 𝑐1 𝑒 0.49×0 (17.015 − 141)
141 = 𝑐1 𝑒 0 (−123.985)
𝑐1 =
141 = 𝑐1 (−123.985)
141
= −1.137234343
−123.985
𝑵(𝒕) = −𝟏. 𝟏𝟑𝟕𝟐𝟑𝟒𝟑𝟒𝟑𝒆𝟎.𝟒𝟗𝒕 (𝟏𝟕. 𝟎𝟏𝟓 − 𝑵(𝒕))
4
➢
•
Maple
Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution
1. Analytical and Euler Method
➢ Metode Euler merupakan metode
➢ Maple
>
>
5
2. Analytical and Heun Method
➢ Manual
➢ Maple
6
7
3. Analytical and Runge-Kutta Method
➢ Manual
➢ Maple
8
•
Interpretation
All of curve using discretization, analytical and numerical solutions are similar.
Computations done by substitution the value of 𝑎 and 𝑁𝑇 , and the curve similar to
general logistical curve.
1.2 PERSAMAAN LAIN
Source:
Differential Equations: a Modeling Approach
Glenn Ledder
Page 107
Exercises 2.5
7
5
𝑑𝑦
=
𝑑𝑡 1 + 5𝑒 −𝑦
Interpretation of the model will be written in Bahasa
9
Perubahan banyaknya populasi y terhadap waktu t mengikuti pertumbuhan
eksponensial dengan laju pertumbuhan 5 dan daya tampung 5.
•
Discretization
➢ Manual
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
5
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡)
=
ℎ
1 + 5𝑒 −𝑦(𝑡)
5
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) =
ℎ
1 + 5𝑒 −𝑦(𝑡)
5ℎ
+ 𝑦(𝑡)
𝑦(𝑡 + ℎ) =
1 + 5𝑒 −𝑦(𝑡)
5ℎ
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +
1 + 5𝑒 −𝑦𝑛
lim
➢ Maple
10
Interpretation of the plot will be written in Bahasa
Dari kurva yang terlihat pada plot di atas, terlihat bahwa semakin bertambahnya
nilai 𝑡, populasi 𝑦 semakin banyak. Selain waktu, pertambahan jumlah populasi 𝑦
juga dipengaruhi oleh laju pertumbuhan dan daya tampung, namun dalam
persamaan ini, laju pertumbuhan dan daya tampung ditetapkan bernilai 5. Kurva
menunjukkan hubungan antara waktu dan banyak populasi 𝑦 terhadap waktu.
Seiring dengan bertambahnya waktu, populasi 𝑦 semakin bertambah dan tidak
ditemukan titik maksimumnya, dimana sampai 𝑡 = 1000 (gambar kurva tidak
disertakan dalam paper), kurva 𝑦(𝑡) masih menunjukkan kenaikan. Interpretasi ini
juga berlaku untuk semua plot hasil diskritisasi, analitik dan numerik (euler, heun,
dan runge-kutta).
11
•
Analytical Solution
➢ Manual
𝑑𝑦
5
=
𝑑𝑡 1 + 5𝑒 −𝑦
1 + 5𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = 5 𝑑𝑡
∫ 1 + 5𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 5 𝑑𝑡
𝑦 − 5𝑒 −𝑦 = 5𝑡
𝑦 = 5𝑒 −𝑦 + 5𝑡
➢ Maple
𝑦(𝑡) = 5𝑒 −𝑦(𝑡) + 5𝑡
12
•
Comparison of Analytical Solution and Numerical Solution
➢ Analytical Solution and Euler Method
>
>
13
➢ Analytical Solution and Heun Method
>
14
➢ Analytical Solution and Runge Kutta Method
15
16
2. SISTEM
2.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Source:
Persamaan Differensial Biasa
Model Matematika Fenomena Perubahan
Kartono
Halaman 154
Nomor 12
𝑑𝑥
− 2𝑥 + 3𝑦 = 0
𝑑𝑡
Interpretasi
𝑑𝑦
− 𝑦 + 2𝑥 = 0
𝑑𝑡
Persamaan Pertama
Perubahan banyaknya kandungan zat 𝑥 dalam tubuh terhadap waktu t
sebanding dengan kandungan zat 𝑥 sebanyak 2 satuan dan berkurang karena adanya
kandungan zat 𝑦 sebanyak 3 satuan.
Persamaan Kedua
Perubahan banyaknya kandungan zat 𝑦 dalam tubuh terhadap waktu t
sebanding dengan banyaknya kandungan zat 𝑦 dan berkurang karena adanya
kandungan zat 𝑥 sebanyak 2 satuan.
Dengan syarat awal 𝑥(0) = 8, 𝑦(0) = 3
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 𝑦 − 2𝑥
𝑑𝑡
𝑥̇ = 2𝑥 − 3𝑦
17
𝑦̇ = −2𝑥 + 𝑦
𝑥̇
2 −3 𝑥
) (𝑦 )
( )=(
𝑦̇
−2 1
• Solusi Sistem
➢ Manual
•
Menentukan Nilai Eigen
Dimisalkan matriks 𝐴 = (
Maka det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
2 −3
)
−2 1
1 0
2 −3
)| = 0
)−𝜆(
|(
0 1
−2 1
2−𝜆
−3
|(
)| = 0
−2 1 − 𝜆
(2 − 𝜆)(1 − 𝜆) − (−3)(−2) = 0
(2 − 2𝜆 − 𝜆 + 𝜆2 ) − 6 = 0
𝜆2 − 3𝜆 − 4 = 0
(𝜆 − 4)(𝜆 + 1) = 0
𝜆1 = 4, 𝜆2 = −1
Didapatkan nilai eigen 4 dan -1
•
Menentukan Eigen Vektor
➢ Untuk 𝜆 = 4
(
2−𝜆
−2
(
𝑣1
−3
) (𝑣 ) = 0
2
1−𝜆
−2 −3 𝑣1
)( ) = 0
−2 −3 𝑣2
−2𝑣1 − 3𝑣2 = 0
−2𝑣1 − 3𝑣2 = 0
−2𝑣1 = 3𝑣2
𝑣1 =
3
𝑣 ,𝑣 = 1
−2 2 2
18
3
𝑣1
−
(𝑣 ) = ( 2)
2
1
➢ Untuk 𝜆 = −1
(
2−𝜆
−2
(
𝑣1
−3
) (𝑣 ) = 0
2
1−𝜆
3 −3 𝑣1
) (𝑣 ) = 0
−2 2
2
3𝑣1 − 3𝑣2 = 0
−2𝑣1 + 2𝑣2 = 0
3𝑣1 = 3𝑣2
2𝑣1 = 2𝑣2
𝑣1 = 𝑣2
•
𝑣1
1
(𝑣 ) = ( )
1
2
Solusi Umum
𝑣1
𝑣1
𝑥
(𝑦) = 𝑐1 𝑒 𝜆1 𝑡 (𝑣 ) + 𝑐1 𝑒 𝜆2 𝑡 (𝑣 )
2
2
•
Solusi Khusus
1
𝑥
1
(𝑦) = 𝑐1 𝑒 4𝑡 ( 3) + 𝑐1 𝑒 −1𝑡 ( )
−
1
2
(
1
𝑥(0)
1
) = 𝑐1 𝑒 0 ( 3) + 𝑐1 𝑒 0 ( )
𝑦(0)
−
1
2
1
8
1
( ) = 𝑐1 ( 3) + 𝑐1 ( )
−
3
1
2
Dengan menggunakan cara eliminasi, didapat 𝑐1 = 2, dan 𝑐2 = 6
1
𝑥
1
(𝑦) = 2𝑒 4𝑡 ( 3) + 6𝑒 −1𝑡 ( )
−
1
2
19
Atau dapat juga dituliskan
𝑥(𝑡) = 2𝑒 4𝑡 + 6𝑒 −1𝑡
➢ Maple
𝑦(𝑡) = −3𝑒 4𝑡 + 6𝑒 −1𝑡
20
Atau dengan cara analitik
21
➢ Interpretasi
Kurva dengan garis berwarna kuning menunjukkan kandungan zat 𝑥 dalam
tubuh. Semakin bertambahnya waktu, kandungan zat 𝑥 dalam tubuh semakin
banyak, namun berkurang secara periodik karena adanya zat 𝑦. Namun pada setiap
satuan waktu, banyaknya pertambahan zat 𝑥 lebih banyak daripada berkurangnya
zat 𝑥 karena pengaruh zat 𝑦, sehingga grafik masih menunjukkan kenaikan.
22
Sedangkan kurva dengan garis berwarna hijau menunjukkan kandungan zat 𝑦
dalam tubuh. Terlihat dalam grafik, semakin bertambahnya waktu, kandungan zat
𝑦 semakin berkurang bahkan bernilai minus. Semakin bertambahnya waktu, tubuh
akan kehilangan zat 𝑦 dan akhirnya kekurangan (karena bernilai minus).
Berkurangnya kandungan zat 𝑦 dalam tubuh karena adanya pengaruh zat 𝑥 yang
menyebabkan zat 𝑦 berkurang sebanyak 2 satuan per satuan waktu. Interpretasi ini
juga berlaku untuk semua grafik hasil diskritisasi, analitik, dan numerik (runge
kutta).
•
Bidang Fase
23
➢ Interpretasi Phase Portrait
Dari nilai eigen yang didapat dari cara manual maupun maple,
didapat dua nilai eigen dengan tanda yang berbeda, dimana salah satu nilai
eigennya positif, dan yang lain negative. Dari nilai eigen yang demikian,
maka phase portraitnya akan membentuk saddle/pelana seperti ditunjukkan
dalam grafik diatas dimana dalam hal ini kestabilannya bersifat tidak stabil.
• Diskritisasi
➢ Persamaan Pertama
𝑑𝑥
− 2𝑥 + 3𝑦 = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3𝑦
𝑑𝑡
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
lim
ℎ→0
ℎ
𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡)
= 2𝑥(𝑡) − 3𝑦(𝑡)
ℎ
𝑥(𝑡 + ℎ) − 𝑥(𝑡) = 2𝑥(𝑡)ℎ − 3𝑦(𝑡)ℎ
𝑥(𝑡 + ℎ) = 𝑥(𝑡) + 2𝑥(𝑡)ℎ − 3𝑦(𝑡)ℎ
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 2𝑥𝑛 ℎ − 3𝑦𝑛 ℎ
➢ Persamaan Kedua
𝑑𝑦
− 𝑦 + 2𝑥 = 0
𝑑𝑡
𝑑𝑦
= 𝑦 − 2𝑥
𝑑𝑡
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
lim
ℎ→0
ℎ
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡)
= 𝑦(𝑡) − 2𝑥(𝑡)
ℎ
𝑦(𝑡 + ℎ) − 𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡)ℎ − 2𝑥(𝑡)ℎ
𝑦(𝑡 + ℎ) = 𝑦(𝑡) + 𝑦(𝑡)ℎ − 2𝑥(𝑡)ℎ
➢ Maple
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑦𝑛 ℎ − 2𝑥𝑛 ℎ
24
25
•
Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik
➢ Analitik dan Metode Euler
26
27
➢ Analitik dan Metode Heun
28
29
➢ Analitik dan Metode Runge Kutta
30
31
Dari grafik yang dihasilkan ketiga metode terlihat bahwa error yang paling
kecil adalah metode runge kutta, karena kurva analitik dan hasil metode runge
kutta terlihat bersatu.
32
2.2 SISTEM PERSAMAAN NONLINEAR
Source:
Different Equation with Boundary-Value Problem
Zill and Cullen
Halaman 518
Interpretasi
𝒅𝑵
= 𝑵(𝟎. 𝟓 − 𝑵 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑷) = 𝟎. 𝟓𝑵 − 𝑵𝟐 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵𝑷
𝒅𝒕
𝒅𝑷
= 𝑷(𝟐 − 𝑷 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵) = 𝟐𝐏 − 𝐏 𝟐 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵𝑷
𝒅𝒕
Persamaan Pertama
Perubahan banyaknya populasi 𝑁 terhadap waktu 𝑡 sebanding dengan
banyaknya populasi 𝑁 sebanyak 0.5 satuan dan berkurang karena adanya interaksi
populasi 𝑁dengan sesamanya sebanyak 1 satuan dan berkurang karena adanya
interaksi populasi 𝑁 dengan populasi 𝑃 sebanyak 0.75 satuan.
Persamaan Kedua
Perubahan banyaknya populasi 𝑃 terhadap waktu 𝑡 sebanding dengan
banyaknya populasi 𝑃 sebanyak 2 satuan dan berkurang karena adanya interaksi
populasi 𝑃 dengan sesamanya sebanyak 1 satuan dan berkurang karena adanya
interaksi populasi 𝑁 dengan 𝑃 sebanyak 0.75 satuan.
• Solusi Sistem
➢ Manual
Dengan syarat awal 𝑁(0) = 2, 𝑃(0) = 2
𝑑𝑁
= 0.5𝑁 − 𝑁 2 − 0.75𝑁𝑃
𝑑𝑡
𝑑𝑃
= 2P − P 2 − 0.75𝑁𝑃
𝑑𝑡
33
𝑁̇ = 𝑁(0.5 − 𝑁 − 0.75𝑃)
𝒋=(
𝑃̇ = 𝑃(2 − 𝑃 − 0.75N)
𝟎. 𝟓 − 𝟐𝑵 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑷
−𝟎. 𝟕𝟓𝑵
)
−𝟎. 𝟕𝟓𝑷
𝟐 − 𝟐𝑷 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵
1. 𝑵 = 𝟎 , 𝑷 = 𝟎
𝒅 𝑵
𝟎. 𝟓
( )=(
𝟎
𝒅𝒕 𝑷
𝟎
)
𝟐
Mencari nilai eigen dan eigen vektor
𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎
𝒓
𝟎. 𝟓 𝟎
[(
)−(
𝟎
𝟎 𝟐
(
𝟎. 𝟓 − 𝒓
𝟎
𝒓𝟏 = 𝟎. 𝟓 ,
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
𝟐 − 𝒓 𝜺𝟐
𝟎
Untuk 𝒓𝟏 = 𝟏
(
𝟎. 𝟓 − 𝟎. 𝟓
𝟎
(
𝟎
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)] ( ) = ( )
𝒓
𝜺𝟐
𝟎
𝒓𝟐 = 𝟐
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
𝟐 − 𝟎. 𝟓 𝜺𝟐
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
𝟏. 𝟓 𝜺𝟐
𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟏. 𝟓𝜺𝟐 = 𝟎
Ambil 𝜺𝟏 = 𝟏, 𝜺𝟐 = 𝟎 → (𝟏𝟎)
Untuk 𝒓𝟐 = 𝟐
(
𝟎. 𝟓 − 𝟐
𝟎
(
−𝟏. 𝟓
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
𝟐 − 𝟐 𝜺𝟐
𝟎
𝟎
𝟎 𝜺𝟏
)( ) = ( )
𝟎 𝜺𝟐
𝟎
−𝟏. 𝟓𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
Ambil 𝜺𝟐 = 𝟏, 𝜺𝟏 = 𝟎 → (𝟎𝟏)
𝒖
𝟏
𝟎
( ) = 𝑪𝟏 ( ) 𝒆𝟎.𝟓𝒕 + 𝑪𝟐 ( ) 𝒆𝟐𝒕
𝒗
𝟎
𝟏
2. 𝑵 = 𝟎, 𝑷 = 𝟐
34
𝒅 𝑵
−𝟏
( )=(
−𝟏.
𝟓
𝒅𝒕 𝑷
𝟎
)
−𝟐
Mencari nilai eigen dan eigen vektor
𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎
−𝟏
[(
−𝟏. 𝟓
(
𝒓
𝟎
)−(
𝟎
−𝟐
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)] ( ) = ( )
𝒓
𝜺𝟐
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
−𝟏 − 𝒓
𝟎
)( ) = ( )
−𝟏. 𝟓 −𝟐 − 𝒓 𝜺𝟐
𝟎
𝒓𝟏 = −𝟏 , 𝒓𝟐 = −𝟐
Untuk 𝒓𝟏 = −𝟏
𝜺𝟏
𝟎
−𝟏 − (−𝟏)
𝟎
(
)( ) = ( )
−𝟏. 𝟓
−𝟐 − (−𝟏) 𝜺𝟐
𝟎
(
𝟎
−𝟏. 𝟓
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)( ) = ( )
−𝟏 𝜺𝟐
𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
−𝟏. 𝟓𝜺𝟏 − 𝟏𝜺𝟐 = 𝟎
𝟏
Ambil 𝜺𝟏 = 𝟏 → −𝟏𝜺𝟐 = −𝟏. 𝟓 → 𝜺𝟐 = 𝟏. 𝟓, → (−𝟏.𝟓
)
Untuk 𝒓𝟐 = −𝟐
−𝟏 − (−𝟐)
𝟎
(
) (𝜺𝟏 ) = (𝟎𝟎)
−𝟏. 𝟓
−𝟐 − (−𝟐) 𝜺𝟐
(
𝟏
−𝟏. 𝟓
𝟎 𝜺𝟏
) (𝜺 ) = (𝟎𝟎)
𝟐
𝟎
𝟏𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
−𝟏. 𝟓𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
Ambil 𝜺𝟐 = 𝟏 , 𝜺𝟏 = 𝟎 → (𝟎𝟏)
𝒖
𝟏
𝟎
( ) = 𝑪𝟏 (
) 𝒆−𝟏𝒕 + 𝑪𝟐 ( ) 𝒆−𝟐𝒕
𝒗
−𝟏. 𝟓
𝟏
3. 𝑵 = 𝟎. 𝟓, 𝑷 = 𝟎
𝒅 𝑵
−𝟎. 𝟓
( )=(
𝟎
𝒅𝒕 𝑷
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)
𝟏. 𝟔𝟐𝟓
Mencari nilai eigen dan eigen vektor
𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎
−𝟎. 𝟓
[(
𝟎
𝒓
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)−(
𝟎
𝟏. 𝟔𝟐𝟓
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)] ( ) = ( )
𝒓
𝜺𝟐
𝟎
35
(
−𝟎. 𝟓 − 𝒓
𝟎
𝒓𝟏 = −𝟎. 𝟓 ,
𝜺𝟏
𝟎
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)( ) = ( )
𝟏. 𝟔𝟐𝟓 − 𝒓 𝜺𝟐
𝟎
𝒓𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟐𝟓
Untuk 𝒓𝟏 = −𝟎. 𝟓
−𝟎. 𝟓 − (−𝟎. 𝟓)
(
𝟎
(
𝟎
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)( ) = ( )
𝟏. 𝟔𝟐𝟓 − (−𝟎. 𝟐𝟓) 𝜺𝟐
𝟎
𝟎
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓 𝜺𝟏
)( ) = ( )
𝟏. 𝟖𝟕𝟓
𝜺𝟐
𝟎
𝟎𝜺𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟕𝟓𝜺𝟐 = 𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟏. 𝟖𝟕𝟓𝜺𝟐 = 𝟎
Pilih 𝜺𝟏 = 𝟏, → 𝜺𝟐 = 𝟎 → (𝟏𝟎)
Untuk 𝒓𝟐 = 𝟏. 𝟔𝟐𝟓
(
(
𝜺𝟏
𝟎
−𝟎. 𝟓 − 𝟏. 𝟔𝟐𝟓
−𝟎. 𝟑𝟕𝟓
)( ) = ( )
𝟎
𝟏. 𝟔𝟐𝟓 − 𝟏. 𝟔𝟐𝟓 𝜺𝟐
𝟎
𝟎
−𝟐. 𝟏𝟐𝟓 −𝟎. 𝟑𝟕𝟓 𝜺𝟏
)( ) = ( )
𝟎
𝟎
𝜺𝟐
𝟎
−𝟐. 𝟏𝟐𝟓𝜺𝟏 − 𝟎. 𝟑𝟕𝟓𝜺𝟐 = 𝟎
𝟎𝜺𝟏 + 𝟎𝜺𝟐 = 𝟎
Ambil 𝜺𝟐 = 𝟏
𝟎. 𝟑𝟕𝟓 = −𝟐. 𝟏𝟐𝟓𝜺𝟏
𝜺𝟐 =
𝟎.𝟑𝟕𝟓
−𝟐.𝟐𝟏𝟓
= −𝟎. 𝟏𝟕𝟔𝟒𝟕𝟎𝟓𝟖𝟖𝟐 → (−𝟎.𝟏𝟕𝟔𝟒𝟕𝟎𝟓𝟖𝟖𝟐
)
𝟏
𝒖
𝟏
−𝟎. 𝟏𝟕𝟔𝟒𝟕𝟎𝟓𝟖𝟖𝟐 𝟏.𝟔𝟓𝒕
( ) = 𝑪𝟏 ( ) 𝒆−𝟎.𝟓𝒕 + 𝑪𝟐 (
)𝒆
𝒗
𝟎
𝟏
4. 𝑵 = −
𝟏𝟔
𝟕
,𝑷 =
𝟐𝟔
𝟕
𝒅 𝑵
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
( )=(
)
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔 −𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓
𝒅𝒕 𝑷
Mencari nilai eigen dan eigen vektor
𝑨 − 𝑰𝒓 = 𝟎
𝒓
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
[(
)−(
𝟎
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔 −𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓
(
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 − 𝒓
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔
𝜺𝟏
𝟎
𝟎
)] ( ) = ( )
𝒓
𝜺𝟐
𝟎
𝜺𝟏
𝟎
𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
)( ) = ( )
−𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓 − 𝒓 𝜺𝟐
𝟎
(𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 − 𝒓)(−𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓 − 𝒓)
− (𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒(−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔)) = 𝟎
36
Agar lebih cepat, menggunakan matlab didapat hasil berikut
𝒓𝟏 = 𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗 ,
𝒓𝟐 = −𝟐. 𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗
Untuk 𝒓𝟏 = 𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 − 𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗
[(
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔
(𝟎𝟎)
𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
)] (𝜺𝜺𝟏 ) =
𝟐
−𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓 − 𝟏. 𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗
𝟎.𝟖𝟕𝟓𝟖𝟑𝟎𝟐𝟏𝟗𝟎
(𝜺𝜺𝟏 ) = (−𝟎.𝟒𝟖𝟐𝟔𝟏𝟗𝟑𝟒𝟎𝟏
)
𝟐
𝒖𝒏𝒕𝒖𝒌 𝒓𝟐 = −𝟐. 𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗
𝟐. 𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓 + 𝟐. 𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗
[(
−𝟐. 𝟕𝟖𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟔
(𝟎𝟎)
(𝜺𝜺𝟏 ) = (−𝟎.𝟒𝟕𝟔𝟏𝟓𝟐𝟓𝟗𝟎𝟗
)
𝟏.𝟒𝟎𝟒𝟏𝟓𝟑𝟗𝟑𝟔
𝟐
𝟏. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒
)] (𝜺𝜺𝟏 ) =
𝟐
−𝟑. 𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟓 + 𝟐. 𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗
𝟎.𝟖𝟕𝟓𝟖𝟑𝟎𝟐𝟏𝟗𝟎
(𝒖𝒗) = 𝑪𝟏 (−𝟎.𝟒𝟖𝟐𝟔𝟏𝟗𝟑𝟒𝟎𝟏
)𝒆𝟏.𝟑𝟒𝟎𝟒𝟕𝟒𝟖𝟎𝟗𝒕 + 𝑪𝟐 (−𝟎.𝟒𝟕𝟔𝟏𝟓𝟐𝟓𝟗𝟎𝟗
)𝒆−𝟐.𝟕𝟔𝟗𝟎𝟒𝟔𝟐𝟑𝟗𝒕
𝟏.𝟒𝟎𝟒𝟏𝟓𝟑𝟗𝟑𝟔
➢ Maple
37
➢ Interpretasi
Kurva berwarna biru muda merupakan kurva yang menunjukkan perubahan
jumlah populasi 𝑃 terhadap waktu 𝑡, dimana pada awal berjalannya waktu sampai
𝑡 = 1, jumlah populasi menurun lalu melalui titik balik dan bertambah sampai
mencapai kestabilan pada saat 𝑡 = 4. Sedangkan kurva berwarna kuning
merupakan kurva yang menunjukkan perubahan jumlah populasi 𝑁 terhadap waktu
𝑡. seiring berjalannya waktu, jumlah populasi 𝑁 terus menurun dengan penurunan
drastis pada awal bertambahnya t, sampai mencapai kestabilan saat 𝑡 = 4.
Berkurangnya jumlah populasi 𝑁 dan 𝑃 terjadi karena adanya interaksi antar
sesamanya atau antar dua populasi tersebut. Nilai awal 𝑁 dan 𝑃 menunjukkan angka
yang sama, yakni 2. Angka ini merupakan hasil skalasisasi banyaknya populasi
sebelumnya. Meski pada waktu 𝑡 = 0 jumlah populasi 𝑁 dan 𝑃 sama, namun
sejalan dengan waktu, populasi 𝑁 dan 𝑃 menunjukkan perubahan jumlah yang
38
berbeda seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, dengan populasi 𝑃 yang lebih
mampu bertahan. Interpretasi ini juga berlaku untuk semua grafik hasil diskritisasi,
linearisasi, dan numerik(euler, heun, runge kutta).
•
Bidang Fase
39
40
➢ Interpretasi
Dari perhitungan sebelumnya, baik secara manual maupun hasil
perhitungan matlab, terdapat beberapa nilai eigen dengan nilai negatif maupun
positif dengan 4 titik tetap. Dari titik tetap pertama, menghasilkan nilai eigen positif
dengan eigen vector 0, jadi menjauhi titik tetap. Dari titik tetap kedua,
menghasilkan nilai eigen positif dan negatif, jadi membentuk saddle. Dari titik tetap
ketiga, menghasilkan nilai eigen negatif, jadi mendekati titik tetap. Dari titik tetap
keempat, menghasilkan nilai eigen positif, jadi membentuk saddle.
• Disktitisasi
➢ Manual
•
Persamaan Pertama
𝑑𝑁
= 𝟎. 𝟓𝑵 − 𝑵𝟐 − 𝟎. 𝟕𝟓𝑵𝑷
𝑑𝑡
𝑓(𝑁 + ℎ) − 𝑓(𝑁)
lim
ℎ→0
ℎ
41
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡)
= 0.5𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡)2 − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)
ℎ
𝑁(𝑡 + ℎ) − 𝑁(𝑡) = 0.5𝑁(𝑡)ℎ − 𝑁(𝑡)2 ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ
𝑁(𝑡 + ℎ) = 𝑁(𝑡) + 0.5𝑁(𝑡)ℎ − 𝑁(𝑡)2 ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ
𝑁𝑛+1 = 𝑁𝑛 + 0.5𝑁𝑛 ℎ − 𝑁𝑛 2 ℎ − 0.75𝑁𝑛 𝑃𝑛 ℎ
•
Persamaan Kedua
𝑑𝑁
= 2𝑃 − 𝑃2 − 0.75𝑁𝑃
𝑑𝑡
𝑓(𝑃 + ℎ) − 𝑓(𝑃)
ℎ→0
ℎ
lim
𝑃(𝑡 + ℎ) − 𝑃(𝑡)
= 2𝑃(𝑡) − 𝑃(𝑡)2 − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)
ℎ
𝑃(𝑡 + ℎ) − 𝑃(𝑡) = 2𝑃(𝑡)ℎ − 𝑃(𝑡)2 ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ
𝑃(𝑡 + ℎ) = 𝑃(𝑡) + 2𝑃(𝑡)ℎ − 𝑃(𝑡)2 ℎ − 0.75𝑁(𝑡)𝑃(𝑡)ℎ
➢ Maple
𝑃𝑛+1 = 𝑃𝑛 + 2𝑃𝑛 ℎ − 𝑃𝑛 2 ℎ − 0.75𝑁𝑛 𝑃𝑛 ℎ
42
•
Perbandingan Solusi Analitik dan Numerik
➢ Analitik dan Metode Euler
43
44
➢ Analitik dan Metode Heun
45
46
➢ Analitik dan Metode Runge Kutta
47
48
Dari grafik yang dihasilkan ketiga metode terlihat bahwa error yang paling
kecil adalah metode runge kutta, karena kurva analitik dan hasil metode runge
kutta terlihat bersatu.
•
Linearisasi
FIXED POINT 1
FIXED POINT 2
49
FIXED POINT 3
FIXED POINT 4
NONLINEAR
50
LINEAR (Dari Fixedpoint 1)
51
LINEAR (Dari Fixedpoint 2)
52
LINEAR (Dari Fixedpoint 3)
53
LINEAR (Dari Fixedpoint 4)
54
Hasil Linearisasi yang paling mendekati adalah hasil linearisasi dari titik
tetap kedua, dengan gambar perbandingan grafik sebagai berikut:
55