Makalah Matematika Wajib Copy (1
Makalah
Matematika Wajib
‘’Masalah Kontekstual Yang Berkaitan
Dengan Sistem Persamaan Tiga Variabel’’.
KELOMPOK 3 :
1 . Liora c. Pattiasina
2. Mulfadia F. Heriadi
3. Agatha G. Uniplaita
4. Marlen Resiara
5. Josua Kabanga
Kata pengantar
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segalah rahmatNYA
sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai .Tidak lupa kami juga
mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dari pihak yang telah
berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun
pikirannya.
Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan
dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk kedepannya dapat memperbaiki
bentuk maupun menambahi isi makalah agar menjadi lebih baik lagi.
Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin
masih banyak kekurang anda lam makalah ini, Oleh Karena itu kami sangat
mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi
kesempurnaan makalah ini.
Ambon,01Oktober 2017
Penyusun
Daftar Isi
Halaman sampul
……………………………………………………………………………………………… i
Kata pengantar
…………………………………………………………………………………………………ii
Daftar isi
………………………………………………………………………………………………………
…..iii
Bab I Pendahuluan
………………………………………………………………………………………….1
1.1 Latar belakang masalah
……………………………………………………………………………1
1.2 Rumusan masalah
…………………………………………………………………………………….1
Bab II
Pembahasan……………………………………………………………………………………
……….2
2.1 Pengertian sistem persamaan linear tiga variabel
…………………………………….2
2.2 contoh- contoh masalah dan penyelesaian kontekstual yang terkait
dengan SPLTV
………………………………………………………………………………………………………
………. 2 - 6
Bab III
3.3
Kesimpulan………………………………………………………………………………………
……. 7
3.4 Saran
……………………………………………………………………………………………………..
7
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar belakang masalah
Dalam kehidupan sehari – hari , banyak permasalahan yang terjadi dan sulit
untuk diselesaikan misalnya masalah keuangan dalam sistem perbankan ,
masalah menentukan harga sebuah barang dan masalah – masalah lainnya.
Karena itu kita dapat menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel
untuk menyelesaikan permasalah – permasalahan tersebut. Sistem
persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan
beberapa metode berbeda yaitu substitusi, eliminasi , dan detreminan .
1.2
Rumusan masalah
Apa pengertian persamaan linear tiga variabel ?
Bagaimana permasalahan dalam kehidupan sehari – hari dapat
diselesaikan menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel ?
BAB II
PEMBAHASAN
1.1
Pengertian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sebuah konsep dalam ilmu matematika
yang digunakan untuk menyelesaikan kasus yang tidak dapat diselesaikan menggunakan
persamaan linear satu dan dua variabel
2.2 Contoh sistem persamaan linear tiga variable
CONTOH 1
Ahmad membeli di sebuah Toko peralatan sekolah berupa 4 buah penggaris, 6 buah buku tulis
dan 2 buah pena dengan menghabiskan biaya sebesar Rp 19.000,00. Di Toko yang
samaSulaiman berbelanja 3 buah buku tulis dan sebuah penggaris dengan menghabiskan
uangRp 7.000,00. Jika harga sebuah penggaris adalahRp 1.000,00 maka berpakah harga
sebuah pena?
Untuk menyelesaikan kasus diatas, kita dapat menggunakan konsep sistem persamaan tiga
variabel.
Pembahasan!
Dimisalkan bahwa;
X = harga sebuah penggaris
Y = harga sebuah buku
Z = harga sebuah pena
Diketahui:
4X + 6Y + 2Z
3Y + X
X
= 19.000
= 7.000
= 1.000
persamaan (I)
persamaan (II)
persamaan (III)
Ditanya:
Z=?
Dijawab:
Kita selesaikan terlebih dahulu persamaan (II) dengan bantuan persamaan (III), untuk mengetahu
inilai Y (harga sebuah buku).
3Y + X
= 7.000
( X = 1.000 )
3Y + 1.000
3Y
3Y
Y
Y
= 7.000
= 7.000 – 1.000
= 6.000
= 6.000/3
= 2.000
persamaan (IV)
Kita lanjutkan untuk menyelesaikan persamaan (I) dengan bantuan persamaan (III) dan
persamaan (IV) yang dihasilkan dari penghitungan di atas untuk mencari nilai Z (harga sebuah
pena).
Kita sudah memiliki nilai;
Y = 2.000 dan,
X = 1.000.
Maka,
4X + 6Y + 2Z
4(1.000) + 6(2.000) + 2Z
4.000 + 12.000 + 2Z
16.000 + 2Z
2Z
2Z
Z
Z
= 19.000
= 19.000
= 19.000
= 19.000
= 19.000 – 16.000
= 3.000
= 3.000/2
= 1.500
Sudah terjawab masing – masing nilai X, Y dan Z sebagai berikut;
X = 1.000
Y = 2.000
Z = 1.500
Jadi, harga sebuah pena adalahRp 1.500,00
Contoh 2
Memodelkan Permasalahan Keuangan
Suatu perusahaan rumahan meminjamRp 2.250.000.000,00dari tiga bank yang berbeda untuk
memperluas jangkauan bisnisnya. Suku bunga dari ketiga bank tersebut adalah 5%, 6%, dan 7
%.Tentukan berapa pinjaman perusahaan tersebut terhadap masing-masing bank jika bunga
tahunan yang harus dibayar perusahaan tersebut adalahRp 130.000.000,00 dan banyaknya uang
yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang dipinjam dengan bunga 7%?
Pembahasan
Misalkanx, y, dan z secara berturut-turut adalah banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga
5%, 6%, dan 7%.Ini berarti yang menjadi persamaan pertama kita adalah x + y + z = 2.250
(dalam jutaan). Persamaan kedua diperoleh dari total bunga pertahunnya, yaituRp
130.000.000,00: 0,05x + 0,06y + 0,07z = 130. Sedangkan persamaan ketiga dapat diperoleh dari
kalimat, “banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang
dipinjam dengan bunga 7%”, sehingga persamaannya adalah x = 2z. Ketiga persamaan tersebut
membentuk sistem seperti berikut.
{
x+ y + z =2.250
0,05 x +0,06+ 0,07 z=130
x=2 z
Suku-x pada persamaan pertama adalah 1.Apabila dituliskan kembali kedalam bentuk standar,
sistem tersebut akan menjadi
{
x + y + z=2.250
5 x +6 y +7 z=13.000
x−2 z =0
Gunakan –5P1 + P2 untuk mengeliminasi suku-x di P2, dan –P1 + P3 untuk mengeliminasi
suku-x di P3.
-5P1 -5x-5y-5z = -11.250
-P1
-x-y-z = -2.250
P2
5x+6y+7z = 13.000 P3
y+2z = 1.750
x-2z =0
-y-3z = -2.250
Sehingga, P2 yang baru adalah y + 2z = 1.750 dan P3 yang baru adalah y + 3z = 2.250 (setelah di
kalian dengan –1), yang menghasilkan sistem berikut.
{
x + y + z=2.250
y+ 2 z=1.750
y+3 z=2.250
Dengan menyelesaikan subsistem 2 × 2 (dua persamaan terakhir) menggunakan –P2 + P3
menghasilkan z = 500. Selanjutnya dengan menerapkan substitusi balik akan menghasilkan x =
1.000 dan y = 750. Diperoleh selesaian SPLTV tersebut adalah (1.000, 750, 500).Ini berarti
bahwa perusahaan tersebut meminjam 1 miliar rupiah pada bunga 5%, 750 juta rupiah pada
bunga 6%, dan 500 juta rupiah pada bunga 7%.
Contoh Soal 3
Menentukan Harga Barang
Pada sebuah took buku, Ana membeli 4 buku,2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp.26.000,00.
Lia membeli 3 buku,3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp.21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan
1 pensil dengan hargaRp. 12.000,00. Jika Lola membeli 2 pulpen dan 3 pensil, maka tentukan
biaya yang harus dikeluarkan oleh Lola !
Pembahasan:
Dimisalkan buku=x, pulpen=y, pensil=z
Dari soal, dapat disusun system persamaan linear sebagai berikut:
1). 4x + 2y + 3z = 26.000
2). 3x + 3y + z = 21.000
3). 3x + z = 12.000
Ditanya : 2y + 3z = ….?
Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umum nya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah
harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu
mencari harga satuan y dan z.
Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan3x + z = 12.000, diperoleh dengan harga satuan pulpen yaitu:
3x + 3y + z = 21.000
3x +
z = 12.000 –
3y
= 9.000
y
= 3.000
Selanjutnya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut:
4x + 2(3.000) + 3z = 26.000
3x + 3(3.000) + z = 21.000
↓
4x + 6.000 + 3z = 26.000
3x + 9.000 + z = 21.000
↓
4x + 3z = 20.000 |x 3
3x + z = 12.000 |x 4
↓
12x + 9z = 60.000
12x + 4z = 48.000 5z = 12.000
z = 2.400
Jadi, harga 2 pulpendan 3 pensil adalah:
2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = 13.200,00
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Jadi dengan menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel kita dapat
memecahkan permasalahan sehari-hari. Terdapat tiga metode penyelesaian SPLTV ini yaitu
substitusi, eliminasi, dan determinan. Terkadang untuk menyelasaikan SPLTV dapat
menggunakan metode campuran dari ketiga metode tersebut.
3.2 Saran
Kita harus mempelajari SPLTV ini secara lebih mendalam lagi agar kita dapat
menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari –hari dengan lebih mudah.
Saran untuk pak guru : sebaiknya pak guru lebih memperbanyak latihan soal bagi kami dalam
berbagai bentuk agar kami dapat dengan mudah menganalisa masalah – masalah serta
menyelesaikannya .
Matematika Wajib
‘’Masalah Kontekstual Yang Berkaitan
Dengan Sistem Persamaan Tiga Variabel’’.
KELOMPOK 3 :
1 . Liora c. Pattiasina
2. Mulfadia F. Heriadi
3. Agatha G. Uniplaita
4. Marlen Resiara
5. Josua Kabanga
Kata pengantar
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segalah rahmatNYA
sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai .Tidak lupa kami juga
mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dari pihak yang telah
berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun
pikirannya.
Dan harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan
dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk kedepannya dapat memperbaiki
bentuk maupun menambahi isi makalah agar menjadi lebih baik lagi.
Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman kami, Kami yakin
masih banyak kekurang anda lam makalah ini, Oleh Karena itu kami sangat
mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi
kesempurnaan makalah ini.
Ambon,01Oktober 2017
Penyusun
Daftar Isi
Halaman sampul
……………………………………………………………………………………………… i
Kata pengantar
…………………………………………………………………………………………………ii
Daftar isi
………………………………………………………………………………………………………
…..iii
Bab I Pendahuluan
………………………………………………………………………………………….1
1.1 Latar belakang masalah
……………………………………………………………………………1
1.2 Rumusan masalah
…………………………………………………………………………………….1
Bab II
Pembahasan……………………………………………………………………………………
……….2
2.1 Pengertian sistem persamaan linear tiga variabel
…………………………………….2
2.2 contoh- contoh masalah dan penyelesaian kontekstual yang terkait
dengan SPLTV
………………………………………………………………………………………………………
………. 2 - 6
Bab III
3.3
Kesimpulan………………………………………………………………………………………
……. 7
3.4 Saran
……………………………………………………………………………………………………..
7
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar belakang masalah
Dalam kehidupan sehari – hari , banyak permasalahan yang terjadi dan sulit
untuk diselesaikan misalnya masalah keuangan dalam sistem perbankan ,
masalah menentukan harga sebuah barang dan masalah – masalah lainnya.
Karena itu kita dapat menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel
untuk menyelesaikan permasalah – permasalahan tersebut. Sistem
persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan
beberapa metode berbeda yaitu substitusi, eliminasi , dan detreminan .
1.2
Rumusan masalah
Apa pengertian persamaan linear tiga variabel ?
Bagaimana permasalahan dalam kehidupan sehari – hari dapat
diselesaikan menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel ?
BAB II
PEMBAHASAN
1.1
Pengertian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
Sistem Persamaan linear tiga variabel (SPLTV) adalah sebuah konsep dalam ilmu matematika
yang digunakan untuk menyelesaikan kasus yang tidak dapat diselesaikan menggunakan
persamaan linear satu dan dua variabel
2.2 Contoh sistem persamaan linear tiga variable
CONTOH 1
Ahmad membeli di sebuah Toko peralatan sekolah berupa 4 buah penggaris, 6 buah buku tulis
dan 2 buah pena dengan menghabiskan biaya sebesar Rp 19.000,00. Di Toko yang
samaSulaiman berbelanja 3 buah buku tulis dan sebuah penggaris dengan menghabiskan
uangRp 7.000,00. Jika harga sebuah penggaris adalahRp 1.000,00 maka berpakah harga
sebuah pena?
Untuk menyelesaikan kasus diatas, kita dapat menggunakan konsep sistem persamaan tiga
variabel.
Pembahasan!
Dimisalkan bahwa;
X = harga sebuah penggaris
Y = harga sebuah buku
Z = harga sebuah pena
Diketahui:
4X + 6Y + 2Z
3Y + X
X
= 19.000
= 7.000
= 1.000
persamaan (I)
persamaan (II)
persamaan (III)
Ditanya:
Z=?
Dijawab:
Kita selesaikan terlebih dahulu persamaan (II) dengan bantuan persamaan (III), untuk mengetahu
inilai Y (harga sebuah buku).
3Y + X
= 7.000
( X = 1.000 )
3Y + 1.000
3Y
3Y
Y
Y
= 7.000
= 7.000 – 1.000
= 6.000
= 6.000/3
= 2.000
persamaan (IV)
Kita lanjutkan untuk menyelesaikan persamaan (I) dengan bantuan persamaan (III) dan
persamaan (IV) yang dihasilkan dari penghitungan di atas untuk mencari nilai Z (harga sebuah
pena).
Kita sudah memiliki nilai;
Y = 2.000 dan,
X = 1.000.
Maka,
4X + 6Y + 2Z
4(1.000) + 6(2.000) + 2Z
4.000 + 12.000 + 2Z
16.000 + 2Z
2Z
2Z
Z
Z
= 19.000
= 19.000
= 19.000
= 19.000
= 19.000 – 16.000
= 3.000
= 3.000/2
= 1.500
Sudah terjawab masing – masing nilai X, Y dan Z sebagai berikut;
X = 1.000
Y = 2.000
Z = 1.500
Jadi, harga sebuah pena adalahRp 1.500,00
Contoh 2
Memodelkan Permasalahan Keuangan
Suatu perusahaan rumahan meminjamRp 2.250.000.000,00dari tiga bank yang berbeda untuk
memperluas jangkauan bisnisnya. Suku bunga dari ketiga bank tersebut adalah 5%, 6%, dan 7
%.Tentukan berapa pinjaman perusahaan tersebut terhadap masing-masing bank jika bunga
tahunan yang harus dibayar perusahaan tersebut adalahRp 130.000.000,00 dan banyaknya uang
yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang dipinjam dengan bunga 7%?
Pembahasan
Misalkanx, y, dan z secara berturut-turut adalah banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga
5%, 6%, dan 7%.Ini berarti yang menjadi persamaan pertama kita adalah x + y + z = 2.250
(dalam jutaan). Persamaan kedua diperoleh dari total bunga pertahunnya, yaituRp
130.000.000,00: 0,05x + 0,06y + 0,07z = 130. Sedangkan persamaan ketiga dapat diperoleh dari
kalimat, “banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang
dipinjam dengan bunga 7%”, sehingga persamaannya adalah x = 2z. Ketiga persamaan tersebut
membentuk sistem seperti berikut.
{
x+ y + z =2.250
0,05 x +0,06+ 0,07 z=130
x=2 z
Suku-x pada persamaan pertama adalah 1.Apabila dituliskan kembali kedalam bentuk standar,
sistem tersebut akan menjadi
{
x + y + z=2.250
5 x +6 y +7 z=13.000
x−2 z =0
Gunakan –5P1 + P2 untuk mengeliminasi suku-x di P2, dan –P1 + P3 untuk mengeliminasi
suku-x di P3.
-5P1 -5x-5y-5z = -11.250
-P1
-x-y-z = -2.250
P2
5x+6y+7z = 13.000 P3
y+2z = 1.750
x-2z =0
-y-3z = -2.250
Sehingga, P2 yang baru adalah y + 2z = 1.750 dan P3 yang baru adalah y + 3z = 2.250 (setelah di
kalian dengan –1), yang menghasilkan sistem berikut.
{
x + y + z=2.250
y+ 2 z=1.750
y+3 z=2.250
Dengan menyelesaikan subsistem 2 × 2 (dua persamaan terakhir) menggunakan –P2 + P3
menghasilkan z = 500. Selanjutnya dengan menerapkan substitusi balik akan menghasilkan x =
1.000 dan y = 750. Diperoleh selesaian SPLTV tersebut adalah (1.000, 750, 500).Ini berarti
bahwa perusahaan tersebut meminjam 1 miliar rupiah pada bunga 5%, 750 juta rupiah pada
bunga 6%, dan 500 juta rupiah pada bunga 7%.
Contoh Soal 3
Menentukan Harga Barang
Pada sebuah took buku, Ana membeli 4 buku,2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp.26.000,00.
Lia membeli 3 buku,3 pulpen dan 1 pensil dengan harga Rp.21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan
1 pensil dengan hargaRp. 12.000,00. Jika Lola membeli 2 pulpen dan 3 pensil, maka tentukan
biaya yang harus dikeluarkan oleh Lola !
Pembahasan:
Dimisalkan buku=x, pulpen=y, pensil=z
Dari soal, dapat disusun system persamaan linear sebagai berikut:
1). 4x + 2y + 3z = 26.000
2). 3x + 3y + z = 21.000
3). 3x + z = 12.000
Ditanya : 2y + 3z = ….?
Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umum nya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah
harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu
mencari harga satuan y dan z.
Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan3x + z = 12.000, diperoleh dengan harga satuan pulpen yaitu:
3x + 3y + z = 21.000
3x +
z = 12.000 –
3y
= 9.000
y
= 3.000
Selanjutnya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut:
4x + 2(3.000) + 3z = 26.000
3x + 3(3.000) + z = 21.000
↓
4x + 6.000 + 3z = 26.000
3x + 9.000 + z = 21.000
↓
4x + 3z = 20.000 |x 3
3x + z = 12.000 |x 4
↓
12x + 9z = 60.000
12x + 4z = 48.000 5z = 12.000
z = 2.400
Jadi, harga 2 pulpendan 3 pensil adalah:
2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = 13.200,00
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Jadi dengan menggunakan sistem persamaan linear tiga variabel kita dapat
memecahkan permasalahan sehari-hari. Terdapat tiga metode penyelesaian SPLTV ini yaitu
substitusi, eliminasi, dan determinan. Terkadang untuk menyelasaikan SPLTV dapat
menggunakan metode campuran dari ketiga metode tersebut.
3.2 Saran
Kita harus mempelajari SPLTV ini secara lebih mendalam lagi agar kita dapat
menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari –hari dengan lebih mudah.
Saran untuk pak guru : sebaiknya pak guru lebih memperbanyak latihan soal bagi kami dalam
berbagai bentuk agar kami dapat dengan mudah menganalisa masalah – masalah serta
menyelesaikannya .