DEFORMASI INTERAKSI DUA PAKET GELOMBANG DARI PERSAMAAN IMPROVED KdV (IKdV) - Diponegoro University | Institutional Repository (UNDIP-IR)

Jurnal Matematika Vol. 9, No.1, April 2006:144-148

DEFORMASI INTERAKSI DUA PAKET GELOMBANG DARI PERSAMAAN
IMPROVED KdV (IKdV)
Sutimin
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Diponegoro
Jl. Prof. H. Soedarto SH Tembalang, Semarang 50275
E-mail: su_timin@yahoo.com
Abstract: Here, We will study the nonlinear two waves packet interaction. The two waves
packet is modeled by Improved Koreteweg de-Vries (IKdV) equation. The primary amplitudes
are modulated by two-soliton of the nonlinear Schrődinger (NLS) equation. In this paper, we
analyzed the interaction patterns of the two waves packet at the peak interaction. We have
shown here, that during under going to the interaction region, the deformation of amplitudes
profile will be occurred. The large deformation is characterized by the ratio of the amplitudes
parameter and the wave numbers of each wave packets. The symmetry interaction also can be
analyzed by the characterization of the parameters.
Keywords: Improved KdV (IKdV), Soliton, Nonlinear Schrődinger (NLS)

1. PENDAHULUAN
Paper ini membahas masalah interaksi paket gelombang taklinier dari persamaan Improved Korteweg-de Vries
(IKdV). Dua paket gelombang yang yang

merambat dengan kecepatan grup yang
berbeda akan mengalami tumbukan, dalam
hal ini dikatakan interaksi. Selama proses
menuju daerah interaksi ini, individu paket
gelombang akan mengalami deformasi selama perambatannya menuju puncak interaksi.
Masalah ini dimotivasi oleh ekperimen dan pengamatan yang dilakukan oleh
[3] melalui pembangkitan paket gelombang bikromatik. Paket gelombang ini
mendiskripsikan superposisi dua gelombang monokromatik dengan amplitudo sama tetapi ada perbedaan sedikit bilangan
gelombangnya. Berdasarkan pengamatan
ini, signal yang semula berbentuk paket
gelombang bikromatik di pembangkit gelombang, kemudian terjadi distorsi dari paket gelombang ini dalam perambatannya
Dalam analisis ini dikembangkan
fenomena paket gelombang tak linier. Kajian ini memanfaatkan perilaku soliton sebagai amplitudo paket gelombang. Paket
gelombang ini dimodelkan oleh selesaian
paket gelombang dua soliton dari persama-

144

an IKdV. Secara analitik interaksi paket
gelombang dari persamaan IKdV dengan

amplitudonya didasarkan pada persamaan
NLS telah dikaji oleh [4] dan [2] (dengan
memperhatikan amplitudo sama, yaitu
q1 q 2 ).
Dalam tulisan ini dititikberatkan
pada identifikasi parameter yang menentukan interaksi dua paket gelombang berbentuk simetris pada puncak interaksi. Dan
mengkonstruksi secara analitik profil interaksi ini berdasarkan simulasi numerik.
2. MODEL PAKET GELOMBANG
Model persamaan gelombang permukaan air direpresentasikan oleh Improved Korteweg-de Vries (IKdV). Dalam
bentuk variabel tanpa dimensi dinyatakan
oleh,
 t u  x ( Ru  34 u 2 )
(2.1)
dimana u ( x, t ) menyatakan elevasi
gelom-bang permukaan dan R adalah
operator
pseudo
diferensial
yang
menjelaskan sifat dispersi [5], dinyatakan

dalam simbol Rˆ  tanh(k ) / k . Persamaan
(2.1) memili-ki sifat dispersif yang baik
untuk gelom-bang linier permukaan air,
bahkan sifat dispersif gelombang linier
permukaan air sepenuhnya terwakili.

Jurnal Matematika Vol. 9, No.1, April 2006:144-148

Model satu paket gelombang untuk
persamaan IKdV dinyatakan dalam bentuk,
u ( x, t )  { A ( , )e

i

}  hot  c.c

(2.2)
dengan mengambil amplitudo paket gelombang berbentuk 1-soliton persmaan
NLS sebagai
A( , ) 2q

2



sec h( ) exp(  iq 2 t ).

(2.3)
Maka satu paket gelombang dari persamaan IKdV, dinyatakan oleh
u ( x, t )  2 q

2



sec h( ) cos(( k 0 , q )  p ),

(2.4)
(k 0 , q ) k 0 x  t
dengan

dan
2
 ( k0 )   q . Profil satu paket gelombang untuk persamaan IKdV dapat digambarkan dibawah ini,

Gambar 1. Profil satu paket gelombang
IKdV.
Model dua paket gelombang untuk
persamaan IKdV dalam koordinat berjalan
yang berbeda, diberikan oleh Ansatz

i1

i2

u(x,t) {A1(1, )e  A2(2, )e } 
hot  c.c.
(2.5)
dimana  i k i x   ( k i )t , i 1,2 . Untuk
men-jelaskan proses interaksi maka model
ini harus dinyatakan dalam koordinat yang

sa-ma. Hubungan ini dapat dinyatakan oleh
 i   2c i  ,
ci adalah
dimana
parameter frekuensi gelombang amplitudo
dari paket gelombang ke-i, dan  adalah
koefisien dispersi pada persamaan NLS.

145

Sehingga
diperoleh
model
gelombang sebagai berikut,

paket

(2.6)
u ( x, t ) A( ,  )e i 0  hot  c.c
A( , )

dimana
menyatakan suatu
amplitudo bernilai kompleks
yang
berbentuk dua so-liton dari persamaan
NLS yang merambat dengan variasi
lamban, bila dibanding de-ngan osilasi
gelombang pembawa dengan f a s e
 0 k 0 x  (k 0 )t ,
dengan
'
  ( x   (k 0 )t ) menyatakan koordinat
bergerak yang bervariasi lamban dan
koordinat
waktu
lamban
  2 t ,
sedangkan (k0 ) adalah frekuensi
gelombang pemba-wa yang memenuhi
relasi dispersi eksak [4] (k )  k tanh k ,

dan bilangan gelom-bang k 0 bergantung
pada k1 dan k 2 . Ampli-tudo kompleks
A( ,  ) persamaan (2.6) ada-lah selesaian
dua soliton yang memenuhi persamaan
NLS,
2
  A  i  2 A   A A 0
(2.7)
Amplitudo dua paket gelombang
pada saat berjauhan dapat dinyatakan sebagai superposisi dua individu soliton.
3. DUA PAKET GELOMBANG
Selesaian dua soliton dari persamaan NLS telah dikaji oleh [1]. Selesaian ini
juga dapat dinyatakan sebagai superposisi
dari dua fungsi kompleks dengan masing
masing memiliki amplitudo dan fase riil
berikut ini,
4
A( x, t ) 

2



N ( x, t )

,

2

 Ri Re(exp( I ( i   3 i  3 i  i  0 )))
i 1

.
(3.1)
dimana,
N ( x, t ) e  cosh( q11  q 2 2   ) 
cosh( q11  q 2 2 ) 
4q1q2
cos( 1   2  2 )
(q1  q2 ) 2  (c1  c2 ) 2

Sutimin (Deformasi Interaksi Dua Paket Gelombang dari Persamaan Improved Kdv (IKdV))



R j q j e 2

cosh(2 3 j  )  cos(2 3 j )

tan( j ) tanh( j 

tan 


) tan( j ) ,
2

(q1  q2 ) 2  (c1  c2 ) 2
,
(q1  q2 ) 2  (c1  c2 ) 2

tan  j 

2q j (c1  c2 )

.
q  q22  ( 1) j (c1  c2 ) 2
Profil amplitudo pada puncak interaksi yang dinyatakan oleh selesaian dua
soliton persamaan NLS telah diberikan [2],
dalam bentuk fungsi amplitudo dan fase
riil berikut ini,
2
1

2

A( x, t ) = 2


exp( I ( x, t ))

R ( x, t )
N ( x, t )

(3.2)
dimana,
R ( x, t )   ,

 R12  R22  2 R1 R2 cos( 1   2   2   1  2 )
R  R2
1
 ( x, t )  (1   2 )  arctan( 1
)
2
R1  R2
1
tan ( 1   2   2   1  2 ),
2
 j  j   3 j   3 j ,
 j c j    (c 2j  q 2j )  p j , j 1,2 .

Struktur amplitudo paket gelombang pada saat berjauhan dapat dijelaskan
sebagai berikut
i. Untuk  2   , dan 1 konstan:
2
q1 sec h( q11   ) 


A( , ) 

exp( I ( 1  2 2  1   0 ))

ii. Untuk 1   , dan  2 konstan,
2
q 2 sec h( q 2 2   ) 


A( , ) 

exp(i ( 2  2 2   2   0 ))

iii. Untuk  2   , pada 1 konstan,
A( ,  ) 

2



2



q 2 sec h( q 2 2 ) 

exp(i ( 2   2   0 ))

q q
 1 2
c1  c 2

  ln

A( ,  ) 

q1 sec h( q11 ) 

exp( I i ( 1  1   0 ))

iv. Untuk 1   , pada  2 konstan,

Pada saat yang terpisah jauh selesaian dua soliton dinyatakan sebagai superposisi dari satu individu soliton. Maka interaksi dua paket gelombang pada saat
terpisah jauh dipandang sebagai superposisi dua individu paket gelombang. Struktur
amplitudo paket gelombang pada saat terpisah jauh dapat dituliskan sebagai berikut,

 A1 (q1 , k1 ,0, p1 )  tetap ei1  A2 (q2 , k2 , , p2  21 )  

1
2
u ( x, t )  
i 1
A
(
q
,
k
,

,
p

2

)
e
 1 1 1 1 2 1 tetap  A2 (q2 , k2 ,0, p2 )  2 
Dari analisis di atas dapat dijelaskan bahwa pada saat terpisah jauh dua paket gelombang dinyatakan sebagai superposisi individu paket gelombang yang masing masing mempunyai parameter amplitudo q1 , q2 dan bilangan gelombang
k1 , k 2 . Dua parameter yang lain p1 , p2
mempu-nyai hubungan
fisik sebagai
selisih fase, yang akan menentukan proses
interaksi.
4. IDENTIFIKASI PARAMETER
Pada saat terpisah amplitudo paket
gelombang merambat secara translasi.
Perhatikan bahwa osilasi modulasi sekunder memiliki fase  i   i   0 . Dengan
demikian fase  i  i   0 harus dinyatakan dalam koordinat bergerak  i , dengan
 i   2ci  .
Persamaan fase ini dituliskan kembali menjadi,
 i   i   0 = ci    (ci2  q i2 )  p i 
k i x  (k i )t  k 0 x  (k 0 )t

(ci 

k 0  ki
)i 


 ' (k 0 )
2
2

  (c i  q i )  ( k 0  k i ) (

2
2c i 
 ( k 0 )   ( k1 ) 
)
  p

2


146

Jurnal Matematika Vol. 9, No.1, April 2006:144-148

Untuk ini harus ditentukan koefisien dari
 sama dengan nol. Sehingga diperoleh
persamaan untuk ci yang bergantung pada
k i dan qi , dengan bilangan gelombang
1
k 0 dipilih sebagai k 0  (k1  k 2 ) . Maka
2
c
per-samaan untuk i , memenuhi fungsi

implisit berikut ini,
'
 ( k0 ) 2ci 
 ( k0 )   ( k1 )
2
2
 (ci  qi )  ( k0  ki )(

)
2
2




adalah simetris terhadap x 0 . Ini berarti
bahwa interaksi amplitudo gelombang pada puncak interaksi adalah simetris. Selisih
fase p1  p 2 , ini menentukan profil interaksi. Untuk p1  p 2 0 mod(2 ) , menyatakan profil interaksi in-phase (dalam
fase),
sedangkan
untuk
p1  p 2  mod(2 ) menyatakan profil
interaksi out-of-phase (luar fase).
0
Pada interaksi amplitudo terdapat
dua fungsi yang menentukan osilasi modulasi sekunder yaitu

(4.1)
Dengan demikian fase dari individu gecos( 1   2  2 ) ( x ,t ) cos(k x  p )
lombang amplitudo hanya tergantung pada
(4.7)
koordinat berjalan  i , i 1,2 . Ini menun2
yang mempunyai panjang gelombang k
A( i , )
jukkan bahwa amplitudo
dan
berjalan secara translasi.
cos( 1   2   2   1  2 ) ( x ,t ) 
Selanjutnya dengan pemilihan parameter tersebut dianalisis profil interaksi
cos( k x   2   1  p )
(4.8)
yang berbentuk simetris disekitar puncak
dengan panjang gelombang disekitar
interaksi. Pada puncak interaksi berlaku
2
( x0 , t0 ) 
. Kedua fungsi ini adalah
persamaan, qi  i  12  0, i 1,2 . Dengan
k
menyelesaikan sistem persamaan ini dipersime-tris pada puncak interaksi terhadap
oleh titik pusat interaksi ( x0 , t 0 ) pada siskoordi-nat x .
(
x
,
t
)
Profil interaksi amplitudo tersebut
tem koordinat fisis
, dimana
'
'
 ( (k 0 )q1   (k 0 )q 2  2c 2  q 2  2c1  q1 )akan lebih rumit untuk nilai parameter
x0 
  tan   q1  q 2 yang lebih kecil. Hal
 2 q1 q 2 k
k
dan
ini dapat dilihat dengan memperhatikan
 (q1  q 2 )
perbe-daan skala panjang pada proses yang
t0 
. Untuk interaksi ampli2
4  q1 q 2 k
ber-kaitan. Ada dua skala panjang yang
me-nentukan proses interaksi. Skala
tudo pada puncak interaksi, terdapat hubupanjang yang menentukan lebar interval
ngan antara ci dan k i yang dinyatakan
interaksi, yang nilainya berbanding terbalik
ci  (k0  ki ) /  0.
oleh
Dengan
jumlah
parameter
masing
masing
melakukan
transformasi
koordinat,
amplitudo,
x  x  x0 , maka komponen fase pada
1
 int »
formula (2.5) men-jadi
q1  q 2
 1   2  2 ( k ) x  p
(4.2)
Skala panjang yang menentukan gelom2q i  i    2q i x
(4.3)
bang modulasi, diberikan oleh  mod  2k .
 1   2 2   1  2 
Parameter karakteristik dikenali mempuk x  arctan(tanh(q 2 x) tan  2 )
nyai nilai yang sebading dengan rasio antaarctan(tanh( q1 x ) tan  1 )  p
(4.4)
ra skala panjang modulasi dan skala panq11  q 2 2    ( q1  q 2 ) x

(4.5)
q q
jang interaksi   1k 2 » mod
int
q11  q2 2  ( q1  q2 ) x
(4.6)
Dengan hasil analisis pada persamaan
5. SIMULASI NUMERIK
(4.2)–(4.6) ini, menyatakan bahwa komponen fungsi pada formula (3.1) tersebut
0

0

0

147

0

Sutimin (Deformasi Interaksi Dua Paket Gelombang dari Persamaan Improved Kdv (IKdV))

Profil interaksi amplitudo dua paket
gelombang digambarkan dengan simulasi
numerik pada, pada saat terpisah jauh sebelum interaksi dan sesudah interaksi), dan
pada t t 0 yaitu pada puncak interaksi dalam koordinat fisik ( x, t ) . Dipilih dua
nilai parameter karakteristik untuk  1,1 ,
 1.4 dan k1 4, k 2 4,5

Gambar 2. Interaksi dalam fase ( 

Gambar 3. Interaksi luar fase ( 

1,1 )

1,1 )

Gambar 4.Interaksi dalam fase (  1.4 )

Gambar 5. Interaksi luar fase untuk
 1.4

Selama menuju proses
interaksi amplitudo paket gelombang
merambat se-cara translasi mengalami
deformasi dan destorsi. Kemudian
membentuk
profil
inte-raksi
yang
berbentuk simetris pada puncak interaksi.

kan secara implisit interaksi tak
linier dua individu amplitudo paket
gelombang.
Banyaknya hump interaksi amplitudo dua paket gelombang pada puncak interaksi ditentukan oleh rasio antara parameter skala panjang interaksi amplitudo dan
skala panjang modulasi dari interaksi gelombang. Berkenaan dengan interaksi dua
paket gelombang masih banyak masalah
yang perlu dikaji yang berkaitan dengan
gelombang pembawa.
Ucapan Terima Kasih
Ucapan terima kasih disampaikan
kepada Prof. Dr. Edy Soewono atas sumbangan pemikiran dan Dirjen DIKTI melalui Hibah Penelitian Kerjasama Antar Perguruan Tinggi (Hibah Pekerti) dengan nomor kontrak: 064/P4T/DPPM/HPTP,PHP
/III/2004
7. DAFTAR PUSTAKA
[1]
Hirota, R, (1973), J. Math. Phys.,
14: 805.
[2]
Nusantara T, (2001), Tesis Doktor,
ITB.
[3]
Stansberg C.T. (1997), Proc. 3rd Int.
Symp. on the Ocean Wave Measurement and Analysis, 2: 1227.
[4]
van Groesen E, T. Nusantara and E.
Soewono, (2001), Optical and
Quantum Electronics, 33: 499.
[5]
Van Groesen E, Andonowati, and
E.
Soewono,
(1999),
Proc.
Estonian Acad. Sci., Phys. Math.,
48:206.

6. PENUTUP
Telah dibahas dan dianalisis interaksi amplitudo paket gelombang dari persamaan IKdV dengan amplitudo memenuhi persamaan NLS. Interaksi ini menjelas-

148