ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN KOINFEKSI MALARIA-TIFUS

  

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN

KOINFEKSI MALARIA-TIFUS

Nur Hamidah 1) , Fatmawati 2) , Utami Dyah Purwati 3)

  1)2)3) Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga

Kampus C Unair Mulyorejo, Surabaya

  1)

nur.hamidah-13@fst.unair.ac.id

  2)

fatmawati@fst.unair.ac.id

  3)

utamidyahpurwati@gmail.com

  Abstract — Malaria disebabkan oleh parasit Plasmodium dan disebarkan melalui gigitan nyamuk Anopheles betina. Sementara itu, tifus disebabkan oleh bakteri Salmonella Typhi pada makanan maupun air yang terkontaminasi. Meskipun malaria dan tifus memiliki perbedaan dalam penyebab dan rute penyebaran, kedua penyakit ini dapat menginfeksi manusia yang sama, yang dikenal dengan koinfeksi malaria-tifus. Berdasarkan hasil analisis model matematika penyebaran koinfeksi malaria-tifus diperoleh basic reproduction number dari penyebaran malaria ( ) dan basic reproduction number dari penyebaran tifus ( ).

  Kedua besaran ini menentukan syarat kestabilan titik setimbang model. Titik setimbang non endemik stabil asimtotis lokal jika < 1 dan < 1. Pada paper ini juga dilakukan analisis sensitivitas parameter. Selanjutnya dari hasil simulasi numerik, terlihat bahwa laju infeksi malaria pada manusia, laju kematian alami nyamuk dan laju infeksi tifus memiliki pengaruh yang signifikan terhadap jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria- tifus.

  Keywords— Model Matematika, Malaria, Tifus, Koinfeksi, Kestabilan, Analisis Sensitivitas Parameter

  I. P

  ENDAHULUAN

  Malaria merupakan penyakit demam akut yang disebabkan oleh parasit Plasmodium. Penyakit ini menular antar manusia melalui gigitan nyamuk

  Anopheles betina. Gejala awal yang muncul pada

  penderita malaria antara lain demam, sakit kepala, menggigil serta muntah-muntah. Pada individu non-imun gejala ini akan muncul minimal tujuh hari setelah gigitan nyamuk Anopheles, namun gejala awal tersebut seringkali sangat ringan dan sulit dibedakan dari demam pada umumnya. Malaria mewabah di sub-Sahara Afrika, namun tidak dipungkiri negara-negara berkembang di Asia, Amerika Latin dan Timur Tengah juga beresiko terjangkit malaria. Data terakhir dari WHO pada Desember 2015 menyatakan bahwa telah terjadi 214 juta kasus malaria dengan 438.000 kematian (WHO, 2016).

  Berbeda dari malaria, tifus disebabkan oleh bakteri Salmonella Typhi yang terdapat pada makanan maupun air yang terkontaminasi. Sementara itu sama halnya dengan malaria, gejala awal pada tifus terkadang tidak spesifik dan tidak dapat dibedakan secara klinis dari penyakit demam yang lain. Tifus yang akut ditandai dengan demam berkepanjangan, sakit kepala, konstipasi atau terkadang diare. Berdasarkan data terakhir tahun 2014, setidaknya setiap tahun terjadi 21 juta kasus dengan 222.000 kematian akibat tifus di seluruh dunia (WHO, 2015).

  Meskipun malaria dan tifus memiliki perbedaan dalam penyebab dan rute penyebaran, kedua penyakit ini memiliki hubungan yang menarik yaitu terjadinya koinfeksi dan kesalahan diagnosis. Koinfeksi malaria-tifus diawali dengan munculnya anemia. Individu yang terinfeksi malaria umumnya juga mengidap anemia. Hal ini yang mengakibatkan adanya peningkatan pertumbuhan bakteri Salmonella. Kemudian dari peningkatan tersebut terjadilah tifus pada penderita malaria. Selain memang ada kemungkinan terjadinya koinfeksi, hubungan menarik lainnya antara malaria dan tifus adalah adanya kesalahan dalam diagnosis. Kesalahan diagnosis yang terjadi disebabkan oleh gejala awal infeksi dari kedua penyakit ini yang hampir sama yaitu demam, sakit kepala, mual, dan diare (Mutua dkk, 2015).

  Penelitian tentang malaria dan tifus telah dikaji dalam berbagai bidang keilmuan, salah satunya bidang matematika yaitu menggunakan model matematika. Adetunde (2008) mengkonstruksi model penyebaran tifus dengan mengasumsikan bahwa tifus ditularkan secara langsung dari individu terinfeksi ke individu rentan. Mushayabasa (2011) melakukan studi tentang model matematika tifus untuk mengetahui pengaruh vaksinasi pada penyebaran tifus. Chitnis dkk (2006) mengkonstruksi model matematika penyebaran malaria dengan asumsi bahwa manusia yang sembuh dari malaria memiliki kekebalan sementara sebelum kembali menjadi rentan. Okosun dan Makinde (2011) melakukan studi tentang model matematika malaria untuk mengetahui pengaruh adanya populasi yang kebal obat terhadap penyebaran malaria. Sementara itu,

ODEL ATEMATIKA

  model matematika koinfeksi malaria-tifus telah

  II. M M dikembangkan oleh Mushayabasa dkk pada tahun Asumsi yang digunakan dalam pembentukan

  2014. Hasil dari penelitian tersebut adalah model matematika penyebaran koinfeksi malaria- konstruksi model matematika penyebaran tifus adalah sebagai berikut: koinfeksi malaria-tifus dengan asumsi bahwa

  1. Populasi manusia, nyamuk dan bakteri bersifat individu yang terkena koinfeksi dengan tertutup artinya tidak ada perpindahan dari satu menunjukkan gejala dari salah satu penyakit, tempat ke tempat lain. dapat diobati dengan dua cara yaitu pengobatan

  2. Setiap individu manusia atau nyamuk terlahir koinfeksi atau pengobatan infeksi tunggal. Selain dalam keadaan rentan. itu, juga diasumsikan bahwa individu yang

  3. Masa inkubasi diabaikan, sehingga populasi sembuh dari koinfeksi ataupun salah satu penyakit yang terinfeksi dapat langsung menularkan akan memiliki kekebalan sementara. penyakit. Selanjutnya pada tahun 2015, Mutua dkk

  4. Pertambahan bakteri dari manusia yang mengkonstruksi model koinfeksi malaria-tifus terinfeksi tifus lebih banyak daripada dengan asumsi bahwa tifus menyebar melalui pertambahan bakteri dari manusia yang carrier bakteri di lingkungan yang mengkontaminasi tifus. makanan maupun air. Oleh karena itu perlu

  5. Koinfeksi malaria-tifus tidak dapat terjadi ditambahkan kompartemen baru berupa perubahan secara langsung, namun bertahap dari populasi bakteri di lingkungan. Model yang terinfeksi malaria kemudian terjadi koinfeksi dikembangkan oleh Mutua dkk tersebut tifus maupun sebaliknya. memperhatikan populasi laten baik pada penderita 6. Kematian akibat penyakit diperhatikan. malaria maupun tifus. Pada paper ini, penulis

  7. Individu yang sembuh dari satu atau kedua melakukan modifikasi dari model yang telah penyakit menjadi kebal dikembangkan Mutua dkk (2015) yakni populasi yang laten tidak diperhatikan. Selanjutnya model

  Notasi serta definisi variabel dan parameter tersebut akan disimulasikan dan diinterpretasikan yang digunakan pada model matematika untuk mengetahui hubungan dari malaria dan penyebaran koinfeksi malaria-tifus tertera pada tifus. Tabel 1 dan Tabel 2. Selanjutnya. model matematika penyebaran koinfeksi malaria- tifus adalah sebagai berikut:

  (1) = Λ − βB − −

  (2) )

  = − ( + + + (3)

  = − ( + ) (4)

  = − − ( + + + ) (5)

  =

• ) + − ( + + + +

  (6)

• = − ( + + + )

  (7) = − − ( + )

  (8)

• = − ( + + ) +

  (9)

• = − ( + )

  (10) − − + =

  (11) − ( + + ) + + =

  (12) − + = +

  ( )

  (13) = Λ − −

  ( )

  (14) = −

  (15) ) + ( ) −

• = + + 1 − + ( + dengan

  , , , , , , , , , , , , , , ≥ 0 dan semua parameter bernilai positif. Misalkan total populasi manusia dinyatakan dengan , maka

• =
• , sehingga laju perubahan dari total populasi manusia + + + adalah

  ) − ( ).Kemudian misalkan total

• = Λ − − ( + + populasi nyamuk dinyatakan dengan , maka

  = + , sehingga laju perubahan dari total populasi nyamuk adalah . Karena laju perubahan dari total populasi manusia dan = Λ − total populasi nyamuk tidak konstan, maka model matematika penyebaran koinfeksi malaria-tifus pada persamaan (1) – (15) dapat dinyatakansebagai berikut:

  (16) ) − ( )

• = Λ − − ( =

  − ( + + + ) (17) (18)

  ) = − ( +

  = − − − − − − − − − − − − (19)

  − ( + + + ) (20)

• = + + − ( + + + )

  (21)

• = − ( + + + )

  (22) = − − ( + )

  (23)

• = − ( + + )

  (24)

• = − ( + )

  (25) = − − +

  (26)

• = − ( + + )

  (27) = − + +

  (28) = Λ −

  ( )

  (29) (

  = − ) − . (30)

  ) + ( ) −

• = 1 − + ( + Untuk selanjutnya, kestabilan titik setimbang model matematika penyebaran koinfeksi malaria-tifus yang akan dianalisis berasal dari persamaan (16) – (30).

  T

1. K

  V M M P K M -T

ABEL ETERANGAN ARIABEL PADA ODEL ATEMATIKA ENYEBARAN OINFEKSI ALARIA

  IFUS Variabel Keterangan

  Populasi manusia rentan tifus dan rentan malaria pada saat t ( ) Populasi manusia rentan tifus dan terinfeksi malaria pada saat t ( ) Populasi manusia rentan tifus dan sembuh malaria pada saat t ( ) Populasi manusia terinfeksi tifus dan rentan malaria pada saat t ( ) Populasi manusia terinfeksi tifus dan terinfeksi malaria pada saat t ( ) Populasi manusia terinfeksi tifus dan sembuh malaria pada saat t ( ) Populasi manusia carrier tifus dan rentan malaria pada saat t ( ) Populasi manusia carrier tifus dan terinfeksi malaria pada saat t ( ) Populasi manusia carrier tifus dan sembuh malaria pada saat t ( ) Populasi manusia sembuh tifus dan rentan malaria pada saat t ( ) Populasi manusia sembuh tifus dan terinfeksi malaria pada saat t ( ) Populasi manusia sembuh tifus dan sembuh malaria pada saat t ( ) Populasi nyamuk rentan malaria pada saat t ( ) Populasi nyamuk terinfeksi malaria pada saat t ( ) Populasi bakteri di lingkungan pada saat t ( ) Total populasi manusia pada saat t ( ) Total populasi nyamuk pada saat t ( ) T ABEL

2. K

• T

  ETERANGAN P ARAMETER PADA M ODEL M ATEMATIKA P ENYEBARAN K OINFEKSI M ALARIA

  IFUS Parameter Keterangan Parameter Keterangan

  Λ Laju penambahan manusia Laju kemajuan dari terinfeksi tifus ke carrier tifus Λ Laju penambahan nyamuk Laju penyembuhan dari carrier tifus

  Probabilitas transmisi malaria pada nyamuk Laju infeksi tifus Probabilitas transmisi malaria pada manusia Laju penambahan bakteri dari manusia yang terinfeksi tifus Jumlah maksimum gigitan nyamuk Laju penambahan bakteri dari manusia yang carrier tifus

  

Laju kematian alami pada manusia Laju kematian bakteri

Laju kematian alami pada nyamuk Laju reproduksi bakteri Laju kesembuhan dari malaria Kapasitas pendukung bakteri Laju kematian karena malaria

  Laju peningkatan kerentanan tifus pada infeksi malaria Laju kematian karena tifus Laju penyembuhan lambat dari malaria pada koinfeksi Laju kesembuhan dari tifus Laju penyembuhan lambat dari tifus pada koinfeksi

ASIL DAN

  P

  adalah akar-akar dari persamaan karakteristik berikut: ( + + )( + + + ) = 0 (32)

  III. H

  merupakan bilangan reproduksi dasar yang menyatakan rasio banyaknya kasus baru dari manusia terinfeksi malaria akibat gigitan nyamuk yang terinfeksi

  ( )

  =

  < 1, iv. < 1, v. (1 − ) (1 − ) > (1 − ) , dengan

  ( ) ( ) ( )

  =

  < 1, ii. = < 1, iii.

  − > 0. Dengan demikian didapatkan syarat i.

  , , , , , , , , , < 0, karena semua parameter bernilai positif. Selanjutnya ditentukan syarat persamaan (32) agar memiliki akar-akar dengan bagian real yang negatif. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, syarat agar akar-akar dari persamaan karakteristik (32) bernilai negatif atau mempunyai bagian real negatif adalah , > 0 dan , , > 0 serta

  Titik setimbang non endemik stabil asimtotis jika dan hanya jika semua akar-akar dari persamaan (31) bernilai negatif atau mempunyai bagian real yang negatif. Dari persamaan karakteristik tersebut terlihat bahwa nilai eigen

  , dan sisanya

  EMBAHASAN Analisis Kestabilan Titik Setimbang Model

  = − , = − , = − , = − , = − , = − , = −( + )

  Pada persamaan karakteristik (31) diperoleh nilai eigen dari matriks adalah = = =

• ) = 0

  = ( − )( + ) − Λ ( ( + ) + ).

  Λ ,

  (31) dengan = ( + ), = −

  )( + + )( + + )( + +

  ) = 0 yaitu sebagai berikut: ( + ) ( + )( + )( + )( + )( +

  Untuk mendapatkan kestabilan lokal dari titik setimbang non endemik ( ), maka perlu dilakukan linierisasi model matematika penyebaran malaria mengunakan matriks Jacobian. Kestabilan pada titik setimbang non endemik ( ) dapat ditentukan dengan cara mensubstitusikan titik setimbang pada matriks Jacobian dari persamaan (16) – (30). Kemudian dibentuk persamaan karakteristik dari −

  penyebaran koinfeksi malaria-tifus, yaitu saat subpopulasi = = = 0. Dari sini diperoleh titik setimbang non endemik = , 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, , 0,0 .

  koinfeksi merupakan kondisi ketika tidak terjadi

  Pada Model matematika penyebaran koinfeksi malaria-tifus diperoleh titik setimbang non endemik . Titik setimbang non endemik

  , = − + + + , = ( + + )( − ) + ( + ) −

  Berdasarkan hasil perhitungan sensitivitas terhadap manusia yang rentan, sedangkan =

  ( )( ) ( ( ) )

  parameter dari dan yang tertera pada merupaka

  ( )( )

  Tabel 4 dapat disimpulkan bahwa parameter yang n bilangan reproduksi dasar yang menyatakan rasio paling berpengaruh terhadap adalah dan banyaknya kasus baru dari manusia terinfeksi tifus

  , sedangkan parameter yang paling akibat interaksi bakteri terhadap manusia yang berpengaruh terhadap adalah

  , , , dan rentan. Λ . Dari nilai indeks sensitivitas parameter dapat diketahui bahwa apabila laju gigitan nyamuk ( )

  Analisis Sensitivitas Parameter

  bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai juga akan bertambah (berkurang) sebesar Analisis sensitivitas parameter dilakukan

  10%. Namun, apabila laju kematian alami nyamuk dengan menghitung indeks sensitivitas dari ( ) bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka parameter tersebut. Indeks sensitivitas diperoleh nilai akan berkurang (bertambah) sebesar dari

  , dengan merupakan parameter yang 10%. Selanjutnya, apabila laju infeksi tifus( )dan akan dianalisis (Mutua dkk, 2015). Pada

  = laju penambahan manusia (Λ )bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai akan terdapat sembilan parameter

  ( )

  bertambah (berkurang) sebesar 9,9%. Sementara yang akan dicari indeks sensitivitasnya yaitu itu, apabila laju kematian alami manusia ( )

  , , , Λ , μ , , Λ , , dan . Sementara bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka nilai itu, untuk akan berkurang (bertambah) sebesar11,039%,.

  ( )( ) ( ( ) )

  Begitu juga apabila laju kematian alami bakteri =

  ( )( )

  ( ) bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka terdapat sebelas parameter yang akan ditentukan nilai akan berkurang (bertambah) sebesar indeks sensitivitasnya yaitu , , , , , , , , 10%. , Λ , dan .Nilai parameter yang digunakan untuk analisis sensitivitas parameter dapat dilihat pada tabel 3.

  T

3. N P A S

  ABEL

ILAI ARAMETER UNTUK NALISIS ENSITIVITAS

  Parameter Nilai Parameter Sumber Parameter Nilai Parameter Sumber

Λ 467 Mutua dkk (2015) 0,04 Mutua dkk (2015)

Λ 442.113 Mutua dkk (2015) 0,000315 Mutua dkk (2015)

• _-5 0,000408 Mutua dkk (2015) 1,917x10 Mushayabasa (2011) 0,15096 Mutua dkk (2015)

  10 Mutua dkk (2015)

12 Mutua dkk (2015)

  1 Mutua dkk (2015) 0,00004 Mutua dkk (2015) 0,0345 Mutua dkk (2015) 0,033 Mutua dkk (2015) 0,014 Mutua dkk (2015) 0,038 Mutua dkk (2015) 700.000 Asumsi

  0,0019 Mutua dkk (2015) 1,5 Mutua dkk (2015) 0,002 Mutua dkk (2015) 0,5 Mutua dkk (2015) 0,0357 Mutua dkk (2015) 0,5 Mutua dkk (2015) T ABEL

4. I NDEKS S ENSITIVITAS P ARAMETER

  

Parameter Indeks Sensitivitas Parameter Indeks Sensitivitas

Λ -0,5 -1,1039

_-8 0,5 3,964x10 Λ 0,5 -0,0257

  0,5 -0,4592 1 0,4039 0,4995 -0,8149

• 1 0,0815
• 0,4757 0,9184
• 0,0238 0,9999 0,9999 &Lam
• 1

Gambar 2 merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi tifus ketika tidak terjadi penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik terlihat bahwa populasi manusia yang terinfeksi tifus namun rentan malaria ( ) serta populasi manusia yang terinfeksi tifus dan terinfeksi malaria ( )dalam jangka waktu tertentu bergerak menuju nol atau mengalami kepunahan. Sementara untuk populasi manusia terinfeksi tifus namun sembuh malaria ( ) mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian mengalami penurunan hingga menuju nol sampai akhir simulasi.

  sembuh dari tifus namun terinfeksi malaria ( ), dalam jangka waktu tertentu bergerak menuju nol atau mengalami kepunahan. Sementara untuk populasi manusia retan tifus namun terinfeksi malaria ( ) mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian mengalami penurunan hingga menuju nol pada akhir simulasi.

  Pada bagian ini akan dilakukan simulasi numerik dan interpretasi model matematika penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Selain itu juga akan dilakukan simulasi pengaruh laju infeksi malaria pada manusia, laju kematian alami nyamuk, dan laju infeksi tifus pada model matematika penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Simulasi dilakukan dengan menggunakan software MATLAB. Simulasi numerik model matematika penyebaran koinfeksi malaria-tifus dilakukan dalam dua kondisi yaitu kondisi non endemik dan kondisi endemik. Nilai awal yang digunakan dalam simulasi numerik untuk setiap kondisi adalah

  = 2000, = 80, = 80, = 100,

  = 100, = 180, = 80, = 180, = 160, = 100, = 90, = 150, = 1000, = 200, dan = 20000.Simulasi ini dilakukan untuk = 0 sampai = 100 hari.

  Kondisi non endemic koinfeksi merupakan

  kondisi ketika tidak ada penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Hal ini terjadi jika < 1 dan

  < 1. Nilai parameter yang digunakan untuk simulasi numerik kondisi non endemik tertera pada Tabel 5. Dari nilai parameter tersebut diperoleh

  = 0,3554 dan = 0,4118.Berikut adalah hasil simulasi untuk populasi manusia, populasi nyamuk dan populasi bakteri.

  Gambar 1 merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi malaria ketika tidak terjadi penyebaran koinfeksi malaria-tifus.Dari grafiktersebut terlihat bahwa populasi manusia yang terinfeksi tifus dan terinfeksi malaria ( ),

  carrier tifus dan terinfeksi malaria ( ) serta

  Simulasi Numerik

  Gambar 3 merupakan hasil simulasi pada populasi nyamuk ketika tidak terjadi penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik terlihat bahwa populasi nyamuk terinfeksi pada waktu tertentu bergerak menuju nol atau mengalami kepunahan, berbanding terbalik dengan total populasi nyamuk yang mengalami kenaikan dan kemudian konstan.Gambar 4merupakan hasil simulasi pada populasi bakteri ketika tidak terjadi penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik tersebut terlihat bahwa populasi bakteri diawal simulasi mengalami kenaikan hingga hari ke-25. Kemudian, pada hari selanjutnya populasi bakteri mengalami penurunan hingga akhir simulasi.

  T ABEL

5. N

• T

  IMULASI N UMERIK K ONDISI N ON E NDEMIK K OINFEKSI M ALARIA

  IFUS Parameter Nilai Parameter Sumber Parameter Nilai Parameter Sumber

  Λ 0,274 Seidu dkk (2015) 0,04 Mutua dkk (2015) Λ 1.000 Seidu dkk (2015) 0,000315 Mutua dkk (2015) 0,000408 Mutua dkk (2015) 1,97 x 10 ^-11 Mutua dkk (2015) 0,15096 Mutua dkk (2015)

  10 Mutua dkk (2015)

  1 Mutua dkk (2015) 0,00004 Mutua dkk (2015) 0,0345 Mutua dkk (2015) 0,1429 Seidu dkk (2015) 0,014 Mutua dkk (2015) 0,5 Seidu dkk (2015)

  700.000 Asumsi 0,0019 Mutua dkk (2015) 1,5 Mutua dkk (2015) 0,002 Mutua dkk (2015) 0,5 Mutua dkk (2015) 0,0357 Mutua dkk (2015) 0,5 Mutua dkk (2015)

  ILAI P ARAMETER UNTUK S

12 Mutua dkk (2015)

  Gambar 1. Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Malaria saat Gambar 1. Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Malaria saat Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Malaria saat Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Malaria saat < 1 dan <

  1 Gambar 2. Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi . Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Tifus saat . Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi . Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi < 1 dan <

  1 Gambar 3. Dinamika Populasi Gambar . Dinamika Populasi Nyamuk Nyamuk saat Gambar Gambar 4. Dinamika Populasi . Dinamika Populasi Bakteriketika ketika dan < 1 1 dan < 1 dan < < 1

  1

  1 ketika ada penyebaran koinfeksi malaria ini terjadi jika parameter yang d

  3.Dari parameter pada Tabel 3 2,7788 hasil simulasi untuk populasi manusia, populasi nyamuk dan populasi

  Gambar 7 merupakan hasil simulasi pada populasi nyamuk ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria terlihat bahwa populasi nyamuk terinfeksi dan total populasi nyamuk mengalami kenaikan hingga akhir simulasi, meskipun kenaikan yang terjadi pada populasi nyamuk terinfeksi tidak sebanyak kenaikan yang terjadi pada total populasi nyamuk. simulasi pada populasi bakteri ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria tersebut terlihat bahwa populasi bakteri mengalami kenaikan hingga akhir simulasi.

  = . Berikut adalah hasil simulasi untuk populasi manusia, populasi merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi malaria ketika terjadi tifus. Dari grafik tersebut terlihat bahwa populasi manusia yang

  ) serta ( ), mengalami kenaikan hingga akhir simulasi. Untuk populasi manusia yang terinfeksi tifus dan juga mengalami kenaikan dan kemudian konstan. Sementara itu, populasi

  ( ) mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi tifus ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria terlihat tifus dan terinfeksi malaria tifus namun sembuh dari malaria kenaikan dan kemudian konstan hingga akhir simulasi. Sementara itu, untuk populasi manusia yang terinfeksi tifus nam mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir simulasi.

  Gambar populasi nyamuk ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria terlihat ba total populasi nyamuk mengalami kenaikan hingga akhir simulasi, meskipun kenaikan yang terjadi pada populasi nyamuk terinfeksi tidak sebanyak kenaikan yang terjadi pada total populasi nyamuk. simu penyebaran koinfeksi malaria tersebut terlihat bahwa populasi bakteri mengalami kenaikan hingga akhir simulasi.

  Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Malaria saat . Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi

  penyebaran koinfeksi malaria terlihat bahwa populasi manusia yang terinfeksi tifus dan terinfeksi malaria tifus namun sembuh dari malaria kenaikan dan kemudian konstan hingga akhir simulasi. Sementara itu, untuk populasi manusia yang terinfeksi tifus nam mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir simulasi.

  Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Malaria saat . Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Tifus saat

  Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Malaria saat . Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi

  penyebaran koinfeksi malaria bahwa populasi manusia yang terinfeksi tifus dan terinfeksi malaria ( tifus namun sembuh dari malaria kenaikan dan kemudian konstan hingga akhir simulasi. Sementara itu, untuk populasi manusia yang terinfeksi tifus namun rentan malaria mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir merupakan hasil simulasi pada populasi nyamuk ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik tersebut hwa populasi nyamuk terinfeksi dan total populasi nyamuk mengalami kenaikan hingga akhir simulasi, meskipun kenaikan yang terjadi pada populasi nyamuk terinfeksi tidak sebanyak kenaikan yang terjadi pada total populasi nyamuk. Gambar 8 lasi pada populasi bakteri ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria tersebut terlihat bahwa populasi bakteri mengalami kenaikan hingga akhir simulasi.

  > 1 dan > > 1 dan >

  penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik bahwa populasi manusia yang terinfeksi ( )serta terinfeksi tifus namun sembuh dari malaria ( )mengalami kenaikan dan kemudian konstan hingga akhir simulasi. Sementara itu, untuk populasi manusia un rentan malaria mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir merupakan hasil simulasi pada populasi nyamuk ketika terjadi penyebaran tifus. Dari grafik tersebut hwa populasi nyamuk terinfeksi dan total populasi nyamuk mengalami kenaikan hingga akhir simulasi, meskipun kenaikan yang terjadi pada populasi nyamuk terinfeksi tidak sebanyak kenaikan yang terjadi pada total

  Gambar 8 merupakan hasil lasi pada populasi bakteri ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik tersebut terlihat bahwa populasi bakteri mengalami kenaikan hingga akhir simulasi..

  1

  1

  merupakan kondisi tifus. Hal Nilai igunakan tertera pada Tabel

  > 1. Nilai igunakan tertera pada Tabel Dari parameter pada Tabel 3 diperoleh 10 . Berikut adalah hasil simulasi untuk populasi manusia, populasi merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi malaria ketika terjadi tifus. Dari grafik tersebut terlihat bahwa populasi manusia yang tifus dan terinfeksi malaria ( ) ifus namun terinfeksi malaria ( mengalami kenaikan hingga akhir simulasi. Untuk populasi manusia yang terinfeksi tifus dan juga mengalami kenaikan dan kemudian konstan. Sementara itu, populasi feksi malaria ( mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi tifus ketika terjadi

  Gambar populasi manusia terinfeksi malaria ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria tersebut terlihat bahwa populasi manusia yang

  Gambar 5 merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi malaria ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria tersebut terlihat bahwa populasi manusia yang

  carrier

  sembuh dari t mengalami kenaikan hingga akhir simulasi. Untuk populasi manusia yang terinfeksi tifus dan terinfeksi malaria dan kemudian konstan. Sementara itu, populasi manusia retan tifus namun terin mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir simulasi.

  Gambar populasi manusia terinfeksi tifus ketika terjadi

  Kondisi endemik

  ketika ada penyebaran koinfeksi malaria ini terjadi jika parameter yang d

  Dari parameter pada Tabel 3 7788 dan = hasil simulasi untuk populasi manusia, populasi nyamuk dan populasi

  carrier tifus dan terinfeksi malaria

  merupakan kondisi ketika ada penyebaran koinfeksi malaria-tifus. dan

  sembuh dari tifus namun terinfeksi malaria mengalami kenaikan hingga akhir simulasi. Untuk populasi manusia yang terinfeksi tifus dan terinfeksi malaria ( dan kemudian konstan. Sementara itu, populasi manusia retan tifus namun terin mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir simulasi.

  Gambar 6 merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi tifus ketika terjadi

  Gambar Kondisi endemik merupakan kondisi

  ketika ada penyebaran koinfeksi malaria > 1 dan parameter yang digunakan tertera pada Tabel

  Dari parameter pada Tabel 3 = 1,0237 10 hasil simulasi untuk populasi manusia, populasi nyamuk dan populasi bakteri. merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi malaria ketika terjadi penyebaran koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik tersebut terlihat bahwa populasi manusia yang tifus dan terinfeksi malaria ifus namun terinfeksi malaria mengalami kenaikan hingga akhir simulasi. Untuk populasi manusia yang terinfeksi tifus dan

  ( ) juga mengalami kenaikan dan kemudian konstan. Sementara itu, populasi manusia retan tifus namun terinfeksi malaria mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir merupakan hasil simulasi pada populasi manusia terinfeksi tifus ketika terjadi

  Gambar 5. Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi Malaria saat Gambar 6. Dinamika Populasi Manusia Terinfeksi

  tifus. Dari grafik bahwa populasi manusia yang terinfeksi serta terinfeksi mengalami kenaikan dan kemudian konstan hingga akhir simulasi. Sementara itu, untuk populasi manusia un rentan malaria ( ), mengalami kenaikan pada awal simulasi, kemudian bergerak menuju nol sampai akhir merupakan hasil simulasi pada populasi nyamuk ketika terjadi penyebaran tifus. Dari grafik tersebut hwa populasi nyamuk terinfeksi dan total populasi nyamuk mengalami kenaikan hingga akhir simulasi, meskipun kenaikan yang terjadi pada populasi nyamuk terinfeksi tidak sebanyak kenaikan yang terjadi pada total merupakan hasil lasi pada populasi bakteri ketika terjadi tifus. Dari grafik tersebut terlihat bahwa populasi bakteri Gambar > 1

  Telah diketahui pada pembahasan sebelumnya bahwa terdapat beberapa parameter yang berpengaruh terhad itu dilakukan simulasi untuk mengetahui pengaruh parameter manusia yang terinfeksi koinfeksi malaria Simulasi dilakukan pada hari. Nilai parameter yang digunakan dapat dilihat di Tabel akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi malaria pada manusia alami nyamuk parameter tersebut terkena koinfeksi malaria pengaruh laju ( ( )dengan 0,1; 0,5; Gambar 9.

  merupakan hasil simulasi pengaruh aju kematian alami nyamuk populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Dari grafik terlihat bahwa semakin maka semakin kecil jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Oleh karena itu dapat d memiliki pengaruh yang besar terhadap jumlah populasi manusia yang menderita -tifus.

  Gambar Populasi Manusia Koinfeksi Malaria

  Gambar laju kematian alami nyamuk populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria besar nilai populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria bahwa nilai terhadap jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria

  Berdasarkan hasil analisis sensitivitas pula, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi tifus ( ) tersebut pada populasi manusia terkena koinfeksi malaria tifus dan

  Gambar 8. Dinamika Populasi > 1

  bahwa mem populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria-tifus.

  Gambar 10.Pengaruh Laju Populasi Manusia Koinfeksi Malaria

  Gambar 10 merupakan hasil simulasi pengaruh aju kematian alami nyamuk populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik terlihat bahwa semakin besar nilai populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria-tifus. Oleh karena itu dapat d bahwa nilai terhadap jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria-

  Berdasarkan hasil analisis sensitivitas pula, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi tifus ( ) untuk mengetahui pengaruh tersebut pada populasi manusia terkena koinfeksi malaria-tifus. Hasil simulasi pengaruh laju tifus ( )dengan

  = 0,00000005

  . Dinamika Populasi Bakteri

  memiliki pengaruh terhadap jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi

  Pengaruh Laju Kematina Alami Nyamuk Populasi Manusia Koinfeksi Malaria-Tifus

  Berdasarkan hasil analisis sensitivitas pula, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi tifus untuk mengetahui pengaruh tersebut pada populasi manusia terkena koinfeksi tifus. Hasil simulasi pengaruh laju

  Pengaruh Laju Infeksi Malaria pada Manusia

  = 0,00005 00000005, sebagai berikut:

  Bakteri saat >

  iliki pengaruh terhadap jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi

  Kematina Alami Nyamuk terhadap Tifus

  merupakan hasil simulasi pengaruh aju kematian alami nyamuk ( ) terhadap populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Dari grafik terlihat bahwa semakin maka semakin kecil jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Oleh karena itu dapat disimpulkan memiliki pengaruh yang besar terhadap jumlah populasi manusia yang menderita

  Berdasarkan hasil analisis sensitivitas pula, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi tifus untuk mengetahui pengaruh parameter tersebut pada populasi manusia terkena koinfeksi tifus. Hasil simulasi pengaruh laju infeksi

  00005; = 0,0000009 sebagai berikut:

  > 1 dan

  iliki pengaruh terhadap jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi

  terhadap

  merupakan hasil simulasi pengaruh terhadap populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Dari grafik terlihat bahwa semakin maka semakin kecil jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi isimpulkan memiliki pengaruh yang besar terhadap jumlah populasi manusia yang menderita

  Berdasarkan hasil analisis sensitivitas pula, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi tifus parameter tersebut pada populasi manusia terkena koinfeksi infeksi

  merupakan hasil simulasi pengaruh terhadap populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Dari grafik terlihat bahwa semakin semakin besar pula jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria

  = =

  terhadap Populasi Manusia Koinfeksi Malaria

  ( ) untuk mengetahui pengaruh parameter tersebut pada populasi manusia yang terkena koinfeksi malaria-tifus. Hasil simulasi infeksi malaria pada manusia dan laju kematian alami nyamuk dengan

  Gambar laju infeksi malaria pada manusia populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria besar nilai populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria

  Gambar 7. Dinamika Populasi

  1

  elah diketahui pada pembahasan sebelumnya bahwa terdapat beberapa parameter yang berpengaruh terhad itu dilakukan simulasi untuk mengetahui pengaruh parameter-parameter tersebut pada populasi manusia yang terinfeksi koinfeksi malaria Simulasi dilakukan pada

  Nilai parameter yang digunakan dapat dilihat di Tabel 3. Berdasarkan hasil analisis sensitivitas, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi malaria pada manusia alami nyamuk ( parameter tersebut terkena koinfeksi malaria pengaruh laju infeksi malaria pada manusia ( ) dan laju kematian alami nyamuk ( )dengan

  = 0,05 = 0,1 adalah

  Gambar 9.Pengaruh Laju Infeksi Malaria pada Manusia terhadap Populasi Manusia Koinfeksi Malaria

  Gambar 9 merupakan hasil simulasi pengaruh laju infeksi malaria pada manusia populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria-tifus. Dari grafik terlihat bahwa semakin besar nilai populasi manusia yang menderita koinfeksi malaria-tifus. Oleh karena itu dapat disimpulkan

  . Dinamika Populasi Nyamuk

  elah diketahui pada pembahasan sebelumnya bahwa terdapat beberapa parameter yang berpengaruh terhadap dan itu dilakukan simulasi untuk mengetahui pengaruh parameter tersebut pada populasi manusia yang terinfeksi koinfeksi malaria

  Simulasi dilakukan pada = 0 Nilai parameter yang digunakan dapat dilihat

  Berdasarkan hasil analisis sensitivitas, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi malaria pada manusia ( ) dan laju kematian

  = 05, serta adalah sebagai berikut:

  Berdasarkan hasil analisis sensitivitas, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi dan laju kematian untuk mengetahui pengaruh pada populasi manusia yang tifus. Hasil simulasi infeksi malaria pada manusia dan laju kematian alami nyamuk

  Pengaruh Laju Infeksi Malaria pada Manusia terhadap Populasi Manusia Koinfeksi Malaria

  merupakan hasil simulasi pengaruh laju infeksi malaria pada manusia populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Dari grafik terlihat bahwa semakin semakin besar pula jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Oleh karena itu dapat disimpulkan

  Nyamuk saat > 1

  elah diketahui pada pembahasan sebelumnya bahwa terdapat beberapa parameter yang dan . Oleh karena itu dilakukan simulasi untuk mengetahui pengaruh parameter tersebut pada populasi manusia yang terinfeksi koinfeksi malaria-tifus.

  0 sampai = Nilai parameter yang digunakan dapat dilihat

  Berdasarkan hasil analisis sensitivitas, akan dilakukan simulasi terhadap laju infeksi ) dan laju kematian untuk mengetahui pengaruh pada populasi manusia yang tifus. Hasil simulasi infeksi malaria pada manusia dan laju kematian alami nyamuk

  = 0,95; = 0,9; sebagai berikut:

  Pengaruh Laju Infeksi Malaria pada Manusia terhadap Populasi Manusia Koinfeksi Malaria-Tifus

  merupakan hasil simulasi pengaruh laju infeksi malaria pada manusia ( ) terhadap populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Dari grafik terlihat bahwa semakin semakin besar pula jumlah populasi manusia yang menderita koinfeksi tifus. Oleh karena itu dapat disimpulkan

  1 dan Gambar >

  elah diketahui pada pembahasan sebelumnya bahwa terdapat beberapa parameter yang . Oleh karena itu dilakukan simulasi untuk mengetahui pengaruh parameter tersebut pada populasi tifus.

  = 100 Nilai parameter yang digunakan dapat dilihat

  0000009;

  19 April 2016]

  Chitnis, N., Cushing, J.M., dan Hyman, J.M., 2006, Bifurcation Analysis of a Mathematical Model for Malaria Transmission for Industrial and Applied Mathematics, , No. 1, pp. 24-

  Malaria [Online] Available at: http://who.int/mediacentre/factsheets/fs094/ [Accessed 19 April 2016 Typhoid [Online] Available http://www.who.int/immunization/disease typhoid/en/[Accessed

  Mathematical Analysis of the Effect of Malaria Co-infection on Workplace Productivity”, ActaTropica,

  Bioscience, Vol. 264: 128 Okosun, K.O. dan Makinde, O.D., 2011, “ the Impact of Drug Resistance in Malaria Transmission and its Optimal Control Analysis”, International Journal of the Physical Sciences, Vol. 6 Seidu, B., Makinde, O.D.,dan Seini, L.Y., 2015,

  Bin Wang, dan V.aidy Modelling Malaria and Typhoid Fever co infection Dynamics”, Mathematical

  Settings”, Applications and Applied Mathematics: An International Journal, , Issue 1, pp. 121-140.

  ”, Journal of Modern Mathematics and Statistics, 5(2): 54 asa, S., Bhunu, C.P., dan Mhlanga, N.A., 2014, “Modeling the Transmission Dynamics of Typhoid in Malaria Endemic

  Mushayabasa, S., 2011, “Impact of Vaccines on Controlling Typhoid Fever in Kassena Nankana District of Upper East Region of Ghana: Insights from a Mathematical

  Dynamics of Typhoid Fever in Kassena Nankana District of Upper East ”, Journal of Modern Mathematics and Statistics, 2(2): 45

  Nankana District of Upper East Region of ”, Journal of Modern Mathematics (2): 45-49.

  USTAKA Adetunde, I.A., 2008, “Mathematical Models for the

  P

  AFTAR

  D

  WHO, 2015. at:http://www.who.int/immunization/disease s/typhoid/en/

  WHO, 2016. http://who.int/mediacentre/factsheets/fs094/ en[Accessed

  Seidu, B., Makinde, O.D., “Mathematical Analysis of the Effect of HIV-Malaria Co Productivity

  Mutua, J.M., Feng-Bin Wang, dan V.aidy “Modelling Malaria and Typhoid Fever co infection Dynamics Bioscience, V Okosun, K.O. dan Makinde, O.D., 2011, “ the Impact of Drug Resistance in Malaria Transmission and its Optimal Control Analysis Physical Sciences, 6487.

  USTAKA Mathematical Models for the Dynamics of Typhoid Fever in Kassena

  Chitnis, N., Cushing, J.M., dan Hyman, J.M., 2006, Bifurcation Analysis of a Mathematical Model for Malaria Transmission”, Society for Industrial and Applied Mathematics, -45.

  Adetunde, I.A., 2008, “ Dynamics of Typhoid Fever in Kassena Nankana District of Upper East Ghana”, Journal of Modern Mathematics and Statistics, Chitnis, N., Cushing, J.M., dan Hyman, J.M., 2006, “Bifurcation Analysis of a Mathematical Model for Malaria Transmission for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 67, No. 1, pp. 24

  Mathematical Models for the Dynamics of Typhoid Fever in Kassena- Region of

  Mathematical Analysis of the Effect of infection on Workplace 60 [Online] Available at: http://who.int/mediacentre/factsheets/fs094/ [Online] Available http://www.who.int/immunization/disease

  ”, International Journal of the (28), pp 6479- dan Seini, L.Y., 2015,

  a, N.K., 2015, Modelling Malaria and Typhoid Fever co- Modelling the Impact of Drug Resistance in Malaria Transmission and its Optimal Control

  Vol.

  Modeling the Transmission Dynamics of Typhoid in Malaria Endemic ”, Applications and Applied Mathematics: An International Journal,

  Nankana District of Upper East Region of Ghana: Insights from a Mathematical ”, Journal of Modern Mathematics asa, S., Bhunu, C.P., dan Mhlanga, N.A.,

  ”, Society for Industrial and Applied Mathematics, Impact of Vaccines on Controlling Typhoid Fever in Kassena-

  ”, Journal of Modern Mathematics Chitnis, N., Cushing, J.M., dan Hyman, J.M., 2006, Bifurcation Analysis of a Mathematical

  19 April 2016] [Online] Available http://www.who.int/immunization/disease [Accessed 19 April 2016

  Impact of Vaccines on Controlling Typhoid Fever in Kassena Nankana District of Upper East Region of Ghana: Insights from a Mathematical

  [Online] Available at: http://who.int/mediacentre/factsheets/fs094/

  Mathematical Analysis of the Effect of infection on Workplace ActaTropica, 145, 55-60

  ”, International Journal of the Vol. 6(28), pp 6479 dan Seini, L.Y., 2015,

  Okosun, K.O. dan Makinde, O.D., 2011, “Modelling the Impact of Drug Resistance in Malaria Transmission and its Optimal Control